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Cours de Mathématiques
1ere S2
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1
Table des matières
A
Logique
3
1 Logique élémentaire
4
B
6
Algèbre
2 Outils d’algèbre et d’analyse
I
Calcul numérique et algébrique . . . . . . .
1
Vocabulaire et notation . . . . . . . .
2
Théorèmes et résultats . . . . . . . .
3
Expressions polynomiales du premier
degré (à une variable réelle) . . . . .
4
Racines, puissances et valeur absolue
C
Analyse
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
et du deuxième
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
.
.
.
7
7
7
8
. 9
. 12
13
3 Introduction à l’analyse
14
2
Première partie
Logique
3
Chapitre 1
Logique élémentaire
Soit H et C deux propositions quelconques, vraies ou fausses. "V" siginifie
Vrai et "F" signifie Faux. On utilise des tableaux de vérité pour définir les
symboles logiques.
– Notion de disjonction, de conjonction et de négation : "ou" est le symbole de disjonction, "et" est le symbole de conjonction, "non" est le
symbole de négation.
Tableau de vérité
H C H ou C H et C non H
V V
V
V
F
V F
V
F
F
F V
V
F
V
F F
F
F
V
– Notion d’implication : H et C sont deux propositions, "=⇒" est le
symbole d’implication
Tableau de vérité
H C H =⇒ C
V V
V
V F
F
F V
V
F F
V
H =⇒ C : H est une condition suffisante à C
C =⇒ H : H est une condition nécessaire à C
4
– Notion d’équivalence : H et C sont deux propositions, "⇐⇒" est le
symbole d’équivalence
Tableau de vérité
H C H ⇐⇒ C
V V
V
V F
F
F V
F
F F
V
5
Deuxième partie
Algèbre
6
Chapitre 2
Outils d’algèbre et d’analyse
I
Calcul numérique et algébrique
1
Vocabulaire et notation
– Comment décrire un ensemble ?
i. On donne la liste exhaustive des éléments de l’ensemble. Cette
écriture s’appelle l’écriture en extension.
ex : 1S2 = {Adjerad; . . . ; Zerbib}
ii. On donne la nature des éléments de l’ensemble et leur propriété
caractéristique 1 C’est l’écriture en compréhension.
ex : [2; 5] = {r ; r ∈ R / 2 6 r 6 5}
Vocabulaire
–
–
–
–
Algèbre : transformation d’expressions contenant des variables
développer : transformer une expression pour obtenir une somme
factoriser : transformer une expression pour obtenir un produit
réduire : conserver la nature de l’expression, mais en conservant le
moins de termes possible
– simplifier : transformer l’expression de manière à répondre à un type
de problème posé
1. Propriété que seuls les éléments de l’ensemble ont. A différencier avec une propriété
remarquable : propriété qu’ont les éléments de l’ensemble.
7
– Une identité est une égalité qui dépend d’une ou plusieurs variables
et qui est vraie pour toutes les valeurs de la ou les variables.
– Une équation est une égalité qui dépend d’une ou plusieurs inconnues et
qui n’est pas vraie pour toutes les valeurs de la ou les inconnues.
2
Théorèmes et résultats
– distributivité de la multiplicaton par rapport à l’addition :
Pour tout a, b, c ∈ R/ a (b + c) = ab + ac
– autres :
Pour tout a, b, c ∈ R/ a = b ⇐⇒ a + c = b + c
Pour tout a, b ∈ R, pour tout c ∈ R∗ / a = b ⇐⇒ ac = bc
– Soit a ∈ R∗ . On note sgn(a) = 1, si a > 0, et sgn(a) = −1, si a < 0.
– Le carré d’une somme de termes est égale à la somme de la somme des
carrés de ces termes et à la somme des doubles produits de ces termes.
– Soit n, k ∈ N, avec k 6 n. On note Cnk l’entier naturel de la k eme colonne
et de la neme ligne du triangle de pascal (à noter : les numéros des lignes
et des colonnes commencent à partir de 0 ). On a :
k+1
Cnk + Cnk+1 = Cn+1
Cnk = Cnn−k
De plus avec la convention de notation 00 = 1 :
Pour tout a, b ∈ R, pour tout n ∈ N/
(a + b)n = Cn0 an + Cn1 an−1 b1 + . . . + Cnk an−k bk + . . . + Cnn−1 a1 bn−1 + Cnn bn
– On a :
Pour tout a, b ∈ R, pour tout n ∈ N :
an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b1 + . . . + an−k bk + . . . + a1 bn−2 + bn − 1)
8
3
Expressions polynomiales du premier et du deuxième
degré (à une variable réelle)
– Définition : On appelle expression polynomiale du premier degré à
une variable réelle x toute expression du type ax + b où a et b sont des
constantes réelles avec a 6= 0.
a : coefficient dominant et b : coefficient constant
– Un zéro d’une expression dépendant d’une variable est une valeur de
la variable pour laquelle l’expression est nulle.
– Théorème
Pour tout a ∈ R∗ , pour tout b, x ∈ R :
b
ax + b = 0 ⇐⇒ x = −
a b
Pour tout x ∈ −∞ ; − , sgn(ax + b) = −sgn(a)
a
b
Pour tout x ∈ − ; +∞ , sgn(ax + b) = sgn(a)
a
– Démonstration
Pour tout a ∈ R∗ , pour tout b, x ∈ R :
b
ax + b = 0 ⇐⇒ ax = −b ⇐⇒ x = −
a
ax + b > 0 ⇐⇒ ax > −b
b
b
ax + b > 0 ⇐⇒ si a > 0, x > − , si a < 0, x < −
a
a
ax + b < 0 ⇐⇒ ax < −b
b
b
ax + b < 0 ⇐⇒ si a > 0, x < − , si a < 0, x > −
a
a
b
Pour tout x ∈ −∞ ; − , sgn(ax + b) = −sgn(a)
a
b
Pour tout x ∈ − ; +∞ , sgn(ax + b) = sgn(a)
a
9
– Définition : On appelle expression polynomiale du deuxième degré à
une variable réelle x toute expression de la forme ax2 + bx + c où a, b, c
sont des constantes réelles avec a 6= 0
a : coefficient dominant et c : coefficient constant
On a :
c
b
2
2
ax + bx + c = a x + x +
a
a
"
#
2 2
b
b
b
c
= a x2 + x +
−
+
a
2a
2a
a
"
#
2
b
b2 − 4ac
=a x+
−
2a
4a2
La dernière expression s’appelle la forme canonique.
On appelle discriminant de l’expression polynomiale du deuxième degré
ax2 + bx + c de la variable réelle x, le réel b2 − 4ac.
Premier Cas : Le discriminant est strictement négatif, alors :
−
b2 − 4ac
>0
4a2
2
b
b2 − 4ac
Donc pour tout x ∈ R, x +
>0
−
2a
4a2
#!
"
2
b2 − 4ac
b
= sgn(a)
Donc sgn a x +
−
2a
4a2
alors sgn ax2 + bx + c = sgn(a)
Cette expression n’a pas de zéro. Supposons qu’elle soit factorisable en produit de deux expressions polynomiales du premier degré distinctes ou confondues. De ce fait elle aurait alors au moins
un zéro. Donc elle n’est pas factorisable en produit de deux expressions polynomiales du premier degré.
10
Second Cas : Le discriminant est positif ou nul, alors :
#
"
2
2
b
−
4ac
b
−
ax2 + bx + c = a x +
2a
4a2
√
√
b
b2 − 4ac
b
b2 − 4ac
=a x+
−
x+
+
2a
2a
2a
2a
!
√
√
−b + b2 − 4ac
−b − b2 + 4ac
=a x−
x−
2a
2a
√
2
Cette √
expression a deux zéros distincts ou confondus : −b+ 2ab −4ac
2
et −b− 2ab +4ac . Les zéros sont confondus lorsque le discriminant est
nul et les zéros sont distincts lorsque le discriminant est strictement positif.
La somme des zéros est égale à : − ab .
Le produit des zéros est égale à : ac .
b
- Si b2 − 4ac = 0, les deux zéros sont confondus et valent − 2a
.-par
2
- Si b − 4ac > 0, les deux zéros sont distincts :
Quand a > 0 :
√
√
−b + b2 − 4ac
−b − b2 − 4ac
<
2a
2a
Quand a < 0 :
−b +
√
√
−b − b2 − 4ac
b2 − 4ac
<
2a
2a
On note α le plus petit des zéros et β l’autre zéro.
- b2 − 4ac = 0 ⇐⇒ α = β
b
pour tout x ∈ R\ −
, sgn(ax2 + bx + c) = sgn(a)
2a
- b2 − 4ac > 0 ⇐⇒ α < β et :
Pour tout x ∈ ]−∞ ; α[ ∪ ]β ; +∞[ , sgn(ax2 + bx + c) = sgn(a)
Pour tout x ∈ ]α ; β[ , sgn(ax2 + bx + c) = −sgn(a)
11
4
Racines, puissances et valeur absolue
Définitions :
– La racine carrée d’un réel positif ou nul a est le réel positif ou nul b, tel
que b2 = a
– La valeur absolue d’un réel a, notée |a| est le réel a si a > 0 et le réel
−a si a < 0.
12
Troisième partie
Analyse
13
Chapitre 3
Introduction à l’analyse
14