Formulaire d`algèbre Quotients et fractions Le dénominateur d`un

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Formulaire d’algèbre
Quotients et fractions
Le dénominateur d’un quotient ne doit pas être nul. Sous cette condition, a, b, c, d, k
désignant des entiers, des réels ou des complexes :
Égalité
b
a =
d
c ⇔ ad = bc
Simplifications
b
k
ak
×
×
=
b
a
1
a = a
a
0 = 0
Produit et quotient
b
a ×
d
c =
bd
ac
d
c
b
a
=
b
a ×
c
d
Somme
d
a +
d
b =
d
ba
+
b
a +
d
c =
bd
bcad
+
Différence
d
a −
d
b =
d
ba
−
b
a −
d
c =
bd
bcad
−
Puissances
Le dénominateur d’un quotient ne doit pas être nul. Sous cette condition, a et b étant des réels,
n et m étant des entiers relatifs :
an = a × a × a … × a (n facteurs, n ∈ ) a1 = a a0 = 1
a−n = n
a
1 an = n
a−
1 a−1 =
a
1
anam = an + m m
n
a
a = an − m (an)m = anm
(ab)n = anbn
n
b
a
 = n
n
b
a

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Racines carrées
Les expressions sous une racine carrée (radicandes) doivent être positives. Sous cette
condition, a et b désignant des réels :
Définition et conséquences
a = b ⇔ a = b2 (b ≥ 0) ( a)2 = a 2 a = |a|
Produits et quotients
ab = a b ( a)n = n a (n ∈ ) b
a = b a
Opérations
Développements et factorisations
a(b + c) = ab + ac a(b − c) = ab − ac
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Identités remarquables
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a + b)(a − b) = a2 − b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
an − bn = (a − b)(an − 1 + an − 2b + an − 3b2 + … + bn − 1) (n ∈ )
an + bn = (a + b)(an − 1 − an − 2b + an − 3b2 − … + bn − 1) (n ∈ , n impair)
Formules
∑
=
n
i
i
1
= 1 + 2 + … + n =
2
)1(
+
nn
∑
=
n
i
i
1
2 = 12 + 22 + … + n2 =
6
)12)(1(
+
+
nnn
∑
=
n
i
i
x
0
= 1 + x + x2 + … + xn =
1
11
−
−+
x
xn
=
1
1
1
−
−
+
x
xn
(x ≠ 1)
binôme de Newton :
(a + b)n = an + 
1
nan − 1b + 
2
nan − 2b2 + … + 
p
nan − pbp + … + 
−1n
nabn − 1 + bn
(a + b)n = ∑
=
n
pp
n
0
an − pbp

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Équations du second degré
Inconnue et coefficients dans 
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Soit ∆ = b2 − 4ac (discriminant).
Si ∆ < 0, S = ∅ (pas de solution dans ).
Si ∆ = 0, S = {−
a
b
2
} (une solution « double » dans ).
Si ∆ > 0, S = {
a
b
2
∆−− ,
a
b
2
∆+− } (deux solutions distinctes dans )
Inconnue et coefficients dans 
az2 + bz + c = 0 (a ≠ 0). Soit ∆ = b2 − 4ac (discriminant). Soit δ un complexe tel que δ2 = ∆.
S = {
a
b
2
δ
−
−
,
a
b
2
δ
+
−
}.
Propriétés des inégalités
a, b, c et d désignent des réels.
Définition
a < b ⇔ b − a est strictement positif.
Transitivité
Si a < b et b < c, alors a < c.
Addition
Si a < b, alors quel que soit le réel c, a + c < b + c.
Si 
<
<
dc
ba
et , alors a + c < b + d.
Multiplication
Si 
>
<
0
et
c
ba
, alors ac < bc. Si 
<
<
0
et
c
ba
, alors ac > bc.
Si a, b, c et d sont quatre réels strictement positifs tels que 
<
<
dc
ba
et , alors ac < bd.
Nombres complexes : voir formulaire spécifique
Dénombrements et probabilités : voir formulaire spécifique