Formulaire d`algèbre Quotients et fractions Le dénominateur d`un

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Formulaire d’algèbre
Quotients et fractions
Le dénominateur d’un quotient ne doit pas être nul. Sous cette condition, a, b, c, d, k
désignant des entiers, des réels ou des complexes :
Égalité
a
c
=
⇔ ad = bc
b
d
Simplifications
k×a
a
=
k ×b
b
a
=a
1
0
=0
a
Produit et quotient
a
c
ac
×
=
b
d
bd
a
b = a × d
c
b
c
d
Somme
a
b
a+b
+
=
d
d
d
a
c
ad + bc
+
=
b
d
bd
Différence
a
b
a −b
−
=
d
d
d
a
c
ad − bc
−
=
b
d
bd
Puissances
Le dénominateur d’un quotient ne doit pas être nul. Sous cette condition, a et b étant des réels,
n et m étant des entiers relatifs :
an = a × a × a … × a (n facteurs, n ∈ )
a−n =
1
an
an =
anam = an + m
1
a −n
an
= an − m
m
a
a1 = a
a−1 =
a0 = 1
1
a
(an)m = anm
n
n
n n
(ab) = a b
a
an
  = n
b
b
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Racines carrées
Les expressions sous une racine carrée (radicandes) doivent être positives. Sous cette
condition, a et b désignant des réels :
Définition et conséquences
a = b ⇔ a = b2 (b ≥ 0)
( a )2 = a
a 2 = |a|
Produits et quotients
ab =
a
( a )n =
b
a
=
b
a n (n ∈ )
a
b
Opérations
Développements et factorisations
a(b + c) = ab + ac
a(b − c) = ab − ac
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Identités remarquables
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a + b)(a − b) = a2 − b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
an − bn = (a − b)(an − 1 + an − 2b + an − 3b2 + … + bn − 1) (n ∈ )
an + bn = (a + b)(an − 1 − an − 2b + an − 3b2 − … + bn − 1) (n ∈ , n impair)
Formules
n
∑i = 1 + 2 + … + n =
i =1
n
∑i
2
n(n + 1)
2
n(n + 1)(2n + 1)
6
= 12 + 22 + … + n2 =
i =1
1 − x n +1
x n +1 − 1
=
(x ≠ 1)
x =1+x+x +…+x =
∑
x −1
x −1
i =0
n
i
2
n
binôme de Newton :
n
(a + b)n = an +   an − 1b +
1
(a + b)n =
n
n
p =0
 
n n − 2 2
 a b + … +
 2
 
n n−p p
 a b + … +
 p
 
 n  n−1


+ bn
 n − 1 ab


∑  p  an − pbp
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3
Équations du second degré
Inconnue et coefficients dans ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Soit ∆ = b2 − 4ac (discriminant).
Si ∆ < 0, S = ∅
Si ∆ = 0, S = {−
Si ∆ > 0, S = {
(pas de solution dans ).
b
}
2a
(une solution « double » dans ).
−b− ∆ −b+ ∆
,
}
2a
2a
(deux solutions distinctes dans )
Inconnue et coefficients dans az2 + bz + c = 0 (a ≠ 0). Soit ∆ = b2 − 4ac (discriminant). Soit δ un complexe tel que δ2 = ∆.
S={
−b −δ −b +δ
,
}.
2a
2a
Propriétés des inégalités
a, b, c et d désignent des réels.
Définition
a < b ⇔ b − a est strictement positif.
Transitivité
Si a < b et b < c, alors a < c.
Addition
Si a < b, alors quel que soit le réel c, a + c < b + c.
 a < b
Si  et , alors a + c < b + d.
c < d
Multiplication
a < b
Si  et , alors ac < bc. Si
c > 0
a < b
 et , alors ac > bc.
c < 0
a < b
Si a, b, c et d sont quatre réels strictement positifs tels que  et , alors ac < bd.
c < d
Nombres complexes : voir formulaire spécifique
Dénombrements et probabilités : voir formulaire spécifique
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