integrales

Intégrales
I. Définition
a. Définition
Soit f une fonction continue et positive sur [a; b] . On pose E l'ensemble des points situés entre
Z b
Cf; (Ox ) et les droites d'équations x = a et x = b , alors
f (x):dx est l'aire de E en unité d'aire.
b. Propriétés et remarques
Z
b
f (x):dx =
a
Z
b
f (t):dt
a
x et t sont des variables muettes.
Définition de l'aire E
E est l'ensemble des points M (x; y) tels que
a6x6b
0 6 y 6 f (x)
Propriété
Toute fonction continue sur I est intégrable sur I.
La réciproque est en revanche fausse.
Exemple :
Z
2;5
Int(x):dx = 2
0
Pourtant, il s'agit d'une fonction discontinue
a
Signe de l'intégrale
Le signe de l'intégrale est le signe de la fonction intégrée
Z a
f (x):dx = 0
a
Signe de l'aire
Si f est positive,
Z
b
f (x):dx = aire de E
a
Si f est négative,
Z
b
a
f (x):dx = ¡ aire de E
Fonction constante
Soit f une fonction constante k (k > 0) sur [a; b] , alors
Z
b
a
k:dx = k(b ¡ a)
Relation De Chasles
0
aire de E + aire de E' = aire de (E [ E ) =
Z
b
f (x):dx +
a
Z
b
c
f (x):dx =
Z
c
f (x):dx
a
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a, b et c 2 I, on a la relation de Chasles :
Z b
Z c
Z c
f (x):dx +
f (x):dx =
f (x):dx
a
b
a
Z
Z
b
a
f (x):dx = ¡
b
f (x):dx
a
Bilinéarité
Soient f et g deux fonctions continues sur [a; b]
Z b
Z b
Z b
(f (x) + g(x)):dx =
f (x):dx +
g(x):dx
a
a
a
Z b
Z b
k:f (x):dx = k
f (x):dx , avec k 2 R
a
a
Z b
Z b
Z b
0
0
(k:f (x) + k :g(x)):dx = k
f (x):dx + k
g(x):dx
a
a
a
Intégrale et ordre
Si f et g sont continues [a;b] et 8x 2 [a; b] , f (x) 6 g(x)
Z b
Z b
alors
f (x):dx 6
g(x):dx
a
a
Aire entre les deux courbes
Z
b
a
g(x):dx ¡
Z
b
f (x):dx =
a
Z
b
(g(x) ¡ f (x)):dx
a
Si f et g sont continues sur [a; b] et 8x 2 [a; b] , f (x) 6 g(x)
Z b
alors l'aire comprise entre Cf et Cg est égale à
(g(x) ¡ f (x)):dx
a
Démonstration
f 606g
Aire de E1 [ E2 = E1 + E2
Z
b
a
g(x):dx ¡
Z
b
f (x):dx =
a
Z
b
(g(x) ¡ f (x)):dx
a
f 6g60
Z
b
a
f (x):dx ¡
Z
a
b
¡g(x):dx =
Z
a
b
(g(x) ¡ f (x)):dx
Valeur moyenne
Soit une fonction continue sur [a;b] . La valeur moyenne de f sur [a;b] est
Z b
1
A=
£
f (x):dx
b¡a
a
L'aire du rectangle est égale à l'aire du trapèze.
Inégalité de la moyenne
Soit une fonction continue sur [a;b]. Si 8x 2 [a; b]; m < f (x) < M , alors ¸ 2 [a; b]
m6
1
£
b¡a
Z
b
a
f (x):dx 6 M () m(b ¡ a) 6
Z
b
a
f (x):dx 6 M (b ¡ a)
Démonstration
8x 2 [a; b]; m < f (x) < M
,
Z
b
a
m:dx 6
Z
b
f (x):dx 6
a
Z
b
a
M:dx , m(b ¡ a) 6
Z
b
a
f paire et a > 0
Par symétrie,
Z
Z
0
f (x):dx =
¡a
Z
D'après la relation de Chasles,
a
f (x):dx
0
a
f (x):dx = 2
¡a
Z
a
f (x):dx
0
f impaire et continue sur [¡a ; a]
L'aire de E1 est égale à l'aire de E2
Z
0
¡a
d'où
f (x):dx = ¡
Z
Z
a
a
f (x):dx =
¡a
f (x):dx
0
Z
0
f (x):dx +
¡a
Z
a
f (x):dx = 0
0
Exemple :
Z
¼
4
tan3 (x)
:dx
¡¼
(3 + sin2(x))15
4
tan3 (¡x)
tan3 (x)
f (¡x) =
=
¡
= ¡f (x)
(3 + sin2 (¡x))15
(3 + sin2 (x))15
¡¼ ¼
f est continue sur [
; ] et impaire
4 4
f (x) =
f (x):dx 6 M (b ¡ a)
II. Primitives
Fonction
Primitive
a
ax
xn+1
n+1
xn
¡1
(n ¡ 1)xn¡1
p
2 x
1
xn
1
p
x
1
sin(ax + b)
a
1
¡ cos(ax + b)
a
cos(ax + b)
sin(ax + b)
Fonction
Primitive
eu
u0 eu
u0
u
u0
un
ln(u)
¡1
(n ¡ 1)un¡1
p
2 u
u0
p
u
Lien entre intégrale et primitive
Soit une fonction f continue sur I avec a 2 I , alors F (x) =
s'annule en a.
Z
x
f (t):dt est la primitive de f qui
a
Démonstration
F (a) =
Z
a
f (t):dt = 0
a
f (x + h) ¡ f (x)
= f 0 (x)
h!0
h
lim
F (x + h) ¡ F (x) =
Z
a
x+h
f (t):dt ¡
Z
x
f (t):dt =
a
Z
x+h
f (t):dt +
a
Z
a
f (t):dt =
x
Z
x+h
f (t):dt
x
On pose f' et h positifs
x <t< x+h
, f (x) < f (t) < f (x + h)
, h:f (x) <
, f (x) <
Z
x+h
f (t):dt < h:f (x + h)
x
F (x + h) ¡ F (x)
< f (x + h)
h
F (x + h) ¡ F (x)
= f (x) = F 0 (x)
h!0
h
lim f (x + h) = f (x) ) lim
h!0
Comme le taux d'accroissement
F (x + h) ¡ F (x)
admet une limite finie f(x), F est dérivable en x.
h
On a donc F 0 (x) = f (x) 8x 2 ]0; +1[ , ce qui signifie que F est une primitive de f.