Série Maths

Probabilités
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Exercice n°1 :
Une urne contient 3 boules rouges, 3 boules jaunes et 3 boules noires.
On tire simultanément et au hasard 3 boules de l’urne.
Quelle est la probabilité des événements suivants :
a- Tirer 3 boules de même couleur ?
b- Tirer 3 boules de couleurs deux à deux distinctes ?
c- Tirer au moins une jaune ?
2°- Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de boules jaunes tirées.
a- Déterminer la loi de probabilité de X.
b- Déterminer les valeurs typiques de X.
c- Tracer la fonction de répartition de X.
Exercice n°2 :
Une urne U contient 3 boules noires et une boule blanche . Une urne V contient 3 boules
noires et 2 boules blanches. On extrait une boule de U que l’on remet dans V puis on tire
simultanément 3 boules de la même urne V.tous les tirages sont équiprobables.
1°/ Quelle est la probabilité des événements suivants :
a) E : « tirer des boules de même couleur » ?
b) F : « tirer au moins 2 blanches » ?
c) G : « tirer 3 boules noires » ?
2°/On répète l’épreuve précédente 5 fois de suite. Quelle est la probabilité des événements
suivants :
a) «L événement E se répète exactement 3 fois » ?
b) « l événement E se produit pour la première fois au troisième tirage » ?
Exercice n°3 :
Un sac contient des boules blanches et d’autres noires. Le nombre de boules blanches est
quatre fois plus grand que celui de boules noires. On tire au hasard une boule.
1°/Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ?
2°/On tire successivement et avec remise n boules du sac. Soit pn la probabilité pour que la nième boule tirée soit blanche. Calculer p1 , p2 , p3 et p4 .
3°/Calculer la somme Sn=p1 + p2 + p3 +…+pn
puis :
lim
Sn
n
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.
Exercice n°4 :
On considère une pièce de monnaie truquée de telle façon que la probabilité d’avoir le coté
« pile » soit le double de celle d’avoir le coté « face ».
1°/Calculer la probabilité d’apparition de chaque coté.
2°/On considère deux sacs S1et S2.Le premier contient trois boules rouges et quatre boules
jaunes, La deuxième contient deux boules rouges et deux boules jaunes. On lance la pièce de
monnaie ;si le coté visible est « pile »,on tire trois boules simultanément de S1 et si le coté
visible est « face »,on tire deux boules simultanément de S2.
Soit X l’aléa numérique correspondant au nombre de boules jaunes tirées.
a)Déterminer la loi de probabilité de X .
Exercice n°5 :
On considère deux dés truqués de telle sorte que la probabilité d’avoir une face paire soit le
double de celle d’avoir une face impaire. Les faces du premier dé sont numérotées 1,1,1,2,2 et
3. Les faces du second sont numérotées 1,1,2,2,2 et3.
1°/Quelle est la probabilité d’apparition de chaque numéro sur chaque dé ?
2°/On lance simultanément les deux dés et on observe les faces supérieures. Soit X l’aléa
numérique correspondant à la somme des numéros apparus .
a-Déterminer la loi de probabilité de X.
b-Calculer E(X) et V(X).
c-Tracer sa fonction de répartition.
3°/On répète l’épreuve précédente 4 fois de suite. Soit Y l’aléa numérique égale au nombre
d’apparition de l’événement (X=2).
a-Quelle est la probabilité de l’événements (Y2) ?
b-Calculer E(Y) et V(Y).
Exercice n°6 :
Une urne contient cinq boules noires ,deux boules blanches et trois boules vertes
indiscernables au toucher.
1°/On tire simultanément trois boules de l’urne. Quelle est la probabilité des evenements
suivants :
A :obtenir trois boules de même couleur.
B :obtenir au moins une boule blanche.
2°/On effectue maintenant un tirage successif de deux boules de la manière suivante :
On tire une première boule :
-Si elle est noire ,on la remet dans l’urne et on effectue le deuxième tirage.
-Si elle n’est pas noire, on la garde à l’extérieure de l’urne et on effectue le deuxième tirage.
Soit X la variable aléatoire qui à tout résultat associe le nombre de boules blanches.
Déterminer la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique.
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Exercice n°7 :
Un sac contient quatre jetons blancs numérotés 1,2,3,4 ;quatre jetons noirs numérotés
1,1,2,3 ;quatre jetons verts numérotés 1,1,2,2 et quatre jetons rouges numérotés 1,1,1,3.
1°/On tire au hasard successivement et avec remise quatre jetons. Quelle est la probabilité des
événements suivants ;
-Tirer des jetons de couleurs deux à deux distinctes.
-Tirer des jetons de numéros impairs.
-Tirer des jetons dont la somme des numéros est impaire.
-Tirer exactement un seul jeton blanc et un seul numéroté 1.
Exercice n°8 :
Une urne contient deux boules rouges numérotées 1, 2 et deux boules jaunes numérotées 3, 4.
1- On extrait une boule puis on la remet dans l’urne en extrayant les boules dont le numéro est
strictement supérieur au numéro de la première boule tirée. On effectue par la suite le second
tirage.
Soit X l’aléa correspondant au numéro de la deuxième boule tirée.
a- Déterminer la loi de probabilité de X.
b- Calculer E (X) et V (X).
2- Maintenant on considère l’épreuve suivante : on tire une 1ère boule. Si elle est rouge elle est
remise dans l’urne, si elle est jaune, on la garde à l’extérieur .
Soit Y l’aléa numérique qui prend pour valeurs le numéro de la deuxième boule tirée.
a- Déterminer la loi de probabilité de Y.
b- Calculer l’écart type (Y).
3- On répète l’épreuve indiquée à la deuxième question trois fois de suite (les boules sont
remises dans l’urne après chaque épreuve). Soit Z l’aléa numérique qui prend pour valeurs le
nombre de fois où l’événement (Y=1) est réalisé.
a- Déterminer la loi de probabilité de Z
b- Calculer E (Z) et V (Z)
Exercice n°9:
Un appareil de mesure évalue l'épaisseur en cm de pièces mécaniques. L'expérience prouve
que l'épaisseur de pièces peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi
uniforme dans l'intervalle[2 ,2,8].
1- Calculer p(X≤2,6) et p(2,3≤X≤2,5) .
2- Les pièces sont acceptées si leur épaisseur est supérieure à 2,4cm. Quelle est la
probabilité pour qu'une pièce soit acceptée?
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3- Une pièce a une épaisseur supérieure à 2,2cm. Quelle est la probabilité pour qu'elle soit
acceptée?
Exercice n°10:
Le temps en minutes que passe un médecin pour consulter un patient est une variable aléatoire
X qui suit une loi exponentielle de paramètre 0,1.
1- Quelle est la proportion de patients qui passent plus de 15mn avec le médecin?
2- Quelle est la probabilité pour qu' un patient passe entre cinq et dix minutes pour une
consultation?
Exercice 11
Une urne U contient 3 boules blanches numérotées 0,0,0 et deux boules blanches numérotées
1,1. Une urne V contient 3 boules blanches numérotées 1,1,1 et 3 boules vertes numérotées
0,0,0.
On tire au hasard et simultanément 2 boules de U et une boule de V .
1°/ a)Quelle est la probabilité des événements suivants :
A: « tirer trois boules blanches » ?
B : « tirer trois boules de même numéro » ?
b) Sachant qu’on a obtenu trois boules de deux couleurs, quelle est la probabilité d’avoir
extrait de V une boule numérotée 0 ?
2- Maintenant on considère l’épreuve suivante : on tire une boule de U. Si elle est blanche on la
garde à l’extérieur . et on tire deux boules de V. Si elle est verte on la met dans V et on tire
successivement et avec remise deux boules de V
Soit X l’aléa numérique qui prend pour valeurs le nombre de boules blanches tirées à l’issue de
deux types de tirages..
a- Déterminer la loi de probabilité de Y.
b- Calculer E(X) et (X).
c-Sachant qu’on a obtenu 2 boules blanches, quelle est la probabilité qu’elles proviennent
de U ?
Exercice 12
Ci-contre la représentation graphique de la densité de probabilité f d’une variable aléatoire X qui
suit une loi exponentielle de paramètre λ.
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1/ Expliciter f(x).
2/ Calculer p(20≤X≤35)
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