Série Maths Nombres complexes

Nombres complexes
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Exercice 1 : Soit z un nombre complexe non réel ;A,B,C sont les points d’affixes z, z2 et z3.
Trouver l’ensemble des points A tels que le triangle ABC soit rectangle en C.
Exercice 2 : Déterminer l’ensemble des points Mz tels que :
a-les points Ji,Mz et M’iz soient alignés.
b-les points I1, Mz et M’’1+z2 soient alignés.
Exercice 3 :u est un nombre complexe non réel. Déterminer l’ensemble des points Mz tels que le complexe
a =
z1 zuu 
soit réel.
Exercice 4 : Trouver l’ensemble des points Mz vérifiant la condition suivante : z=
z
1
=z-2.
Exercice 5 :Soient u,v,w trois nombres complexes de modules 1 et tels que u+v+w0.
Montrer que le nombre complexe
wvu wuvwuv  
, a pour module 1.
Exercice 6 : Soient w,z et t trois nombres complexes de modules 1 et tels que w+z+t=1 et wzt =1
1°-Montrer que
t
1
z
1
w
1
=1.
2°-Calculer w, z et t.
Exercice 7 :soit A un point du plan complexe rapporté à un repère orthonormé,
d’affixe 1 i.  
Déterminer l’ensemble des points Mz tels que z2 =
zz 
.
Exercice 8 :Déterminer l’ensemble des points M du plan d’affixe z tels que
1+iz-2i=2.
Exercice 9 : On considère les nombres complexes z1=i et z2=
.
2
3
i
2
1
1°Calculer les modules de z1 et de z2.
2°Calculer
21
21 zz1 zz
sous forme algébrique.
*Soient z et z’ deux nombres complexes de modules 1 tels que 1+zz’0.
Soit u=
'zz1'zz
.Montrer que u est réel.

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Exercice 10 :
13
On considère les nombres complexes suivants : j i et u 1 j .
22
1°Etablir les égalités suivantes :1+j+j2=0 et j3 =1.
2°-a) Démontrer que pour tout entier naturel n, on a : u2n+1 = - jn+2 .
b) Pour tout entier naturel n, exprimer u2n , en fonction de n et de j.
c) Application : calculer u24 et u31 sous forme algébrique.
Exercice 11 :
Soient u et v deux nombres complexes , z et z u iv.  
Montrer quez2 =u2 + v2 z=0 ou u réel et v réel  .
Exercice 12 : Dans le plan complexe ,on considère A- i et B -2 .
Soit Z =
iz i2iz
;z est un nombre complexe -i.
1°Déterminer et construire les ensembles :
E1 =Mztel que Z est imaginaire.
E2 =Mztel que Z =1.
Exercice 13 :Soit f l’application de ℂ \{-i} dans ℂ telle que f(z)=
iz iz
.
1°/Démontrer que tout élément u de ℂ\{1} possède un antécédent unique z
dans ℂ\{-i}.En déduire que f est bijective.
2°/Quelle est l’image par f de l’ensemble P des nombres complexes dont la
partie imaginaire est strictement positive ? Interpréter géométriquement le
résultat trouvé.