Ch9: Eléments de théorie générale des modules - IMJ-PRG

Chapitre 9
El´ements de th´eorie g´en´erale
des modules
On consid`ere dans ce chapitre des modules sur des anneaux quine sontpas
n´ecessairementcommutatifs.
9.1 Repr´esentations et modules
D´efinition 9.1.1. Soit Aune alg`ebre sur un corps k,une repr´esentation de
Asur un espace vectoriel Vest un morphisme de k-alg`ebre :
ρ:A→End(V).
Remarque 9.1.2.La repr´esentation ρmunit Vd’une structure dek-module.
D´efinition 9.1.3. Soit Gun groupe. Une repr´esentation de Gsur un k-
espace vectoriel Vest un morphisme de groupe
ρ:G→GL(V).
L’espace vectoriel de base G:k(G)aun produit obtenuen´etendant
lin´eairement la loi de groupede G.Le neutre ede Gest ´el´ementunit´e.
On obtientun anneau not´ek[G], et mˆeme une k-alg`ebre avec le morphisme
de structure :k→k[G]
λ→λe
D´efinition 9.1.4. L’alg`ebre k[G]est appel´ee l’alg`ebredu groupeGsur le
corps k.
Une repr´esentation deGsur le k-espace vectoriel Vs’´etend en une
repr´esentation de l’alg`ebre k[G], et donc munit Vd’une structure de
k[G]-module.
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9.2 Simplicit´e
D´efinition 9.2.1. Un module est simple (ou irr´eductible) si et seulement
s’il n’admet pas de sous-module non trivial. Un module est semi-simple si et
seulements’il est somme directe de modules simples.
Remarque. Pour une repr´esentation on dit plutˆot irr´eductible.
Exercice9.2.2.On consid`ere la repr´esentation du groupesym´etrique S3sur
le Q-espace vectoriel V=Q3d´efinie par permutation des vecteurs de base.
D´eterminer les sous-modules simples et montrer que la repr´esentation est
semi-simple.
9.3 Produit tensoriel de deux modules
D´efinition 9.3.1. Lorsque M,Net Fsont trois modules sur un mˆeme
anneau commutatif A,on appelle application bilin´eaire une application
f:M×N→F,qui est lin´eaire dans chacune des deux variables.
Le produit tensoriel permet de ramener l’´etudedes applications bilin´eaires `a
celle des applications lin´eaires.
D´efinition 9.3.2. Lorsque Met Nsontdeux modules sur un mˆeme anneau
commutatif A,un produit tensoriel de Met Nest un couple (E,φ), o`uE
est un A-module, φ:M×N→Fest une application bilin´eaire, qui satisfait
la propri´et´euniverselle suivante :
Pour toute application bilin´eaire f:M×N→F,il existe une unique
application lin´eaire g:E→Ftelle que :f=g◦φ.
Proposition 9.3.3. Deux produits tensoriels des A-modules Met Nsont
canoniquement isomorphes. On dit que le produit tensoriel est unique `a iso-
morphique canonique pr`es.
Th´eor`eme 9.3.4. Deux modules Met Nsur le mˆeme anneau commutatif
Aadmettent un produit tensoriel not´eM⊗AN=M⊗N:le quotient de
C=A(M×N)par le sous-module des ´el´ements de la forme :
e(x+y,z)−e(x, z)−e(y,z),
e(x, y+z)−e(x, y)−e(x, z),
e(αx, y)−αe(x, y),
e(x, αy)−αe(x, y),
o`ue(x, y),x∈M,y∈Nest la base canonique de C.
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La classe de e(x, y)dans M⊗Nsera not´ee x⊗y.
Th´eor`eme 9.3.5. Soit Aune anneau commutatif. Pour tous les ensembles
Iet J,on aun isomorphisme canonique :
A(I)⊗A(J)≈A(I×J).
Corollaire 9.3.6. Leproduit tensoriel de deux modules libres sur un anneau
commutatif Aest un module libresur A.
Th´eor`eme 9.3.7. Si Jest un id´eal de l’anneau commutatif A,alors
A(I)⊗A/J est un A/J-module et on aun isomorphisme canonique
A/J ⊗A(I)≈(A/J)(I).
Corollaire 9.3.8. Soit Jun id´eal de l’anneau commutatif A.Si Mun A-
module libre, alors A/J ⊗Mest un A/J module libre.
Si Sest une partie multiplicativede l’anneau int`egre A,on note S−1Mle
S−1A-module des fractions de M`a d´enominateurs dans S.C’est le quotient
de M×Spar la relation :
(v,s)∼(v′,s′)↔∃t∈Sts′v=tsv′.
Proposition 9.3.9. On aun isomorphe canonique S−1A⊗M≈S−1M.
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