4 cours vecteurs droites prof
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Chapitre 2 . Vecteurs et droites Vecteurs et droites 1. Rappels sur les vecteurs ( seconde) 1.1 Définition Soient A et B distincts , C et D distincts . Les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑨𝑩 et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑪𝑫 sont égaux lorsque une des propriétés suivantes est vérifiée une même translation transforme A en B et C en D ABDC est un parallélogramme [ AD] et [ BC ] ont même milieu . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ est caractérisé par Pour A ≠ B , le vecteur 𝑨𝑩 sa direction c’est toute droite parallèle à son support ( AB ) son sens c’est le sens de A vers B sa norme c’est la longueur du segment [ AB ] On dit que ( A , B ) est un bi-point représentant le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑨𝑩A est l’origine et B est l’extrémité du vecteur AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Les vecteurs 𝑨𝑩 𝑪𝑫 sont égaux lorsque ils ont même direction , même sens et même norme . Le vecteur nul 0 a son origine confondue avec son extrémité , il n'a ni direction , ni sens , mais une norme nulle . 1.2 Vecteurs opposés : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Ce sont deux vecteurs de même direction et même norme mais de sens opposés : −𝑨𝑩 𝑩𝑨 1.3 Somme de vecteurs Relation de Chasles Règle du parallélogramme Les deux vecteurs sont donnés par des représentants consécutifs Les deux vecteurs sont donnés par des représentants de même origine Relation de Chasles ABDC est un parallèlogramme on peut changer l’ordre des vecteurs 𝑢 ⃗ + 𝑣= 𝑣+ 𝑢 ⃗ (𝑢 on peut regrouper les vecteurs ⃗ +𝑣 ⃗⃗⃗ ) + 𝑤 ⃗⃗ = 𝑢 ⃗ +(𝑣+ 𝑤 ⃗⃗ ) ⃗ = 0 ⃗ +𝑢 l’addition du vecteur nul est « neutre » 𝑢 ⃗ + 0 ⃗ = 𝑢 ⃗ ⃗ l’addition de deux vecteurs opposés est nulle 𝑢 ⃗ + (−𝑢 ⃗ )=(−𝑢 ⃗)+𝑢 ⃗ = 0 1.4Différence de deux vecteurs : ⃗ + (−𝒗 ⃗)=𝒖 ⃗ −𝒗 ⃗ 𝒖 Règle de parenthèse 𝑢 ⃗ −(𝑣 ⃗⃗⃗ + 𝑤 ⃗⃗ ) = 𝑢 ⃗ − 𝑣−𝑤 ⃗⃗ 1.5 Multiplication d’un vecteur par un réel : Soit u un vecteur non nul . Soit k un nombre réel non nul Le vecteur 𝑘𝑢 ⃗ est un vecteur Page 1 sur 5 de même direction que 𝑢 ⃗ de sens identique à celui de 𝑢 ⃗ si k > 0 contraire à celui de 𝑢 ⃗ si k < 0 de norme égale à celle de 𝑢 ⃗ multipliée par k (–k) si k > 0 si k < 0 Chapitre 2 . Vecteurs et droites Si u AB notons k u AC Si k > 0 C sur la demi-droite d’extrémité A contenant B AC = k . AB Cas particuliers Si k < 0 C sur la demi-droite d’extrémité A ne contentant pas B AC = (- k ). AB 1. 𝑢 ⃗ =𝑢 ⃗ (– 1) . 𝑢 ⃗ = –𝑢 ⃗ Si k = 0 on pose , pour tout vecteur 𝑢 ⃗ : 0 .𝑢 ⃗ = ⃗0 Si u = 0 on pose , pour tout réel k , k . ⃗0 = ⃗0 Calculs ( k + k’ ) . u = k . u + k’. u k . ( u+ v) = k .u+ k .v k . ( k’ ) u = ( k . k’ ) . u 2 . Rappels sur les coordonnées de vecteurs . 2.1 Coordonnées d'un vecteur Dans un repère ( O , I , J ) soit u un vecteur , il existe un unique point M tel que OM u Les coordonnées du vecteur u sont les coordonnées du point M tel que OM u OM ( x y ) équivaut à M ( x , y ) OM ( x , y ) ) En posant i = OI et j = OJ ( on écrit aussi x u( ) signifie que y u = OM = x i + y j Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont mêmes coordonnées . 2.2 Coordonnées du vecteur AB , du milieu de [ AB ] : Lorsque A ( xA, yA ) et B ( xB , yB ) , et I milieu de [ AB ] AB ( xB xA yB yA xI ) 2.3 Somme de vecteurs , produit par un réel : Dans un repère du plan on a deux vecteurs u ( a b a a' u+ v ( ) b b' Page 2 sur 5 )et v ( a' b' ) et k et k' deux réels . k u( ka kb ) xA xB 2 yI yA yB 2 Chapitre 2 . Vecteurs et droites a – u ( ) b a a' u– v ( ) k u + k' v ( b b' ka k ' a ' kb k ' b' ) 2.4 Norme La norme du vecteur u = AB est la longueur du segment [ AB ] , on la note Donc u = AB . u = AB = AB En particulier le vecteur nul est le seul vecteur de norme nulle . Dans un repère orthonormé , si u ( u = a² b ² a b AB = AB = ) et si A ( xA, yA ) et B ( xB , yB ) AB ² = AB ²= ( xB – xA) ² + ( yB - ( x B x A )² ( y B y A )² yA ) ² 3. Vecteurs colinéaires 3.1 Définition : Deux vecteurs non nuls sont colinéaires lorsque l'un est le produit de l'autre par un réel non nul c'est à dire lorsqu'ils ont la même direction . Par convention , le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur D'où Deux vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si ou il existe un réel k tel que v = k u. k est le coefficient de colinéarité entre v et u 3.2 Critère de colinéarité Les vecteurs u ( a b ) et v ( a' b' ) sont colinéaires si et seulement si ab' – a'b = 0 C'est le critère de colinéarité . 3.3 Alignement , parallélisme : Soient A B et C D A , B , C sont alignés si et seulement si AB et AC colinéaires (AB) et ( CD) sont parallèles si et seulement si AB et CD colinéaires Ecrire un algorithme qui permette de tester l'alignement de trois points distincts ou non . 4 . Caractérisation analytique d'une droite . 4.1 Vecteur directeur : u est un vecteur directeur d'une droite d s'il existe deux points distincts A et B de la droite tels que u = AB Cela équivaut à u vecteur non nul qui possède la même direction que d . Un vecteur Tout droite possède une infinité de vecteurs directeurs , tous colinéaires . Deux droites sont parallèles si et seulement si deux de leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires . 4.2 Equation cartésienne : Soit d une droite contenant A ( xA ; yA ) et admettant u ( α ; β ) comme vecteur directeur . Page 3 sur 5 Chapitre 2 . Vecteurs et droites M ( x ; y ) appartient à d si et seulement si AM et u sont colinéaires . En utilisant le critère de colinéarité on obtient ( x – xA ) . β – ( y – yA ) . α = 0 ce qui après développement donne une éqution du type ax + by + c = 0 où a = β et b = – α C'est une équation cartésienne de la droite d . Réciproquement , l'ensemble des points M ( x ; y ) du plan tels que ax + by + c = 0 , où ( a , b ) ≠ ( 0 , 0 ) est une droite de vecteur directeur ( – b ; a ) Cas particuliers b = 0 droite parallèle à l'axe des ordonnées , équation du type x = k a = 0 droite parallèle à l'axe des abscisses , équation du type y = k b ≠ 0 l'équation peut se mettre sous la forme y = mx + p ( équation réduite ) b = 0 et a ≠ 0 a = 0 et b ≠ 0 by + c = 0 a ≠ 0 et b ≠ 0 et c = 0 ax + by = 0 a ≠ 0 et b ≠ 0 et c ≠ 0 ax + by + c = 0 équation cartésienne ax + c = 0 équation se mettant sous la forme x=k y=k y = mx y = mx + p admettant pour vecteur directeur j (0;1) i (1;0) u(1;m) u(1;m) graphique droite " verticale " droite "horizontale" droite passant par l'origine de pente m montante si m>0 descendante si m<0 droite passant par A ( 0 ; p ) de pente m montante si m>0 descendante si m<0 4.3 Parallélisme , intersection de deux droites : Soit d d'équation cartésienne ax + by + c = 0 , donc de vecteur directeur u ( – b ; a ) Soit d' d'équation cartésienne a'x + b'y + c' = 0 , donc de vecteur directeur u '( – b' ; a' ) 4.3.1 Parallèlisme d et d' sont parallèles si et seulement si " " " " " " " u et u ' sont colinéaires " a b' – a' b = 0 Remarque : si d et d' sont données par des équations réduites y = mx + p et y = m' x + p' , on a d et d' sont parallèles si et seulement si m = m' 4.3.2 Droites sécantes d et d' sont sécantes si et seulement si a b' – a' b ≠ 0 Les coordonnées de leur point d'intersection sont obtenues en résolvant le système 5. Décomposition de vecteurs . Base du plan 5.1 Décomposition géométrique Soient A , B , C trois poins non alignés . Soit M et M' donnés . Page 4 sur 5 ax + by = – c a'x + b'y = – c' Chapitre 2 . Vecteurs et droites On construit le parallèlogrammes APMQ . D'après la règle du parallèlogramme AP + AQ = AM Or AP et AB sont colinéaires , il existe donc un réel α tel que AP = α AB . De même AQ et AC sont colinéaires , il existe donc un réel β tel que AQ = β AC d'où AM = α AB + β AC Voir la construction analogue pour M ' . AP' + AQ' = AM' sur l'exemple AM = 6/5 AB + 7/4 AC AM' = – 4/5 AB + 5/4 AC On dit qu'on a décomposé le vecteur AM par rapport aux vecteurs AB et AC . ( AB , AC ) est appelée base de vecteurs et ( α , β ) est le couple des coordonnées du vecteur AM dans cette base . ( α , β ) est aussi le couple des coordonnées du point M dans le repère (A , AB , AC ) ( axes obliques ) Ce couple est unique et caractérise donc le vecteur AM ou le point M . 5.2 Définition : Plus généralement ,on appelle base du plan tout couple de deux vecteurs non colinéaires ( e1 , e 2 ) . Tout vecteur u du plan peut alors s'exprimer comme une somme de deux vecteurz colinéaires à e1 ou e 2 , c'est à dire , il existe des réels α et β tels que u = α e1 + β e 2 Ce couple de réels est unique . On dit que u s'écrit comme combinaison linéaire de e1 et e 2 . Le couple ( α ; β ) est le couple des coordonnées de u dans la base ( e1 , e 2 ) Page 5 sur 5
