4 cours vecteurs droites prof

Chapitre 2 . Vecteurs et droites
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Vecteurs et droites
1. Rappels sur les vecteurs ( seconde)
1.1 Définition
Soient A et B distincts , C et D distincts .
Les vecteurs  et  sont égaux lorsque une des propriétés suivantes est vérifiée
une même translation transforme A en B et C en D
ABDC est un parallélogramme
[ AD] et [ BC ] ont même milieu .
Pour A ≠ B , le vecteur  est caractérisé par
sa direction c’est toute droite parallèle à son support ( AB )
son sens c’est le sens de A vers B
sa norme c’est la longueur du segment [ AB ]
On dit que ( A , B ) est un bi-point représentant le vecteur  A est l’origine et B est l’extrémité du vecteur
AB
Les vecteurs  et  sont égaux lorsque ils ont même direction , même sens et même norme .
Le vecteur nul
0
a son origine confondue avec son extrémité , il n'a ni direction , ni sens , mais une norme nulle .
1.2 Vecteurs opposés :
Ce sont deux vecteurs de même direction et même norme mais de sens opposés : 
1.3 Somme de vecteurs
Relation de Chasles
Règle du parallélogramme
Les deux vecteurs sont donnés par des
représentants consécutifs
Les deux vecteurs sont donnés par des représentants de
même origine
Relation de Chasles
ABDC est un parallèlogramme
on peut changer l’ordre des vecteurs 
on peut regrouper les vecteurs 
l’addition du vecteur nul est « neutre » 
l’addition de deux vecteurs opposés est nulle  =
1.4Différence de deux vecteurs :
Règle de parenthèse 
1.5 Multiplication d’un vecteur par un réel :
Soit
u
un vecteur non nul . Soit k un nombre réel non nul
Le vecteur 
est un vecteur de même direction que 
de sens identique à celui de 
si k > 0
contraire à celui de 
si k < 0
de norme égale à celle de 
multipliée par k si k > 0
(–k) si k < 0

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Si
ABu
notons
ACuk 
Si k > 0
Si k < 0
C sur la demi-droite d’extrémité A contenant B
AC = k . AB
C sur la demi-droite d’extrémité A ne contentant pas B
AC = (- k ). AB
Cas particuliers 1. =  (– 1) . = – 
Si k = 0 on pose , pour tout vecteur  : 0 . = 
Si
u
=
0
on pose , pour tout réel k , k .  = 
Calculs
( k + k’ ) .
u
= k .
u
+ k’.
u
k . (
u
+
v
) = k .
u
+ k .
v
k . ( k’ )
u
= ( k . k’ ) .
u
2 . Rappels sur les coordonnées de vecteurs .
2.1 Coordonnées d'un vecteur
Dans un repère ( O , I , J )
soit
u
un vecteur , il existe un unique point M tel que
uOM 
Les coordonnées du vecteur
u
sont les coordonnées du point M tel
que
uOM 
OM
(
y
x
) équivaut à M ( x , y ) ( on écrit aussi
OM
( x , y ) )
En posant
i
=
OI
et
j
=
OJ
u
(
y
x
) signifie que
u
=
OM
= x
i
+ y
j
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont mêmes coordonnées .
2.2 Coordonnées du vecteur
AB
, du milieu de [ AB ] :
Lorsque A ( xA, yA ) et B ( xB , yB ) , et I milieu de [ AB ]
AB
(
AB
AB yy
xx
)
2xx
xBA
I
2yy
yBA
I
2.3 Somme de vecteurs , produit par un réel :
Dans un repère du plan
on a deux vecteurs
u
(
b
a
) e t
v
(
'b
'a
) et k et k' deux réels .
u
+
v
(
'bb
'aa
)
k
u
(
kb
ka
)

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–
u
(
b
a
)
u
–
v
(
'bb
'aa
)
k
u
+ k'
v
(
'b'kkb
'a'kka
)
2.4 Norme
La norme du vecteur
u
=
AB
est la longueur du segment [ AB ] , on la note
u
=
AB
.
Donc
u
=
AB
= AB
En particulier le vecteur nul est le seul vecteur de norme nulle .
Dans un repère orthonormé , si
u
(
b
a
) et si A ( xA, yA ) et B ( xB , yB )
u
=
²b²a 
AB
= AB =
)²yy()²xx( ABAB 
AB
² = AB ²= ( xB – xA) ² + ( yB -
yA ) ²
3. Vecteurs colinéaires
3.1 Définition :
Deux vecteurs non nuls sont colinéaires lorsque l'un est le produit de l'autre par un réel non nul c'est à dire
lorsqu'ils ont la même direction .
Par convention , le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur
D'où
Deux vecteurs
u
et
v
sont colinéaires si et seulement si ou il existe un réel k tel que
v
= k
u
.
k est le coefficient de colinéarité entre
v
et
u
3.2 Critère de colinéarité
Les vecteurs
u
(
b
a
) et
v
(
'b
'a
) sont colinéaires si et seulement si ab' – a'b = 0
C'est le critère de colinéarité .
3.3 Alignement , parallélisme :
Soient A  B et C  D
A , B , C sont alignés si et seulement si
ACet AB
colinéaires
(AB) et ( CD) sont parallèles si et seulement si
CDet AB
colinéaires
Ecrire un algorithme qui permette de tester l'alignement de trois points distincts ou non .
4 . Caractérisation analytique d'une droite .
4.1 Vecteur directeur :
Un vecteur
u
est un vecteur directeur d'une droite d s'il existe deux points distincts A et B de la droite
tels que
u
=
AB
Cela équivaut à
u
vecteur non nul qui possède la même direction que d .
Tout droite possède une infinité de vecteurs directeurs , tous colinéaires .
Deux droites sont parallèles si et seulement si deux de leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires .
4.2 Equation cartésienne :
Soit d une droite contenant A ( xA ; yA ) et admettant
u
( α ; β ) comme vecteur directeur .

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M ( x ; y ) appartient à d si et seulement si
AM
et
u
sont colinéaires .
En utilisant le critère de colinéarité on obtient ( x – xA ) . β – ( y – yA ) . α = 0
ce qui après développement donne une éqution du type ax + by + c = 0 où a = β et b = – α
C'est une équation cartésienne de la droite d .
Réciproquement ,
l'ensemble des points M ( x ; y ) du plan tels que ax + by + c = 0 , où ( a , b ) ≠ ( 0 , 0 ) est une droite de
vecteur directeur ( – b ; a )
Cas particuliers b = 0 droite parallèle à l'axe des ordonnées , équation du type x = k
a = 0 droite parallèle à l'axe des abscisses , équation du type y = k
b ≠ 0 l'équation peut se mettre sous la forme y = mx + p ( équation réduite )
4.3 Parallélisme , intersection de deux droites :
Soit d d'équation cartésienne ax + by + c = 0 , donc de vecteur directeur
u
( – b ; a )
Soit d' d'équation cartésienne a'x + b'y + c' = 0 , donc de vecteur directeur
u
'( – b' ; a' )
4.3.1 Parallèlisme
d et d' sont parallèles si et seulement si
u
et
u
' sont colinéaires
" " " " " " " " a b' – a' b = 0
Remarque : si d et d' sont données par des équations réduites y = mx + p et y = m' x + p' , on a
d et d' sont parallèles si et seulement si m = m'
4.3.2 Droites sécantes
d et d' sont sécantes si et seulement si a b' – a' b ≠ 0
Les coordonnées de leur point d'intersection sont obtenues en résolvant le système ax + by = – c
a'x + b'y = – c'
5. Décomposition de vecteurs . Base du plan
5.1 Décomposition géométrique
Soient A , B , C trois poins non alignés . Soit M et M' donnés .
b = 0 et a ≠ 0
a = 0 et b ≠ 0
a ≠ 0 et b ≠ 0 et c
= 0
a ≠ 0 et b ≠ 0 et c
≠ 0
équation cartésienne
ax + c = 0
by + c = 0
ax + by = 0
ax + by + c = 0
équation se mettant
sous la forme
x = k
y = k
y = mx
y = mx + p
admettant pour
vecteur directeur
j
( 0 ; 1 )
i
( 1 ; 0 )
u
( 1 ; m )
u
( 1 ; m )
graphique
droite " verticale "
droite "horizontale"
droite passant par
l'origine de pente m
montante si m>0
descendante si m<0
droite passant par
A ( 0 ; p ) de pente
m montante si m>0
descendante si m<0

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On construit le
parallèlogrammes
APMQ .
D'après la règle du parallèlogramme
AP
+
AQ
=
AM
Or
AP
et
AB
sont colinéaires , il existe donc un réel α tel que
AP
= α
AB
.
De même
AQ
et
AC
sont colinéaires , il existe donc un réel β tel que
AQ
= β
AC
d'où
AM
= α
AB
+ β
AC
Voir la construction analogue pour M ' .
'AP
+
'AQ
=
'AM
sur l'exemple
AM
= 6/5
AB
+ 7/4
AC
'AM
= – 4/5
AB
+ 5/4
AC
On dit qu'on a décomposé le vecteur
AM
par rapport aux vecteurs
AB
et
AC
.
(
AB
,
AC
) est appelée base de vecteurs et ( α , β ) est le couple des coordonnées du vecteur
AM
dans cette base .
( α , β ) est aussi le couple des coordonnées du point M dans le repère (A ,
AB
,
AC
) ( axes obliques )
Ce couple est unique et caractérise donc le vecteur
AM
ou le point M .
5.2 Définition :
Plus généralement ,on appelle base du plan tout
couple de deux vecteurs non colinéaires
(
1
e
,
2
e
) .
Tout vecteur
u
du plan peut alors s'exprimer comme
une somme de deux vecteurz colinéaires à
1
e
ou
2
e
,
c'est à dire , il existe des réels α et β tels que
u
= α
1
e
+ β
2
e
Ce couple de réels est unique .
On dit que
u
s'écrit comme combinaison linéaire
de
1
e
et
2
e
.
Le couple ( α ; β ) est le couple des coordonnées de
u
dans la base (
1
e
,
2
e
)