IME-DT 91-12

INSTITUT DE MATHEMATIQUES ECONOMIQUES
LATEC C.N.R.S. URA 342
DOCUMENT de TRAVAIL
UNIVERSITE DE BOURGOGNE
FACULTE DE SCIENCE ECONOMIQUE ET DE GESTION
4, boulevard Gabriel
-
21000 DIJON - Tél. 80395430
ISSN
:
0292-2002
-
Fax 80395648
9112
L ’ADEQUATION ENTRE L ’ESPACE PHYSIQUE ET L ’ESPACE
ECONOMIQUE MULTICENTRIQUE DANS LES
PROBLEMES DE LOCALISATION
Catherine MAURICE-BAUMONT*
octobre 1991
* Maître de Conférences à l'ENSSAA, Chercheur à l’I.M.E.
RESUME :
L ’espace économique multicentrique utilisé dans les m o d è l e s de
localisation et
l ’espace physique où
les agents
se
localisent
réellement ne sont pas symétriques. Ce problème s ’avère crucial lorsque
la localisation optimale donnée p a r le modèle m a t h é m a t i q u e n ’est pas
localisable dans l’espace réel. Mais, si on admet que la l o c a lisation
optimale peut appartenir plus ou moins à une f o n ction d e d e m a n d e de
localisation, on peut résoudre cette question. Le concept de f o n c t i o n
de d e m ande de localisation floue est alors défini puis illustré.
SUMMARY :
Lo c a t i o n models are constructed in mathematical e c o n o m i c spaces
whereas people locate themselves in real or physical spaces.
If
economic spaces are multicentric ones, their p r operties are diffe r e n t
from physical spaces. Whe say that these two spaces are not symmetric.
Hence, mathematical location model can lead to an optimal location
solution w h i c h d o e s n ’t exist in physical space. But, if w e admitt that
an optimal location solution owns more or less to a f u n c t i o n of dem a n d
of location, we can resolve this question. Then, fuzzy d e m a n d f u n c tions
of location are d e fined in multicentric spaces and an i l l u s t r a t i o n of
this concept is presented.
Mots clés : espace économique, espace physique,
floue de localisation, fonction d ’appartenance.
f o n c t i o n de
dema n d e
L’
AD E Q U A T I O N ENTRE L ’
ESPACE PHYSIQUE ET L ’
ESPACE E C O N O M I Q U E
M U L T I CENTRIQUE DANS LES PROBLEMES DE L O C A L I S A T I O N
par
Catherine MAURICE-BAUMONT
Maître-Assistant ENSSAA
Chercheur IME-LATEC
L ’analyse des choix de localisations dans les esp a c e s urbains
multicentriques révèle,
suivant
la terminologie e m p l o y é e
par Y.
PAPAGEORGIOU [1976], que 1 ’
espace physique des localisations (celui sur
lequel nous évoluons) et l’espace économique des choix de localisations
(c’est
celui
de
la représentation économique
des
localisations
physiques) ne sont pas symétriques.
En d ’autres termes,
ce qui
représente une règle de description de l’organisation s p atiale et de
choix de
localisation dans
le second espace
où
les
décisions
économiques sont définies et prises, ne correspond pas forcément à la
description spatiale ni à la règle de localisation réelle dans le
premier espace où les individus devront pourtant
trouver à se
localiser.
L ’examen des fonctions de demande de localisation p e r m e t néanmoins
de trouver un m o y e n de réconcilier ces deux espaces. Il faut pour cela
travailler directement dans l’espace physique tout e n continuant à
attribuer à chaque localisation son contenu économique. O n est ainsi
amené à définir des courbes de demande de l o c alisation épaisses
construites à partir d ’
une conception floue du calcul économiq ue
spatial des agents.
On montre ensuite comment l ’
u t i l i s a t i o n des
demandes de localisation floues peut conduire à la d é t e r m i n a t i o n d ’une
localisation optimale pour les agents et quelle place t h éorique on peut
réserver à cette démarche en analyse spatiale.
Dans un premier temps, nous présenterons le pr o b l è m e de la non
symétrie entre l ’espace physique et l ’espace économique. D e u x aspects
seront analysés : la non symétrie pour la description des localisations
d’
une part, et la non symétrie dans les problèmes é c o n o m i q u e s de
localisation d ’autre part. Dans un second temps, nous p r o p o s e r o n s une
méthode de résolution de ces problèmes.
Nous p r é s e n t e r o n s alors
quelques réflexions, visant à replacer notre solution da n s u n cadre
théorique plus général.
I - PRESENTATION DU PROBLEME
1.1 Définitions
Un espace physique,
noté
(PAPAGEORGIOU,
[1976]),
est un
ensemble fermé et connexe de localisations û . On peut le représenter
par un plan où la position de chaque point est donnée, par exemple, par
un couple de coordonnées (x;y) dans un repère { 0; (0, x] ; (0; y ] >. Il est
associé à une fonction distance. Concrètement, c ’
est l ’espace sur
lequel nous évoluons.
U n es p a c e multicentrique est un espace physique organisé autour
d ' u n n o mbre fini de centres économiques dont les p o s itions dans
l ’espace sont connues. D'un point de vue purement spatial, un centre
est un sous e n s e m b l e de l'espace if. On suppose qu'il y en à n.
O n peut se référer à une organisation multicentrique hiérarchisée,
à la L ö s c h ou à la Christaller,
(PAPAGEORG IOU,
[1971],
[1976],
P A P A G E O R G IOU et CASETTI, [1971]) ou non (BAUMONT, [1990]).
U n e s p a c e économique, noté S, (PAPAGEORGIOU,
[1976]), est une
d e s c r i p t i o n fo n c t i o n n e l l e de l'espace physique. En particulier, chaque
l o c a l isation a de l'espace physique peut être maintenant rapportée à
l ' o r g a n i s a t i o n multicentrique de l'espace. On notera s une localisation
de l'espace économique. Elle sera repérée par un vecteur de distances :
les n d i s t a n c e s séparant la localisation des n centres économiques.
L' e s p a c e é c o n o m i q u e est une représentation abstraite de l'espace
physique. C'est l'espace utilisé dans les modèles.
A p p l i q u é e aux espaces urbains, ces définitions supposent que
"l'espace é c o n o m i q u e contient la structure urbaine abstraite, tandis
q ue l'espace p h y s i q u e contient la m a nifestation spat i a l e de cette
s t r u c t u r e u r b a i n e " (PAPAGEORGIOU, [1976], p 425).
1.2. Le p r o b l è m e de non symétrie
L or s q u e l'on construit un modèle de localisation, on caractérise,
généralement, l'espace physique par certaines hypothèses, tandis que
les s o lutions sont recherchées dans l'espace économique. Or, ces deux
e spaces
ne
sont
pas
comparables.
Ainsi,
l'espace
économique
multicentrique
apparaît
ordonné,
tandis
que
l'espace
physique
corre s p o n d a n t
ne
l'est pas de la même manière.
Dès
lors,
les
c o n c l u s i o n s g é n é r a l e s auxquelles le modèle aboutit n'ont pas toujours
de
c o r r e s p o n d a n c e dans la structure particulière que
représente
l'espace physique.
Ces p h é n o m è n e s de non correspondance directe entre les deux
e s paces sont r e g r o u p é s sous le terme de non-symétrie, b i e n qu'ils ne
s'agisse pas toujours à proprement parler d'une absence de symétrie.
Toutefois, n o u s conserverons cette appellation car elle permet de
s ynth é t i s e r l'e n s e m b l e des divergences que nous avons mis en évidence
entre les d e u x espaces.
D e u x sortes de non symétrie peuvent être mises en évidence si on
p r i v i l é g i e l'aspect simplement spatial des deux espaces ou si on
s ' i n t éresse é g a l e m e n t à leurs rôles dans le choix d'une localisation
optimale.
1.2.1. L a position des localisations
Dans l'espace physique, il existe une bijec t i o n entre l'ensemble
des lo c a l i s a t i o n s et l'ensemble des couples de coordonnées (x;y)
déf i n i s
précédemment.
Par
contre,
dans
l'espace
économique
multicentrique, on peut associer à deux localisations diffé r e n t e s le
même v e c teur de distances, comme l'illustre le g r a phique (1).
oci
--------------
o
V -
(î i . J j ) '
Graphique (1)
Source
: PAPAGEORGIOU
[1976],
p 430
Par ailleurs, si à chaque localisation de l ’e s pace physique on
peut associer u n vecteur de distances,
la r é ciproque n ’est pas
vérifiée.
Le g r aphique
(2) montre que la localisation s de l ’espace
économique multicentrique définie par le vecteur [ d
; d
; d
]
n ’existe pas dans l ’espace physique.
1
2
3
Graphique (2)
En effet, les trois cercles symbolisant toutes les localisations
situées r e s p e c t i v e m e n t aux distances d^ , d et d^ des centres C , C ^
et C 3 n ’ont pas de point d ’intersection.
Il n ’
y a pas de localisation û
c o r r e s p o n d a n t à s. Ainsi, dans l’espace économique,
les distances
c o n s t ituant le v e c t e u r de localisation peuvent être indépendantes les
unes des autres, tandis que dans l’espace physique, elles doivent être
c o m p a t i b l e s ent r e elles. Intuitivement, on explique ce phénomène par
l ’abs e n c e de c o n v e x i t é dans l’
espace économique multicentrique.
Enfin,
PAPAGEORGIOU
[1976],
insiste
sur
la
signification
d i f f é r e n t e d ’une variation de localisation, par rapport à un seul
centre économique, dans les deux espaces. Il montre q u ’une variation
infinit é s i m a l e des coordonnées d ’
un point dans l ’espace physique ne
c o r r e s p o n d pas forcément à une variation infinitésimale d ’
une des
co m p o s a n t e s d u v e c t e u r dans l’
espace économique multicentrique. En
particulier, la correspondance entre les deux espaces dis p a r a î t dès que
le n o m b r e de cen t r e s économiques est supérieur à 2 (Graphiques (3) et
(4)).
G r a p h i q u e (3)
Variation marginale
de la localisation
S ource
: PAPAGEORGIOU
[1976],
Graphique (4)
Variation non m a r g i n a l e
de la l o c a li s at io n
p 430
O n re m a r q u e effectivement que le passage de
la l o c a l i s a t i o n &
la l o c a l isation
û
à
(figure 3) correspond à une v a r i a t i o n infinitésimale
de la l o c a l i s a t i o n dans les deux espaces. Par contre, ce n ’est plus le
cas dès que l ’on ajoute un troisième centre (figure 4). Une variation
i nfin i t é s i m a l e de la distance par rapport au centre 1 ne correspond
plus à une v a r i a t i o n infinitésimale de la localisation (passage de ^ à
). De même,
de ^
à
une variation infinitésimale de la locali s a t i o n (passage
) ne correspond plus à une simple var i a t i o n d u vecteur des
distances par rapport au seul centre 1.
En résumé, s* il est toujours possible de passer du c o n t e n u spatial
de l ’espace physique à celui de l ’espace économique, l ’inverse n ’est
pas garanti.
Remarque : ce problème de non symétrie n ’
existe pas e n t r e l ’espace
p hysique et l ’
espace économique monocentrique. En effet, sur le plan
mathématique, la représentation de l ’
espace économique mul t i c e n t r i q u e
et celle de l ’espace physique sont équivalente dès lors que le centre
économique est placé à l’orifgine du repère mathématique. De là, il est
toujours
possible
de
caractériser
une
localisation
de
l’
espace
économique dans l ’espace physique.
1.2.2.
le choix d ’
une localisation optimale
D’
une façon générale, on définira le problème de la recherche
d’
une localisation optimale dans un espace m u l t i c e n t r i q u e comme la
recherche d ’
une position optimale par rapport à tous les centres
économiques. On supposera q u ’il y en a n. Ils seront repérés par
l ’indice k, tandis que les localisations seront indicées i.
Le calcul
économique de
l ’agent est réalisé d a n s
l ’espace
économique. Il s ’agit de maximiser une fonction d ’
u t i l i t é de résidence
au lieu i, notée
sous une contrainte budgétaire s p a t i a l i s é e R.
En toutes généralités, on posera :
U
i
= u [L, 2, D
R = pl
L + pz
i
ik
l1
Z + pt
i
avec : L : nombre d ’
unités de service résidentiel consommées.
: Z : nombre d ’
unités de bien composite consommées.
: D
: distance du lieu de localisation i au centre économ i q u e k.
: pl^ : prix du sol (ou plus généralement du ser v i c e résidentiel)
au
lieu de
localisation
i
(on suppose que
ce
prix
est
une
f onction de tous les centres économiques de l ’esp a c e et que la
distri b u t i o n spatiale des prix du sol est donnée de f a ç o n exogène).
: pz^ : prix du bien composite en i.
: pt^ : coût de transport supporté en i. Il c o mprend à la fois les
coûts des d é placements pour se rendre sur un lieu de
pour le motif de consommation.
travail
et ceux
: R : revenu de l ’
agent.
La
signifie
pri s e
que
localisation
économiques k.
i
en
compte
des
variables
l ’agent
est
capable
en
fonction
de
D
ik
d ’exprimer
sa
position
dans
des
par
la
fonction
préférences
rap p o r t
d ’utilité
pour
a ux
une
centres
La r é s o l u t i o n du problème nous amène à définir des fonctions de
d e m a n d e de l o c a l i s a t i o n que l’on peut exprimer de la f a çon suivante :
dL ■
fk (pl, ; pz. ; pti : R )
Comme toute fonction traditionnelle de demande, les fonctions de
d e m a n d e de locali s a t i o n sont liées à une structure de préférence
donnée. O n peut alors supposer que la structure de p r é f é r e n c e comprend
des p r é f é r e n c e s spatiales pour 1 ’
éloignement ou la pro x i m i t é des
cent r e s é c o n o m i q u e s (BAUMONT [1990]) ou non.
En u t i l i s a n t
les fonctions de demande f^ , on peut
matérialiser
l 'ense m b l e des localisations optimales par rapport à chaque centre
é c o n o m i q u e k, p o u r un système de prix et de revenu donné. O n obtient un
e n s e m b l e de cer c l e s solutions comme pour le problème précédent.
O n met en é v i dence le problème de non symétrie des localisations
de l ’espace é c o n o m i q u e vers celles de l ’espace physique, mais, on
m o n t r e é g a l e m e n t q u ’un autre effet de non symétrie apparaît maintenant,
des l o c a l i s a t i o n s de l ’espace physique à celles de l ’e s pace économique.
Le g r a p h i q u e ci-dessous en apporte l ’illustration.
O n a r e p r é s e n t é trois centres économiques et les c e r cles solutions
c o r r e s p o n d a n t s po u r un système de prix donné et pour un nive a u R de
r e v e n u fixé.
Graphique (5)
La
localisation
A appartient
aux deux
esp a c e s
p u i s q u ’elle
s atisfait à la fois le système de demande et q u ’elle c o r r e s p o n d à une
l o c a l i s a t i o n ré e l l e de l ’
espace physique.
L ’e n s e m b l e des cercles en pointillés représente une localisation
de l ’espa c e économique, non réalisable dans l ’espace p h y s i q u e puisque
les cercles s o l u t i o n s ne présentent pas de point d* intersection. On
d i r a que cette localisation est de type B.
La l o c a l i s a t i o n C appartient à l ’espace ph y s i q u e mais pas à
l ’espa c e é c o n o m i q u e puisque les distances qui la séparent des centres
é c o n o m i q u e s ne peuvent être "achetées" par le revenu R, le système des
prix étant donné (on pourrait aussi suppposer que ces d i s t ances ne
représentent pas le même prix de service résidentiel en i toutes choses
égales par ailleurs). Par exemple, cela signifie que si on achète x
unités de localisation pour atteindre le centre 1 et y unités de
localisation pour atteindre le centre 2, alors il ne restera pas
suffisamment de revenu pour acheter les z unités de l o c a l i s a t i o n entre
C et le centre 3.
En d ’autres termes, si on peut toujours carac t é r i s e r la position
de n ’importe quelle localisation de l ’
espace physique pa r u n vecteur de
distances dans l ’espace économique, cela n ’est plus p o s s i b l e dès que
l’
on raisonne en termes de contenu économique des localisations. Les
localisations de type C sont des localisations qui ne p o u r r o n t jamais
appartenir à u n système de demande de localisation. E l l e s ne sont pas
optimales. On voit donc que la totalité de l’
espace p h y s i q u e ne peut
répondre au problème du choix de localisation résidentiel car il existe
des localisations qui ne peuvent pas faire partie d ’u n système de
demande pour le consommateur.
Finalement,
on peut distinguer deux types de l o c a l i s a t i o n s :
■ les localisations symétriques qui appartiennent aux d e u x espaces,
quel que soit le problème traité. Ce sont les l o c a l isations de type A,
ou plus généralement, toutes les localisations é c o n o m i q u e s dont la
forme vecto r i e l l e ne comprend que des distances c o m p a t i b l e s avec les
positions des centres dans l’espace physique.
■ les localisations a-symétriques qui appartiennent à l ’u n ou à l ’autre
des espaces, soit parce q u ’
elles existent dans l ’
espace é c o n o m i q u e mais
pas
dans
l ’espace
physique
(localisation de
type
B
ou,
plus
généralement,
toutes les localisations économiques do n t
la forme
vectorielle est incompatible avec les positions de s centres dans
l ’espace physique),
soit parce q u ’elles appartiennent à l ’espace
physique mais pas à l ’espace économique (localisation de type C dont le
contenu é c o nomique n ’a pas de sens dans l ’espace économique).
Si en formulant un modèle de choix de localisation, les structures
spatiales des prix étant données de façon exogène,
les solutions
obtenues
sont
des
localisations
a-symétriques,
alors
le
modèle
n ’apporte pas de solution. Il faut donc s ’intéresser a u x localisations
a-symétriques e.t proposer un moyen de les réconcilier.
II R E S O L U T I O N D U PROBLEME
Intuitivement, le problème posé est celui de f a ire coïncider une
"offre" de localisations, c ’est-à-dire un ensemble de localisations
réelles dont les prix d ’
achat (l’ensemble des prix pz, pl et pt) sont
donnés de f a ç o n exogène; c ’est l’espace physique, à u n e demande de
localisations formulée dans l’espace économique.
Pour réconcilier les supports de l’
offre et de la demande, il
faut, pour reprendre la terminologie employée par P A P A G E O R G I O U [1976],
retrouver dans l ’espace physique l ’ordre qui existe d a n s l ’espace
économique. E n d ’autres termes, l ’ordonnancement des l o c a l i s a t i o n s fait
à partir d ’
hypothèses économiques
ne peut pas
ne
pas
exister
réellement,
et nous nous en rendons compte p u i s q u e
les agents
économiques
réussissent
à se
localiser,
compte
tenu
de
leurs
contraintes économiques.
La mét h o d e que nous proposons ici est basée sur l ’examen des
f o n ctions de d e m a n d e de localisation, c ’
est-à-dire sur les conditions
d ’o p t i m a l i t é de "consommation de localisation"
compte tenu d ’
une
c o ntrainte budgétaire.
2.1. L ’e x a m e n des fonctions de demande
Pour
c h aque
niveau de revenu,
les quantités
deman d é e s
de
"localisation"
par
rapport à l ’
ensemble des centres
économiques
r e p résentent la po s i t i o n économique de la localisation optimale. Dans
l ’espace physique, cette position est trouvée en prenant l ’intersection
de n cercles c e ntrés sur les n centres économiques. Or, d ’
une manière
générale,
l ’intersection de n cercles est vide.
La localisation
op t i m a l e est généra l e m e n t de type B.
L ’idée est alors la suivante : si les ensembles de solutions
étaient plus larges (surfaces circulaires au lieu de cercles), on
augmen t e r a i t
les
chances de
trouver des
localisations
à
leurs
intersections. A la limite, l ’
ensemble de l ’espace ph y s i q u e pourrait
être recouvert par des surfaces optimales, se chevauchant plus ou
moins. Ainsi, c h aque localisation de type C de l ’
espace p h y s i q u e aurait
u n con t e n u é c o n o m i q u e : elle pourrait être considérée comme plus ou
m o i n s o p t i m a l e au regard de la localisation optimale de type B. .
Le p r o b l è m e est de donner une signification écon o m i q u e à cette
s o u s - o p t i m a l i t é et donc à 1’"épaississement" des cercles solutions.
2.1.1. Des demandes de localisation épaisses
Pour b i e n signifier ce que nous entendons par d em a n d e
l o c a l i s a t i o n épaisse, nous allons rappeler quelques définitions.
de
D ans l ’es p a c e économique des biens, les fonctions de demande
e xpriment une relation, à l ’
optimum, entre la quantité d e m a n d é e du bien
et des v a r i a b l e s explicatives telles que le prix de ce bien, le prix
des autres bi e n s liés et le revenu. La courbe de d e m a n d e est une
relation, à l ’optimum, entre les quantités demandées d u b i e n et les
d i f f é r e n t s n i v e a u x de son prix, toutes choses égales par a i l l e u r s .
D ans l ’e s p a c e économique monocentrique, la courbe de demande de
l o c a l i s a t i o n m o n o c e n t r i q u e relie une distance optimale, entre un lieu
et le centre é c o n o m i q u e (c’
est la "quantité" de l o calisation demandée),
et le prix d u service résidentiel en ce lieu. Graphiquement, la courbe
de d e m a n d e de localisation est une surface, puisque, pour chaque niveau
de prix, tout u n ensemble de localisations, é q uidistantes d u centre,
sont optimales.
Dans l ’e s p a c e économique multicentrique, on ap p e l e r a courbe de
d e m a n d e de l o c a l i s a t i o n unicentrique, la courbe de d e m a n d e par rapport
à un seul c e n t r e économique et courbe de demande de localisation
m u l t i c e n t r i q u e la courbe de demande par rapport à l ’ensemble des
centres.
Il y a autant de courbes de demande de
localisation
u n i c e n t r i q u e s q u ’il y a de centres économiques. Si la f o n c t i o n de prix
de service r é sidentiel varie, alors l ’ensemble des q u a n t i t é s demandées
de l o c a l i s a t i o n varie. Autrement dit, le prix du service résidentiel en
un
lieu
dépend
de
l ’influence
conjointe
de
tous
les
centres
économiques. Les courbes de demande de localisation unicent r i q u e s ne
sont pas indépen d a n t e s les unes des autres.
La courbe de demande de localisation multicentrique est obtenue à
partir des courbes de demande unicentriques en a t t r i b u a n t à chaque
niveau de pr i x de service résidentiel,
toutes ch o s e s égales par
ailleurs, une localisation repérée par le vecteur des qua n t i t é s de
localisation unicentriques correspondantes.
Nous avons montré, que dans l ’espace physique, à d e u x dimensions,
une telle courbe de demande ne pouvait être représentée.
Quel que soit l ’
espace économique traité, si une de s composantes
de la condition "toutes choses égales par ailleurs" change, alors on a
un déplacement des courbes de demande,
c’
e s t-à-dire q u ’elles se
modifient graphiquement.
Pour un n i v e a u de prix donné et plusieurs m o d i f i c a t i o n s de revenu,
par exemple, on obtient plusieurs valeurs D ■soit p l u s i e u r s cercles de
localisations optimales pour le centre économique k.
A la limite, pour une variation continue de l ’é l é m e n t "toute
choses égales par ailleurs", la surface de demande d e v i e n t épaisse et
par conséquent, pour un niveau de prix de service ré s i d e n t i e l donné, on
passe d ’
un cercle de localisations optimales à une s u r f a c e circulaire
de localisations optimales. C ’
est ce que nous appelons une dem a n d e de
localisation épaisse.
Graphique (6)
Finalement,
l ’espace
économique
multicentrique
peut
être
recouvert, pour une structure spatiale des prix de ser v i c e résidentiel
donnée, par un ensemble de demandes de localisation un i c e n t r i q u e s
épaisses.
On peut attribuer à chaque localisation de l ’es p a c e p h y s i q u e une
signification économique en termes de demande : en fonction de sa
position par rapport à chaque centre, elle traduira un
variation de l'élément "toutes choses égales par ailleurs”.
niveau
de
On a u n es p a c e à trois centres. Les demandes t r aditionnelles sont
rep r é s e n t é e s
par
les cercles en trait plein.
Une
localisation
q u e l c o n q u e I de l ’espace physique est située sur trois cercles en
pointillés. Les segments [I-I ] ,
et
» représentent les
va r i a t i o n s de l ’élément "toutes choses égales par ailleurs" pour que
l ’on passe, pour chaque centre, des cercles en trait p l e i n aux cercles
en pointillés. O n remarque, bien sûr, que ces segments n ’ont pas la
même taille, ni le même sens. Cela signifie que les variations de
l ’élément "toutes choses égales par ailleurs" ne sont pas identiques.
Pour p o u v o i r utiliser les demandes de localisation épaisses, il
faut donc montrer, comment on peut, pour un même indiv i d u et dans un
même laps de temps, envisager des variations m u l t i p l e s de l ’élément
"toutes c h oses égales par ailleurs".
2.1.2. M i s e en oeuvre
Approche intuitive
Les é l é m e n t s "toutes choses égales par ailleurs" des courbes de
d e m ande de l o c a l i s a t i o n unicentriques sont : la structure de préférence
des agents,
le pr i x des biens liés (bien composite et coûts de
transport) et le revenu des agents. On peut alors envisager des
d é p l a c e m e n t s des courbes de demande pour des variat i o n s de chacun de
ces éléments.
C ’est e n intégrant l ’imprécision propre à la d é f i n i t i o n de chacun
de ces é l é m e n t s que l’
on peut admettre, pour u n même agent, des
d é p l a c e m e n t s d i f f é r e n t s et instantanés des courbes de demande de
lo c a l i s a t i o n unicentriques. On obtient alors les courbes de demande
é p aisses a p p e l é e s encore courbes de demande floues.
Par exemple, FUSTIER (1982) construit des courbes de demande
floues en intégrant l ’imprécision relative à la structure de préférence
des consommateurs.
On suppose alors que les agents possède une
rationalité
affaiblie
c ’est-à-dire
q u ’ils
ne
sont
pas
capables
d ’exprimer des relations précises de préférence ou d ’indifférence entre
les assortiments de biens. Au contraire, les agents raisonnent sur le
type de propositions suivantes : "environ x unités du bien X avec un
peu moins de y unités du bien Y" est équivalent à "approximativement x f
unités de X avec un peu plus de y ’ unités de Y" (FUSTIER [1982], p 2).
Ce principe
imprécise.
signifie que
la fonction d ’utilité
des
consommateurs
est
BAUMONT [1990] construit des courbes de demande de localisation
unicentriques floue en faisant porter l’imprécision sur le revenu des
ménages. Cette fois-ci, on estime que c ’est la contrainte de richesse
qui est imprécise. Elle est d ’une part, selon PONSARD [1980], [1981],
plus ou moins contraignante en fonction du niveau de revenu des agents
et d ’autre part, la notion de richesse est elle même imprécise car
différents revenus peuvent être pris en considération (par exemple pour
les
investissements
immobiliers,
les
conditions
d ’emprunt
sont
variables). Ainsi, les agents ne disposent plus d ’un niveau R précis de
revenu, mais attribuent à tout un évantail r de revenus plausibles un
degré de réalisation de la proposition suivante “r est le revenu réel
dont je dispose effectivement pour payer mes différentes dépenses".
On peut également imaginer que la formation des prix des biens
liés soit également imprécise,
ce qui permettrait d ’envisager des
courbes de demande de localisation floues via la contrainte budgétaire
des agents.
2
On
peut
enfin,
comme
le
suggère
PAELINCK ,
assouplir
les
conditions du premier ordre relatives à la maximisation de la fonction
d ’utilité sous une contrainte budgétaire en posant que les dérivées
partielles du premier ordre ne sont plus obligatoirement nulles mais
q u ’elles peuvent prendre un ensemble de valeurs appartenant à un
intervalle [-e ; e] centré en 0; la plausibilité de chaque nouvelle
condition ainsi obtenue étant valuée par un degré d ’appartenance défini
sur
l’ensemble
[0;1].
Cette
procédure
permet
de
faire
porter
l’imprécision
du
calcul
économique
globalement
sur
la
fonction
d ’utilité et sur la contrainte budgétaire.
Approche technique
Concrètement,
la prise en compte de l’imprécision se fait en
utilisant la théorie des sous-ensembles flous. Les courbes de demande
floues constituent alors un ensemble de quantités de biens plus ou
moins optimales pour chaque niveau de prix. Ainsi, à chaque quantité de
biens est associée un degré d ’appartenance traduisant le degré de
vérification de la proposition suivante " la quantité x du bien X est
optimale, compte tenu du niveau de prix".
Si on reprend le graphique (7), l’utilisation des sous-ensembles
flous permet de mesurer, pour chaque centre économique,
la perte
d ’optimalité d ’une localisation I quelconque de l’espace physique par
rapport à une localisation optimale de type B située sur les cercles en
trait plein. Chaque localisation de l’espace physique devient ainsi
Référence
séminaire
DELTA
à
réuni
une
intervention
à Rotterdam
les
de
13 et
l’auteur
14 mai
1991.
sur
ce
sujet
lors
du
plus ou moins optimale en fonction des écarts
la façon de les évaluer.
[I— I ] (k e [1 ;3] ), et de
Les variations de l’élément "toutes choses égales par ailleurs"
sont
généralement
traduites
à
l’aide
d ’un nombre
flou,
discret
(FUSTIER,
[1982]) ou continu, dont les propriétés (DUBOIS et PRADE,
[1980]) permettent de retrouver facilement les courbes de demande
traditionnelles.
peut
Par exemple, BAUMONT [1991a] suppose que l’imprécision du
être circonscrite par un intervalle
[r
; r ] où r
m
M
revenu
et r
m
M
représentent respectivement les valeurs minimales et maximales de
variation de revenu compatibles avec le calcul économique de l’agent.
La valeur R du revenu permet de se positionner sur les cercles en
trait plein, tandis que toutes les autres valeurs x comprises dans cet
intervalle sont associées à des cercles en traits pointillés.
On
"remplace" la valeur précise R du revenu de l’agent par un nombre flou
Lf-Rg3
(Left-Right,
DUBOIS et PRADE,
[1980])
noté
n qui permet
d ’attribuer
à
chaque
valeurs
r
possibles
de
revenu
un
degré
d ’appartenance a(x) à la proposition "cette valeur de revenu est
effectivement celle dont je dispose".
Une fois que le nombre flou 3? est particularisé, on évalue
les déplacements des courbes de demande de localisation, c ’est-à-dire
les écarts
[I— I ], en utilisant les expressions des fonctions de
| pl^
demande de localisation :
; pz^ ; pt. ; R
j
En notant D
(x) la distance entre la localisation i et le centre
ik
économique k obtenue à partir d ’un niveau de revenu x, on particularise
toutes
les
localisations
de
l’espace
physique
:
pour
q u ’une
localisation soit optimale par rapport au centre économique k, il faut
que le revenu soit égal à R, sinon, elle est plus ou moins optimale et
son degré d ’optimalité est déduit du degré d ’appartenance a(x).
Finalement, à chaque localisation i de l’espace physique on peut
attribuer un degré d ’optimalité par rapport à chaque demande de
localisation unicentrique en fonction de son éloignement des cercles en
trait plein. S-’ il y a n centres économiques, chaque localisation i
possédera n degrés d ’optimalité.
On
notera
25
le
degré
d ’optimalité
de
la
localisation
i
par
rapport au centre k.
25
g [0; 1] V i, V k.
ik
On peut bien sûr envisager d ’utiliser les mêmes principes pour
traduire les déplacements des courbes de demande de
localisation
unicentriques liées aux variations d ’autres éléments "toutes choses
égales par ailleurs".
Pour
résoudre
L ’ap pe llation
degrés
droite)
le
Left
d ’apparte n an ce
de
la va leur
problème
(resp.
pour
des
du
choix
Right)
éléments
moyenne du nombre flou.
d ’une
localisation
caractérise
situés
la
à
optimale
distribution
gauche
(resp.
des
à
dans
les espaces
économiques multicentriques,
il
faut
maintenant
examiner les possibilités d ’agrégation des différentes fonctions de
demande unicentriques en une demande de localisation multicentrique
cohérente avec les comportements économiques des agents.
2.1.3. La demande de localisation multicentrique
En intégrant l’imprécision des comportements des agents et/ou
l’imprécision de leur environnement (on peut toujours penser que les
agents ont un comportement imprécis parce q u ’ils ne disposent pas d ’une
information précise sur leur environnement) on peut obtenir, pour une
structure spatiale de prix de service résidentiel donnée, un ensemble
de
courbes
de
demande
de
localisation
unicentriques
épaisses
susceptibles de couvrir, même en se chevauchant, l’ensemble de l ’espace
physique.
Pour chaque
localisation i de l’espace physique,
on connait
maintenant son aptitude à ressembler à la localisation optimale de
l’espace économique. Elle est donnée par un profil d ’optimalité 0
défini par l’ensemble des degrés d ’optimalité 2)
.
des
Pour la localisation optimale de l’espace économique, les valeurs
degrés d ’optimalité 7)
sont toutes égales à 1. Pour toutes les
autres localisations elles sont comprises entre 0 et 1. Les profils
d*optimalité permettent de traduire l’ordre de l ’espace économique
multicentrique dans l ’espace physique.
La recherche d ’une localisation optimale dans l ’espace économique
multicentrique
peut
alors être résolu puisqu’on peut
directement
confronter 1’"offre" des localisations, c ’est-à-dire l ’espace physique,
à la demande des localisations traduite aussi dans l’espace physique.
Le
choix d ’une
localisation optimale dans
l ’espace
physique
s ’effectue maintenant en examinant les profils d ’optimalité. On choisit
alors la localisation qui présente le meilleur profil. On peut, bien
sûr, trouver plusieurs localisations équivalentes.
Plusieurs méthodes peuvent être mises en oeuvre pour ordonner
profils d ’optimalité.
les
■ BAUMONT [1991b] propose de calculer, pour chaque localisation i, la
moyenne des valeurs D . Si on la note M. , on construit ensuite des
ik
i
classes d ’équivalence pour les localisations possédant la même valeur
M^ et on peut ordonner facilement les différentes classes ainsi
obtenues.
Par exemple, les graphiques ci-dessous illustrent la distribution
spatiale, sur l’agglomération dijonnaise structurée autour de trois
centres économiques, des valeurs M^ (figure (b)) correspondant à une
localisation optimale dans l’espace économique tricentrique
(figure
(a)); le problème économique traité étant celui de la localisation
résidentielle (BAUMONT, [1990], p 437 et 502).
Cet exemple montre que les localisations les plus "proches" de la
localisation optimale ont un degré d*optimalité de 0.63, tandis que les
localisations les plus "éloignées" ont un degré d ’optimalité de 0.07.
f igure
(a)
figure
Graphique
■
En
considérant
que
les
(b)
(8)
profils
d ’optimalité
0m
sont
des
sous-ensembles flous, on peut encore les ordonner en utilisant les
méthodes de classement des sous-ensembles flous (ZADEH [1965], DUBOIS
et PRADE [1980], DUBOIS [1987]). Les classes d ’équivalence seront alors
formées par les sous-ensembles flous égaux.
■ Enfin, en cherchant, d ’une part,
la ou les localisations qui se
rapprochent le plus de la localisation optimale de l ’espace économique
et en ayant besoin, d ’autre part, d ’agréger différents critères de
localisation,
on
rend possible
l’utilisation
d ’une
technique
de
programmation : le Goal Programming.
Cette méthode adaptée à des
programmes formés de plusieurs objectifs et de plusieurs contraintes
permet de considérer des intervalles d ’acceptation pour les objectifs
et des intervalles de violation pour les contraintes (YAGER, [1986]).
Dans notre cas, atteindre plus ou moins les distances D
sont les
*
ik
objectifs du programme tandis que la variation de l’élément "toutes
choses égales par ailleurs" en constitue la contrainte.
De là, on
cherche à minimiser les écarts entre la localisation optimale de
l ’espace économique et les autres localisations.
On remarque que les méthodes de classement des localisations en
fonction de leur profil d ’optimalité ne font pas nécessairement appel à
la théorie des sous-ensembles flous.
Par contre,
l’intégration de
l’imprécision
est
nécessaire à la justification des
demandes de
localisation épaisses
car elle permet d ’envisager,
pour
un même
individu et de façon simultanée l’existence de plusieurs courbes de
demande de localisation.
Finalement, nous avons montré q u ’il était possible de réconcilier
l’espace physique et l’espace économique multicentrique. Nous allons
maintenant
nous
interroger
sur
la
place
de
ce
principe
de
2.2. Analyse théorique
L ’idée source de notre approche était que la localisation optimale
de l’espace économique ne pouvait être atteinte. Il fallait trouver une
autre localisation qui s ’en rapproche le plus, au sens économique du
terme, mais qui soit directement située dans l’espace physique.
Une question doit alors être formulée : une telle démarche a
t-elle une justification méthodologique ?
Si oui, quels peuvent être ses fondements théoriques ?
En présentant le concept de dominance et la théorie du second-best
nous tenterons d ’apporter des éléments de réponse à ces questions.
2.2.1. Le concept de dominance
Dans un programme de maximisation d ’objectifs sous contraintes,
une solutions est dite dominante si elle est meilleure que toutes“ les
autres pour la réalisation des objectifs.
Dans
notre
problème,
la
localisation optimale
trouvée
dans
l’espace économique est dominante car elle est meilleure que toutes les
autres dans la satisfaction des préférences des individus.
Pourtant cette solution ne peut être réalisée.
Dans ces conditions, il est parfaitement légitime d ’essayer de
trouver une solution qui s ’en rapproche le plus. ZIONTS [1988] insiste
sur cette idée en montrant q u ’il faut trouver une solution "close to
the goal".
ZIMMERMANN
[1978] et KAUFMANN
[1977]
la justifient en
expliquant que la recherche d ’une solution maximale répondant à tous
les critères du programme de maximisation d ’objectifs sous contraintes
est quelquefois trop "contraignante", trop rigide. Le but est là encore
d ’"assouplir" les conditions de réalisation du programme de manière à
obtenir une solution.
Différentes méthodes sont alors proposées.
Il s ’agit,
soit de
rechercher les valeurs d ’optimalité des éléments de l ’ensemble des
solutions proches de l’optimum. On mesure alors selon KAUFMANN la
sensibilité de la fonction objectif à l’optimum. On peut encore, selon
ZIMMERMANN
trouver
une
solution
de
compromis
en
s ’aidant
des
préférences des agents de manière à trouver dans
l ’ensemble des
solutions possibles, une solution qui s’éloigne le moins de l’optimum.
On peut enfin, selon ZIONTS relâcher certains objectifs ou reconsidérer
complètement le problème en définissant une fonction qui minimise les
écarts entre l’optimum et les autres éléments.
Finalement, deux approches s ’imposent : soit on considère le même
modèle, mais on assouplit les conditions de réalisation des objectifs
et/ou des contraintes. Soit on reconsidère complètement le problème en
définissant une fonction d ’éloignement des éléments par rapport à
l’optimum.
Dans les ceux cas cependant,
on aboutit à une formalisation
différente du problème puisqu’il contiendra des objectifs et/ou des
contraintes différentes dans le premier cas, tandis que dans le second
cas il sera totalement différent : d ’un programme de maximisation
d ’objectifs sous contraintes, on passe à un programme de minimisation
de
l’écart
entre
la solution optimale
et
les
autres
solutions
possibles.
En utilisant les fondements de la théorie du second-best,
possible d ’apporter une justification théorique à ces démarches.
il est
2.2.2. La théorie de l’optimum de second rang
A l ’origine, cette théorie, formalisée par LIPSEY et LANCASTER
[1956-1957],
s ’applique
aux problèmes
d ’équilibres
économique
de
PARETO. Les auteurs montrent q u ’une situation d ’optimum de second rang
peut être atteinte quand l’optimum de PARETO est inaccessible.
Les auteurs remarquent alors que même s ’il n ’y a q u ’un seul
optimum de PARETO, il peut exister plusieurs optimums de second-rang.
On ne peut pas, a priori, dire si un optimum de second-rang atteint en
satisfaisant plus de conditions est meilleur q u ’un autre qui en
satisfait moins. On ne peut pas non plus assurer que 1 ’"optimum de
PARETO" est amélioré par la réalisation d ’un optimum de second rang,
car d ’une part, l ’optimum de PARETO n ’est pas réalisable et d ’autre
part,
l’optimum de
second rang s ’applique à un problème devenu
différent.
En réalisant le passage de l’espace économique multicentrique à
l ’espace physique nous pouvons comparer notre démarche à celle des
théoriciens du second-best même si nous ne traitons pas un problème
d ’équilibre général.
En effet, LIPSEY et LANCASTER citent une étude de A. SMITHIES
[1936] où la théorie du second best est appliquée à un problème de
production pour une firme. L ’auteur part du principe que les conditions
initiales d ’égalisation à l’optimum entre les coûts marginaux et les
productivités marginales des inputs conduisent à un niveau de profit
maximum pour le producteur. Il suppose ensuite que le producteur fait
face à des contraintes techniques de production l’obligeant à employer
des quantités minimales de certains inputs ( on note q u ’ il y a toujours
des quantités minimales, ne serait-ce que la quantité nulle). Si le
niveau de profit donné par la réalisation de l’équilibre nécessite
l ’utilisation de quantités négatives ou insuffisantes d ’inputs, alors
le producteur utilisera par défaut soit zéro unité de cet input soit le
minimum technique imposé par ses contraintes de production. Dès lors,
pour cet input, l’égalisation entre la productivité marginale et le
coût marginal n ’est plus assurée. On ne se trouve plus dans les
conditions
initiales de réalisation de
l’optimum.
Il faut alors
reconsidérer
le problème en entier en
intégrant
directement
les
contraintes techniques de production et non pas simplement modifier les
conditions qui ne sont pas vérifiées.
On peut tout à fait appliquer cette démarche à notre problème
puisque la non existence de la localisation optimale provient de
"quantités" de distances non compatibles entre elles. En effet, chaque
point de l ’espace est caractérisé par un vecteur de distances précis,
alors que tout vecteur de distances ne correspond pas forcément à une
localisation dans l’espace physique. Le vecteur de distances obtenu par
la résolution de l ’optimum en fait partie. Même si dans ce vecteur,
certaines distances sont peut être compatibles entre elles, on ne peut
pas les conserver et modifier simplement les conditions portant sur les
distances non compatibles. Il faut reconstruire un modèle où toutes les
distances peuvent varier de manière à devenir compatibles entre elles.
C ’est ce que nous avons réalisé.
Par ailleurs, la nouvelle localisation optimale obtenue, n ’est pas
forcément unique. On peut donc avoir des niveaux de satisfaction des
objectifs
et
des
contraintes
différents
même
si
les
solutions
présentent, globalement, une optimalité identique. On ne peut donc pas
déterminer a priori la solution la meilleure dans le nouvel ensemble
des optimums de second rang. On retrouve alors les propriétés énoncées
plus haut.
Finalement, nous pouvons assimiler notre démarche à celle des
théoriciens du second-best, alors que le cadre d'application de la
théorie et les procédés techniques employés sont différents.
Au terme
suivants :
de
cet
exposé,
il
convient
d' insister
sur
les
points
1) L'intégration de l'espace dans l'analyse des phénomènes économiques
rend nécessaire l'utilisation de deux espaces différents : l'espace
physique et l'espace économique.
2) Si
l'organisation spatiale est multicentrique,
espaces
sont
a-symétriques car
les significations
spatiales des localisations sont différentes.
alors ces deux
économiques
et
3) Pourtant, le problème du choix d'une localisation optimale oblige à
s'interroger
sur
les propriétés économiques des
espaces
tout
en
recherchant une localisation dans l'espace physique.
4) Pour résoudre ce problème, il faut envisager que les déplacements
des courbes de demande sont possibles pour un même individu et dans un
même laps de temps.
Ceci n'est envisageable que si on prend en
considération l'imprécision des comportements économiques. On construit
ainsi des courbes de demande floues.
5) On montre alors qu'il est possible d'attribuer à chaque localisation
de
l'espace physique
son contenu économique et de
là,
on peut
réconcilier les deux espaces. L'application de notre méthode au choix
d'une
localisation
résidentielle
dans
l'agglomération
dijonnaise
en constitue un élément positif.
6) Cependant, les solutions données dans l'espace économique et celles
obtenues ensuite dans l'espace physique ne sont pas comparables. On
peut alors assimiler les nouvelles localisations optimales à des
optimum de second-rang.
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