Chapitre II Equation de Dirac

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Chapitre II
Equation de Dirac
1. Rappels
1.1 Equation de Schrödinger
En mécanique quantique non-relativiste, le mouvement d’une particule libre de
masse m, de vecteur impulsion ~p, d’énergie E et de fonction d’onde ψ(t, ~r) est
décrit par l’équation de Schrödinger1 :
−
~2 ~ 2
∂ψ
∇ ψ = i~
2m
∂t
En effet à partir de la relation énergie-impulsion classique décrivant le mouvement
d’une particule libre de masse m, d’impulsion p~ et d’énergie cinétique E:
~p 2
=E
2m
on peut obtenir l’équation de Schrödinger en remplaçant le vecteur impulsion et
l’énergie par les opérateurs suivants qui s’appliquent à la fonction d’onde ψ(t, ~r):
~ et E → i~ ∂
p~ → −i~∇
∂t
soit donc, en appliquant ces opérateurs à la fonction d’onde ψ(t, ~r) repésentant la
particule:
−
~2 ~ 2
∂ψ
∇ ψ = i~
2m
∂t
Comme on se placera dans la suite dans le système d’unité naturelle i.e. ~ = c = 1,
l’équation de Schrödinger s’écrit dans ce cas:
−
∂ψ
1 ~2
∇ ψ=i
2m
∂t
À partir de l’équation de Schrödinger on peut obtenir l’équation dite de continuité
densité-courant, reliant la densité de probabilté ρ au vecteur courant ~j, donnée par
(le faire à titre d’exercice):
~ · ~j + ∂ρ = 0
∇
∂t
où ρ et ~j sont donnés par:
ρ = ψ ⋆ ψ = |ψ|2
~ − ψ ∇ψ
~ ⋆)
~j = − i (ψ ⋆ ∇ψ
2m
~2 ~ 2
∇ correspond à l’Hamiltonien décrivant le mouvement d’une particule libre
L’opérateur − 2m
de masse m, de vecteur impulsion p~ et d’énergie E.
1
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1.2 Equation de Klein-Gordon
L’équation de Klein-Gordon correspond à la version relativiste de l’équation de
Schrödinger. Elle peut être obtenue de la même manière que l’équation de Schrödinger
mais en partant cette fois-ci de la relation énergie-impulsion relativiste2 :
E 2 − ~p 2 = m2 ou encore pµ pµ − m2 = 0
En faisant la substitution (avec toujours ~ = c = 1):
pµ → i∂µ
avec
pµ → i∂ µ
avec
∂
∂ ~
= ( , ∇)
µ
∂x
∂t
∂
∂
~
= ( , −∇)
∂µ ≡
∂xµ
∂t
∂µ ≡
on obtient l’équation de Klein-Gordon3 :
(∂ µ ∂µ + m2 )φ(x) = 0
≡
(∂ 2 + m2 )φ(x) = 0
où φ(x) est la fonction d’onde de la particule relativiste.
Les solutions, sous forme d’ondes planes, de cette équation sont de la forme:
φ(x) = Ne−ip
µx
µ
≡ Ne−i(Et−~p·~x)
p
où E = ± p~ 2 + m2 et N est un coefficient de normalisation.
remarque 1: En plus d’une solution d’énergie positive l’équation de Klein-Gordon
possède aussi une solution d’énergie négative à laquelle est associée une densité de
probabilité ρ négative donnée par4 :
∂φ⋆
⋆ ∂φ
ρ=i φ
= 2E|N|2
−φ
∂t
∂t
2
Nous adopterons ici et pour la suite de ce cours la convention de sommation dite d’Einstein,
dans laquelle tout indice répété correspond à la sommation sur toutes les valeurs de cet indice.
Nous utiliserons aussi pour exprimer le quadrivecteur espace-temps covariant et contravariant
respectivement les notations xµ = (t, −~x) et xµ = (t, ~x) avec ~x = (x1 , x2 , x3 ) (cf. Chapitre I).
3
En décomposant l’opérateur ∂ µ (resp. ∂µ ) en ses composantes temporelle et spatiales,
l’équation de Klein-Gordon peut aussi s’écrire sous la forme:
~ 2 + m2 )φ(x) = −
(−∇
∂ 2 φ(x)
∂t2
4
Comme avec l’équation de Schrödinger, on peut montrer à partir de l’équation de Klein-Gordon
qu’on obtient l’équation de continuité (le faire à titre d’exercice):
~ · ~j + ∂ρ = 0
∇
∂t
avec:
∂φ⋆
⋆ ∂φ
~ ⋆ − φ⋆ ∇φ
~
ρ=i φ
et ~j = i φ∇φ
−φ
∂t
∂t
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Le vecteur courant est donné par:
~ ⋆ − φ⋆ ∇φ
~
~j = i φ∇φ
= 2|N|2 ~p
Les problèmes d’énergie et de densité de probablité négatives, résolus par la suite
dans le cadre de la théorie quantique des champs5 , ont conduit P.M.A. Dirac à
chercher une équation alternative connue par la suite sous le nom d’équation de
Dirac, point de départ de l’introduction puis la découverte de l’antimatière. L’équation de Dirac, décrit, comme on le verra plus loin, la dynamique des fermions i.e.
des particules de spin demi-entier.
remarque 2: En théorie quantique des champs, l’équation de Klein-Gordon décrit les
particules et les antiparticules scalaires (spin 0).
2. Equation de Dirac
P.M.A. Dirac a introduit son équation pour remédier aux problèmes posés par
l’équation de Klein-Gordon: solution d’énergie négative et densité de probabilité
négative. Comme, l’a fait remarqué Dirac en 1927, la source des problèmes de
l’équation de Klein-Gordon était due à la présence de dérivées de second ordre conduisant fatalement à une ambiguité de signe. Dirac chercha à reformuler l’équation
de Klein-Gordon de telle sorte qu’elle fasse apparaitre une dérivée du première ordre
à la fois pour le temps et les coordonnées d’espace. Historiquement Dirac a introduit
son équation sous la forme:
∂ψ(x)
Ĥψ(x) = (~
α · ~pˆ + βm)ψ(x) = i
∂t
où Ĥ est l’opérateur Hamiltonien, ψ(x) et m sont respectivement la fonction d’onde6
et la masse de la particule relativiste, ~pˆ est l’opérateur impulsion et α
~ et β sont des
coefficients à déterminer.
~ l’équation de Dirac s’écrit explicitement:
Or comme ~pˆ ≡ −i∇,
~ + βm)ψ = i ∂ψ
(−i~
α·∇
∂t
Comme on le verra plus loin, les coefficients αi (i = 1, 2, 3) et β ne peuvent pas être
des nombres. Ce sont des matrices n × n et l’équation de Dirac peut-être considérée
comme une équation matricielle dans la quelle la fonction d’onde ψ est une matrice
colonne à n composantes:


ψ1
 ψ2 


ψ =  .. 
 . 
ψn
5
En effet en 1934 W. Pauli et V.F. Weisskopf ont montré que les problèmes de l’équation de
Klein-Gordon peuvent être résolus en traitant la fonction d’onde φ(x) d’une particule comme un
opérateur de champ.
6
Pour ne pas alourdir les expressions qui vont suivre, nous n’expliciterons pas toujours la
dépendance de la fonction d’onde ψ en fonction du quadrivecteur espace-temps x. Nous utiliserons indifféremment dans la suite les notations ψ et ψ(x).
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Pour que l’équation de Dirac soit considérée comme l’équation décrivant le mouvement relativiste d’une particule libre de masse m, chacune des composantes ψi de
la matrice colonne ψ doit satisfaire l’équation de Klein-Gordon i.e.:
(∂ 2 + m2 )ψi (x) = 0
⇒
~ 2 + m2 )ψi (x) = −
(−∇
∂ 2 ψi (x)
∂t2
Pour cela, il suffit d’appliquer l’opérateur Hamiltonien Ĥ à l’équation de Dirac. En
effet, on obtient dans ce cas (le faire à titre d’exercice):
2
~ + βm)(−i~
~ + βm)ψ = − ∂ ψ
(−i~
α·∇
α·∇
∂t2
soit donc explicitement:
3
3
X
1X
∂ψ
∂2ψ
∂2ψ
−
(αi β + βαi ) i + β 2 m2 ψ = − 2
(αi αj + αj αi ) i j − im
2 i,j=1
∂x ∂x
∂x
∂t
i=1
~ 2 + m2 )ψ
= (−∇
Cette relation impose donc, comme on peut le voir, des conditions sur les coefficients
αi et β. Ces conditions sont7 :
αi αj + αj αi = {αi , αj } = 2δij 1I
αi β + βαi = {αi , β} = 0
αi2 = β 2 = 1I
où 1I est la matrice unité.
La relation d’anticommutation {αi , β} = 0, indique clairement que les coefficients αi
et β doivent être des matrices et non des nombres. D’autre part pour que l’opérateur
~
Hamiltonien, Ĥ = −i~
α · ∇+βm,
soit un opérateur hermitien, il est nécessaire que les
matrices αi et β soient des matrices hermitiennes8 i.e. β † = β et αi† = αi ∀i = 1, 2, 3.
On montre que la plus petite dimension avec laquelle on peut construire les matrices
αi et β est la dimension n = 4. Le choix de ces matrices n’est cependant pas unique.
En choisissant la représentation dite de Dirac-Pauli, les matrices β et αi s’écrivent9 :
I 0
0 σi
β=
, αi =
, i = 1, 2, 3
0 −I
σi 0
7
À partir des relations {αi , β} = 0 et β 2 = 1I, il est facile de montrer que Tr(αi ) = 0. En effet
comme αi β = −βαi et donc βαi β = −αi , on a alors Tr(βαi β) = −Tr(αi ). Comme Tr(βαi β) =
Tr(β 2 αi ) = Tr(αi ), on a alors Tr(αi ) = −Tr(αi ) et donc Tr(αi ) = 0. Il en est de même pour β i.e.
Tr(β)=0.
8
La notation † en exposant veut dire complexe conjugué transposé.
9
Une autre représentation utilisée en physique des particules est la représentation dite chirale.
Dans cette représentation les matrices β et αi s’écrivent:
0 I
σi 0
, i = 1, 2, 3
β=
, αi =
−I 0
0 σi
La physique est indépendante du choix de la représentation préférée.
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où I et 0 sont respectivement les matrices unité et nulle 2 × 2 et σi (i=1, 2, 3) sont
les matrices de Pauli:
1 0
0 −i
0 1
, σ3 =
, σ2 =
σ1 =
0 −1
i 0
1 0
Le fait que les matrices αi et β soient d’ordre 4, conduit nécessairement, dans
l’équation de Dirac, à ce que la fonction d’onde de la particule soit une matrice
colonne à 4 éléments:


ψ1
 ψ2 

ψ=
 ψ3 
ψ4
Cette fonction d’onde à 4 composantes n’est pas un quadrivecteur mais un nouvel
objet appelé bi-spineur10 de Dirac. On dit aussi spineur par abus de langage.
2.1 Equation de Dirac sous forme covariante
L’équation de Dirac:
~ + βm)ψ = i ∂ψ
(−i~
α·∇
∂t
peut s’écrire sous forme covariante en introduisant les matrices γ µ (µ = 0, 1, 2, 3),
appelées aussi matrices de Dirac, pour remplacer les matrices β et αi (i = 1, 2, 3).
Ces matrices γ µ sont construites de la façon suivante:
0 σi
I 0
i
i
0
(i = 1, 2, 3)
et γ = βα =
γ =β=
−σi 0
0 −I
ou de façon équivalente:
γ µ = (β, β~
α) (µ = 0, 1, 2, 3)
On définit aussi une autre matrice gamma, γ 5 , construite à partir des quatre premières
matrices:
i
0 I
5
0 1 2 3
µ ν ρ σ
γ = iγ γ γ γ = ǫµνρσ γ γ γ γ =
I 0
4!
où ǫµνρσ est le tenseur antisymétrique de Levi-Civita défini par:

 +1, si µνσρ est une permutation paire de 0123
ǫµνρσ =
−1, si µνσρ est une permutation impaire de 0123

0, si au moins deux indices sont égaux
10
On dit bi-spineur car ce nouvel objet est composé de deux spineurs qui sont comme on le verra
plus loin des objets à deux composantes qui occupent une place intermédiaire entre un scalaire
(objet à une composante) et un vecteur (objet à trois composantes). On ne fera pas de distinction
entre bi-spineur et spineur dans la suite, tout deux seront indifférement appelés spineur.
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Nous verrons plus loin l’utilité de cette matrice.
Il est facile de montrer que les matrices γ µ satisfont les relations suivantes:
γ 0†
γ i†
γ µ†
{γ µ , γ ν }
[γ ρ , [γ µ , γ ν ]]
(γ 5 )2
{γ 5 , γ µ }
=
=
=
=
=
=
=
γ 0 , (γ 0 )2 = 1I
−γ i , (γ i )2 = −1I (i = 1, 2, 3)
γ 0 γ µ γ 0 ⇒ γ µ† γ 0 = γ 0 γ µ
γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν 1I
4(g ρµ γ ν − g ρν γ µ )
1I, γ 5† = γ 5
0
On a aussi d’autre part les relations utiles suivantes:
γ µ γµ
γ µ γν γµ
γ µ γν γρ γµ
γ µ γν γρ γσ γµ
γ µ σαβ γµ
=
=
=
=
=
41I
−2γν
4gνρ 1I
−2γσ γρ γν
0
où σαβ est le tenseur antisymétrique définit par:
i
[γα , γβ ]
2
Les matrices γ satisfont également les propriétés de trace suivantes:
σαβ =
Tr [γ µ γ ν ]
Tr [γ µ γ ν γ ρ γ σ ]
Tr [γ µ1 γ µ2 · · · γ µ2n+1 ]
Tr [γ µ1 γ µ2 · · · γ µ2n ]
=
=
=
=
4g µν
4(g µν g ρσ − g µρ g νσ + g µσ g νρ)
0
g µ1 µ2 Tr [γ µ3 γ µ4 · · · γ µ2n ] − g µ1 µ3 Tr [γ µ2 γ µ4 · · · γ µ2n ] + · · ·
+(−1)k g µ1 µk Tr [γ µ2 γ µ3 · · · γ µk−1 γ µk+1 · · · γ µ2n ] + · · ·
+g µ1 µ2n Tr [γ µ2 γ µ3 · · · γ µ2n−1 ]
De même on a les relations utiles de Trace suivantes:
Tr γ 5 = 0
Tr γ µ γ 5 = 0
Tr γ µ γ ν γ 5 = 0
Tr γ µ γ ν γ ρ γ 5 = 0
Tr γ µ γ ν γ ρ γ σ γ 5 = 4iǫµνρσ
Pour obtenir l’expression de l’équation de Dirac sous forme covariante, il suffit de
multiplier l’équation de Dirac à gauche par β, regrouper les termes et utiliser le fait
que β 2 = 1I:
∂
2
~
−i β + β~
α·∇ +β m ψ = 0
∂t
−i(γ 0 ∂0 + γ k ∂k ) + m ψ = 0
⇒ (iγ µ ∂µ − m)ψ = 0
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La forme covariante de l’équation de Dirac s’écrit donc:
(iγ µ ∂µ − m)ψ = 0
En adoptant la notation de Feynman qui consiste à poser γ µ ∂µ ≡ 6∂ , l’équation de
Dirac covariante, s’écrit sous la forme compact:
i6∂ − m ψ = 0
Essayons maintenant de montrer que l’équation de Dirac conduit, comme l’équation
de Schrödinger et l’équation de Klein-Gordon, à l’équation de continuité densitécourant:
∂ρ ~ ~
+∇·j =0
dt
Si on multiplie l’équation de Dirac à gauche par11 ψ = ψ † γ 0 où ψ † est le complexe
conjugué, transposé de ψ, on obtient:
iψγ µ ∂µ ψ − mψψ = 0
D’autre part si on multiplie le complexe conjugué transposé de l’équation de Dirac
à droite par γ 0 ψ i.e.:
i∂µ ψ † (γ µ )† γ 0 ψ + mψψ = 0
et on fait ensuite la somme des deux expressions, on obtient la relation suivante:
i(ψγ µ ∂µ ψ + ∂µ ψ † (γ µ )† γ 0 ψ) = 0
Or comme γ 0 γ 0 = 1I et comme γ 0 (γ µ )† γ 0 = γ µ , cette relation peut alors s’écrire:
i(ψγ µ ∂µ ψ + ∂µ ψ † γ 0 γ 0 (γ µ )† γ 0 ψ) = i(ψγ µ ∂µ ψ + ∂µ ψγ µ ψ) = i∂µ (ψγ µ ψ) = 0
Le terme entre parenthèses, n’estPautre que le quadrivecteur courant, j µ = (ρ, ~j) =
ψγ µ ψ, avec ρ = ψγ 0 ψ = ψ † ψ = 4i=1 |ψi |2 représentant la densité de probabilité et
~j = ψ~γ ψ est le vecteur courant. On a donc finalement l’équation suivante:
∂µ j µ = 0
qui n’est autre que la forme covariante de l’équation de continuité. En effet en
développant cette équation, on obtient:
∂(ψγ 0 ψ) ~
+ ∇ · (ψ~γ ψ)
∂t
∂ρ ~ ~
=
+∇·j
∂t
∂µ j µ =
remarque: La densité ρ, obtenue à partir de l’équation de Dirac, est, comme on peut
le remarquer maintenant, une quantité positive.
11
ψ = ψ † γ 0 s’appelle fonction d’onde adjointe de ψ.
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2.2 Covariance de l’équation de Dirac
Les spineurs de Dirac, comme on l’a dit plus haut, ne sont pas des quadrivecteurs
et ne se transforment donc pas comme des quadrivecteurs sous les transformations de Lorentz. On montre cependant, que pour toute transformation de Lorentz
xµ → x′µ = Λµν xν , il existe une transformation correspondante ψ ′ (x′ ) = Sψ(x) où
S est un opérateur de transformation linéaire, laissant l’équation de Dirac invariante. Le principe d’équivalence des référentiels garanti l’existence d’un opérateur de
transformation inverse, permettant de passer de ψ ′ (x′ ) à ψ(x) i.e. ψ(x) = S −1 ψ ′ (x′ ),
avec S −1 S = 1I.
Pour que l’équation de Dirac exprimée dans un référentiel R:
(iγ µ ∂µ − m)ψ(x) = 0
soit covariante, il faut que sa forme reste inchangée lorsqu’on passe dans un autre
référentiel R′ i.e. que dans ce référentiel elle s’écrit:
(iγ ν ∂ ′ν − m)ψ ′ (x′ ) = 0
où:
∂
∂
= Λµν µ = Λµν ∂µ
′ν
∂x
∂x
′ ′
et ψ (x ) = Sψ(x)
∂
′
ν
≡
En utilisant la transformation de Lorentz inverse de ψ(x) i.e. S −1 ψ ′ (x′ ), l’équation
de Dirac dans le référentiel R s’écrit:
(iγ µ ∂µ − m)S −1 ψ ′ (x′ ) = 0
Si on multiplie cette équation à gauche par S. On obtient alors l’équation suivante:
(iSγ µ S −1 ∂µ − m)ψ ′ (x′ ) = 0
qu’on peut écrire, en utilsant la transformée de Lorentz inverse de ∂µ i.e. Λν µ ∂ ′ν ,
sous la forme:
(iSγ µ S −1 Λν µ ∂ ′ν − m)ψ ′ (x′ ) = 0
Pour que l’équation de Dirac soit covariante sous les transformations de Lorentz,
i.e. avoir la même forme que dans le référentiel R′ , l’opérateur S doit satisfaire la
relation suivante:
Sγ µ S −1 Λνµ = γ ν
ou de façon équivalente:
Sγ µ S −1 = Λν µ γ ν
En effet si on multiplie à droite Sγ µ S −1 Λν µ = γ ν par gνσ g µρ γ σ , on a:
Sγ µ S −1 Λν µ gνσ g µρ γ σ = γ ν gνσ g µρ γ σ = γ ν γν g µρ
⇒ Sγ µ S −1 Λσρ γ σ = 41Ig µρ
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En multipliant à gauche par Sγµ S −1 , on obtient:
41IΛσρ γ σ = 41ISγµ S −1 g µρ = 41ISγ ρ S −1
soit donc:
Sγ ρ S −1 = Λσρ γ σ
qu’on peut réécrire en changeant les indices:
Sγ µ S −1 = Λν µ γ ν
Parmi les transformations de Lorentz particulières (cf. Chapitre I), il y a l’opération
parité. La transformation de Lorentz Λµν de cette opération discrète qui consiste à
inverser les coordonnées d’espace est donnée par:


1 0
0
0
 0 −1 0
0 
µν

Λµν ≡ P µν = 
 0 0 −1 0  = g
0 0
0 −1
La matrice S, qu’on notera SP , correspondant à cette transformation, satisfait, dans
ce cas, les relations12 :
0
γ
pour µ = 0
−1 µ
SP γ SP =
k
−γ pour µ = k = 1, 2, 3
3. Les solutions de l’équation de Dirac pour une particule libre
Cherchons comme solution de l’équation de Dirac pour une particule libre une solution sous la forme d’une onde plane13 :
ψ(x) = u(p)e−ip·x ≡ ψ(~x, t) = u(E, ~p)e−i(Et−~p·~x)
12
En effet on a:
Sp γ µ SP−1 = Λν µ γ ν = gνµ γ ν = γµ = (γ 0 , −~γ )
13
Si on se place dans le cas où la particule représentée par la fonction d’onde ψ(x) est au repos
(impulsion nulle), dans ce cas l’équation de Dirac s’écrit:
iγ 0
∂ψ
= mψ
∂t
dont la solution est égale à:
ψ(x) =
ψA
ψB
=
e−imt ψA (0)
eimt ψB (0)
où ψA et ψB représentent les composantes de ψ d’énergie positive et négative respectivement. Cette
solution suggère que la solution générale de l’équation de Dirac est sous la forme d’onde plane.
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où x et p sont respectivement les quadrivecteurs position et impulsion. u(p) est un
spineur de Dirac (vecteur colonne à quatre composantes) indépendant de x.
Si on remplace ψ(x) par son expression onde plane dans l’équation de Dirac on
obtient (le faire à titre d’exercice):
(6p − m)u(p) = 0 avec 6p = γ µ pµ
Cette équation s’appelle équation de Dirac dans l’espace des impulsions.
En développant cette équation (le faire à titre d’exercice), on obtient l’expression
suivante:
0
(E − m) uA − (~σ · p~) uB
uA
(E − m)I
−~σ · p~
=
=
0
(~σ · p~) uA − (E + m) uB
uB
~σ · p~
−(E + m)I
où I est la matrice unité 2 × 2. Les termes uA et uB sont deux matrices colonnes
à deux éléments correspondant respectivement aux deux composantes supérieures
et inférieures du spineur de Dirac u. En développant l’équation précédante, leurs
expressions sont données par:
1
~σ · p~
pz
px − ipy
uB
uB =
uA =
−pz
E−m
E − m px + ipy
~σ · p~
1
pz
px − ipy
et uB =
uA
uA =
−pz
E+m
E + m px + ipy
soit finalement en injectant l’expression de uB en fonction de uA dans la première
équation:
E 2 − m2 = (~σ · ~p)2 = p~ 2
Cette relation, qui correspond à la relation usuelle d’énergie-impulsion relativiste,
montre que l’équation de Dirac admet, comme pour l’équation de Klein-Gordon,
deux solutions:
p
E = ± m2 + p~ 2
Une solution d’énergie positive et une solution d’énergie négative.
En partant de la relation exprimant uB en fonction de uA obtenue plus haut et
en choisissant deux solutions ondes planes indépendantes (orthogonales), i.e. en
posant:
0
1
et uA,2 = N
uA,1 = N
1
0
où N est un facteur de normalisation, on obtient respectivement les relations:




0
1
 1 
 0 
 et u2 = N  px −ip

u1 = N 
p
z
y 

 E+m 
E+m
−pz
E+m
px +ipy
E+m
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p
avec E correspondant à la solution d’énergie positive, E = m2 + p~ 2 car autrement
les spineurs u1 et u2 contiendraient des composantes infinies si on se place dans le
système de repos de la particule.
De même en partant de la relation exprimant uA en fonction de uB et en posant:
0
1
et uB,2 = N
uB,1 = N
1
0
on obtient respectivement les relations:
 pz 

u3 = N 

E−m
px +ipy
E−m
1
0





et u4 = N 

px −ipy
E−m
−pz
E−m
0
1




p
avec E correspondant à la solution d’énergie négative, E = − m2 + ~p 2 pour la
même raison invoquée plus haut.
En résumé, on a obtenu pour une particule de masse m et d’impulsion
~p, quatre
p
solutions indépendantes, deux avecpune énergie positive E = m2 + p~ 2 et deux
avec une énergie négative E = − m2 + p~ 2 . Il est facile de montrer (le faire à
titre d’exercice) que les spineurs de Dirac u1 , u2 , u3 et u4 représentant ces quatre
solutions sont orthogonaux entre eux i.e. que: u†r us = 0, ∀r 6= s avec r, s = 1, 2, 3, 4.
Le facteur de normalisation N est obtenu à partir de la normalisation des spineurs
de dirac ui (i=1,2,3,4) qui est donnée par14 :
u†1 u1 = u†2 u2 = u†3u3 = u†4 u4 = 2|E|
Le facteur N est donc donné par (le faire à titre d’exercice):
√
pour u1 et u2
N = E + m (E > 0)
√
N = −E + m (E < 0)
pour u3 et u4
Les quatre spineurs de Dirac, solutions de l’équation de Dirac dans l’espace des
impulsions, s’écrivent donc:




1
0
√
√
 0 
 1 
 , u2 = E + m  px −ip

u1 = E + m 
p
z
y 
 E+m 

u3 =
14
√


−E + m 

px +ipy
E+m
pz
E−m
px +ipy
E−m
1
0




,
u4 =
√
−E +
E+m
−pz
E+m
 px −ipy
E−m
 −pz
m  E−m

0
1




Cette normalisation des spineurs de Dirac est conventionnelle. Dans cette convention on considère qu’il y a 2E particules par unité de volume.
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Pour une particule se propageant le long de l’axe z i.e. ~p = (0, 0, p), les 4 spineurs
de Dirac que nous venons d’obtenir s’écrivent:




1
0
√
√
 0 
 1 



u1 = E + m 
 p  , u2 = E + m  0 
E+m
−p
0
E+m
 p 


0
E−m
√
√
 0 
 −p 
 , u4 = −E + m  E−m 
u3 = −E + m 
 1 
 0 
0
1
Ces spineurs sont états propres de l’opérateur de spin Ŝz défini par15 :


1
0
0
0
1
1  0 −1 0 0 
1 σ3 0

Ŝz = Σz =
= 
0 σ3
2
2
2 0 0 1 0 
0 0 0 −1
avec comme valeurs propres ± 21 :
1
Ŝz u1 = + u1
2
1
Ŝz u2 = − u2
2
,
,
1
Ŝz u3 = + u3
2
1
Ŝz u4 = − u4
2
On en déduit donc
p que u1 et u2 représentent les deux états de spin d’une particule
d’énergie E =
m2 + p~ 2pet u3 et u4 représentent les deux états de spin d’une
particule d’énergie E = − m2 + ~p 2 .
4. Interprétation de la solution d’énergie négative
Les spineurs de Dirac u3 et u4 correspondantpaux deux états de spin d’une particule
d’impulsion ~p et d’énergie négative E = − m2 + p~ 2 ne peuvent pas représenter
des états physiques réels car des particules avec une énergie négative n’ont pas de
sens physique. E.C.G. Stückelberg et indépendamment R.P. Feynman proposèrent
dans les années 40 de reinterpréter ces deux états comme
p représentant les deux
m2 + p~ 2 et d’impulsion
états de spin d’une antiparticule d’énergie positive E = p
p~ correspondant à une particules d’énergie négative E = − m2 + p~ 2 remontant le
temps i.e. d’impulsion −~p. En d’autres termes il faut réexprimer les deux solutions
u3 et u4 de l’équation de Dirac à partir de la fonction d’onde ψ(x) de départ en
inversant les signes de E et ~p i.e.:
ψ(x) = u(−p)eip·x ≡ u(−E, −~p)ei(Et−~p·~x)
Les solutions obtenues dans ce cas seront appelées dorénavant v1 et v2 , elles ont pour
15
On pose ici ~ = 1. σ3 est la troisième matrice de Pauli.
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expressions:
v1 (E, p~) ≡ u4 (−E, −~p) =
et v2 (E, p~) ≡ u3 (−E, −~p) =
√
√

px −ipy
E+m
−pz
E+m

pz
E+m
px +ipy
E+m

E + m


E + m

0
1
1
0








p
avec cette fois ci E = m2 + p~ 2 .
Le fait de relier v1 à u4 et v2 à u3 est motivé par les considérations suivantes:
Nous avons vu que pour une particule se propageant le long de l’axe z le spineur de
Dirac u4 est un état propre de spin avec Sz = − 12 i.e. dirigé le long −z. Or sous la
~ = ~r ∧ ~p change de
transformation (E, ~p) → (−E, −~p) le moment angulaire orbital L
~ +S
~ ne peut être préservée
signe et la conservation du moment angulaire total J~ = L
~
~
~
(i.e. [H, J] = 0) que si on fait la transformation S → −S. Appliquée à u4 cette
transformation conduit au spineur de Dirac v1 qui représente une antiparticule avec
un spin dirigé suivant +z. Ainsi le spin de l’antiparticule associée au spineur de
Dirac v1 et le même que le spin de la particule associé au spineur de Dirac u1 i.e.
Sz = + 21 . De même les spineurs v2 (antiparticule) et u2 (particule) correspondent à
deux états propres de spin avec Sz = − 12 .
En résumé les spineurs de Dirac u1 p
et u2 correspondent aux deux états de spin d’une
particule de spin 12 , d’énergie E = m2 + ~p2 et d’impulsion ~p (e.g. l’électron) et les
spineurs de Dirac v1 et v2p
correspondent aux deux états de spin d’une antiparticule
de spin 21 , d’énergie E = m2 + p~2 et d’impulsion p~ (e.g. le positron).
Les expressions de ces spineurs sont:




1
0
√
√
 0 
 1 
 , u2 = E + m  px −ip

u1 = E + m 
pz
y 

 E+m

v1 =
√


E + m

px +ipy
E+m
px −ipy
E+m
−pz
E+m
0
1




,
v2 =
√
remarque 1: u1 et u2 satisfont l’équation de Dirac16 :


E + m

E+m
−pz
E+m
pz
E+m
px +ipy
E+m
1
0




(6p − m)us = 0
alors que v1 et v2 satisfont, grâce à la transformation p = (E, p~) → −p = (−E, −~p),
l’équation de Dirac:
(6p + m)vs = 0
16
L’indice s est un indice de spin prenant les valeurs 1 et 2.
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D’autre part les spineurs adjoints us et v s satisfont les équations:
us (6p − m) = 0 et v s (6p + m) = 0
Parmi les autres propriétés des spineurs, on peut noter les propriétés suivantes (les
vérifier à titre d’exercice):
1. Orthonormalité:
us ur = 2mδsr
vs vr = −2mδsr
où s et r sont des indices de spin et δsr est le symbol de Kronecker.
2. Complétude17 :
2
X
s=1
us us = (6p + m) et
2
X
s=1
vs vs = (6p − m)
remarque 2: Le produit de ces deux dernières équations est égal à zéro (le montrer
à titre d’exercice).
D’autre part il est facile de montrer que:
(6p ± m)2 = 2m(6p ± m)
remarque 3: Les quadrivecteurs courants pour une particule et une antiparticule
libres décrites par l’équation de Dirac peuvent être obtenus à partir de l’expression
des spineurs de Dirac u1 et u2 pour la particule et v1 et v2 pour l’antiparticule. En
effet on a (le faire à titre d’exercice):
us γ µ ur = 2pµ δsr
où s et r sont les indices de spin prenant les valeurs 1 et 2 et δsr est le symbol de
Kronecker.
Ainsi les courants u1 γ µ u1 , u2 γ µ u2 pour la particule et v 1 γ µ v1 , v2 γ µ v2 pour l’antiparticule
sont chacun proportionnel au quadrivecteur énergie-impulsion de la particule ou de
l’antiparticule.
5. Opération Parité appliquée aux spineurs de Dirac
L’opération parité est une transformation de Lorentz discrète qui consiste à inverser
les 3 coordonnées d’espace. C’est une transformation discrète qui correspond à une
symétrie par rapport à l’origine des coordonnées:
x1 → −x1 ,
x2 → −x2 , x3 → −x3
En mécanique quantique à l’opération parité est associé un opérateur P̂ qui possède
les propriétés suivantes:
17
Les relations de complétude sont utilisées pour le calcul des éléments de matrices décrivant la
dynamique des interactions et des désintégrations des fermions.
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• P̂ est unitaire: P̂ P̂ † = P̂ † P̂ = 1̂I,
• P̂ 2 = 1̂I + unitarité ⇒ P̂ = P̂ † = P̂ −1 ⇒ P̂ est hermitien,
• unitarité + hermiticité ⇒ P̂ est une observable. Il existe donc un nombre
quantique associé à l’opération parité.
Pour définir comment se transforme un spineur de Dirac sous l’opération parité
et obtenir l’expression de la matrice représentant cette transformation, appliquons
l’opérateur parité P̂ à l’équation de Dirac pour une particule libre de spin 21 , de
masse m et de fonction d’onde ψ(x):
P̂ [(iγ µ ∂µ − m)ψ(x)] = 0
0 ∂
j ∂
⇒ P̂
iγ
− iγ
− m ψ(x) = 0 avec x = (t, ~x)
∂t
∂xj
j ∂
0 ∂
− m ψ(x′ ) = 0 avec x′ = (t, −~x)
+ iγ
⇒
iγ
∂t
∂xj
Si maintenant on multiplie à gauche l’équation de Dirac, transformée sous l’opérateur
P̂ , par γ 0 , on obtient:
0 0 ∂
0
0 j ∂
iγ γ
− mγ ψ(x′ ) = 0
+ iγ γ
∂t
∂xj
j ∂
0 ∂
− m γ 0 ψ(x′ ) = 0
− iγ
⇒
iγ
∂t
∂xj
⇒ (iγ µ ∂µ − m) γ 0 ψ(x′ ) = 0
Cette dernière équation avec comme fonction d’onde γ 0 ψ(x′ ), résultant de la transformation de l’équation de Dirac sous l’opérateur P̂ , a la même forme que l’équation
de Dirac de départ. Ainsi, sous l’opérateur parité P̂ , les spineurs de Dirac ψ(x) se
transfoment comme18 :
P̂
ψ(x) =⇒ ψ ′ (x′ ) = SP ψ(x′ ) = γ 0 ψ(x′ )
Conséquence: La tranformation d’un spineur de Dirac sous l’opérateur parité se
traduit par un signe opposé entre fermions et antifermions. Pour mettre en évidence
ce résultat, appliquons l’opérateur parité P̂ à un fermion (resp. antifermion) au
repos.
Les spineurs correspondant à un fermion et un antifermion au repos sont:
 
 
 
 
1
0
0
0
√
√
√
√
 0 
 1 
 0 
 0 

 
 
 
u1 = 2m 
 0  , u2 = 2m  0  , v1 = 2m  0  , v2 = 2m  1 
0
0
1
0
18
Nous avons vu dans le paragraphe 2.2 que dans le cas d’une opération parité la matrice SP
correspondant à cette transformation satisfait la relation:
0
γ
pour µ = 0
SP−1 γ µ SP =
−γ k pour µ = k = 1, 2, 3
Il est facile de voir que cette relation est satisfaite pour SP = γ 0 .
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Pour le spineur de Dirac u1 , par exemple, la solution de l’équation de Dirac est la
fonction d’onde ψ1 = u1e−imt qui se transforme sous la parité comme (le faire à titre
d’exercice):
P̂ ψ1 = γ 0 ψ1 = γ 0 u1 e−imt = u1 e−imt = ψ1
ψ1 , ou de façon équivalente u1 , est donc un état propre de la parité avec comme valeur
propre +1. De même on peut montrer que u2 , v1 et v2 sont états propres de la parité
avec comme valeurs propres respectives +1, −1 et −1. Ainsi une antiparticule de
spin 1/2 (fermion) au repos (v1 , v2 ) a une parité intrinsèque opposée à celle d’une
particule au repos (u1 , u2 ):
P̂ ψ = +ψ pour u1 , u2
P̂ ψ = −ψ pour v1 , v2
remarque: seules les parités intrinsèques relatives des particules et antiparticules
peuvent être déterminées de façon non ambigüe. Les parités absolues +1 pour les
particules et −1 pour les antiparticules sont attribuées de façon purement conventionnelle.
6. Opération conjugaison de charge appliquée aux spineurs de Dirac
La conjugaison de charge est une opération qui transforme une particule en son
antiparticule de masse, de spin, d’impulsion et d’énergie identiques mais dont les
nombres quantiques additifs (charge électrique, nombre baryonique, nombres leptoniques, étrangeté, · · · etc) sont opposés à ceux de la particule.
En mécanique quantique à l’opération conjugaison de charge est associée un opérateur
Ĉ qui possède les mêmes propriétés que l’opérateur parité:
• Ĉ est unitaire: Ĉ Ĉ † = Ĉ † Ĉ = 1̂I,
• Ĉ 2 = 1̂I + unitarité ⇒ Ĉ = Ĉ † = Ĉ −1 ⇒ Ĉ est hermitien,
• unitarité + hermiticité ⇒ Ĉ est une observable. Il existe donc un nombre
quantique associé à l’opération conjugaison de charge.
Nous allons étudier dans ce paragraphe l’action de l’opérateur de conjugaison de
charge Ĉ sur un fermion décrit par le spineur de Dirac ψ. Pour cela nous allons
partir de l’équation de Dirac décrivant le mouvement d’un fermion de charge Qe et
de fonction d’onde ψ en présence d’un champ électromagnétique de quadripotentiel
Aµ . Cette équation s’obtient à partir de l’équation de Dirac décrivant le mouvement
d’un fermion libre, en faisant la substitution :
i∂µ → i∂µ − QeAµ
Elle s’écrit donc:
γ µ (i∂µ − QeAµ )ψ − mψ = 0
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Pour un antifermion de même masse, de charge électrique opposée −Qe et de fonction d’onde ψ ′ , l’équation de Dirac s’écrit:
γ µ (i∂µ − (−Qe)Aµ )ψ ′ − mψ ′ = 0
La fonction d’onde ψ ′ est reliée à la fonction d’onde ψ par l’opération conjugaison
de charge ψ ′ = Ĉψ.
Essayons maintenant de trouver l’expression de la fonction d’onde ψ ′ en fonction
de ψ et par là l’expression de la matrice de transformation représentant l’acion de
l’opérateur conjugaison de charge Ĉ sur ψ.
En prenant le complexe conjugué de l’équation de Dirac décrivant la dynamique d’un
fermion en présence d’un champ électromagnétique, puis en multipliant à gauche par
γ 2 , on obtient l’équation:
−iγ 2 γ ⋆µ (∂µ − iQeAµ )ψ ⋆ − mγ 2 ψ ⋆ = 0
Or comme les matrices γ satisfont les propriétés suivantes:
γ ⋆0 = γ 0 ,
γ ⋆1 = γ 1 , γ ⋆2 = −γ 2 ,
γ ⋆3 = γ 3
on peut vérifier aisément que (le faire à titre d’exercice):
γ 2 γ ⋆µ = −γ µ γ 2
L’équation de Dirac modifiée s’écrit alors:
iγ µ γ 2 (∂µ − iQeAµ )ψ ⋆ − mγ 2 ψ ⋆ = 0
En introduisant la transformation de conjugaison de charge:
ψ ′ ≡ Ĉψ = iγ 2 ψ ⋆
qu’on écrit souvent aussi sous la forme:
ψ ′ ≡ Ĉψ = iγ 2 γ 0 γ 0 ψ ⋆ = Cγ 0 ψ ⋆ ≡ Cψ
T
où C = iγ 2 γ 0 est une matrice appelée matrice de conjugaison de charge. Elle satisfait
la propriété C = −C −1 .
L’équation de Dirac modifiée s’écrit alors sous la forme:
γ µ (∂µ − iQeAµ )ψ ′ + imψ ′ = 0
En multipliant cette équation par i, on obtient finalement:
γ µ (i∂µ − (−Qe)Aµ )ψ ′ − mψ ′ = 0
Cette équation qui a la même forme que l’équation de Dirac de départ correspond à
l’équation de Dirac pour un antifermion de même masse que le fermion décrit par la
fonction d’onde ψ mais de charge électrique opposée. En d’autres termes le spineur
de Dirac ψ ′ décrit l’antifermion de ψ.
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En résumé l’opération de conjugaison de charge qui correspond à la transformation:
ψ ′ ≡ Ĉψ = Cγ 0 ψ ⋆ = iγ 2 ψ ⋆
transforme une particule en son antiparticule et inversement.
Regardons maintenant comment se transforme un fermion libre décrit par la solution
onde plane de l’équation de Dirac sous la transformation Ĉ.
Nous avons vu que la solution onde plane de l’equation de Dirac pour une particule
de spin + 21 (spin up) est donnée par:
ψ = u1 e−ip·x
Sous l’action de l’opérateur de conjugaison de charge Ĉ, ψ se transforme en:


⋆

1
0 0 0 −i
 0 0 i 0  √
 0  ip·x

 pz  e
ψ ′ = iγ 2 ψ ⋆ = i 
 0 i 0 0  E + m  E+m

px +ipy
−i 0 0 0
E+m
 px −ipy 
=
√

E + m

= v1 eip·x
E+m
−pz
E+m
0
1
 ip·x
 e

Ce qui représente l’antiparticule de ψ. On voit donc que sous la conjugaison de
charge on a:
Ĉ
ψ = u1 e−ip·x → ψ ′ = v1 eip·x
de même on a (le vérifier à titre d’exercice):
Ĉ
ψ = u2 e−ip·x → ψ ′ = −v2 eip·x
Ainsi les spineurs de Dirac v1 et v2 sont effectivement les antiparticules correspondant respectivement aux spineurs de Dirac u1 et u2 .
7. Opération renversement du temps appliquée aux spineurs de Dirac
Le renversement du temps19 ou plus précisement renversement du sens du temps
est la transformation qui consiste à inverser la direction du temps. C’est l’analogue
temporel de la parité.
En mécanique quantique à l’opération renversement du temps est associé un opérateur
T̂ qui, contrairement aux opérateurs parité P̂ et conjugaison de charge Ĉ, n’est pas
un opérateur unitaire mais antiunitaire20 . Il n’est pas non plus hermitien et ne peut
19
Le terme de renversement du temps veut ici dire renversement du sens du mouvement et non
pas l’action qui consiste à remonter le temps.
20
En effet l’opérateur T̂ transforme le commutateur [r̂k , p̂k ] en −[r̂k , p̂k ] où r̂ et p̂k sont reˆ
spectivement les composantes des observables position et impulsion. Or comme [r̂k , p̂k ] = i~I,
ˆ
où I est l’opérateur unité, la transformation de [r̂k , p̂k ] en −[r̂k , p̂k ] sous T̂ , nécessite donc que
ˆ T̂ −1 = −i~I.
ˆ Ce qui montre bien que l’opérateur T̂ est un opérateur antiunitaire.
T̂ (i~I)
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donc être une observable. Par conséquant T̂ n’a pas de valeurs propres observables
i.e. qu’il n’existe pas de nombre quantique conservé ou non que l’on peut associer
à l’opération renversement de temps.
Pour étudier l’action de l’opération de renversement du temps T̂ sur un fermion
décrit par le spineur de Dirac ψ, nous allons, comme pour l’opération conjugaison
de charge, partir de l’équation de Dirac décrivant le mouvement d’un fermion de
charge Qe et de fonction d’onde ψ en présence d’un champ électromagnétique de
quadrivecteur Aµ :
γ µ (i∂µ − QeAµ )ψ − mψ = 0
Sous l’opération de renversement du temps, il est facile de montrer que le quadrivecteur
∂µ se transforme de la manière suivante:
T̂ ∂µ ≡ ∂µ′ = −∂ µ
De même, il est facile de montrer, à partir des équations de Maxwell, que le quadrivecteur
potentiel Aµ se tranforme de la manière suivante sous l’action de l’opérateur T̂ :
T̂ Aµ ≡ A′µ = Aµ
En effet les charges sources du potentiel scalaire ne changent pas de signe alors
que les courants sources du potentiel vecteur changent de signe sous l’opération
renversement du temps.
Par conséquant l’équation de Dirac en présence d’un champ électromagnétique s’écrit
sous l’action de l’opérateur T̂ :
γ µ (i∂µ′ − QeA′µ )ψ ′ − mψ ′ = 0
γ µ (−i∂ µ − QeAµ )ψ ′ − mψ ′ = 0
En explicitant l’action de l’opérateur T̂ sur le spineur de Dirac ψ
T̂ ψ ≡ ψ ′ = ST ψ ⋆
dans l’équation de Dirac transformée sous l’opérateur T̂ , on a:
γ µ (−i∂ µ − QeAµ )ST ψ ⋆ − mST ψ ⋆ = 0
Maintenant en partant de l’équation de Dirac en présence d’un champ électromagnétique avant l’application de l’opérateur T̂ et en calculant son complexe conjugué, on a21 :
γµ⋆ (−i∂ µ − QeAµ )ψ ⋆ − mψ ⋆ = 0
21
Ici on est parti de l’expression suivante de l’équation de Dirac:
γµ (i∂ µ − QeAµ )ψ − mψ = 0
qui est équivalente à l’expression:
γ µ (i∂µ − QeAµ )ψ − mψ = 0
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19
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et en multipliant à gauche l’équation de Dirac précédente par ST , on obtient:
ST γµ⋆ ST−1 (−i∂ µ − QeAµ )ST ψ ⋆ − mST ψ ⋆ = 0
Si maintenant on compare cette équation de Dirac à celle transformée sous l’opérateur
T̂ , il est facile de montrer que ces deux équations ont la même forme si on a:
ST γµ⋆ ST−1 = γ µ
Il est facile de montrer que la solution de cette équation est donnée par:
ST = iγ 1 γ 3
qui satisfait les conditions:
ST = ST† = ST−1
8. Formes bilinéaires covariantes construites à partir des spineurs de Dirac
Nous avons dejà mentioné (cf. paragraphe 2.2) que le spineur de Dirac ne se transforme pas comme un quadrivecteur quand on passe d’un référentiel inertiel à un
autre. On montre cependant que la quantité invariante de Lorentz correspondant à
un scalaire que l’on peut construire à partir d’un spineur de Dirac ψ est donnée par:
ψψ = |ψ1 |2 + |ψ2 |2 − |ψ3 |2 − |ψ4 |2
La quantité ψψ est un vrai scalaire car elle se transforme comme un scalaire sous
l’opération parité. Il en est de même pour ψ 1 ψ2 où ψ1 et ψ2 sont des spineurs de
Dirac représentant deux particules fermioniques différentes. En effet on a:
P̂ (ψ 1 ψ2 ) = (ψ 1 ψ2 )′ = (ψ1′ )† γ 0 ψ2′ = ψ1† γ 0† γ 0 γ 0 ψ2 = ψ1† γ 0 ψ2 = ψ 1 ψ2
De même on peut définir les formes bilinéaires suivantes22 :
ψ 1 γ 5 ψ2 ,
ψ 1 γ µ ψ2 ,
ψ 1 γ µ γ 5 ψ2 ,
ψ 1 σ µν ψ2
qui correspondent respectivement à, et se transforment sous l’opération parité comme,
un pseudoscalaire, un vecteur, un pseudovecteur et un tenseur antisymétrique avec
σ µν = 2i [γ µ , γ ν ].
En effet il est facile de montrer que (le faire à titre d’exercice):
P̂ (ψ 1 γ 5 ψ2 ) = −ψ 1 γ 5 ψ2
P̂ (ψ 1 γ µ ψ2 ) = ψ 1 γµ ψ2 ≡ (−1)µ ψ 1 γ µ ψ2
P̂ (ψ 1 γ µ γ 5 ψ2 ) = −ψ 1 γµ γ 5 ψ2 ≡ −(−1)µ ψ 1 γ µ γ 5 ψ2
P̂ (ψ 1 σ µν ψ2 ) = ψ 1 σµν ψ2 ≡ (−1)µ (−1)ν ψ 1 σ µν ψ2
avec (−1)µ = 1 pour µ = 0 et (−1)µ = −1 pour µ 6= 0.
ψ 1 γ µ ψ2 n’est autre que le quadrivecteur courant définit dans le paragraphe 2.1 et qui se
comporte sous l’opération parité comme un vecteur.
22
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20
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Il est facile de montrer aussi (le faire à titre d’exercice) que ces formes bilinéaires se
transforment de la façon suivante sous l’opération conjugaison de charge23 :
Ĉ(ψ 1 ψ2 )
Ĉ(ψ 1 γ 5 ψ2 )
Ĉ(ψ 1 γ µ ψ2 )
Ĉ(ψ 1 γ µ γ 5 ψ2 )
Ĉ(ψ 1 σ µν ψ2 )
=
=
=
=
=
ψ 2 ψ1
ψ 2 γ 5 ψ1
−ψ 2 γ µ ψ1
ψ 2 γ µ γ 5 ψ1
−ψ 2 σ µν ψ1
De même, il est facile de montrer (le faire à titre d’exercice) que ces mêmes formes
bilinéaires se transforment de la façon suivante sous l’opération de renversement du
temps:
T̂ (ψ 1 ψ2 ) = ψ 1 ψ2
T̂ (ψ 1 γ 5 ψ2 ) = −ψ 1 γ 5 ψ2
T̂ (ψ 1 γ µ ψ2 ) = ψ 1 γµ ψ2 ≡ (−1)µ ψ 1 γ µ ψ2
T̂ (ψ 1 γ µ γ 5 ψ2 ) = ψ 1 γµ γ 5 ψ2 ≡ (−1)µ ψ 1 γ µ γ 5 ψ2
T̂ (ψ 1 σ µν ψ2 ) = −ψ 1 σµν ψ2 ≡ −(−1)µ (−1)ν ψ 1 σ µν ψ2
En résumé, on peut, à partir des spineurs de Dirac et des matrices γ définir les
formes bilinéaires suivantes:
Formes bilinéaires
ψ 1 ψ2 (Scalaire)
ψ 1 γ 5 ψ2 (Pseudoscalaire)
ψ 1 γ µ ψ2 (Vecteur)
ψ 1 γ µ γ 5 ψ2 (Pseudovecteur)
ψ 1 σ µν ψ2 (Tenseur)
23
Ĉ
ψ 2 ψ1
ψ 2 γ 5 ψ1
−ψ 2 γ µ ψ1
ψ 1 γµ γ 5 ψ2
−ψ 1 σµν ψ2
P̂
ψ 1 ψ2
−ψ 1 γ 5 ψ2
ψ 1 γµ ψ2
−ψ 1 γµ γ 5 ψ2
ψ 1 σµν ψ2
T̂
ψ 1 ψ2
−ψ 1 γ 5 ψ2
ψ 1 γµ ψ2
ψ 1 γµ γ 5 ψ2
−ψ 1 σµν ψ2
Ĉ P̂
ψ 2 ψ1
−ψ 2 γ 5 ψ1
−ψ 2 γ µ ψ1
−ψ 1 γµ γ 5 ψ2
−ψ 1 σµν ψ2
Ĉ P̂ T̂
ψ 2 ψ1
ψ 2 γ 5 ψ1
−ψ 2 γ µ ψ1
−ψ 1 γµ γ 5 ψ2
ψ 1 σµν ψ2
Pour la forme bilinaire ψ 1 ψ2 par exemple, on a:
T
T
Ĉ(ψ 1 ψ2 ) = −ψ1T C −1 Cψ 2 = −ψ1T ψ 2 = ψ 2 ψ1
T
= ψ 2 ψ1
Le signe ”−” dans la 3ème étape provient de l’anticommutation des champs fermioniques. Dans
la dernière étape on ne garde pas le transposé car la quantité ψ 1 ψ2 est une quantité scalaire. Ce
n’est pas une matrice.
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9. Moment magnétique du fermion
Nous avons vu (cf. paragraphe 6) que l’équation de Dirac décrivant le mouvement
d’un fermion de charge Qe en présence d’un champ électromagnétique de quadripotentiel Aµ s’écrit:
[γ µ (i∂µ − QeAµ ) − m] ψ = 0
où e est la charge de l’électron.
En prenant comme solution de cette équation une onde plane comme dans le cas
d’une particule libre, i.e.:
ψ = u(p) e−ip·x
on obtient l’expression de l’équation de Dirac en présence d’un champ électromagnétique
dans l’espace des impulsions:
[γ µ (pµ − QeAµ ) − m] u(p) = 0
or comme:
γ µ = (γ 0 , ~γ ) ≡ (β, β~
α) ,
~
pµ = (E, −~p) et Aµ = (φ, −A)
on obtient alors en développant cette équation:
h
i
~
βE − β~
α · p~ − Qeβφ + Qeβ~
α · A − m u(p) = 0
En multipliant à gauche cette équation par −β et en utilisant le fait que β 2 = 1I, on
obtient alors l’équation suivante:
h
i
~
α
~ · (~p − QeA) + βm + Qeφ u(p) = E u(p)
qu’on peut réécrire, en utilisant les expressions des matrices α
~ et β, sous la forme
suivante:
~
(m + Qeφ)I ~σ · (~p − QeA)
uA
uA
=E
~ −(m − Qeφ)I
uB
uB
~σ · (~p − QeA)
où uA et uB sont, comme on les a noté dans le paragraphe 3, les deux composantes,
matrices colonnes à deux éléments, supérieures et inférieures du spineur de Dirac u.
Cette équation matricielle conduit aux deux équations couplées suivantes:
h
i
~ uB = [E − m − Qeφ] uA
~σ · (~p − QeA)
h
i
~
et ~σ · (~p − QeA) uA = [E + m − Qeφ] uB
En éliminant uB de ces deux équations on obtient la relation suivante:
#
"
~
~σ · (~p − QeA)
~ uA = [E − m − Qeφ] uA
~σ · (~p − QeA)
E + m − Qeφ
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Dans la limite non relativiste où l’énergie cinétique du fermion et l’énergie de son
interaction avec le champ électromagnétique, Qeφ, sont petites devant sa masse m,
on a:
E + m − Qeφ ≃ 2m
E − m ≃ EN R
où EN R est l’énergie cinétique, non relativiste, du fermion.
Dans ce cas on obtient l’équation suivante:
ih
i
1 h
~
~
~σ · (~p − QeA) ~σ · (~p − QeA) + Qeφ uA = EN R uA
2m
En utilisant la relation vectorielle:
(~σ · ~a)(~σ · ~b) = (~a · ~b) + i~σ · (~a ∧ ~b)
on obtient l’équation:
o
1 n
2
~ + i~σ · ((~p − QeA)
~ ∧ (~p − QeA))
~
(~p − QeA)
+ Qeφ uA = EN R uA
2m
En développant le produit vectoriel, on obtient:
o
1 n
2
~
~
~
(~p − QeA) − i~σ · Qe(~p ∧ A + A ∧ p~) + Qeφ uA = EN R uA
2m
~ dans le terme Qe(~p ∧ A
~ +A
~ ∧ ~p) uA , ce dernier
En faisant la substitution24 ~p → −i∇
s’écrit:
h
i
~ ∧ (Au
~ A) + A
~ ∧ (∇u
~ A ) = −iQe(∇
~ ∧ A)
~ uA
−iQe ∇
→ ~
~ ∧ (Au
~ A ) = (∇
~ ∧ A)u
~ A−A
~ ∧ (∇u
~ A ). Or comme ∇
~ ∧A
~=−
~ où B
~ est
car ∇
rot A
=B
un champ magnétique, on obtient finalement l’équation suivante:
1
Qe
2
~
~
(~p − QeA) −
~σ · B + Qeφ uA = EN R uA
2m
2m
Le premier terme de l’expression entre crochets correspond à l’Hamiltonien classique
décrivant le mouvement d’un fermion de charge Qe dans un champ électromagnétique.
Le deuxième terme peut-être interprété comme provenant de l’interaction du mo~ =
ment magnétique, −Qe~σ /2m, de ce même fermion avec le champ magnétique B
−
→ ~
rot A. Le troisième terme correspond à l’énergie électrique de la particule.
24
On utilise ici le système d’unité naturel (~ = c = 1).
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10. Notions d’hélicité et de chiralité d’une particule de spin
1
2
10.1 Hélicité
~ d’une particule le
L’hélicité est un opérateur qui a pour action de projeter le spin S
long de sa direction de mouvement ~p. L’opérateur hélicité est défini donc par:
~ · ~p
Σ
~
σ
·
~
e
0
p
~ · ~ep =
=Σ
ĥ ≡
0
~σ · ~ep
|~p|
~ = 2S.
~ Pour un fermion ou un
où ~ep est le vecteur unitaire le long de ~p et Σ
antifermion libres, il y a deux états propres d’hélicité. Un état avec le spin dirigé le
long de la direction du mouvement (hélicite h = +1) et un autre avec le spin dirigé
dans le sense opposé à la direction du mouvement (hélicité h = −1).
Pour un fermion ou un antifermion se propageant le long de l’axe z avec un quadrivecteur énergie-impulsion pµ = (E, 0, 0, p), les états propres d’hélicité correspondent
aux spineurs de Dirac ui et vi (i = 1, 2). Si le mouvement du fermion est dans la
direction +z, alors les valeurs propres d’hélicité correspondant aux états de spin
u1 (Sz = + 12 ), u2 (Sz = − 12 ), v1 (Sz = + 12 ) et v2 (Sz = − 21 ) sont respectivement +1,
−1, +1, −1. Si par contre la direction du mouvement est suivant −z, les valeurs
propres d’hélicité sont alors −1, +1, −1, +1.
En particulier dans le cas où p → +∞ (limite ultra-relativiste) le long de +z, les
spineurs de Dirac u1 , u2 , v1 et v2 s’écrivent:


 


 
1
0
0
1
√  1 
√  −1 
√  0 
√  0 





 
u1 = E 
 1  , u2 = E  0  , v1 = E  0  , v2 = E  1 
0
−1
1
0
Ils sont états propres de l’opérateur hélicité (le verifier à titre d’exercice) avec:
ĥu1 = u1 ,
ĥu2 = −u2 ,
ĥv1 = v1 , ĥv2 = −v2 ,
De même dans le cas où p → −∞ (limite ultra-relativiste) le long de −z, les spineurs
de dirac u1 , u2 , v1 et v2 s’écrivent:



 
 

1
0
0
−1
√  0 
√  
√  
√ 

 , u2 = E  1  , v1 = E  1  , v2 = E  0 
u1 = E 
 −1 
 0 
 0 
 1 
0
1
1
0
Ils sont états propres de l’hélicité (le verifier à titre d’exercice) avec:
ĥu1 = −u1 ,
ĥu2 = u2 ,
ĥv1 = −v1 ,
ĥv2 = v2 ,
Dans le cas où la direction de mouvement du fermion est arbitraire, les spineurs de
Dirac ui et vi ne sont plus états propres de l’hélicité.
remarque 1: un fermion ou un antifermion d’hélicité négative est dit left-handed, s’il
est d’hélicité positive, il est dit right-handed.
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remarque 2: L’hélicité d’un fermion massif n’est pas une quantité invariante sous la
transformation de Lorentz continue. Pour un fermion sans masse (ou un fermion
ultra-relativiste i.e. m ≪ E), l’hélicité est une quantité fixe et invariante sous la
transformation de Lorentz continue. À noter aussi que l’hélicité n’est pas définie
pour un fermion au repos.
10.2 Chiralité
Nous venons de voir que dans la limite ultra-relativiste, les spineurs de Dirac u1 et
u2 décrivant les deux états de spin d’un fermion et les spineurs v1 et v2 décrivant les
deux états de spin d’un antifermion tout deux se propageant, par exemple, le long
de l’axe +z, s’écrivent:


 


 
1
0
0
1
√  0 
√  1 
√  −1 
√  0 





 
u1 = E 
 1  , u2 = E  0  , v1 = E  0  , v2 = E  1 
0
−1
1
0
En plus d’être états propres de l’opérateur hélicité comme on l’a vu, ces spineurs
sont aussi états propres de l’opérateur défini par la matrice γ 5 . En effet on peut
montrer que (le faire à titre d’exercice):
γ 5 u1 = u1 ,
γ 5 u2 = −u2 ,
γ 5 v1 = −v1 ,
γ 5 v2 = v2
On remarque que pour un fermion, les deux valeurs propres de γ 5 correspondent
aux deux états de son hélicité (h = +1 et h = −1), alors que pour un antifermion,
elles sont opposées aux deux états de son hélicité.
On peut à partir de γ 5 construire deux nouveaux opérateurs définis par:
1
1
PL = (1 − γ 5 ) et PR = (1 + γ 5 )
2
2
Ces deux opérateurs PL et PR s’appellent respectivement opérateur de projection
left-handed et opérateur de projection right-handed.
Un spineur de Dirac peut toujours être décomposé en la somme de ses deux projections left-handed ψL et right-handed ψR . En effet on a:
ψL ≡ PL ψ = 21 (1 − γ 5 )ψ
ψ = ψL + ψR avec
ψR ≡ PR ψ = 21 (1 + γ 5 )ψ
Les projections ψL et ψR définissent ce qu’on appelle communément les composantes
chirales respectivement left-handed et right-handed du spineur ψ.
remarque: Les composantes chirales left-handed et right-handed que nous venons de
définir s’appliquent à n’importe quel spineur. Seuls les spineurs représentants des
fermions/antifermions dans la limite ultra-relativiste ont des composantes chirales
avec une hélicité bien définie.
Pour un fermion ultra-relativiste se déplaçant le long de +z on a:
De même pour un antifermion ultra-relativiste se déplaçant le long de +z on a:
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PL u1 = 12 (1 − γ 5 )u1 = 0
PL u2 = 21 (1 − γ 5 )u2 = u2 (h = −1)
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,
,
PR u1 = 21 (1 + γ 5 )u1 = u1 (h = +1)
PR u2 = 21 (1 + γ 5 )u2 = 0.
PL v1 = 21 (1 − γ 5 )v1 = v1 (h = +1) , PR v1 = 12 (1 + γ 5 )v1 = 0
PL v2 = 21 (1 − γ 5 )v2 = 0
, PR v2 = 12 (1 + γ 5 )v2 = v2 (h = −1).
En générale pour un fermion de spineur u = α1 u1 +α2 u2 et un antifermion de spineur
v = β1 v1 + β2 v2 on a:
En résumé on peut dire que dans la limite ultra-relativiste les opérateurs PL et
PR permettent d’isoler (ou d’extraire) les composantes respectivement d’hélicité
négative et positive d’un fermion et les composantes respectivement d’hélicité positive et négative d’un antifermion:
10.3 Construction des états d’hélicité
Les opérateurs de projections PL et PR peuvent être utilisés pour construire les états
d’hélicité u↑ (h = +1), u↓ (h = −1), v↑ (h = +1) et v↓ (h = −1) pour des fermions
et des antifermions ultra-relativiste25 en mouvement dans une direction arbitraire.
Considérons, par exemple, un fermion se déplaçant avec un angle θ par rapport
à l’axe z, avec un quadrivecteur énergie-impulsion pµ = (E, Esinθ, 0, Ecosθ). Le
spineur u1 correspondant s’écrit dans ce cas:




1
1
√  0  √  0 



u1 = E 
 pz  = E  cosθ 
E
px +ipy
sinθ
E
La composante left-handed de u1 s’écrit alors:

1 − cosθ
√

1
E
 −sinθ
(1 − γ 5 )u1 =
2
2  −1 + cosθ
sinθ

sin 2θ
√
θ  −cos 2θ
Esin 
=
2  −sin 2θ
cos θ2








Or comme on a vu que, dans la limite ultra-relativiste, la composante left-handed
d’un fermion correspond à un état propre d’hélicité négative, le spineur 21 (1 − γ 5 )u1
doit donc nécessairement être proportionnel à u↓ i.e.:


sin 2θ
√
θ  −cos θ2 

u↓ = A Esin 
2  −sin 2θ 
cos 2θ
25
Pour un fermion ou un antifermion ultrarelativiste, on a E = |~
p|, i.e. que la masse du fermion
est négligeable devant son énergie.
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PL u = 12 (1 − γ 5 )u = α2 u2 (h = −1) , PL v = 12 (1 − γ 5 )v = β1 v1 (h = +1)
PR u = 21 (1 + γ 5 )u = α1 u1 (h = +1) , PR v = 21 (1 + γ 5 )v = β2 v2 (h = −1)
h = −1 (left-handed)
h = +1 (right-handed)
Fermion
Antifermion
5
− γ )u 12 (1 + γ 5 )v
+ γ 5 )u 12 (1 − γ 5 )v
1
(1
2
1
(1
2
La constante de proportionnalité A peut être déterminée grâce à la condition de
normalisation u†↓ u↓ = 2E. En effet on trouve:
u†↓ u↓ = 2|A|2E sin2
1
θ
= 2E ⇒ A = ± θ
2
sin 2
Parmi les deux solutions de A on choisi celle avec le signe négatif pour avoir u↓ = u2
quand θ = 0. On a donc:


−sin θ2
√  cos θ 
2 
u↓ = E 
 sin θ 
2
−cos 2θ
remarque: On aurrait tout aussi bien pu commencer par le spineur u2 au lieu de u1 ,
dans ce cas aussi 21 (1 − γ 5 )u2 est un état d’hélicité négative.
L’état d’hélicité u↑ peut de façon similaire être obtenu à partir de la composante
right-handed 21 (1 + γ 5 )u1 . De même les états propres v↓ et v↑ peuvent aussi être
obtenus respectivement à partir de 12 (1 + γ 5 )v1 et 12 (1 − γ 5 )v1 . En résumé les états
propres d’hélicité s’écrivent:
 


 


c
−s
s
c
√  s 
√  c 
√  −c 
√  s 


 



u↑ = E 
 c  , u↓ = E  s  , v↑ = E  −s  , v↓ = E  c  ,
s
−c
c
s
où c ≡ cos 2θ et s ≡ sin 2θ . Pour θ = 0 on retrouve les expressions de u1 , u2 , v1 et v2
pour un fermion/antifermion en mouvement ultra-relativiste dans la direction +z.
Pour θ = π on retrouve, au signe près du facteur de normalisation, les expressions
de u1 , u2 , v1 et v2 pour un fermion/antifermion en mouvement ultra-relativiste dans
la direction −z.
Il est facile de montrer que (le faire comme exercice):
γ 5 u↑ = u↑ ,
γ 5 u↓ = −u↓ ,
γ 5 v↑ = −v↑ ,
γ 5 v↓ = v↓
Ces expressions sont tout à fait les mêmes que celles que nous avons obtenu dans le
cas où θ = 0, ce qui montre leur validité quelque soit la direction de propagation du
fermion/antifermion.
En résumé dans la limite ultra-relativiste les composantes chirales ψL et ψR d’un
fermion ou d’un antifermion, deviennent des états propres d’hélicité. Pour un
fermion ils correspondent aux composantes respectivement left-handed et right-handed
et pour un antifermion ils correspondent aux composantes respectivement righthanded et left-handed.
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