Test t de Student et ONEWAY

Test t de Student et ONEWAY (Corrigé)
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Connaissances préalables :
Test t de comparaison de moyennes pour échantillon indépendants; analyse
de la variance à un facteur.
application d'un test d'hypothèse
TI-83 ; Programmes utilisateur : T2ECH; T1FAC; DISTR
Arrondissez les résultats numériques à 3 décimales.
Buts spécifiques :
Outils nécessaires :
Consignes générales :
Trois méthodes de psychothérapie sont utilisées pour combattre la peur du vide (méthode A, méthode B
et méthode C). Trois échantillons aléatoires simples indépendants de sujets sont utilisés dans l'expérience.
Après le traitement, les sujets sont appelés à se rapprocher le plus près possible du bord d'un gouffre. Les
distances sont mesurées en mètres. Voici les résultats observés par groupe :
Groupe 1 (méthode A)
3
2
2,5 3,5 3 3,5
3 4 2,5 2
Groupe 2 (méthode B)
3,5
3,5
1,5
2,5 3 2,5
3 2 3
2
Groupe 3 (méthode C)
1,5
2
3,5 2,5 2 2,5 2,5
2,5
2 2 3 1
2,5
1. Calculez, pour chaque groupe , la moyenne ainsi que l’écart-type (non corrigé) des résultats observés.
Groupe 1 (méthode A)
Groupe 2 (méthode B)
Groupe 3 (méthode C)
Moyenne
2,955
2,450
2,333
Ecart-type
0,620
0,650
0,589
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2. De manière intuitive, que peut-on dire de l'efficacité moyenne comparée des trois méthodes ?
Réponse :
La méthode C semble en moyenne plus efficace que la méthode B, et celle-ci paraît en moyenne plu
performante que la méthode A.
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On se propose d'effectuer une comparaison des moyennes à l’aide d’un test statistique.
3. Comparez les méthodes deux à deux (au niveau de 0,05, test bilatéral) à l'aide du test t de comparaison
de moyennes pour échantillons indépendants et complétez le tableau suivant :
différence entre
moyennes
valeur de T
observée
seuil de rejet
(bilatéral)
p-valeur
t obs
groupe 1 vs groupe 2
0,505
1,731
t19;0,975 = 2,093
0,100
groupe 1 vs groupe 3
0,622
2,354
t21;0,975 = 2,080
0,028
groupe 2 vs groupe 3
0,117
0,421
t20;0,975 = 2,086
0,678
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4. Décision et interprétation au niveau de 0,05.
Décision et interprétation
groupe 1 vs groupe 2
On ne rejette pas l'hypothèse d'égalité des moyennes. Aucune de ces
deux méthodes ne semble supérieure en moyenne à l'autre.
groupe 1 vs groupe 3
On rejette l'hypothèse d'égalité des moyennes. La méthode C semble
apporter de meilleurs résultats en moyenne que la méthode A.
groupe 2 vs groupe 3
On ne rejette pas l'hypothèse d'égalité des moyennes. Aucune de ces
deux méthodes ne semble supérieure en moyenne à l'autre.
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5. Quelles sont les hypothèses de travail qui doivent être satisfaites pour pouvoir appliquer le test t pour
échantillons indépendants ? Dites si elles sont vérifiées dans le cas d'espèce.
Réponse :
Les échantillons utilisés doivent être aléatoires simples indépendants.
La variable étudiée doit se distribuer selon une loi normale dans les trois populations dont sont
extraits les échantillons.
Les variances des populations dont sont extraits les échantillons doivent être homogènes (On peut
raisonnablement penser que cette dernière hypothèse est bien satisfaite, puisque les trois
variances-échantillons présentent seulement des différences négligeables).
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On propose d'effectuer une analyse de la variance à un facteur sur les données.
6. Effectuez maintenant une analyse de la variance à un facteur sur l'ensemble des données (niveau de
0,05) et complétez le tableau ci-après :
Source de
variation
Inter- groupes
Somme des
carrés
2,442
degrés de
liberté
2
Carrés
moyens
1,221
Intra-groupes
12,619
30
0,421
Total
15,061
32
rapport
F
2,902
Seuil de
rejet
3,32
p-valeur
0,070
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7. Quelles sont les hypothèses de travail qui doivent être satisfaites pour pouvoir appliquer l'analyse de la
variance à un facteur ? Dites si elles sont vérifiées dans le cas d'espèce.
Réponse :
Les échantillons utilisés doivent être aléatoires simples indépendants.
La variable étudiée doit se distribuer selon une loi normale dans chacune des trois souspopulations.
La variable étudiée doit posséder la même variance dans chacune des trois sous-populations
considérées (hypothèse d’homoscédasticité). On peut raisonnablement penser que cette dernière
hypothèse est bien satisfaite, puisque les trois variances-échantillons ne présentent que de très
faibles différences.
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8. Décision et interprétation au niveau de 0,05.
Réponse :
On ne rejette pas l'hypothèse nulle. Les données ne permettent pas de conclure à l’existence d’une
différence entre les performances moyennes des trois méthodes.
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9. La décision prise au point 8 est-elle compatible avec celles prises au point 4. Quelle conclusion doit-on
finalement retenir . Commentez.
Réponse :
Le test t a permis de conclure à une différence significative entre les méthodes A et C ( au
niveau de 5%).
On retiendra pourtant la conclusion obtenue grâce à l'analyse de la variance à un facteur. Le
test ONEWAY est le test le mieux indiqué lorsque l'on compare plus de deux moyennes. Il est
vivement déconseillé de procéder à plusieurs tests t. En effet, si chaque test est effectué au
niveau de 0,05, la probabilité de conclure erronément à une différence significative à l'un ou
l'autre de ces trois tests (risque de première espèce) n'est pas 0,05. Elle est calculée par la
formule
1 - (1 - α)c où c est le nombre de tests t effectués. En effet,
le risque de 1èreespèce associé à l’ensemble des c tests
= probabilité qu’au moins un des tests nous fasse commettre l’erreur de 1èreespèce
= 1 - probabilité qu’aucun des c tests ne fasse commettre l’erreur de 1èreespèce
= 1 - (1 - risque de 1èreespèce associé à un test donné)c
= 1 - (1 - α)c
Dans notre exemple, le risque de première espèce associé à l’ensemble des trois tests t vaut 1 (1 - 0,05)3 = 0,143, et est donc très nettement supérieur au niveau de 0,05 que nous nous étions
fixé.
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