MP*: Probabilités

MP*: Probabilités
Coralie Renault
19 septembre 2014
Exercice
Soit Xet Ydeux variables aléatoires discrètes indépendantes.
On suppose que celles-ci suivent une même loi géométrique de paramètre p.
a) Déterminer P(X > n)pour n∈N.
b) En déduire la loi de Z= min(X, Y ).
c) Observer que la loi de Zest géométrique.
Exercice
Soit Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres
λet µ.
Reconnaître la loi de Xsachant X+Y=n.
Exercice
Soient Xet Ydeux variables aléatoires géométriques de paramètres pet q.
Calculer l’espérance de Z= max(X, Y ).
Exercice
Soit Xet Ydeux variables aléatoires à valeurs dans N.
On suppose que Xsuit une loi de Poisson de paramètre λ > 0et que la loi de Ysachant
X=nest binomiale de paramètres net p∈]0,1[.
a) Déterminer la loi conjointe de (X, Y ).
b) Reconnaître la loi de Y.
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Exercice
Soit Xune variable aléatoire à valeurs dans un ensemble fini X. Pour chaque valeur x∈ X ,
on pose
p(x) = P(X=x)
On appelle entropie de la variable Xle réel
H(X) = −X
x∈X
p(x) log (p(x))
où l’on convient 0 log 0 = 0.
a) Vérifier que H(X)est un réel positif. A quelle condition celui-ci est-il nul ?
Soient Xet Ydeux variables aléatoires à valeurs dans des ensembles finis Xet Y.
b) On appelle entropie conjointe de Xet Y, l’entropie de la variable Z= (X, Y )simplement
notée H(X, Y ).
On suppose les variables Xet Yindépendantes, vérifier
H(X, Y ) = H(X) + H(Y)
c) On appelle entropie de Xsachant Yla quantité
H(X|Y) = H(X, Y )−H(Y)
Vérifier
H(X|Y) = X
y∈Y
P(Y=y)H(X|Y=y)
avec
H(X|Y=y) = −X
x∈X
P(X=x|Y=y) log (P(X=x|Y=y))
Exercice
Soient Xet Ydeux variables aléatoires à valeurs dans N.
On suppose que la loi conjointe de Xet Yvérifie
P(X=j, Y =k) = a
j!k!avec a∈R
a) Déterminer la valeur de a.
b) Les variables Xet Ysont elles indépendantes ?
Exercice
On vous propose le jeu suivant. Une pièce de monnaie parfaitement équilibrée est lancée plu-
sieurs fois jusqu’à ce qu’elle tombe sur "face". S’il a fallu un seul lancé pour obtenir face vous
recevez 2ducats. Si l’en a fallu 2vous recevez 4 ducats ect... S’il a fallu k lancé vous recevez 2k
ducats. Pour évaluez les droits d’entré dans le jeu ( ou la mise de départ) qui permettront un
jeu équilibré (ou juste), on imagine que ceux-ci devront être égaux aux gains moyens, c’est-à-
dire à l’espérance du gain. Montrer que la probabilité que l’on reçoive 2kducats devient vite
très petite dès lors que k grandit, alors que paradoxalement, l’espérance du gain est infinie
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Exercice
Exercice (Théorème de Bernstein )
Soit f: [0,1] →Cune fonction continue, ωson module de continuité, i.e ω(h) = sup{|f(u)−
f(v)|;|u−v| ≤ h}. Pour n≥1, on considère le polynôme Bn(f, x) = Bn(x) = Pn
k=0 n
kxk(1−
x)n−kf(k
n), le n-ième polynôme de Bernstein de f. On va montrer que :
1. Bnconverge uniformément vers fsur [0,1].
Pour cela :
— Soit x∈[0,1] et soit (Xn)une suite de variables aléatoires indépendantes et identique-
ment distribuées de loi B(x). Déterminer la loi de Sn=Pn
k=1 Xk.
— On définit la variance de X, lorsqu’elle existe, par : V ar(X) = E([X−E(X)]2).
Montrer que V ar(X) = E(X2)−(E(X))2
— Montrer l’inégalité de Tchébytchev : Soit Xune variable aléatoire réelle alors montrer
que :
P(|X−E(X)| ≥ t)≤V ar(X)
t2
— Soient (X1, X2, . . . , Xn)des variables aléatoires réelles indépendantes et identiquement
distribuées tel que V ar(X1)existe. Montrer que :
V ar(Sn) = nV ar(X1)
— Calculer E[f(Sn
n)]
— Montrer que ∀δ > 0on a :
|f(x)−Bn(x)| ≤ ω(δ)+2kfk∞P(|x−Sn
n| ≥ δ)
— Conclure
Exercice
Soit (Ω,A,P)un espace probabilisé sur lequel sont définies les variables aléatoires indépen-
dantes U et V, à valeurs dans{−1,1}et de meme loi définie par les relations :
PU(−1) = 1
3et PU(1) = 2 3
Soient X et Y les variables aléatoires définies par :
X=Uet Y=sign(U)V
— Quelle est la loi de la variable aléatoire (X,Y) ?
— Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?
— Et X2et Y2le sont-elles ?
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