Sommes de variables aléatoires indépendantes.

Université Pierre et Marie Curie 2013-2014
Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 7 (semaine du 28 au 31 octobre)
Sommes de variables aléatoires indépendantes.
1. Indépendance d’événements et de variables aléatoires.
a) Donner un exemple d’un espace de probabilité et de trois événements A, B, C sur
cet espace de probabilité tels que P(A∩B∩C) = P(A)P(B)P(C)mais tels que A, B, C
ne soient pas indépendants.
b) Déterminer à quelle condition une variable aléatoire réelle est indépendante d’elle-
même. On pourra étudier sa fonction de répartition.
2. Soient E={x1, x2, x3}et F={y1, y2, y3}deux parties finies de R. Pour chacune
des matrices P= (Pij )i,j=1,2,3ci-dessous, on considère un couple (X, Y )de variables
aléatoires à valeurs dans E×Ftel que pour tous i, j ∈ {1,2,3}, on ait P(X=xi, Y =
yj) = Pij . Déterminer si les variables aléatoires Xet Ysont indépendantes.
P=
1
401 12
0 0 0
1
201 6
, P =
000
3
17
12
17
2
17
000
, P =
1
4
3
32
1
32
2
15
1
20
1
60
17
60
17
160
17
480
P=
1
4
3
32
1
32
2
15
1
20
1
20
1
4
1
10
1
24
.
(cf. Examen 2011, exercice 1)
3. Soit (Ω,F,P)un espace de probabilité. Soit (Xn)n≥1une suite de variables
aléatoires indépendantes définies sur (Ω,F,P), toutes de loi de Bernoulli de paramètre
p∈]0,1[.
a) On définit, pour tout n≥1et tout ω∈Ω,
Sn(ω) = le nombre d’entiers k∈ {1, . . . , n}tels que Xk(ω)=1.
Déteminer la loi de Sn. Les variables (Sn)n≥1sont-elles indépendantes ?
b) On définit, pour tout ω∈Ω,
T1(ω) = min{n≥1 : Xn(ω) = 1},
avec la convention min ∅= +∞. Calculer P(T1= +∞)puis déterminer la loi de T1.
c) On définit maintenant, pour tout ω∈Ω,
T2(ω) = min{n > T1(ω) : Xn(ω)=1}.
Déterminer les lois de T2et de T2−T1. Les variables T1et T2sont-elles indépendantes ?
Qu’en est-il des variables T1et T2−T1?
1

4. (Examen 2011, 2ème session) Soit (X, Y )un vecteur aléatoire dont la loi admet
la densité
f(X,Y )(x, y) = 1
xe−x−y
x]0,+∞[(x)]0,+∞[(y)
par rapport à la mesure de Lebsegue sur R2.
a) Déterminer la densité de X. Quelle est le nom de cette loi ?
b) Calculer, pour tout entier n≥0, l’intégrale
Z∞
0
xne−xdx
c) Calculer, pour tout entier n≥1, l’espérance de Yn.
d) Les variables Xet Ysont-elle indépendantes ?
e) On pose (T, Z) = X, Y
X. Déterminer la loi du vecteur (T, Z).
5. Lois discrètes classiques Calculer, de deux manières différentes, la loi de :
a) la somme de deux variables aléatoires indépendantes, l’une de loi de binomiale de
paramètres net p, l’autre de paramètres met p, où p∈[0,1] et m, n sont deux entiers.
b) la somme N1+. . .+Npoù les Nisont indépendantes et où Nisuit une loi de Poisson
de paramètre λi.
6. Somme de gaussiennes Soient Xet Ydes variables aléatoires indépendantes
de lois respectives N(µ1, σ2
1)et N(µ2, σ2 2). Soient a,bet cdes réels. Déterminer la loi de
aX +bY +c.
7. Soit (Ω,F,P)un espace de probabilité. Soient N, X1, X2, . . . : (Ω,F,P)→Ndes
variables aléatoires indépendantes. On suppose que Nsuit la loi de Poisson de paramètre
λ > 0et que X1, X2, . . . sont identiquement distribuées. On pose R=X1+. . . +XN,
c’est-à-dire, pour tout ω∈Ω,
R(ω) =
N(ω)
X
k=1
Xk(ω).
a - Si Net Xnsont de carré intégrable, en déduire E(R)et Var(R)en fonction de
E(X1),E(N),E(N),Var(N).
b - Connaissant le nombre moyen (µ) d’accidents par semaine dans une usine, la va-
riance (σ2) de ce nombre, la moyenne ν(et la variance τ2) du nombre d’individus
blessés dans un accident, estimez le nombre moyen et la variance du nombre d’indi-
vidus blessés en une semaine.
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