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Université Francois Rabelais de Tours
Licence de Mathématiques
Solutions Feuille de Travaux Dirigés n◦3
M1, Algèbre Semestre 9
On commence la correction de ce Td par la preuve du résultat important suivant.
Soit Aun anneau factoriel soit Fle corps des fractions de A. Soit a
b∈Ftel que pgcd(a, b)=1
et soit P∈A[X]. On a
a
best une racine de Pdans F⇐⇒ (bX −a)|Pdans A[X].
Proposition.
Démonstration. Il est clair que si (bX −a)divise Palors P(a
b)=0. Montrons la réciproque. On suppose
que P(a
b)=0et que pgcd(a, b)=1. La division euclidienne de Ppar bX −adonne
∃(Q, R)∈F[X], P = (bX −a)·Q+Ravec deg(R)≤0.
En évaluant cette égalité en b
aon voit que R= 0. Il existe λ∈Ftel que alors ˜
Q:= λQ ∈A[X]et tel
que le contenu λQ est 1. (On peut par exemple réduire tous les coefficients de Qau même dénominateur
puis diviser par le contenu du polynôme obtenu.) On a ainsi P=λ−1(bX −a)˜ Q. Si on montre que λ
est inversible dans Aalors on aura le résultat. Soit c, d ∈Atel que λ−1=c
det pgcd(c, d) = 1. On a
dP =c(bX −a)˜ Q. Si p∈Aest premier et p|dP alors p|c(bX −a)˜ Qet donc pdivise cou (bX −a)˜ Q.
Or pne peut diviser ni cni (bX −a)˜ Qpuisque le contenu de ˜ Qet bX −aest 1. Ainsi dn’est divisible par
aucun élément premier et donc est dest inversible.
Soit Aun anneau factoriel soit Fle corps des fractions de A. Si P∈A[X]est unitaire et si P
admet une racine dans Falors Padmet une racine dans A.
Corollaire.
Démonstration. Soit a
bavec pgcd(a, b)=1la racine P. Par la proposition précédente (bX −a)divise P.
Or Pétant unitaire cela implique que best inversible dans Apuisque bdivise 1. Ainsi (X−a)divise Pet
a∈Aest racine de P.
Exercice 1 Soit kun corps. Soit Ale sous-ensemble de k[T]formé des polynômes Pvérifiant P0(0) = 0.
1) Montrer que Aest un sous-anneau intègre de k[T]et qu’il est engendré (en tant que k-algèbre) par
T2et T3.
Solution: Tout d’abord, un polynôme P=PaiTi∈Asi et seulement si a1= 0.
Montrons que tout nombre entier nsupérieur ou égale à 2 peut s’écrire sous la forme 2a+ 3b. Si
n≡0 mod 3 c’est clair. Si n≡1 mod 3 alors n= 3k+ 1 avec k≥1et donc n= 3(k−1) + 4 et
le couple (a, b) = (2, k −1) fonctionne. Si n≡2 mod 3 alors n= 3k+ 2 et le couple (a, b) = (1, k)
fonctionne. Ceci montre que tout monôme Tnavec n≥2s’écrit sous la forme (T2)a(T3)b. Ainsi
P:= X
i≥2
aiTi+a0
peut bien s’écrire comme une combinaison linéaire de terme de la forme (T2)a(T3)b.
2) Montrer que T2et T3sont des éléments irréductibles de Anon associés.
Solution: Si P∈Aest inversible alors Pest aussi inversible dans k[T]. Les inversibles de A
sont donc les constantes non-nulles. Puisque deg(T2)=2et deg(T3)=3, on voit que T2et T3ne
sont pas associés. Montrons que T2est irréductible. Soit P Q ∈Atel que T2=P Q. On a alors
deg(P) + deg(Q) = 2 mais il n’y a pas de polynôme de degré 1 dans A, ainsi Pest constant ou Q
est constant et T2est irréductible. De la même manière si T3=P Q alors deg(P) + deg(Q)=3mais
ceci force deg(P)=0ou deg(Q)=0et T3est irréductible.
1

3) Montrer que T2et T3ne sont pas des éléments premiers de A.
Solution: On a T2|T6=T3T3mais T2ne divise pas T3donc T2n’est pas premier. De même
T3|T6=T2T2T2mais T3ne divise pas T2et donc T3n’est pas premier.
4) En déduire que An’est pas factoriel.
Solution: Dans un anneau factoriel, premier est équivalent à irréductible. Ane peut donc pas être
factoriel.
5) Déterminer un élément de Aayant plusieurs décompositions en irréductibles.
Solution: On a T6=T2T2T2=T3T3.
6) Montrer que Frac(A) = k(T).
Solution: Il est claire que Frac(A)⊂k(T). Comme T=T3
T2∈Frac(A)on voit que Frac(A) = k(T).
7) Montrer que Test racine d’un polynôme unitaire à coefficients dans Amais n’est pas dans A.
Retrouver le fait que An’est pas factoriel.
Solution: Test racine du polynôme unitaire X2−T2∈A[X]. D’après la corollaire énoncé en début
de Td, si Aétait factoriel alors T∈A. C’est une contradiction.
Exercice 2 (Racines rationnelles)
1) Soit nun entier naturel et Pun polynôme à coefficients entiers de degré n. Montrer que si l’on a une
racine rationnelle p
qde Pavec pet qpremiers entre eux, alors :
—pdivise le coefficient de plus bas degrés de P,
—qdivise le coefficient de plus haut degrés de Q.
Solution: On pose P=Pn
i=0 aiXi. Comme p
qest une racine on a
n
X
i=0
aipiqn−i=pnP(p
q)=0.
Mais comme on voit
∀i∈J1, nK, p |aipiqn−i,
on en déduit
p|a0qn,
puis pétant premier avec qle lemme de Gauss permet d’avoir p|a0.De la même façon on a
∀i∈J0, n −1K, q |aipiqn−i,
on en déduit
q|anpn,
puis pétant premier avec qle lemme de Gauss permet d’avoir q|an.
2) Utiliser le résultat précédent pour trouver les racines de 6X4−35X3+ 62X2−35X+ 6.
Solution: Dans le cas qui nous intéresse on voit que si p
qest racine du polynôme alors pet qsont
des diviseurs de 6premiers entre eux (on peut également suppose q > 0), on doit dont tester
q= 6, p = 1; −1,
q= 3, p = 2; 1; −1; −2,
q= 2, p = 3; 1; −1; −3,
q= 1, p = 6; 3; 2; 1; −1; −2; −3; −6.
On constater alors P(1
3) = P(1 2) = P(2) = P(3) = 0 et en factorisant on a alors
P= (X−2)(X−3)(2X−1)(3X−1).
3) Les polynômes suivants sont-ils irréductibles :
(a) X3−X+ 1 dans Z[X],
Solution: Puisque les seules racines possibles sont ±1et que le polynôme Pest de degré 3,
il suffit de montrer que P(±1) 6= 0 pour obtenir que Pest irréductible. On a P(1) = 1 et
P(−1) = 1 d’où le résultat.
2

(b) 3X3−7X+ 2 dans Q[X],
Solution: Les sules racines possibles sont α=±{1,2,1/3,2/3}. Or P(α)6= 0 donc Pest
irréductible.
(c) X3+ (1 −2i)X2+iX + (2 + i)dans (Z[i])[X],
Solution: C’est un peu long ici. Les seules racines possibles sont a
b=uou (2 + i)uavec
u∈ {±1,±i}. On trouve que P(2 + i) = 0 et donc le polymôme n’est pas irréductible. On
obtient P= (X−i(2 + i))(X2+i).
(d) X2+ 2X+ 3 dans Z/5Z[X].
Solution: C’est un polynôme de degré 2 sur un corps ainsi « irréductible » équivaut à « n’a
pas de racine ». On vérfie dans problème que ce polynôme n’a pas de racines dans Z/5Z.
Exercice 3 (Réduction modulo p)
1) Soit Aun anneau factoriel et soit pun élément irréductible de A. Soit
˜π:A[X]−→ (A/(p)) [X]
PaiXi7−→ Pπ(ai)Xi
où πest la projection canonique de Adans A/(p). Soit P=Pn
i=0 aiXiun polynôme de degré nà
coefficients dans A. On suppose que p-anet ˜π(P)est irréductible. Montrer que si Pest primitif
alors Pest irréductible dans A[X].
Solution: Soit P=QR. On a alors ˜π(P) = ˜π(Q)˜π(R)et π(an) = π(bk)π(c`)où k= deg(Q)et
`= deg(R). Puisque π(an)6= 0 et que A/(p)est intègre, on en déduit que π(bk)6= 0 et π(c`)6= 0.
Ainsi deg(˜π(Q)) = ket deg(˜π(R)) = `. Comme ˜π(P)est irréductible, on voit que k= 0 ou `= 0 et
donc Qest constant ou Rest constant, ce qui montre que Pest bien irréductible.
2) Application : Montrer que 5x5+ 2x3−7x2+ 4x+ 1 est irréductible sur Z.
Solution: 2est irréductible dans Z, et l’image de Pdans F2[X]est X5+X2+ 1. Montrons que
˜
P=X5+X2+ 1 est irréductible dans F2[X]. Comme ˜ Pn’a pas de racine, si ˜ Pest réductible alors
il s’écrit sous la forme ˜ P=QR avec Qde degré 2. Le seul polynôme de degré deux de F2[X]est
X2+X+ 1. Or X5+X2+ 1 = (X2+X+ 1)(X3+X2)+1 et donc X2+X+ 1 ne divise pas ˜ P.
Ainsi ˜ Pest irréductible et donc Pest irréductible dans Z.
3) (a) Montrer que P=X4+ 1 est irréductible dans Z[X].
Solution: On pose Y+ 1. On a P(Y+ 1) = Y4+ 4Y3+ 6Y2+ 4Y+ 2 et par le critère de
Eisenstein ce dernier polynôme est irréductible ce qui montre que P=X4+ 1 est irréductible.
(b) Montrer que P=X4+ 1 est réductible dans Fp[X]pour tout ppremier.
Vous pouvez utiliser sans les prouver les résultats suivant :
– If p≡1 mod 4 then the equation a2≡ −1 mod phas a solution.
– If p≡3 mod 8 then the equation b2≡ −2 mod phas a solution.
– If p≡7 mod 8 then the equation c2≡2 mod phas a solution.
Solution: Dans le cas où p≡1 mod 4, on a
X4+ 1 = (X2−a)(X2+a)
et donc X4+ 1 n’est pas irréductible. Dans le cas où p≡3 mod 8 alors
X4+ 1 = (X2+bX −1)(X2−bX −1)
et donc X4+ 1 n’est pas irréductible. Dans le cas où p≡3 mod 8 alors
X4+ 1 = (X2+cX + 1)(X2−cX + 1)
et donc X4+ 1 n’est pas irréductible.
Exercice 4
1) Soit P∈Z[X]un polynôme de degré supérieur ou égal à 1. Montrer que si P(n)est premier pour
une infinité de n∈Zalors Pest irréductible.
[Ce critère est complètement inutile ! On ne sait pas s’il existe un polynôme vérifiant les hypothèses ci-dessus...]
Solution: Supposons que P=QR. Puisque P(n) = Q(n)R(n)est premier pour une infinité de
n∈N, on a soit
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∗Q(n) = ±1pour une infinité de valeurs de n;
∗R(n) = ±1pour une infinité de valeurs de n.
Supposons qu’on est dans le premier cas. Alors Q(n) = 1 pour une infinité de valeurs de nou
Q(n) = −1pour une infinité de valeurs de n. Dans le premier cas, le polynôme Q−1admet une
infinité de racine et donc Q= 1. Dans le second cas on montre que Q=−1. Ainsi Q=±1et Pet
irréductible.
2) Soit P=PaiXiun polynôme de degré n. Soit
M:= max{
ai
an
|i= 0, . . . , n −1}.
Montrer que si P(m)est premier pour un entier m≥M+ 2 alors Pest irréductible sur Z.
[Ce critère est plus utile. Par exemple P=X2+ 6X2+ 1 est irréductible car f(8) = 4481.]
Solution: Commençons par montrer que si α∈Cest racine de Palors |λ|< M + 1. On a
|αn|=
a0
an
+a1
an
α+. . . +an−1
an
αn−1
≤M(1 + |α|+. . . +|α|n−1).
Si |α| ≤ 1et M6= 0 alors il est clair que |α|< M +1. Si M= 0 alors α= 0 et on a encore |α|< M +1.
On peut donc supposer que |α|>1. On a
|αn| ≤ M(1 + |α|+. . . +|α|n−1)≤M|α|n−1
|α| − 1
et en multipliant cette inégalité par |α| − 1on obtient
(1 − |α|)|αn| ≤ M(|α|n−1) < M|α|n
et après simplification 1− |α|< M soit |α|< M + 1.
Supposons que P(m)est premier pour m≥M+ 2. Si P=QR dans Z[X]alors Q(m)R(m)est
premier et on peut supposer sans perdre de généralité que Q(m) = ±1. Supposons que Qsoit de
degré supérieur à 1. Alors les racines de Qsont aussi racines de Pet
Q=a
k
Y
i=1
(X−αi)où αiest racine de Ppour tout i.
On a alors
|Q(m)| ≥ |a|Y(m− |αi|)>1
ce qui contredit l’hypothèse Q(m) = ±1. Ainsi Qest de degré 1 et Q=±1ce qui montre que Pest
irréductible.
Exercice 5 Décomposer en irréductibles les polynômes suivants dans C[X],R[X]et Q[X]:
X4+ 1, Xn−2.
Solution: On résoud l’équation z4+ 1 = 0 dans C. On trouve 4 solutions : 1, eiπ
4, e−iπ 4, ei3π 4. Ainsi on a
P= (X−eiπ
4)(X−e−iπ 4)(X−ei3π 4)(X−e−i3π 4).
Tous les polynômes qui apparaissent dans cette décomposition sont bien irréductibles, c’est donc bien la
factorisation de Pen irréductibles dans C[X].
En regroupant les facteurs on trouve
P= (X−eiπ
4)(X−e−iπ 4)(X−ei3π 4)(X−e−i3π 4)
= (X2+√2X+ 1)(X2−√2X+ 1).
Encore une fois, tous les polynômes qui apparaissent dans cette décomposition sont bien irréductibles sur
R(leurs discriminants sont négatifs) on a donc bien trouvé la factorisation de Pen irréductibles dans R[X].
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Finalement montrons que Qest irréductible sur Q. Supposons que le polynôme Qest réductible sur Q.
Puisque Qn’a pas de racine dans Q, il se factorise comme un produit de deux polynômes unitaires de
degré deux, disons Aet B. Alors Q=AB est aussi une factorisation de Qsur R. Puisque Qn’a pas de
racine dans R, les polynômes Aet Bsont aussi irréductibles sur R. Par unicité de la factorisation on a
alors A=X2+√2X+ 1 ou B=X2+√2X+ 1. C’est une contradiction. Ainsi Qest irréductible sur Q.
D’après Eisenstein, on montre facilement que Xn−2est irréductible sur Zet donc sur Q. En ce qui
concerne la factorisation sur Con doit résoudre l’équation zn= 2. L’ensemble des solution est
{21/nei2π
nk|k= 0, . . . , n −1}.
On obtient alors la factorisation suivante sur C:
Xn−2 =
n−1
Y
k=0
(X−21/nei2π
nk)
Si n= 2n0est pair, il y a deux solutions réels 1(prendre k= 0) et −1(prendre k=n0) et on a sur R:
Xn−2=(X−1)(X+ 1)
n0−1
Y
k=1 X2−21/n cos(2kπ
n)X+ 22/n
Si n= 2n0+ 1 est impair, il y a deux solutions réels 1(prendre k= 0) et −1(prendre k=n0) et on a sur
R:
Xn−2=(X−1)
n0
Y
k=1 X2−21/n cos(2kπ
n)X+ 22/n.
Exercice 6
1) Montrer par récurrence que dans F2[X], on a
(X+ 1)2r=X2r+ 1.
Solution: C’est clair pour r= 0. On suppose la relation vrai pour r≥0. On a alors
(X+ 1)2r+1 =(X+ 1)2r2
=X2r+ 12
=X2r+1 + 2X2r+ 1
=X2r+1 + 1.
2) En déduire que pour tout 1≤k≤2r−1, le coefficient binomial 2r
kest pair.
Solution: Puisque dans F2[X]on a
(X+ 1)2r+1 = 1 +
2r−1
X
k=1 2r
kXk+X2r+1 =X2r+1 + 1.
On dit avoir 2r
k= 0 mod 2 pour tout 1≤k≤2r−1.
3) En déduire que le polynôme X2r+ 1 est irréductible dans Z[X]en posant X=Y+ 1 et en utilisant
le critère d’Eisenstein.
Solution: Si P=X2r+ 1 alors P(Y+ 1) = Y2r+P2r−1
k=1 2r
kYk+ 2 et le critère de Eisenstein
s’applique d’après les questions précédentes.
Exercice 7 Soit Aun anneau factoriel. Montrer que les polynômes suivants sont irréductibles en utilisant
le critère d’Eisenstein :
Y2+X3−Xdans A[X, Y ],
Z2−XY dans A[X, Y, Z].
Solution: On a P=Y2+X(X2−1) ∈(A[X])[Y]. De plus X|X(X2−1),X2-(X2−1) et X-1qui est
le coefficient dominant de P. Ainsi le critère de Eisenstein s’applique pour montrer que Pest irréductible.
On a Q=Z2−XY ∈(A[X, Y ])[Z]. On vérifie facilement que Xest irréductible dans A[X, Y ]. De plus
X|XY ,X2-XY et X-1qui est le coefficient dominant de P. Ainsi le critère de Eisenstein s’applique
pour montrer que Qest irréductible.
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