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Université Francois Rabelais de Tours
Licence de Mathématiques
Solutions Feuille de Travaux Dirigés n◦2
L3, Algèbre Semestre 6
Questions de cours
Exercice 1 Soit P∈K[X]avec K=Rou C. Montrer que αest une racine de multiplicité kde Psi et
seulement si pour tout j∈J0, k −1K, on a P(j)(α)=0et P(k)(α)6= 0.
Solution: Supposons que αsoit racine de multiplicité kde P. On a alors un polynôme Qtel que
P= (X−α)kQ, Q(α)6= 0.
En utilisant la formule de Leibniz on a
∀n∈J0, kK, P (n)=
n
X
j=0 n
j((X−α)k)(j)Q(n−j),
mais comme on a
((X−α)k)(j)=k!
(k−j)!(X−α)k−j,
on voit que pour n<kon j≤n<ket donc
P(n)(α) =
n
X
j=0 n
j(0)Q(n−j)(α) = 0.
Et pour n=kon fait le calcul
P(k)(α) =
k−1
X
j=0 k
j(0)Q(k−j)α+k!Q(α) = k!Q(α)6= 0.
Réciproquement si on suppose que
∀n∈J0, k −1K, P (j)(α)=0, P (k)(α)6= 0,
en appelant ple degrés de Pon peut écrire la formule de Taylor pour les polynômes
P=
p
X
j=0
(X−α)j
j!P(j)(α) =
p
X
j=k
(X−α)j
j!P(j)(α) = (X−α)k
p
X
j=k
(X−α)j−k
j!P(j)(α).
Et on constate que si
Q=
p
X
j=k
(X−α)j−k
j!P(j)(α),
on a bien
P= (X−α)kQ, Q(α) = 1
k!P(k)(α) +
p
X
j=k+1
0
j!P(j)(α)6= 0.
Exercice 2 Soit P=X4−X3−X+ 1 ∈C[X].
1) Justifier que 1est racine de Pet déterminer sa multiplicité.
Solution: Si P=X4−X3−X+ 1 on voit
P(1) = 1 −1−1 + 1 = 0, P 0(1) = 4 −3−1=0, P 00 (1) = 12 −6=66= 0,
et donc 1est de multiplicité 2.
2) Factoriser P.
Solution:
P= (X−1)2(X2+X+ 1).
Puis comme P∈C[X]on doit encore écrire
P= (X−1)2(X−−1 + i√3
2)(X−−1−i√3 2).
1

Exercice 3 Soit P=X4+ 1. Déterminer la décomposition de Pen produit d’irréductibles dans C[X],
R[X]et Q[X].
Solution: On résoud l’équation z4+ 1 = 0 dans C. On trouve 4 solutions : 1, eiπ
4, e−iπ 4, ei3π 4. Ainsi on a
P= (X−eiπ
4)(X−e−iπ 4)(X−ei3π 4)(X−e−i3π 4).
Tous les polynômes qui apparaissent dans cette décomposition sont bien irréductibles, c’est donc bien la
factorisation de Pen irréductibles dans C[X].
En regroupant les facteurs on trouve
P= (X−eiπ
4)(X−e−iπ 4)(X−ei3π 4)(X−e−i3π 4)
= (X2+√2X+ 1)(X2−√2X+ 1).
Encore une fois, tous les polynômes qui apparaissent dans cette décomposition sont bien irréductibles sur
R(leurs discriminants sont négatifs) on a donc bien trouvé la factorisation de Pen irréductibles dans R[X].
Finalement montrons que Qest irréductible sur Q. Supposons que le polynôme Qest réductible sur Q.
Puisque Qn’a pas de racine dans Q, il se factorise comme un produit de deux polynômes unitaires de
degré deux, disons Aet B. Alors Q=AB est aussi une factorisation de Qsur R. Puisque Qn’a pas de
racine dans R, les polynômes Aet Bsont aussi irréductibles sur R. Par unicité de la factorisation on a
alors A=X2+√2X+ 1 ou B=X2+√2X+ 1. C’est une contradiction. Ainsi Qest irréductible sur Q.
Relation entre coefficients et racines
Exercice 4
1) Soit P=a2X2+a1X+a0∈C[X]un polynôme de degré 2 et soit α1, α2les racines de P. Montrer
que 
α1+α2=−a1
a2
α1α2=a0
a2
.
Solution: Si P=a2X2+a1X+a0a pour racines α1, α2on peut en déduire
a2(X−α1)(X−α2) = P,
en développant et identifiant les coefficients on a alors bien
(a2(−α1−α2) = a1,
a2(α1α2) = a0
ce dont on déduit bien (α1+α2=−a1
a2
α1α2=a0
a2
2) Soit P=a3X3+a2X2+a1X+a0∈C[X]un polynôme de degré 3 et soit α1, α2, α3les racines de P.
Montrer que 
α1+α2+α3=−a2
a3
α1α2+α2α3+α1α3=a1
a3
α1α2α3=−a0
a3
.
Solution: En appliquant la même méthode on obtient
a3(−α1−α2−α3) = a2
a3(α1α2+α1α3+α2α3) = a1
a3(−α1α2α4) = a0
ce dont on tire 
α1+α2+α3=−a2
a3
α1α2+α1α3+α2α3=a1
a3
α1α2α4=−a0
a3
2

3) Généraliser.
Solution: Toujours la même méthodologie permet d’obtenir pour P=Pn
k=0 akXkdont les racines
sont α1, ..., αnon appelle
∀k∈J1, n, In,k := {(j1, ..., jk)∈J1, nKk:j1< j2< ... < jk}.
Et on a alors
∀k∈J1, nK,X
(j1,...,jk)∈In,k
k
Y
β=1
αjβ= (−1)kan−k
an
.
Exercice 5
1) Soit nun entier naturel et Pun polynôme à coefficients entiers de degrés n. Montrer que si l’on a
une racine rationnelle p
qde Pavec pet qpremiers entre eux, alors :
—pdivise le coefficient de plus bas degrés de P,
—qdivise le coefficient de plus haut degrés de Q.
Solution: On pose P=Pn
i=0 aiXi. Comme p
qest une racine on a
n
X
i=0
aipiqn−i=pnP(p
q)=0.
Mais comme on voit
∀i∈J1, nK, p |aipiqn−i,
on en déduit
p|a0qn,
puis pétant premier avec qle lemme de Gauss permet d’avoir p|a0.De la même façon on a
∀i∈J0, n −1K, q |aipiqn−i,
on en déduit
q|anpn,
puis pétant premier avec qle lemme de Gauss permet d’avoir q|an.
2) Utiliser le résultat précédent pour trouver les racines de 6X4−35X3+ 62X2−35X+ 6.
Solution: Dans le cas qui nous intéresse on voit que si p
qest racine du polynôme alors pet qsont
des diviseurs de 6premiers entre eux (on peut également suppose q > 0), on doit dont tester
q= 6, p = 1; −1,
q= 3, p = 2; 1; −1; −2,
q= 2, p = 3; 1; −1; −3,
q= 1, p = 6; 3; 2; 1; −1; −2; −3; −6.
On constater alors P(1
3) = P(1 2) = P(2) = P(3) = 0 et en factorisant on a alors
P= (X−2)(X−3)(2X−1)(3X−1).
Corps finis
Exercice 6
1) Montrer que P=X2+X+ 1 ∈F2[X]est irréductible.
Solution: Si le polynôme P=X2+X+ 1 était réductible, un de ses facteurs serait de degrés 1et
il aurait de ce fait une racine car F2est un corps. Or
P(1) = 3 = 1 6= 0, P (0) = 1 6= 0,
Pn’a donc pas de racine et est donc, par contraposée, irréductible.
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2) Construire un corps à 4 éléments. On calculera la table d’addition et de multiplication.
Solution: Comme Pest irréductible, l’idéal (P)est maximal et de ce fait F2[X]/(P)est un corps.
On appelle alors Rl’espace vectoriel des polynômes de degrés plus petit que P. Et on considère
l’application φ:R→F2[X]/(P)qui a un polynôme associe sa classe d’équivalence.
L’application est injective car
∀(A, B)∈R2, φ(A) = φ(B)⇒P|(A−B),
mais comme A−Best de degrés plus petit que Pon a A−B= 0.
L’application est surjective car si C∈F2[X]/(P)et Q∈C, on pose alors la division euclidienne de
Qpar Ppour obtenir
∃(A, R)∈F2[X]×R, Q =AP +R,
mais alors R∈Cet donc
φ(R) = C.
Le corps F2[X]/(P)est donc en bijection avec R. Or {1, X}étant une base de cet espace vectoriel
il est en bijection avec (F2)2qui est de cardinal 4.
3) Montrer que P=X3+X+ 1 ∈F2[X]est irréductible.
Solution: Pour que P=X3+X+ 1 soit réductible il faudrait qu’a nouveau un de ses facteurs soit
de degrés 1et il aurait de ce fait une racine. Or
P(1) = 3 = 1 6= 0, P (0) = 1 6= 0.
Donc Pest irréductible.
4) Construire un corps à 8 éléments. On calculera la table d’addition et de multiplication.
Solution: Comme pour la question 2) l’idéal engendré par Pest maximal puis le corps F2[X]/(P)
est en bijection avec les polynômes de degrés plus petit que P. Or {1, X, X2}étant une base de cet
espace vectoriel il est de cardinal 23= 8.
Exercice 7 Compléter la table de mulitplication du corps F3[X]/(X2+ 1).
Solution:
×0 1 2 X X + 1 X+ 2 2X2X+ 1 2X+ 2
0000000000
1 0 1 2 X X + 1 X+ 2 2X2X+ 1 2X+ 2
2 0 2 1 2X2X+ 2 2X+ 1 X X + 2 X+ 1
X0X2X2X+ 2 2X+ 2 1 X+ 1 2X+ 1
X+ 1 0 X+ 1 2X+ 2 X+ 2 2X1 2X+ 1 2 X
X+ 2 0 X+ 2 2X+ 1 2X+ 2 1 X X + 1 2X2
2X0 2X X 1 2X+ 1 X+ 1 2 2X+ 2 X+ 2
2X+ 1 0 2X+ 1 X+ 2 X+ 1 X2X2X+ 2 X1
2X+ 2 0 2X+ 2 X+ 1 2X+ 1 X2X+ 2 1 2X
Exercice 8
1) Déterminer l’ensemble des polynômes irréductibles de degré plus petit que 5 dans F2[X].
Solution: On commence par rappeler les résultats suivants :
?Les polyômes de degré 1 sont irréductibles ;
?Les polynômes de degré 2 ou 3 qui n’ont pas de racine sont irréductibles ;
?Un polynôme qui admet une racine est réductible.
Il y a 4 polynômes de degré 2 dans F2[X], 8 polynômes de degré 3, 16 de degré 4 et 32 de degré 5.
Traitons tout d’abord le cas des polynômes de degré deux ou 3. Dans le tableau ci-dessous on liste
4

ces polynômes ainsi que leurs racines :
Polynôme Racine(s)
X20
X2+X0,1
X2+ 1 1
X2+X+ 1 ∅
X30
X3+X21
X3+X1
X3+ 1 1
X3+X2+X0
X3+X2+ 1 ∅
X3+X+ 1 ∅
X3+X2+X+ 1 1
D’après les remarques ci-dessus, seuls les polynômes X2+X+ 1,X3+X2+ 1 et X3+X+ 1 sont
irréductibles.
Considérons maintenant les polynômes de degré 4. On remarque déjà que si Pn’a pas de terme
constant alors il admet 0 comme racine et il ne peut pas être irréductible. De même, s’il a un
nombre pair de termes non nul alors il admet 1 comme racine et il ne peut pas être irréductible.
Si un polynôme Pn’admet pas de racine alors soit il est irréductible soit c’est un produit de deux
polynômes irréductibles de degré 2. Comme il n’y a qu’un polynôme irréductible de degré deux, on
voit que seul X4+X2+1 = (X2+X+1)(X2+X+1) correspond à ce cas. Finalement les polynômes
suivants sont irréductibles :
X4+X3+ 1, X4+X+ 1, X4+X3+X2+X+ 1
Considérons maintenant les polynômes de degré 5. Soit Pun polynôme irréductible de degré 5. En
argumentant comme précédemment, on voit que Pa nécessairement un terme constant égal à 1 et un
nombre impair de termes. De plus, les seuls polynômes réductibles de degré 5 n’ayant pas de racine
sont
X5+X+ 1 = (X2+X+ 1) ·(X3+X2+ 1),
X5+X4+ 1 = (X2+X+ 1) ·(X3+X+ 1).
Finalement, les polynômes irréductibles de degré 5 sont
X5+X4+X3+X2+ 1, X5+X4+X3+X+ 1, X5+X4+X2+X+ 1, X5+X3+X2+X+ 1
et
X5+X3+ 1, X5+X2+ 1
2) Déterminer l’ensemble des polynômes irréductibles de degré plus petit que 3 dans F3[X].
Solution: Les polynômes de degré 1 sont irréductibles. Pour les polynômes de degré 2 ou 3, être
irréductibles est équivalent à ne pas avoir de racine. Les polynômes irréductibles unitaires de degré
deux sont :
X2+ 1, X2+X+ 2, X2+ 2X+ 2.
Les polynômes irréductibles unitaires de degré trois sont :
X3+ 2X+ 1, X3+ 2X+ 2, X3+X2+ 2, X3+X2+X+ 2, X3+X2+ 2X+ 1,
X3+ 2X2+ 1, X3+ 2X2+X+ 1, X3+ 2X2+ 2X+ 2
Exercice 9 Dans cet exercice on s’interesse aux carrés d’un corps fini. Soit q=pnune puissance d’un
nombre premier p. On pose F2
q={x∈Fq| ∃y∈Fq, y2=x}et (F2 q)∗=F2 q∩F∗ q
1. Si p= 2, montrer que F2
q=Fq.[On montrera que l’application F(x) = x2est un automorphisme de
corps. ]
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