7) Montrer que tout idéal non-nul de A[X]est engendré par un unique polynôme unitaire.
Solution: On considère Iun idéal non réduit à {0}de A[X](avec Acorps). On peut alors introduire
n:= min{deg(P) : P∈I, P 6= 0}.
On peut également se donner (par définition du min) un polynôme D∈Ide degrés n.
La propriété d’absorbtion d’un idéal permet tout de suite de constater que (D)∈I. De plus si P∈I
on peut considèrer la division euclidienne de Ppar Dpour obtenir
P=QD +R, deg(R)<deg(D) = n.
comme R=P−DQ ∈Iet par définition de non peut conclure que R= 0 donc P∈(D)au final
par double inclusion on a bien I= (D).
En utilisant la question précédente on a ¯
Pun polynôme unitaire associé à Pet la question 3) permet
de conclure que I= ( ¯
P).
Si on se donne (P)=(Q)avec Pet Qunitaire, on peut facilement conclure en utilisant les questions
3) et 5) que P=Q.
Exercice 3 Soit A, B, C trois polynômes non-nuls de K[X]. Montrer que
1) si A|BC et pgcd(A, B)=1alors A|C.
Solution: Comme pgcd(A, B) = 1 on peut utiliser la relation de Bezout pour obtenir
∃(U, V )∈K[X]2, AU +BV = 1.
Mais en multipliant par Con en déduit AUC +BCV =C, et comme Adivise clairement les deux
termes de gauche on a bien Adivise C.
2) si Aest irréductible et si A|BC alors A|Bou A|C.
Solution: Supposons que le polynôme irréductible unitaire Adivise BC mais pas B. Le pgcd de A
et Bétant un diviseur unitaire de Aet Aétant unitaire il s’agit soit de Asoit de 1. Or s’il s’agissait
de Aon aurait Adivise Bce qui n’est pas le cas ici. On a donc Aet Bpremier entre eux et en
appliquant le résultat de la question précédente on a bien Adivise C.
3) Aest premier avec BC si et seulement si Aest premier avec Bet avec C.
Solution: Si Aest premier avec BC on a par Bezout
∃(U, V )∈K[X]2, AU +BCV = 1,
mais cela implique aussi les réécritures
AU +B(CV )=1, AU +C(BV )=1,
ce qui par le théorème de Bezout assure que Aest premier avec Bet avec C.
Réciproquement, si Aest premier avec Bet C, si on suppose que An’est pas premier avec BC on
peut se donner un diviseur irréductible commun Dde Aet BC. Mais d’après la question précédente
on sait qu’alors Ddivise Bou Cce qui est absurde puisque Aest premier avec Bet avec C.
Idéaux d’un anneau
Exercice 4
1) Soit Iet Jdeux idéaux d’un anneau A. Montrer que I∩Jet I+Jsont des idéaux de A.
Solution: Commençons par montrer que I∩Jest un idéal.
— On a comme Iet Jsont des idéaux 0∈Iet 0∈Jdonc 0∈I∩J.
— Soit maintenant (x, y)∈(I∩J)2alors
((x, y)∈I2
(x, y)∈J2⇒(x−y∈I
x−y∈J⇒x−y∈I∩J.
— Soit (a, x)∈A×(I∩J)on voit alors
((a, x)∈A×I
(a, x)∈A×J⇒(ax ∈I
ax ∈J⇒ax ∈I∩J.
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