Fiche d'exercices 19 

PCSI2
Fiche 19
Théorie de la dimension
Espaces vectoriels de dimension finie
→
→
→
→
Exercice 1 Soit E = R3 , −
u = (1, 1, 1) , −
v = (1, 0, 1) , complèter (−
u,−
v ) en une base de E.
Exercice 2 Soit E = R2 [X] , P1 = X 2 + 1 et P2 = X + 3, complèter (P1 , P2 ) en une base de E.
Exercice 3 Soit E = R3 et F = {(x, y, z) ∈ E, x + y = 0} , donner la dimension de E.
Exercice 4 Dans E = R3 , soit F = {(x, y, z) , 2x − y + z = 0} , justifier que F est un sous-espace vectoriel de E. En donner
→
une base. Pour quelle valeur de m, le vecteur −
a = (1, m, 1) est-il dans F ? Donner alors ses coordonnées dans la base que
vous avez choisi.
Exercice 5 Soit E = f : R −→ R, ∃ (a, b, c) ∈ R3 , f (x) = aex + be−x + c . Donner une base de E, sa dimension.
Exercice 6 Dans R4 , soit F = {(x, y, z, t) ∈ R4 , x + y = z + t = 0}, donner une base et la dimension de F ainsi que les
coordonnés de a = (2, −2, −1, 1) dans cette base.
Exercice 7 Donner une base et la dimension de F = f ∈ RR solution de y′′ − 3y′ + 3y = 0 .
Exercice 8 Donner une base et la dimension de F = u ∈ RN , ∀n ∈ N, un+2 − un+1 + un = 0 .
Exercice 9 Soit E de dimension n et f ∈ L (E) telle que f n = 0 et f n−1 = 0. Soit a ∈ E tel que f n−1 (a) = 0, montrer que
la famille f k (a) 0≤k≤n−1 est une base B de E. Si x a pour coordonnées (x1 , · · · , xn ) dans B, quelles sont les coordonnées
de f (x) dans B ?
Exercice 10 Soit E = Rn [X] et P0 = 1 , P1 = X , P2 = X(X −1) ,..., Pn = X(X − 1)...(X − n+ 1), montrer que (Pi )0≤i≤n
est une base de E.
Exercice 11 Sur E = Rn [X], pour k ∈ {0, · · · , n} on définit Pk (X) = X n−k (1 − X)k
1. Montrer que la famille de polynôme (Pk )0≤k≤n est une base de E.
2. Soit x = 0 et i ∈ {0, · · · , n} montrer que
n−i
xi =
k=0
n − i n−k
x
(1 − x)k
k
En déduire les coordonnées de X i dans cette base.
Sous espaces vectoriels en dimension finie
Exercice 12 Soit E = R3 , on considère les ensembles F et G définis par
F = {(x, y, z) ∈ E, x − y + z = 0}
G = {(x, y, z) ∈ E, x + y = x + z = 0}
Justifier que F et G sont des sous espaces vectoriels de E et donner une famille génératrice de chacun d’eux. Montrer que
F et G sont supplémentaires dans E.
Exercice 13 Soit E = R3 [X] , on définit les ensembles F et G par
F = {P ∈ E, P (1) − P ′ (−1) = P (−1) = 0}
G = {P ∈ E, P impair}
1. Justifier que F et G sont des sous-espaces vectoriels de E. Préciser leur dimension.
2. Montrer que F ⊕ G = E.
Exercice 14 Soit E = R3 [X] l’ensemble des polynômes de degré au plus 3 et à coefficients dans R. On définit F par
F = {P ∈ E, P (0) = P (1) − P ′ (1) = 0} . Montrer que F est un sous espace vectoriel de E. Soit G l’ensemble des polynômes
pairs, de degré au plus 3 et à coefficients réels. Justifier que G est un sous-espace vectoriel de E et que E = F ⊕ G.
—1/4—
L
F
,L
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Fiche 19
Théorie de la dimension
Exercice 15
1. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de R5 tels que dim F = dim G = 3, que dire de F ∩ G ?
2. On généralise, soit E de dimension n, F et G deux sous-espaces vectoriels de E tels que dim F + dim G > n, que dire
de F ∩ G ? Lorsque dim F + dim G ≤ n, les deux sous espaces sont-ils en somme directe ?
Rang d’une famille
Exercice 16 A l’aide du calcul du rang, préciser si les familles suivantes sont des bases de R4 . Donner, lorsque la famille
est liée, une relation de dépendance, une base de l’espace engendré et un supplémentaire de cet espace.
1
2
3
(1, 2, 0, 1) , (4, 1, 1, 0) , (2, 0, 1, 0) , (0, 1, 0, 0)
(1, 0, 0, 1) , (−1, 1, 2, −2) , (a, 2, 1, 1) , (2, −1, 1, 1) où a ∈ R
(1, 1, 0, 1) , (0, 1, 1, 0) , (1, 2, 1, 0) , (a, 2, a, 0) où a ∈ R.
→
→
→
Exercice 17 Calculer, en fonction de m le rang de la famille −
u = (m, 1, 1) , −
v = (1, m, 1) et −
w = (1, 1, m).
Application linéaire en dimension finie




x
x + 2y + z
Exercice 18 Soit f : R3 −→ R3 définie par f  y  =  2x + y + 2z . Donner une famille génératrice de Im f, en
z
x + 2y + z
déduire rg (f ), Im (f) , ker f .






x
x+y+z
−1
. Calculer f  −2 , en déduire rg (f ) puis
Exercice 19 Soit f : R3 −→ R3 définie par f  y  = 
2x − y
z
−x + 2y + z
3
ker f et Im f .

 

x
x + y + 2z
Exercice 20 Soit f : R3 −→ R3 définie par f  y  =  x − 2y − z  . Déterminer Im f, ker f, ces deux sous-espaces
z
x + 2y + 3z
vectoriels sont-ils supplémentaires dans R3 ?
Exercice 21 Donner le noyau et l’image de l’endomorphisme de R3 [X] défini par f (P (X)) = P (X) − (X + 1) P ′ (X)
(après avoir justifié qu’il s’agit bien d’un endomorphisme).
Exercice 22 Soit f définie sur R3 [X] par f (P (X)) = X 3 P
1
. Vérifier que f est bien un endomorphisme de R3 [X].
X
Calculer f ◦ f, que peut-on en déduire ?
Exercice 23 Soit n ≥ 2, E = Rn , B = (e1 , · · · , en ) la base canonique de E et f ∈ L (E) définie par f (ei ) = en si
n
1 ≤ i ≤ n − 1 et f (en ) =
ek . Calculer rg (f) , en déduire ker f.
k=1
n
Exercice 24 Soit E = Rn , B = (e1 , · · · , en ) la base canonique de E et f ∈ L (E) définie par ∀i ∈ {1, · · · , n} , f (ei ) =
ek .
k=1
1. Quel est la rang de f . En déduire dim ker f .
2. Montrer que la famille (e2 − e1 , · · · , en − e1 ) est libre.
3. Calculer f (ek − e1 ) pour k ∈ {1, · · · , n} et en déduire ker f .
Exercice 25 On définit l’application ϕ : Rn [X] −→ Rn+1 par ϕ (P ) = P (a) , P ′ (a) , P ′′ (a) , · · · , P (n) (a) où a est un réel
fixé. Montrer que ϕ est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
Exercice 26 Soit f : Rn [X] −→ Rn [X] définie par f (P (X)) = P (X + 1) − P (X) .
1. Montrer que f est linéaire et que Im f ⊂ Rn−1 [X].
—2/4—
L
F
,L
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Fiche 19
Théorie de la dimension
2. Déterminer ker f, en déduire rg (f) puis Im f .
2
Exercice 27 Soit E un espace vectoriel de dimension finie n et (f, g) ∈ L (E) . On suppose que E = Im f + Im g =
ker f + ker g. Montrer que ces deux sommes sont directes.
Exercice 28 Soit E un espace vectoriel de dimension finie n et f ∈ L (E) montrer que les quatre propositions suivantes
sont équivalentes :
(1) E = ker f + Im f
(2) Im f = Im f 2
2
(3) ker f = ker f
(4) E = ker f ⊕ Im f
Exercice 29 Soit E de dimension n, f et g deux endomorphismes de E tels que f ◦ g ◦ f = f et g ◦ f ◦ g = g. On pose
h = g ◦ f.
1. Quelles inclusions peut-on déduire des hypothèses sur les noyaux et les images de f, g et h ?
2. Montrer que f, g et h ont même rang.
3. Prouver que E = ker f ⊕ Im g.
Exercice 30 Soit E de dimension n, f et g deux endomorphismes de E tels que f ◦ g ◦ f = g et g ◦ f ◦ g = f.
1. Comparer ker f et ker g.
2. Montrer que f, g, f ◦ g et g ◦ f ont même rang.
Exercice 31 Soit α1 , α2 · · · αn+1 , n + 1 éléments distincts deux à deux de K. On définit l’application ϕ : Kn [X] −→ K n+1
par ϕ(P ) = (P (α1 ) , P (α2 ) , . . . , P (αn+1 )) .
1. Montrer que ϕ est un isomorphisme d’espace vectoriel.
2. En déduire, β 1 , β 2 , ... β n+1 étant n + 1 scalaires quelconques, qu’il existe un et un seul polynôme P de degré inférieur
ou égal à n tel que : ∀i ∈ {1, . . . , n + 1}, P (αi ) = β i (polynôme d’interpolation de Lagrange).
3. On définit la famille B = (L1 , L2 , . . . , Ln+1 ) de polynômes de Kn [X] par :
n+1
i=1 (X
− αi )
=
X − αk
Lk =
n+1
(X − αi )
i=1,i=k
Vérifier que B est une base de Kn [X].
Calculer les coordonnées sur cette base B du polynôme P de la question précédente.
4. Application : trouver un polynôme P vérifiant P (1) = −1, P (2) = −1 et P (3) = 1.
Exercice 32 Soit E = Kn [X], et a ∈ K. Pour tout P ∈ E, on pose
n
ϕ(P ) = P (X) −
k=0
P (k) (a)
(X − a)k .
k!
1. Vérifier que ϕ est un endomorphisme de E.
2. En utilisant la base C = (1, X − a, (X − a)2 , . . . , (X − a)n ), déterminer ϕ.
3. En déduire la formule de Taylor pour les polynômes.
4. En déduire, pour tout α ∈ K, h ∈ K et P ∈ Kn [X]
n
P (α + h) =
k=0
P (k) (α) k
h .
k!
Exercice 33 Soit E un espace vectoriel de dimension n et f ∈ L (E) tel que f 3 = IdE .
1. Montrer que Im (f − Id) ⊂ ker f 2 + f + IdE .
—3/4—
L
F
,L
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Fiche 19
Théorie de la dimension
2. Montrer que E = Im (f − Id) ⊕ ker (f − Id).
Exercice 34
1. Donner un exemple d’endomorphisme de K4 dont l’image est égale au noyau.
2. Soit E un espace vectoriel de dimension finie n et u ∈ L (E). Montrer que si n est impair alors Im u = ker u. On
suppose alors n pair, montrer que
u ◦ u = 0L(E)
n
ker u = Im u ⇐⇒
rg (u) =
2
3. Montrer que si ker u = Im u, il existe des vecteurs (e1 , · · · , er ) où r = rg u tels que (e1 , · · · , er , u (e1 ) , · · · , u (er )) soit
une base de E.
2
Exercice 35 Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finis et (f, g) ∈ L (E, F ) .
1. Montrer que rg (f + g) ≤ rg (f) + rg (g) puis que |rg f − rg g| ≤ rg f + rg g.
2. Montrer que rg (f + g) = rg (f) + rg (g) si et seulement si Im f ∩ Im g =
−
→
0F
et ker f + ker g = E.
Exercice 36 Soit E un K espace vectoriel de dimension n et f ∈ L (E) de rang 1, montrer qu’il existe λ ∈ K tel que
f ◦ f = λf .
—4/4—
L
F
,L