Fiche d'exercices 19

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Théorie de la dimension Fiche 19
Espaces vectoriels de dimension finie
Exercice 1 Soit E=R
3
,−→ u= (1,1,1) ,−→ v= (1,0,1) ,complèter (−→ u , −→ v)en une base de E.
Exercice 2 Soit E=R
2
[X], P
1
=X
2
+ 1 et P
2
=X+ 3, complèter (P
1
, P
2
)en une base de E.
Exercice 3 Soit E=R
3
et F={(x, y, z)∈E,x+y= 0},donner la dimension de E.
Exercice 4 Dans E=R
3
,soit F={(x, y, z),2x−y+z= 0},justifier que Fest un sous-espace vectoriel de E. En donner
une base. Pour quelle valeur de m, le vecteur −→ a= (1, m, 1) est-il dans F? Donner alors ses coordonnées dans la base que
vous avez choisi.
Exercice 5 Soit E=f:R−→ R,∃(a, b, c)∈R
3
,f(x) = ae
x
+be
−x
+c. Donner une base de E, sa dimension.
Exercice 6 Dans R
4
, soit F={(x, y, z, t)∈R
4
, x +y=z+t= 0},donner une base et la dimension de Fainsi que les
coordonnés de a= (2,−2,−1,1) dans cette base.
Exercice 7 Donner une base et la dimension de F=f∈R
R
solution de y
′′
−3y
′
+ 3y= 0.
Exercice 8 Donner une base et la dimension de F=u∈R
N
,∀n∈N,u
n+2
−u
n+1
+u
n
= 0.
Exercice 9 Soit Ede dimension net f∈ L (E)telle que f
n
= 0 et f
n−1
= 0. Soit a∈Etel que f
n−1
(a)= 0, montrer que
la famille f
k
(a)
0≤k≤n−1
est une base Bde E. Si xa pour coordonnées (x
1
,· · · , x
n
)dans B, quelles sont les coordonnées
de f(x)dans B?
Exercice 10 Soit E=R
n
[X]et P
0
= 1 ,P
1
=X,P
2
=X(X−1) ,..., P
n
=X(X−1)...(X−n+1), montrer que (P
i
)
0≤i≤n
est une base de E.
Exercice 11 Sur E=R
n
[X], pour k∈ {0,··· , n}on définit P
k
(X) = X
n−k
(1 −X)
k
1. Montrer que la famille de polynôme (P
k
)
0≤k≤n
est une base de E.
2. Soit x= 0 et i∈ {0,··· , n}montrer que
x
i
=
n−i
k=0
n−i
kx
n−k
(1 −x)
k
En déduire les coordonnées de X
i
dans cette base.
Sous espaces vectoriels en dimension finie
Exercice 12 Soit E=R
3
, on considère les ensembles Fet Gdéfinis par
F={(x, y, z)∈E, x −y+z= 0}
G={(x, y, z)∈E, x +y=x+z= 0}
Justifier que Fet Gsont des sous espaces vectoriels de Eet donner une famille génératrice de chacun d’eux. Montrer que
Fet Gsont supplémentaires dans E.
Exercice 13 Soit E=R
3
[X],on définit les ensembles Fet Gpar
F={P∈E,P(1) −P
′
(−1) = P(−1) = 0}
G={P∈E,Pimpair}
1. Justifier que Fet Gsont des sous-espaces vectoriels de E. Préciser leur dimension.
2. Montrer que F⊕G=E.
Exercice 14 Soit E=R
3
[X]l’ensemble des polynômes de degré au plus 3et à coefficients dans R. On définit Fpar
F={P∈E,P(0) = P(1) −P
′
(1) = 0}.Montrer que Fest un sous espace vectoriel de E. Soit Gl’ensemble des polynômes
pairs, de degré au plus 3et à coefficients réels. Justifier que Gest un sous-espace vectoriel de Eet que E=F⊕G.
—1/4—
L F, L

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Théorie de la dimension Fiche 19
Exercice 15
1. Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de R
5
tels que dim F= dim G= 3,que dire de F∩G?
2. On généralise, soit Ede dimension n,Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de Etels que dim F+ dim G > n, que dire
de F∩G? Lorsque dim F+ dim G≤n, les deux sous espaces sont-ils en somme directe ?
Rang d’une famille
Exercice 16 A l’aide du calcul du rang, préciser si les familles suivantes sont des bases de R
4
. Donner, lorsque la famille
est liée, une relation de dépendance, une base de l’espace engendré et un supplémentaire de cet espace.
1
(1,2,0,1) ,(4,1,1,0) ,(2,0,1,0) ,(0,1,0,0)
2
(1,0,0,1) ,(−1,1,2,−2) ,(a, 2,1,1) ,(2,−1,1,1) où a∈R
3
(1,1,0,1) ,(0,1,1,0) ,(1,2,1,0) ,(a, 2, a, 0) où a∈R.
Exercice 17 Calculer, en fonction de mle rang de la famille −→ u= (m, 1,1) ,−→ v= (1, m, 1) et −→ w= (1,1, m).
Application linéaire en dimension finie
Exercice 18 Soit f:R
3
−→ R
3
définie par f
x
y
z
=
x+ 2y+z
2x+y+ 2z
x+ 2y+z
. Donner une famille génératrice de Im f, en
déduire rg (f),Im (f),ker f.
Exercice 19 Soit f:R
3
−→ R
3
définie par f
x
y
z
=
x+y+z
2x−y
−x+ 2y+z
. Calculer f
−1
−2
3
, en déduire rg (f)puis
ker fet Im f.
Exercice 20 Soit f:R
3
−→ R
3
définie par f
x
y
z
=
x+y+ 2z
x−2y−z
x+ 2y+ 3z
.Déterminer Im f, ker f, ces deux sous-espaces
vectoriels sont-ils supplémentaires dans R
3
?
Exercice 21 Donner le noyau et l’image de l’endomorphisme de R
3
[X]défini par f(P(X)) = P(X)−(X+ 1) P
′
(X)
(après avoir justifié qu’il s’agit bien d’un endomorphisme).
Exercice 22 Soit fdéfinie sur R
3
[X]par f(P(X)) = X
3
P1
X. Vérifier que fest bien un endomorphisme de R
3
[X].
Calculer f◦f, que peut-on en déduire ?
Exercice 23 Soit n≥2,E=R
n
,B= (e
1
,··· , e
n
)la base canonique de Eet f∈ L (E)définie par f(e
i
) = e
n
si
1≤i≤n−1et f(e
n
) =
n
k=1
e
k
. Calculer rg (f),en déduire ker f.
Exercice 24 Soit E=R
n
,B= (e
1
,··· , e
n
)la base canonique de Eet f∈ L (E)définie par ∀i∈ {1,··· , n}, f (e
i
) =
n
k=1
e
k
.
1. Quel est la rang de f. En déduire dim ker f.
2. Montrer que la famille (e
2
−e
1
,··· , e
n
−e
1
)est libre.
3. Calculer f(e
k
−e
1
)pour k∈ {1,··· , n}et en déduire ker f.
Exercice 25 On définit l’application ϕ:R
n
[X]−→ R
n+1
par ϕ(P) = P(a), P
′
(a), P
′′
(a),··· , P
(n)
(a)où aest un réel
fixé. Montrer que ϕest un isomorphisme d’espaces vectoriels.
Exercice 26 Soit f:R
n
[X]−→ R
n
[X]définie par f(P(X)) = P(X+ 1) −P(X).
1. Montrer que fest linéaire et que Im f⊂R
n−1
[X].
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2. Déterminer ker f, en déduire rg (f)puis Im f.
Exercice 27 Soit Eun espace vectoriel de dimension finie net (f, g)∈ L (E)
2
. On suppose que E= Im f+ Im g=
ker f+ ker g. Montrer que ces deux sommes sont directes.
Exercice 28 Soit Eun espace vectoriel de dimension finie net f∈ L (E)montrer que les quatre propositions suivantes
sont équivalentes :
(1) E= ker f+ Im f(2) Im f= Im f
2
(3) ker f= ker f
2
(4) E= ker f⊕Im f
Exercice 29 Soit Ede dimension n, f et gdeux endomorphismes de Etels que f◦g◦f=fet g◦f◦g=g. On pose
h=g◦f.
1. Quelles inclusions peut-on déduire des hypothèses sur les noyaux et les images de f, g et h?
2. Montrer que f, g et hont même rang.
3. Prouver que E= ker f⊕Im g.
Exercice 30 Soit Ede dimension n, f et gdeux endomorphismes de Etels que f◦g◦f=get g◦f◦g=f.
1. Comparer ker fet ker g.
2. Montrer que f, g, f ◦get g◦font même rang.
Exercice 31 Soit α
1
, α
2
···α
n+1
, n + 1 éléments distincts deux à deux de K. On définit l’application ϕ:K
n
[X]−→ K
n+1
par ϕ(P) = (P(α
1
), P (α
2
),...,P (α
n+1
)) .
1. Montrer que ϕest un isomorphisme d’espace vectoriel.
2. En déduire, β
1
,β
2
, ... β
n+1
étant n+ 1 scalaires quelconques, qu’il existe un et un seul polynôme Pde degré inférieur
ou égal à ntel que : ∀i∈ {1,...,n+ 1},P(α
i
) = β
i
(polynôme d’interpolation de Lagrange).
3. On définit la famille B= (L
1
, L
2
,...,L
n+1
)de polynômes de K
n
[X]par :
L
k
=
n+1
i=1
(X−α
i
)
X−α
k
=
n+1
i=1,i=k
(X−α
i
)
Vérifier que Best une base de K
n
[X].
Calculer les coordonnées sur cette base Bdu polynôme Pde la question précédente.
4. Application : trouver un polynôme Pvérifiant P(1) = −1,P(2) = −1et P(3) = 1.
Exercice 32 Soit E=K
n
[X], et a∈K. Pour tout P∈E, on pose
ϕ(P) = P(X)−
n
k=0
P
(k)
(a)
k!(X−a)
k
.
1. Vérifier que ϕest un endomorphisme de E.
2. En utilisant la base C= (1, X −a, (X−a)
2
,...,(X−a)
n
), déterminer ϕ.
3. En déduire la formule de Taylor pour les polynômes.
4. En déduire, pour tout α∈K,h∈Ket P∈K
n
[X]
P(α+h) =
n
k=0
P
(k)
(α)
k!h
k
.
Exercice 33 Soit Eun espace vectoriel de dimension net f∈ L (E)tel que f
3
=Id
E
.
1. Montrer que Im (f−Id)⊂ker f
2
+f+Id
E
.
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2. Montrer que E= Im (f−Id)⊕ker (f−Id).
Exercice 34
1. Donner un exemple d’endomorphisme de K
4
dont l’image est égale au noyau.
2. Soit Eun espace vectoriel de dimension finie net u∈ L (E). Montrer que si nest impair alors Im u= ker u. On
suppose alors npair, montrer que
ker u= Im u⇐⇒ u◦u= 0
L(E)
rg (u) = n
2
3. Montrer que si ker u= Im u, il existe des vecteurs (e
1
,··· , e
r
)où r= rg utels que (e
1
,··· , e
r
, u (e
1
),··· , u (e
r
)) soit
une base de E.
Exercice 35 Soient Eet Fdeux espaces vectoriels de dimension finis et (f, g)∈ L (E, F )
2
.
1. Montrer que rg (f+g)≤rg (f) + rg (g)puis que |rg f−rg g| ≤ rg f+ rg g.
2. Montrer que rg (f+g) = rg (f) + rg (g)si et seulement si Im f∩Im g=−→ 0
F
et ker f+ ker g=E.
Exercice 36 Soit Eun Kespace vectoriel de dimension net f∈ L (E)de rang 1,montrer qu’il existe λ∈Ktel que
f◦f=λf.
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