PCSI2 - Programme de kholle : colle 30 #A

PCSI2 - Programme de kholle : colle 30
Chapitre 22 : Probabilité
Vocabulaire, événeménts, incompatibilité. Définition d’une probabilité sur Ωfini. Probabilité uniforme (P(A) = #A
#Ω ).
Propriétés élémentaires, croissance de P. Définition de Psur Ωpar la donnée des p
i
=P({ω
i
})où Ω = {ω
1
,··· , ω
n
}.
Probabilités totales P(B) = 
i∈I
P(B∩A
i
)où (A
i
)
i∈I
est un SCE (système complet d’événements).
Probabilités conditionnelles, définition, l’application P
B
:A−→ P
B
(A)est une probabilité sur Ω. Formule des probabilités
composées.Formules des probabilités totales version conditionnelle. Formules de Bayes. Indépendance : couple d’événements,
indépendances mutuelles.
Chapitre 23 : Espaces euclidiens
Définition d’une forme biliniéaire. Forme symétrique, positivité. Forme définie positive. Produits scalaires. Exemples
usuels. Inégalité de Cauchy-Schwarz. Orthogonalité, définition de vecteurs orthogonaux. Procédé de Gram-schmidt (j’ai à
peine abordé les projections orthogonales)
◮Une guêpe entre par inadvertance dans un appartement composé de deux pièces Aet B. A l’instant t= 0 elle
est dans la pièce A. Elle évolue alors ainsi : si à l’instant nelle est :
1
dans la pièce A, elle y reste avec une probabilité égale à 1
3et passe en Bavec une probabilité égale à 2 3.
2
dans la pièce B, elle y reste avec une probabilité égale à 1
2, passe en Aavec une probabilité égale à 1 4et quitte l’appatement
avec une probabilité égale à 1
4.
Une fois sortie de l’appartement, la guêpe n’y revient plus.
On note A
n
, B
n
et C
n
les événements ”La guêpe est à l’instant ndans la pièce A”··· (je laisse au lecteur le soin de deviner
ce que sont B
n
et C
n
),et a
n
=P(A
n
),···
1. Donner les valeurs de a
0
, b
0
, c
0
.Exprimer a
n+1
, b
n+1
et c
n+1
en fonction de a
n
, b
n
et c
n
. Comparer a
n+1
et b
n+1
.
2. Montrer que la suite (u
n
)
n∈N
définie par u
n
= 4a
n
+3b
n
est géométrique, et que la suite (v
n
)
n∈N
définie par v
n
= 2a
n
−b
n
est constante à partir d’un certain rang. En déduire, pour n≥1la valeur de a
n
, b
n
et c
n
en fonction de n. Interpréter
lim
n→+∞
c
n
.
◮Un livre contient 4erreurs, numérotées de 1à4, et est relu par une suite de relecteurs pour correction. A chaque
relecture, chaque erreur est corrigée avec une probabilité 1
3. Les erreurs sont corrigées de manière indépendante les unes des
autres, et les relectures sont indépendantes les unes des autres.
1. Quelle est la probabilité que l’erreur numéro 1ne soit pas corrigée à l’issue de la n-ième lecture ?
2. Quelle est la probabilité que le livre soit entièrement corrigé à l’issue de la n-ième lecture ? Combien faut-il de relectures
pour que cette probabilité soit supérieure à 0.9?
◮Pour E=R
2
,−→ u= (x, y),−→ v= (x
′
, y
′
), et le produit scalaire (−→ u|−→ v) = 2xx
′
+ 5yy
′
−xy
′
−x
′
y, donner une base
orthonormée construite à partir de la base canonique. On commencera par prouver que l’on a bien un produit scalaire sur
R
2
.
◮Soit E=R
3
[X]muni du produit scalaire (P|Q) = 
1
−1
P(t)Q(t)dt. Othogonaliser la famille 1, X, X
2
Merci à tous, khôlleurs et khôllés !!
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