Espaces vectoriels de dimension finie

PCSI1Résumé - Espaces vectoriels et dimension finie 2016-2017
Préliminaire
∙Un résultat fondamental : si ℒ= (⃗ ℓ1,...,⃗ ℓ𝑝)est une famille libre de 𝑝vecteurs d’un 𝕂-ev
𝐸, alors, pour tout vecteur ⃗𝑣 de 𝐸, on a les implications :
⃗𝑣 ∈Vect(⃗
ℓ1,...,⃗ ℓ𝑝)⇒(⃗ ℓ1,...,⃗ ℓ𝑝, ⃗𝑣)est liée
et ⃗𝑣 /∈Vect(⃗
ℓ1,...,⃗ ℓ𝑝)⇒(⃗ ℓ1,...,⃗ ℓ𝑝, ⃗𝑣)est libre
Autrement dit, on a les équivalences, si ℒest une famille libre :
(ℒ, ⃗𝑣)est libre)⇔⃗𝑣 /∈Vect(ℒ)ou encore (ℒ, ⃗𝑣)est liée)⇔⃗𝑣 ∈Vect(ℒ)
En termes simples : «une famille libre reste libre lorsqu’on lui ajoute un vecteur si et seulement si
ce vecteur n’appartient pas à l’espace engendré par cette famille libre».
I - Espaces vectoriels de dimension finie
∙Définition :
un 𝕂-ev 𝐸est appelé de dimension finie s’il est engendré par une famille finie de vecteurs.
Exemples :
♥𝕂𝑛=Vect(⃗𝑒1, . . . , ⃗𝑒𝑛),𝕂𝑛[𝑋] = Vect(1, 𝑋, 𝑋2, . . . , 𝑋𝑛),ℳ𝑛,𝑝(𝕂) = Vect ((𝐸𝑖,𝑗 )1⩽𝑖⩽𝑛,1⩽𝑗⩽𝑝)
et ℳ𝑛(𝕂) = Vect ((𝐸𝑖,𝑗 )1⩽𝑖,𝑗⩽𝑛)sont des 𝕂-ev de dimension finie, de même que les droites
et les plans vectoriels.
♥𝕂[𝑋]n’est pas de dimension finie.
∙Théorème de la base extraite :
de toute famille génératrice d’un 𝕂-ev non nul 𝐸(i.e 𝐸∕={⃗ 0𝐸}) on peut extraire une base .
Autrement dit, si 𝐸=Vect(𝒢), il existe ℬ ⊂ 𝒢 telle que ℬest libre et 𝐸=Vect(ℬ).
Preuve : puisque 𝐸=Vect(𝒢)∕={⃗ 0𝐸}, il existe des familles libres extraites de la famille
𝒢= (⃗𝑔1, . . . ,⃗𝑔𝑝)(qui contient au moins un vecteur non nul). Parmi toutes ces familles libres,
on en prend une de cardinal maximal, notée ℒde cardinal 𝑟⩽𝑝. Montrons que cette fa-
mille libre ℒest aussi génératrice de 𝐸: pour cela, montrons que, pour tout 𝑘∈ {1, . . . , 𝑝},
⃗𝑔𝑘∈Vect(ℒ)(ce qui impliquera 𝐸=Vect(𝒢) = sev de Vect(ℒ)! d’où le résultat recherché i.e
l’égalité 𝐸=Vect(ℒ)). Par l’absurde, s’il existait un 𝑘0∈ {1, . . . , 𝑝}tel que ⃗𝑔𝑘0/∈Vect(ℒ),
alors, d’après le résultat rappelé en préliminaire, la famille (ℒ, ⃗𝑔𝑘0)serait libre, extraite de 𝒢,
et de cardinal 𝑟+ 1 > 𝑟, ce qui est absurde car 𝑟est le cardinal maximal des familles libres
extraites de 𝒢. Ainsi, ℒest une base de 𝐸.
∙Conséquence : tout 𝕂-ev 𝐸(non nul) de dimension finie possède une base .
∙Proposition : dans un espace 𝐸engendré par une base de 𝑛vecteurs (𝑛∈ℕ∗), toute famille
comportant 𝑛+ 1 vecteurs est nécessairement liée.
Preuve : si (⃗𝑣1, . . . ,⃗𝑣𝑛+1)est une famille de 𝑛+ 1 vecteurs de 𝐸possédant une base de cardinal
𝑛,ℬ= (⃗ 𝑏1,...,⃗ 𝑏𝑛), alors l’équation 𝜆1⃗𝑣1+⋅ ⋅ ⋅ +𝜆𝑛+1⃗𝑣𝑛+1 =⃗ 0𝐸se ramène, une fois décomposée
sur la base de 𝐸, à résoudre un système linéaire homogène à 𝑛+ 1 inconnues (les 𝜆𝑗) et à 𝑛
équations (les composantes sur chaque vecteur ⃗ 𝑏𝑖de la base ℬ). Ce système possède une infi-
nité de solutions, puisqu’il est homogène et possède au moins un paramètre libre, précisément
𝑛+ 1 −𝑟⩾1paramètre(s) libre(s) (où 𝑟, rang de la matrice du système, vérifie 𝑟⩽𝑛), pour
décrire l’ensemble des solutions (𝜆1, . . . , 𝜆𝑛+1). La famille (⃗𝑣1, . . . , ⃗𝑣𝑛+1)est donc liée.
Complément : puisqu’on peut extraire une base d’une famille génératrice, et qu’une sur-famille
d’une famille liée est liée, on récupère ce résultat, plus général que le précédent,
«dans un ev engendré par 𝑛vecteurs, toute famille de (au moins) 𝑛+ 1 vecteurs est liée»
et donc toute famille libre de l’ev contient nécessairement au plus 𝑛vecteurs. Ainsi :
si 𝒢est génératrice de 𝐸et ℒfamille libre de vecteurs de 𝐸, alors card(ℒ)⩽card(𝒢).
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∙Conséquence - Proposition :
si 𝐸est un 𝕂-ev (non nul) de dimension finie, alors toutes ses bases ont le même cardinal .
Définition : si 𝐸est un 𝕂-ev (non nul) de dimension finie, on appelle
dimension de 𝐸= le cardinal d’une base de 𝐸,
i.e dim(𝐸) = card(ℬ)où ℬest une base quelconque de 𝐸.
Exemples : dim(𝕂𝑛) = 𝑛, dim(𝕂𝑛[𝑋]) = 𝑛+ 1 , dim(ℳ𝑛,𝑝(𝕂)) = 𝑛×𝑝, dim(ℳ𝑛(𝕂)) = 𝑛2.
Si ⃗𝑢 ∕=⃗ 0, dim(Vect(⃗𝑢)) = 1. Si (⃗𝑢, ⃗𝑣)libre , dim(Vect(⃗𝑢, ⃗𝑣)) = 2 (droites et plans vectoriels).
Attention :(1, 𝑖)est une base du ℝ-ev ℂ, mais (1) est une base du ℂ-ev ℂ. Donc dimℂ(ℂ)=1
et dimℝ(ℂ) = 2.
∙Théorème de la base incomplète :
toute famille libre d’un 𝕂-ev 𝐸de dimension finie peut être complétée en une base de 𝐸.
Traduction : si 𝐸=Vect(𝒢)et ℒest une famille libre de vecteurs de 𝐸, alors il existe une base
ℬde 𝐸telle que ℒ⊂ℬ. Il est même possible de construire une base ℬen complétant la famille
libre ℒen ajoutant des vecteurs bien choisis parmi ceux d’une famille génératrice 𝒢de 𝐸.
Preuve : à la famille libre ℒ, on ajoute un à un les vecteurs de la famille génératrice 𝒢, tant que
cela constitue toujours une famille libre. A la fin de ce processus, on a une famille ℬ=ℒ ∪ 𝒢′,
où 𝒢′est extraite de 𝒢, avec ℬlibre, par construction, et génératrice de 𝐸car Vect(ℬ)contient
nécessairement tous les vecteurs de 𝒢(sinon, si un des vecteurs ⃗𝑔 de 𝒢n’était pas dans Vect(ℬ),
alors, d’après le résultat prouvé en préliminaire, la famille (ℬ,⃗𝑔)serait encore libre, ce qui n’est
pas possible, d’après le mode de construction de la famille ℬ, puisqu’on est allé jusqu’au bout
du processus pour constituer une famille libre en complétant ℒà l’aide de vecteurs de 𝒢).
∙Complément : si 𝐸={⃗ 0𝐸}, on a envie de poser dim(𝐸) = 0, ce qui est compatible avec la
convention {⃗ 0𝐸}=Vect(∅), et le fait que l’ensemble vide ∅est une famille libre, car affirmer
qu’il existe un vecteur dans le vide ∅qui soit combinaison linéaire des autres est faux !
II - Caractérisation des bases - Rang de familles de vecteurs
∙Proposition : si 𝐸est de dimension finie, ℒune famille libre,ℬune base et 𝒢une famille
génératrice de 𝐸, alors : card(ℒ)⩽card(ℬ)⩽card(𝒢).
∙Proposition : si 𝐸est un ev de dimension 𝑛⩾1, et ℱune famille de cardinal 𝑛de vecteurs
de 𝐸(i.e card(ℱ) = dim(𝐸) = 𝑛), alors on a les équivalences :
(ℱest une base de 𝐸)⇔(ℱest libre)⇔(ℱest génératrice de 𝐸) .
∙Définition : le rang d’une famille de vecteurs est la dimension de l’espace engendré par
cette famille. Ainsi rang(ℱ) = dim(Vect(ℱ)) .
Clairement, rang(ℱ)⩽card(ℱ), et il y a égalité si et seulement si ℱest une famille libre.
Autrement dit, une famille de 𝑝vecteurs est libre ssi son rang est égal à 𝑝.
Méthode de calcul du rang d’une famille de vecteurs si on dispose d’une base :
on écrit la matrice 𝑀=Matℬ(ℱ)des coordonnées des vecteurs de la famille ℱsur une base ℬ
de 𝐸. Des opérations élémentaires sur les colonnes de cette matrice 𝑀reviennent à des
opérations directement sur les vecteurs. Le but est faire apparaître une matrice échelonnée en
colonnes, sur laquelle le rang de la famille ℱapparaît. On a ainsi rang(ℱ) = rang (Matℬ(ℱ)) .
En résumé : si ℱ= ( ⃗ 𝑓1,..., ⃗ 𝑓𝑝)est une famille de vecteurs d’un ev 𝐸, et ℬune base de 𝐸, en
posant 𝐹=vect(⃗ 𝑓1,..., ⃗ 𝑓𝑝), on a
♥rang(ℱ) = dim(𝐹) = rang (Matℬ(ℱ)) ⩽𝑝
♥(rang(ℱ) = 𝑝)⇔(ℱest libre i.e ℱest une base de 𝐹).
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III - Dimension et sous-espaces vectoriels
∙Proposition : si 𝐸est un espace vectoriel de dimension finie 𝑛⩾1et 𝐹un sous-espace
vectoriel de 𝐸(donc 𝐹⊂𝐸). Alors :
♥𝐹est également un espace vectoriel de dimension finie et dim(𝐹)⩽dim(𝐸).
♥(𝐹est égal à 𝐸) ssi (𝐸et 𝐹ont la même dimension), i.e (𝐹=𝐸)⇔(dim(𝐹) = dim(𝐸)).
Intérêt : pour prouver l’égalité de deux ev de dimensions finies, il suffit de prouver une
inclusion de l’un dans l’autre, et l’égalité de leurs dimensions.
∙Proposition (existence de supplémentaires en dimension finie) : si 𝐸est de dimension finie,
alors tout sev 𝐹de 𝐸possède un supplémentaire dans 𝐸, i.e il existe un sev 𝐺de 𝐸tel que
𝐹⊕𝐺=𝐸.
Remarque : en général, il n’y a pas unicité de ce supplémentaire de 𝐹dans 𝐸, mais tous ces
supplémentaires ont la même dimension (celle de 𝐸moins celle de 𝐹).
Rappel 1 : on sait que, si (⃗ 𝑏1,...,⃗ 𝑏𝑝,⃗ 𝑏𝑝+1,...,⃗ 𝑏𝑛)est une base de 𝐸, alors Vect(⃗ 𝑏1,...,⃗ 𝑏𝑝)et
Vect(⃗ 𝑏𝑝+1,...,⃗ 𝑏𝑛)sont deux sev supplémentaires dans 𝐸.
Rappel 2 : on a également vu que, si 𝐹et 𝐺sont deux sev supplémentaires dans 𝐸, alors la
réunion d’une base de 𝐹et d’une base de 𝐺constitue une base (adaptée) de 𝐸.
Conséquence 1 : si 𝐹et 𝐺sont en somme directe, alors dim(𝐹⊕𝐺) = dim(𝐹) + dim(𝐺).
Conséquence 2 :
(𝐹⊕𝐺=𝐸)ssi (la réunion d’une base de 𝐹et d’une base de 𝐺est une base de 𝐸) .
∙Caractérisation de supplémentaires en dimension finie : si 𝐸est un ev de dimension
finie, 𝐹et 𝐺deux sev de 𝐸, alors :
(𝐹⊕𝐺=𝐸)⇔𝐹∩𝐺={⃗
0}
dim(𝐹) + dim(𝐺) = dim(𝐸).
Autre forme :
(𝐹⊕𝐺=𝐸)⇔
𝐹∩𝐺={⃗ 0}
et
𝐹+𝐺=𝐸ou dim(𝐹) + dim(𝐺) = dim(𝐸)
.
∙Formule de Grassmann (dimension d’une somme de deux sev) : si 𝐹et 𝐺sont deux sev de
dimensions finies d’un ev 𝐸, alors
dim(𝐹+𝐺) = dim(𝐹) + dim(𝐺)−dim(𝐹∩𝐺).
IV - Dimension et espaces produits
∙Si 𝐸et 𝐹sont deux 𝕂-ev de dimensions finies (dim(𝐸) = 𝑛et dim(𝐹) = 𝑝), alors le produit
cartésien 𝐸×𝐹est un 𝕂-ev de dimension 𝑛+𝑝=dim(𝐸) + dim(𝐹).
∙Si (⃗𝑒1, . . . , ⃗𝑒𝑛)est une base de 𝐸et (⃗ 𝑓1,..., ⃗ 𝑓𝑝)une base de 𝐹, alors
(⃗𝑒1,⃗
0𝐹),...,(⃗𝑒𝑛,⃗ 0𝐹),(⃗ 0𝐸,⃗ 𝑓1),...,(⃗ 0𝐸,⃗ 𝑓𝑝)est une base de 𝐸×𝐹.
Exemple :
ℬ=⃗ 𝑏1= 1
0,˜
0,⃗ 𝑏2= 0
1,˜
0,⃗ 𝑏3= 0
0,˜
1,⃗ 𝑏4= 0
0, 𝑋,⃗
𝑏5= 0
0, 𝑋2
est une base de l’espace vectoriel réel ℝ2×ℝ2[𝑋](qui est de dimension 2+3=5).
Exemple de décomposition :
 3
4,1−2𝑋+ 6𝑋2= 3 4,˜
0+ 0
0,1−2𝑋+ 6𝑋2= 3⃗
𝑏1+4⃗ 𝑏2+1⃗ 𝑏3+(−2)⃗ 𝑏4+6⃗ 𝑏5.
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V - Dimension et applications linéaires
∙Rappels :
♥une application linéaire 𝑓:𝐸→𝐹est entièrement déterminée par l’image d’une base de 𝐸.
♥si 𝑓:𝐸→𝐹est linéaire et ℬ, une famille de vecteurs de 𝐸alors
(ℬlibre et 𝑓injective)⇒(𝑓(ℬ)libre) et (ℬgénératrice de 𝐸et 𝑓surjective)⇒(𝑓(ℬ)génératrice de 𝐹).
∙Proposition : soit 𝑓:𝐸→𝐹, une application linéaire (𝑓∈ ℒ(𝐸, 𝐹 )).
On considère ℬ= (⃗𝑒1, . . . , ⃗𝑒𝑝), une base de 𝐸.
On note ℱ= l’image de la base ℬpar l’application 𝑓, i.e ℱ=𝑓(ℬ) = (𝑓(⃗𝑒1), . . . , 𝑓 (⃗𝑒𝑝)).
On a les caractérisations suivantes :
♥(𝑓est injective) ⇔(l’image de la base ℱ=𝑓(ℬ)est libre dans 𝐹)
♥(𝑓est surjective) ⇔(l’image de la base ℱ=𝑓(ℬ)est génératrice de 𝐹)
♥(𝑓est bijective i.e un isomorphisme) ⇔(l’image de la base ℱ=𝑓(ℬ)est une base de 𝐹).
∙Proposition : deux ev de dimensions finies sont isomorphes ssi ils ont la même dimension.
Rappel : deux ev sont dits isomorphes s’il existe un isomorphisme entre eux deux.
∙Rappel : si 𝐸→𝐹est une application linéaire avec 𝐸de dimension finie, alors Im(𝑓)est de
dimension finie et engendré par l’image d’une base ℬde 𝐸. On dit que 𝑓est une application
de rang fini. Ainsi Im(𝑓) = Vect(𝑓(ℬ)) où ℬ= base de 𝐸.
Définition : on appelle rang de l’application linéaire 𝑓la dimension de son image.
rg(𝑓) = rang(𝑓) = dim (Im(𝑓)) .
∙Le théorème du rang : si 𝑓:𝐸→𝐹est une application linéaire et 𝐸de dimension finie ,
alors
dim(𝐸) = dim (Ker𝑓) + dim (Im𝑓)
ou encore : rg(𝑓) = dim(𝐸)−dim (Ker𝑓).
∙Caractérisation des isomorphismes en dimension finie :
si 𝑓:𝐸→𝐹est une application linéaire et si dim(𝐸) = dim(𝐹), alors
(𝑓est bijective) ⇔(𝑓est injective) ⇔(𝑓est surjective)
Cas courant : pour prouver qu’un endomorphisme 𝑓:𝐸→𝐸d’un ev 𝐸de dimension
finie est bijectif (i.e automorphisme), il suffit de prouver qu’il est injectif OU de prouver
qu’il est surjectif. Autrement dit, si 𝐸est de dimension finie et 𝑓∈ ℒ(𝐸):
(𝑓bijectif) ⇔(Ker(𝑓) = {⃗ 0𝐸})⇔(Im(𝑓) = 𝐸) .
Conséquence : si 𝑓et 𝑔sont deux endomorphismes de 𝐸(dimension finie) tels que 𝑓∘𝑔=Id𝐸,
alors on prouve facilement que 𝑓est surjective (et 𝑔injective) donc 𝑓est bijective (et 𝑔aussi)
et la réciproque de 𝑓est 𝑓−1=𝑔(conséquence : inutile de prouver 𝑓∘𝑔=Id𝐸ET 𝑔∘𝑓=Id𝐸
pour prouver 𝑓bijectif si l’espace est de dimension finie, une des deux égalités suffit). Analogie
avec le calcul matriciel (rappel) : dans ℳ𝑛(𝕂), si 𝐴×𝐵=I𝑛, alors 𝐴est inversible et 𝐴−1=𝐵.
∙Rang d’une composée : si 𝑓et 𝑔sont des applications linéaires de rangs finis, alors
rg(𝑔∘𝑓)⩽rg(𝑓)et rg(𝑔∘𝑓)⩽rg(𝑔)d’où rg(𝑔∘𝑓)⩽min(rg(𝑓),rg(𝑔)) .
∙Invariance du rang par composition par un isomorphisme : si 𝑓est une application li-
néaire de rang fini, et 𝑔,ℎdes isomorphismes d’ev, alors :
rg(𝑓) = rg(𝑓∘𝑔) = rg(ℎ∘𝑓).
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