Espaces vectoriels de dimension finie

PCSI1
Résumé - Espaces vectoriels et dimension finie
2016-2017
Préliminaire
∙ Un résultat fondamental : si ℒ = (⃗ℓ1 , . . . , ⃗ℓ𝑝 ) est une famille libre de 𝑝 vecteurs d’un 𝕂-ev
𝐸, alors, pour tout vecteur
:
( ⃗𝑣 de 𝐸, on a les implications
)
(
)
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗𝑣 ∈ Vect(ℓ1 , . . . , ℓ𝑝 ) ⇒ (ℓ1 , . . . , ℓ𝑝 , ⃗𝑣 ) est liée
et
(
)
(
)
⃗𝑣 ∈
/ Vect(⃗ℓ1 , . . . , ⃗ℓ𝑝 ) ⇒ (⃗ℓ1 , . . . , ⃗ℓ𝑝 , ⃗𝑣 ) est libre
Autrement dit, on a les équivalences, si ℒ est une famille libre :
(ℒ, ⃗𝑣 ) est libre) ⇔ ⃗𝑣 ∈
/ Vect(ℒ)
ou encore
(ℒ, ⃗𝑣 ) est liée) ⇔ ⃗𝑣 ∈ Vect(ℒ)
En termes simples : «une famille libre reste libre lorsqu’on lui ajoute un vecteur si et seulement si
ce vecteur n’appartient pas à l’espace engendré par cette famille libre».
I - Espaces vectoriels de dimension finie
∙ Définition :
un 𝕂-ev 𝐸 est appelé de dimension finie s’il est engendré par une famille finie de vecteurs.
Exemples :
♥ 𝕂𝑛 = Vect(⃗𝑒1 , . . . , ⃗𝑒𝑛 ), 𝕂𝑛 [𝑋] = Vect(1, 𝑋, 𝑋 2 , . . . , 𝑋 𝑛 ), ℳ𝑛,𝑝 (𝕂) = Vect ((𝐸𝑖,𝑗 )1⩽𝑖⩽𝑛,1⩽𝑗⩽𝑝 )
et ℳ𝑛 (𝕂) = Vect ((𝐸𝑖,𝑗 )1⩽𝑖,𝑗⩽𝑛 ) sont des 𝕂-ev de dimension finie, de même que les droites
et les plans vectoriels.
♥ 𝕂[𝑋] n’est pas de dimension finie.
∙ Théorème de la base extraite :
de toute famille génératrice d’un 𝕂-ev non nul 𝐸 (i.e 𝐸 ∕= {⃗0𝐸 }) on peut extraire une base .
Autrement dit, si 𝐸 = Vect(𝒢), il existe ℬ ⊂ 𝒢 telle que ℬ est libre et 𝐸 = Vect(ℬ).
Preuve : puisque 𝐸 = Vect(𝒢) ∕= {⃗0𝐸 }, il existe des familles libres extraites de la famille
𝒢 = (⃗𝑔1 , . . . , ⃗𝑔𝑝 ) (qui contient au moins un vecteur non nul). Parmi toutes ces familles libres,
on en prend une de cardinal maximal, notée ℒ de cardinal 𝑟 ⩽ 𝑝. Montrons que cette famille libre ℒ est aussi génératrice de 𝐸 : pour cela, montrons que, pour tout 𝑘 ∈ {1, . . . , 𝑝},
⃗𝑔𝑘 ∈ Vect(ℒ) (ce qui impliquera 𝐸 = Vect(𝒢) = sev de Vect(ℒ) ! d’où le résultat recherché i.e
l’égalité 𝐸 = Vect(ℒ)). Par l’absurde, s’il existait un 𝑘0 ∈ {1, . . . , 𝑝} tel que ⃗𝑔𝑘0 ∈
/ Vect(ℒ),
alors, d’après le résultat rappelé en préliminaire, la famille (ℒ, ⃗𝑔𝑘0 ) serait libre, extraite de 𝒢,
et de cardinal 𝑟 + 1 > 𝑟, ce qui est absurde car 𝑟 est le cardinal maximal des familles libres
extraites de 𝒢. Ainsi, ℒ est une base de 𝐸.
∙ Conséquence : tout 𝕂-ev 𝐸 (non nul) de dimension finie possède une base .
∙ Proposition : dans un espace 𝐸 engendré par une base de 𝑛 vecteurs (𝑛 ∈ ℕ∗ ), toute famille
comportant 𝑛 + 1 vecteurs est nécessairement liée.
Preuve : si (⃗𝑣1 , . . . , ⃗𝑣𝑛+1 ) est une famille de 𝑛 + 1 vecteurs de 𝐸 possédant une base de cardinal
𝑛, ℬ = (⃗𝑏1 , . . . , ⃗𝑏𝑛 ), alors l’équation 𝜆1⃗𝑣1 + ⋅ ⋅ ⋅ + 𝜆𝑛+1⃗𝑣𝑛+1 = ⃗0𝐸 se ramène, une fois décomposée
sur la base de 𝐸, à résoudre un système linéaire homogène à 𝑛 + 1 inconnues (les 𝜆𝑗 ) et à 𝑛
équations (les composantes sur chaque vecteur ⃗𝑏𝑖 de la base ℬ). Ce système possède une infinité de solutions, puisqu’il est homogène et possède au moins un paramètre libre, précisément
𝑛 + 1 − 𝑟 ⩾ 1 paramètre(s) libre(s) (où 𝑟, rang de la matrice du système, vérifie 𝑟 ⩽ 𝑛), pour
décrire l’ensemble des solutions (𝜆1 , . . . , 𝜆𝑛+1 ). La famille (⃗𝑣1 , . . . , ⃗𝑣𝑛+1 ) est donc liée.
Complément : puisqu’on peut extraire une base d’une famille génératrice, et qu’une sur-famille
d’une famille liée est liée, on récupère ce résultat, plus général que le précédent,
«dans un ev engendré par 𝑛 vecteurs, toute famille de (au moins) 𝑛 + 1 vecteurs est liée»
et donc toute famille libre de l’ev contient nécessairement au plus 𝑛 vecteurs. Ainsi :
si 𝒢 est génératrice de 𝐸 et ℒ famille libre de vecteurs de 𝐸, alors card(ℒ) ⩽ card(𝒢) .
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∙ Conséquence - Proposition :
si 𝐸 est un 𝕂-ev (non nul) de dimension finie, alors toutes ses bases ont le même cardinal .
Définition : si 𝐸 est un 𝕂-ev (non nul) de dimension finie, on appelle
dimension de 𝐸 = le cardinal d’une base de 𝐸 ,
i.e dim(𝐸) = card(ℬ) où ℬ est une base quelconque de 𝐸.
Exemples : dim(𝕂𝑛 ) = 𝑛 , dim(𝕂𝑛 [𝑋]) = 𝑛 + 1 , dim(ℳ𝑛,𝑝 (𝕂)) = 𝑛 × 𝑝 , dim(ℳ𝑛 (𝕂)) = 𝑛2 .
Si ⃗𝑢 ∕= ⃗0, dim(Vect(⃗𝑢)) = 1. Si (⃗𝑢, ⃗𝑣 ) libre , dim(Vect(⃗𝑢, ⃗𝑣 )) = 2 (droites et plans vectoriels).
Attention : (1, 𝑖) est une base du ℝ-ev ℂ, mais (1) est une base du ℂ-ev ℂ. Donc dimℂ (ℂ) = 1
et dimℝ (ℂ) = 2.
∙ Théorème de la base incomplète :
toute famille libre d’un 𝕂-ev 𝐸 de dimension finie peut être complétée en une base de 𝐸 .
Traduction : si 𝐸 = Vect(𝒢) et ℒ est une famille libre de vecteurs de 𝐸, alors il existe une base
ℬ de 𝐸 telle que ℒ ⊂ ℬ. Il est même possible de construire une base ℬ en complétant la famille
libre ℒ en ajoutant des vecteurs bien choisis parmi ceux d’une famille génératrice 𝒢 de 𝐸.
Preuve : à la famille libre ℒ, on ajoute un à un les vecteurs de la famille génératrice 𝒢, tant que
cela constitue toujours une famille libre. A la fin de ce processus, on a une famille ℬ = ℒ ∪ 𝒢 ′ ,
où 𝒢 ′ est extraite de 𝒢, avec ℬ libre, par construction, et génératrice de 𝐸 car Vect(ℬ) contient
nécessairement tous les vecteurs de 𝒢 (sinon, si un des vecteurs ⃗𝑔 de 𝒢 n’était pas dans Vect(ℬ),
alors, d’après le résultat prouvé en préliminaire, la famille (ℬ, ⃗𝑔 ) serait encore libre, ce qui n’est
pas possible, d’après le mode de construction de la famille ℬ, puisqu’on est allé jusqu’au bout
du processus pour constituer une famille libre en complétant ℒ à l’aide de vecteurs de 𝒢).
∙ Complément : si 𝐸 = {⃗0𝐸 }, on a envie de poser dim(𝐸) = 0, ce qui est compatible avec la
convention {⃗0𝐸 } = Vect(∅), et le fait que l’ensemble vide ∅ est une famille libre, car affirmer
qu’il existe un vecteur dans le vide ∅ qui soit combinaison linéaire des autres est faux !
II - Caractérisation des bases - Rang de familles de vecteurs
∙ Proposition : si 𝐸 est de dimension finie, ℒ une famille libre, ℬ une base et 𝒢 une famille
génératrice de 𝐸, alors : card(ℒ) ⩽ card(ℬ) ⩽ card(𝒢) .
∙ Proposition : si 𝐸 est un ev de dimension 𝑛 ⩾ 1, et ℱ une famille de cardinal 𝑛 de vecteurs
de 𝐸 (i.e card(ℱ) = dim(𝐸) = 𝑛 ), alors on a les équivalences :
(ℱ est une base de 𝐸) ⇔ (ℱ est libre) ⇔ (ℱ est génératrice de 𝐸) .
∙ Définition : le rang d’une famille de vecteurs est la dimension de l’espace engendré par
cette famille. Ainsi rang(ℱ) = dim(Vect(ℱ)) .
Clairement, rang(ℱ) ⩽ card(ℱ), et il y a égalité si et seulement si ℱ est une famille libre.
Autrement dit, une famille de 𝑝 vecteurs est libre ssi son rang est égal à 𝑝 .
Méthode de calcul du rang d’une famille de vecteurs si on dispose d’une base :
on écrit la matrice 𝑀 = Matℬ (ℱ) des coordonnées des vecteurs de la famille ℱ sur une base ℬ
de 𝐸. Des opérations élémentaires sur les colonnes de cette matrice 𝑀 reviennent à des
opérations directement sur les vecteurs. Le but est faire apparaître une matrice échelonnée en
colonnes, sur laquelle le rang de la famille ℱ apparaît. On a ainsi rang(ℱ) = rang (Matℬ (ℱ)) .
En résumé : si ℱ = (𝑓⃗1 , . . . , 𝑓⃗𝑝 ) est une famille de vecteurs d’un ev 𝐸, et ℬ une base de 𝐸, en
posant 𝐹 = vect(𝑓⃗1 , . . . , 𝑓⃗𝑝 ), on a
♥ rang(ℱ) = dim(𝐹 ) = rang (Matℬ (ℱ)) ⩽ 𝑝
♥ (rang(ℱ) = 𝑝) ⇔ (ℱ est libre i.e ℱ est une base de 𝐹 ).
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III - Dimension et sous-espaces vectoriels
∙ Proposition : si 𝐸 est un espace vectoriel de dimension finie 𝑛 ⩾ 1 et 𝐹 un sous-espace
vectoriel de 𝐸 (donc 𝐹 ⊂ 𝐸). Alors :
♥ 𝐹 est également un espace vectoriel de dimension finie et dim(𝐹 ) ⩽ dim(𝐸).
♥ (𝐹 est égal à 𝐸) ssi (𝐸 et 𝐹 ont la même dimension), i.e (𝐹 = 𝐸) ⇔ (dim(𝐹 ) = dim(𝐸)).
Intérêt : pour prouver l’égalité de deux ev de dimensions finies, il suffit de prouver une
inclusion de l’un dans l’autre, et l’égalité de leurs dimensions.
∙ Proposition (existence de supplémentaires en dimension finie) : si 𝐸 est de dimension finie,
alors tout sev 𝐹 de 𝐸 possède un supplémentaire dans 𝐸, i.e il existe un sev 𝐺 de 𝐸 tel que
𝐹 ⊕ 𝐺 = 𝐸.
Remarque : en général, il n’y a pas unicité de ce supplémentaire de 𝐹 dans 𝐸, mais tous ces
supplémentaires ont la même dimension (celle de 𝐸 moins celle de 𝐹 ).
Rappel 1 : on sait que, si (⃗𝑏1 , . . . , ⃗𝑏𝑝 , ⃗𝑏𝑝+1 , . . . , ⃗𝑏𝑛 ) est une base de 𝐸, alors Vect(⃗𝑏1 , . . . , ⃗𝑏𝑝 ) et
Vect(⃗𝑏𝑝+1 , . . . , ⃗𝑏𝑛 ) sont deux sev supplémentaires dans 𝐸.
Rappel 2 : on a également vu que, si 𝐹 et 𝐺 sont deux sev supplémentaires dans 𝐸, alors la
réunion d’une base de 𝐹 et d’une base de 𝐺 constitue une base (adaptée) de 𝐸.
Conséquence 1 : si 𝐹 et 𝐺 sont en somme directe, alors dim(𝐹 ⊕ 𝐺) = dim(𝐹 ) + dim(𝐺).
Conséquence 2 :
(𝐹 ⊕ 𝐺 = 𝐸) ssi (la réunion d’une base de 𝐹 et d’une base de 𝐺 est une base de 𝐸) .
∙ Caractérisation de supplémentaires en dimension finie : si 𝐸 est un ev de dimension
finie, 𝐹 et 𝐺 deux sev de 𝐸, alors :
(
)
⃗0}
𝐹
∩
𝐺
=
{
(𝐹 ⊕ 𝐺 = 𝐸) ⇔
.
dim(𝐹 ) + dim(𝐺) = dim(𝐸)
Autre forme :
⎞
⎛
𝐹 ∩ 𝐺 = {⃗0}
⎠.
(𝐹 ⊕ 𝐺 = 𝐸) ⇔ ⎝
et
𝐹 + 𝐺 = 𝐸 ou dim(𝐹 ) + dim(𝐺) = dim(𝐸)
∙ Formule de Grassmann (dimension d’une somme de deux sev) : si 𝐹 et 𝐺 sont deux sev de
dimensions finies d’un ev 𝐸, alors
dim(𝐹 + 𝐺) = dim(𝐹 ) + dim(𝐺) − dim(𝐹 ∩ 𝐺) .
IV - Dimension et espaces produits
∙ Si 𝐸 et 𝐹 sont deux 𝕂-ev de dimensions finies (dim(𝐸) = 𝑛 et dim(𝐹 ) = 𝑝), alors le produit
cartésien 𝐸 × 𝐹 est un 𝕂-ev de dimension 𝑛 + 𝑝 = dim(𝐸) + dim(𝐹 ).
∙ Si (⃗𝑒1 , . . . , ⃗𝑒𝑛 ) est( une base de 𝐸 et (𝑓⃗1 , . . . , 𝑓⃗𝑝 ) une base de)𝐹 , alors
(⃗𝑒1 , ⃗0𝐹 ), . . . , (⃗𝑒𝑛 , ⃗0𝐹 ), (⃗0𝐸 , 𝑓⃗1 ), . . . , (⃗0𝐸 , 𝑓⃗𝑝 ) est une base de 𝐸 × 𝐹 .
Exemple :
(
(( ) )
(( ) )
(( ) )
(( )
)
(( )
))
1
0
0
0
0
2
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
ℬ = 𝑏1 =
, 0̃ , 𝑏2 =
, 0̃ , 𝑏3 =
, 1̃ , 𝑏4 =
, 𝑋 , 𝑏5 =
,𝑋
0
1
0
0
0
est une base de l’espace vectoriel réel ℝ2 × ℝ2 [𝑋] (qui est de dimension 2+3=5).
Exemple
:
(( ) de décomposition
) ((
) ) (( )
)
3
4
, 1 − 2𝑋 + 6𝑋 2
=
3
4
, 0̃ +
0
0
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, 1 − 2𝑋 + 6𝑋 2
= 3⃗𝑏1 + 4⃗𝑏2 + 1⃗𝑏3 + (−2)⃗𝑏4 + 6⃗𝑏5 .
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V - Dimension et applications linéaires
∙ Rappels :
♥ une application linéaire 𝑓 : 𝐸 → 𝐹 est entièrement déterminée par l’image d’une base de 𝐸.
♥ si 𝑓 : 𝐸 → 𝐹 est linéaire et ℬ, une famille de vecteurs de 𝐸 alors
(ℬ libre et 𝑓 injective)⇒ (𝑓 (ℬ) libre) et (ℬ génératrice de 𝐸 et 𝑓 surjective)⇒ (𝑓 (ℬ) génératrice de 𝐹 ).
∙ Proposition : soit 𝑓 : 𝐸 → 𝐹 , une application linéaire (𝑓 ∈ ℒ(𝐸, 𝐹 )).
On considère ℬ = (⃗𝑒1 , . . . , ⃗𝑒𝑝 ), une base de 𝐸.
On note ℱ = l’image de la base ℬ par l’application 𝑓 , i.e ℱ = 𝑓 (ℬ) = (𝑓 (⃗𝑒1 ), . . . , 𝑓 (⃗𝑒𝑝 )).
On a les caractérisations suivantes :
♥ (𝑓 est injective) ⇔ (l’image de la base ℱ = 𝑓 (ℬ) est libre dans 𝐹 )
♥ (𝑓 est surjective) ⇔ (l’image de la base ℱ = 𝑓 (ℬ) est génératrice de 𝐹 )
♥ (𝑓 est bijective i.e un isomorphisme) ⇔ (l’image de la base ℱ = 𝑓 (ℬ) est une base de 𝐹 ).
∙ Proposition : deux ev de dimensions finies sont isomorphes ssi ils ont la même dimension.
Rappel : deux ev sont dits isomorphes s’il existe un isomorphisme entre eux deux.
∙ Rappel : si 𝐸 → 𝐹 est une application linéaire avec 𝐸 de dimension finie, alors Im(𝑓 ) est de
dimension finie et engendré par l’image d’une base ℬ de 𝐸. On dit que 𝑓 est une application
de rang fini. Ainsi Im(𝑓 ) = Vect(𝑓 (ℬ)) où ℬ = base de 𝐸.
Définition : on appelle rang de l’application linéaire 𝑓 la dimension de son image.
rg(𝑓 ) = rang(𝑓 ) = dim (Im(𝑓 )) .
∙ Le théorème du rang : si 𝑓 : 𝐸 → 𝐹 est une application linéaire et 𝐸 de dimension finie ,
alors
dim(𝐸) = dim (Ker𝑓 ) + dim (Im𝑓 )
ou encore : rg(𝑓 ) = dim(𝐸) − dim (Ker𝑓 ) .
∙ Caractérisation des isomorphismes en dimension finie :
si 𝑓 : 𝐸 → 𝐹 est une application linéaire et si dim(𝐸) = dim(𝐹 ) , alors
(𝑓 est bijective) ⇔ (𝑓 est injective) ⇔ (𝑓 est surjective)
Cas courant : pour prouver qu’un endomorphisme 𝑓 : 𝐸 → 𝐸 d’un ev 𝐸 de dimension
finie est bijectif (i.e automorphisme), il suffit de prouver qu’il est injectif OU de prouver
qu’il est surjectif. Autrement dit, si 𝐸 est de dimension finie et 𝑓 ∈ ℒ(𝐸) :
(𝑓 bijectif) ⇔ (Ker(𝑓 ) = {⃗0𝐸 }) ⇔ (Im(𝑓 ) = 𝐸) .
Conséquence : si 𝑓 et 𝑔 sont deux endomorphismes de 𝐸 (dimension finie) tels que 𝑓 ∘𝑔 = Id𝐸 ,
alors on prouve facilement que 𝑓 est surjective (et 𝑔 injective) donc 𝑓 est bijective (et 𝑔 aussi)
et la réciproque de 𝑓 est 𝑓 −1 = 𝑔 (conséquence : inutile de prouver 𝑓 ∘ 𝑔 = Id𝐸 ET 𝑔 ∘ 𝑓 = Id𝐸
pour prouver 𝑓 bijectif si l’espace est de dimension finie, une des deux égalités suffit). Analogie
avec le calcul matriciel (rappel) : dans ℳ𝑛 (𝕂), si 𝐴×𝐵 = I𝑛 , alors 𝐴 est inversible et 𝐴−1 = 𝐵.
∙ Rang d’une composée : si 𝑓 et 𝑔 sont des applications linéaires de rangs finis, alors
rg(𝑔 ∘ 𝑓 ) ⩽ rg(𝑓 ) et rg(𝑔 ∘ 𝑓 ) ⩽ rg(𝑔) d’où rg(𝑔 ∘ 𝑓 ) ⩽ min(rg(𝑓 ), rg(𝑔)) .
∙ Invariance du rang par composition par un isomorphisme : si 𝑓 est une application linéaire de rang fini, et 𝑔, ℎ des isomorphismes d’ev, alors :
rg(𝑓 ) = rg(𝑓 ∘ 𝑔) = rg(ℎ ∘ 𝑓 ) .
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