sujet

e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE
Épreuve de Mathématiques A MP
durée 4 heures
L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives
qu’il est amené à prendre.
Problème
Partie I
Soit Iun intervalle non réduit à un point de R. On considère l’équation di¤érentielle sur I:
y00 +y= 0 ( E0)
1. Montrer que l’ensemble des solutions de (E0)sur Iest x!Acos x+Bsin xj(A; B)2R2.
On suppose pour que les questions 2et 3que Iest un intervalle de Rnon majoré.
2. Soit gune solution de (E0)sur l’intervalle I. Que peut-on dire des suites (g(n))n2Net g(2n+1
2)n2N?
3. Soit gune solution de (E0). On suppose que g(x)tend vers une limite …nie lorsque xtend vers +1. Montrer que gest
la fonction nulle.
Partie II
Dans cette partie, on note C1(R)le R-espace vectoriel des fonctions de classe C1sur Ret à valeurs réelles.
On note C=fe1; e2; e3; e4gla base canonique de R4:
e1= (1;0;0;0); e2= (0;1;0;0); e3= (0;0;1;0); e4= (0;0;0;1):
Soit v= (a; b; c; d)dans R4. On note hvl’application dé…nie sur Rpar :
hv:x7! (ax +b) cos x+ (cx +d) sin x:
On note Vl’ensemble des applications hvlorsque vparcourt R4.
1. Montrer que Vest un sous-espace vectoriel de C1(R).
2. Démontrer que l’application qui envoie le vecteur vsur l’application hvdé…nit un isomorphisme entre R4et V. En
déduire que B=fhe1; he2; he3; he4gest une base de V.
3. Soit v= (a; b; c; d)dans R4. Exprimer l’application x7! h00
v(x) + hv(x). On note (hv)cette application.
(i) Démontrer que est un endomorphisme de V.
(ii) Déterminer le noyau de . Quel est le rang de ?
(iii) Expliciter la matrice de sur la base de V, notée B, déterminée à la question 2. En déduire une base de l’image
de .
4. On considère l’équation di¤érentielle sur R:
y00 +y= cos x(E1)
Résoudre l’équation di¤érentielle (E1)sur R.

Dans le reste du problème, on considère l’équation di¤érentielle sur R
+:
y00 +y=1
x(E)
Partie III
Dans cette partie, on considère la fonction Fdé…nie sur R2par :
F(x; t) = ext
1 + t2:
1. Soit xun réel positif.
1a. Démontrer l’inégalité :
8t2R+; F (x; t)1
1 + t2:
1b. En déduire que l’intégrale R+1
0F(x; t)dt est convergente.
On peut donc dé…nir sur R+une fonction Gen posant :
8x2R+; G(x) = Z+1
0
F(x; t)dt:
2. En utilisant l’inégalité démontrée en 1a, justi…er que la fonction Gest continue sur R+. On énoncera avec précision le
théorème utilisé.
3. On se propose de démontrer que Gest dérivable sur R
+. Soit un réel strictement positif.
3a. Justi…er que Fest de classe C1sur R2. Déterminer la dérivée partielle @F
@x au point (x; t).
3b. En utilisant l’inégalité
8x2[; +1[;8t2R+;text
1 + t2et
que l’on justi…era, démontrer les points suivants :
(i) Pour x > 0, l’intégrale R+1
0
@F
@x (x; t)dt est convergente.
(ii) La fonction Gest dérivable sur l’intervalle ]0;+1[et on a
8x2]0;+1[; G0(x) = Z+1
0
text
1 + t2dt:
4. En suivant les mêmes étapes que pour la question 3, démontrer que Gest deux fois dérivable sur R
+et que sa dérivée
seconde véri…e :
8x2R
+; G00(x) = Z+1
0
t2ext
1 + t2dt:
5. Montrer que Gest une solution de l’équation di¤érentielle E.
6a. Démontrer que Gest une application décroissante sur R+.
6b. En déduire que G(x)admet une limite lorsque xtend vers +1. Déterminer cette limite.
Partie IV
Soit fune fonction à valeurs réelles dé…nie et continue sur R
+. On suppose que fvéri…e les quatre conditions suivantes
:
a. fest positive ;
b. fest décroissante ;
c. limt!+1f(t) = 0 ;
d. l’application gdé…nie, pour tout tdans R
+, par g(t) = tf (t)admet une limite …nie lorsque ttend vers 0 par valeurs
supérieures.
2

1. Soit fungn2Nune suite strictement croissante de nombres positifs. On suppose que limn!+1un= +1. Montrer que la
série de terme général (1)nf(un)est convergente (on énoncera précisément le théorème utilisé).
2. Montrer que sin(t)f(t)admet une limite lorsque ttend vers 0 par valeurs supérieures. En déduire que la fonction
jsin(t)jf(t)est intégrable sur l’intervalle [0; x], pour tout x > 0.
3. Soit nun entier naturel non nul. On pose wnle réel dé…ni par :
wn=Z(n+1)
n
jsin(t)jf(t)dt:
3a. Justi…er l’encadrement : 2f((n+ 1))wn2f(n).
3b. En déduire qu’il existe undans l’intervalle [n; (n+ 1)]tel que wn= 2f(un). On énoncera avec précision le
théorème utilisé.
3c. Montrer que :
wn= (1)nZ(n+1)
n
sin(t)f(t)dt:
4. On considère les deux suites nR2n
0sin(t)f(t)dton2Net nR(2n+1) 0sin(t)f(t)dton2N.
4a. Montrer que la suite nR2n
0sin(t)f(t)dton2Nest croissante.
4b. Montrer que la suite nR(2n+1)
0sin(t)f(t)dton2Nest décroissante.
4c. En comparant les termes de ces deux suites, établir la convergence de chacune d’entre elles vers une limite lcommune.
Pour tous réels positifs xet ytels que xy, on pose If(x; y) = Ry
xsin(t)f(t)dt.
5. Déduire de 4. que l’application If(x; y)admet une limite …nie lorsque ytend vers +1. On note R+1
xsin(t)f(t)dt cette
limite.
6. Soit xun réel positif. Justi…er l’existence de Ix=R+1
x
sin(t)
tdt.
Partie V
1. Soit xun réel strictement positif. Montrer que la fonction hxdé…nie sur R
+par : hx(t) = 1
x+t, véri…e les hypothèses
de la partie IV.
On peut donc dé…nir une fonction Hsur R
+en posant :
8x2R
+; H(x) = Z+1
0
sin(t)
t+xdt:
2. En e¤ectuant un changement de variables, démontrer l’égalité :
8x2R
+; H(x) = Z+1
x
sin(tx)
tdt:
3. En développant sin(tx), démontrer que Hest deux fois dérivable sur R
+et qu’on a :
8x2R
+; H00 (x) + H(x) = 1
x:
4. Quelle est la limite de H(x)lorsque xtend vers +1?
5. En déduire que :
8x2R
+; H(x) = G(x);
la fonction Gétant dé…nie dans la partie III.
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