sujet

CCP PSI2005 -Math¶ematiques2
Dur¶ee :4heures
calculatricesautoris¶ees
Notationset objectifs:
²Rd¶esignel'ensembledesnombresr¶eels,Cd¶esignel'ensembledesnombrescomplexes.Pour¸2C,on
notej¸jlemodulede¸.
²M2(C)d¶esignel'espace desmatricesµa deuxlignesetdeuxcolonnes,µa coe±cientscomplexes.
²M=(mi;j)¶etantunematrice µa coe±cientscomplexes,on noteM=(mi;j)lamatrice dontles
coe±cients sontlesconjugu¶esdescoe±cientsdeM.Lamatrice transpos¶ee deMestnot¶ee tM.
²PourM2M2(C),on notedet(M)led¶eterminantdeMettr(M)latrace deM.On noteI2=µ1 0
0 1 ¶.
Leproblµemeportesurl'¶etudedes sous-ensemblesdematricesdeM2(C)etconduitµa d¶e¯nir,pardes
m
atricesdeM2(C),desrotationsd'un espace euclidien dedimension3.
Danslapremiµerepartie,on d¶e¯nitun produitscalairesurl'espace complexeC2.
Dansladeuxiµeme etlatroisiµemepartie,on¶etudiedes sous-ensemblesdematricesdeM2(C).
Danslaquatriµemepartie,on d¶e¯nitunestructure euclidiennesurun sous-ensembledematricesde
M
2(C)eton¶etudiedesautomorphismesde cetespace euclidien.
Danstoutleproblµeme,desquestionsde calculpeuvent^etretrait¶eesind¶ependammentdesautresques-
ions.
PartieI
On noteC2leC-espace vectorieldescouplesdenombrescomplexes.Lesdeux vecteurse1=(1;0)et
e
2=(0;1)deC2formentunebaseB=(e1;e2)deC2appel¶ee base canonique.
Etantdonn¶edeux vecteursx=(a;b),y=(c;d)deC2,dematricesX=µa
b¶,Y=µc d¶relative-
m
entµa labase canonique,on d¶e¯nitleproduitscalaire(xjy)=ac+bd=tXY;lanorme estd¶e¯nie
p
arjjxjj =p(xjx)=pjaj2+jbj2.
C2estun espacevectorielpr¶ehilbertien complexepourceproduitscalaire etBestune
b
aseorthonormaledeC2.
I.1Soientx=(a;b),y=(c;d)deux vecteursdeC2et¸;¹deuxscalairescomplexes.Exprimerles
produits scalaires(yjx),(¸xjy),(xj¹y)enfonction du produitscalaire(xjy).
I.2Soientx=(a;1+3i),y=(¡1+5i;3¡2i)deux vecteursdeC2.
I.2.1Aquelle conditionsurlenombre complexea, lesvecteursxetyforment-ilsunebasedeC2?
I.2.2Aquelle conditioncettebase est-elleorthogonale?Dansce cascalculerlanormedex.
I.3SoitT=Ãi
2
p3
2
¡p3
2¡i 2!2M2(C).
I.3.1D¶eterminerlesvaleurspropres(complexes)etles sous-espacespropresdeT.
I.3.2En d¶eduirequ'il existeunebaseorthonormaledevecteurspropresdeT,quel'onexplicitera.

I.4SoitU=µac
bd¶2M2(C).On notex=(a;b)ety=(c;d)lesvecteurscolonnesdeU.Exprimer
leproduitmatricieltUU enfonction de(xjy),jjxjj etjjyjj.
PartieII
On noteU=fU2M2(C);tUU =I2g.
II.1SoitU=µac
bd¶2M2(C)avec x=(a;b),y=(c;d).Aquelle conditionsurlesvecteurscolonnes
xetydeUa-t-onU2U?
II.2SoitU2U.Calculerjdet(U)j, lemodulededet(U).
II.3SoitU2U.
II.3.1MontrerqueUestinversible etqueU¡1appartientµa U.
II.3.2MontrerqueUappartientµa UetquetUappartientµa U.
II.3.3SoitV2U. MontrerqueleproduitUVappartientµa U.
II.4SoitUun ¶el¶ementdeUetsoit¸unevaleurpropre complexedeU.D¶eterminerj¸j.
PartieIII
On noteSU=fU2U;det(U)=1g.
P
ourµ¶el¶ementdeR,on d¶e¯nitlamatrice Dµ2SUpar:Dµ=µeiµ0
0e¡iµ¶.
I
II.1SoitU=µac
bd¶2M2(C).
III.1.1Donnerlesquatrerelationsportantsurles scalairesa;b;c;dquicaract¶erisentl'appartenance de
Uµa SU.
III.1.2OnsupposequeUappartientµa SU. Montrerquec=¡betd=a.
III.1.2En d¶eduirequeUappartientµa SUsietseulementsiU=µa¡b
ba¶avec jaj2+jbj2=1.
I
II.2SoitU=µa¡b
ba¶,avec jaj2+jbj2=1unematrice deSU.
2

III.2.1D¶eterminerlepolyn^ome caract¶eristiqueÂ(¸)=det(U¡¸I2)deU.
En d¶eduirequ'il existeun r¶eelµtelquelesvaleurspropresdeUsonteiµete¡iµ.
Etantdonn¶ee unematrice U2SU,onadmetqueUestsemblableµa unematrice diagonale
Dµavec unematrice depassageP2SU,c'estµa direqu'il existeµ2RetP2SUtelsque
U=PDµP¡1.Lad¶emonstration decer¶esultatferal'objetdelaquestionIV.7.
III.2.2V¶eri¯erquelamatrice Td¶e¯nieµa laquestionI:3 appartientµa SU.D¶eterminerun r¶eelµetune
matrice Pappartenantµa SU,telsqueT=PDµP¡1.
PartieIV
Rappel: E¶etantun espace euclidienorient¶ededimension3,rapport¶eµa unebaseorthonormaledirecte
²1;²2;²3),µ¶etantun r¶eel, on noteRµ=0
@
1 0 0
0cosµ¡sinµ
0sinµcosµ1
Alamatrice relativementµa cettebase,dela
otation deEd'axedirig¶eparlevecteur²1etdontunemesuredel'angle estler¶eelµ.
O
n noteV=fA2M2(C);A=tAettr(A)=0g.
I
V.1SoitA=µac
bd¶2V.
IV.1.1MontrerqueAestdelaformeA=µar+is
r¡is¡a¶avec a;r;sr¶eels.En d¶eduirequeVestun
espace vectorielr¶eeldontunebase estform¶ee parlesmatricesE1=µ1 0
0¡1¶,E2=µ0 1 1 0 ¶,
E3=µ0i
¡i0¶.
IV.1.2Montrerquel'application d¶e¯niesurV£Vpar:(A;B)7! hA;Bi=1
2tr(AB)d¶e¯nitun produit
scalairesurl'espace vectorielr¶eelV.En notantjjAjj =phA;AilanormedeA,exprimerjjAjj2
enfonction dedet(A).
IV.1.3Pourjetkappartenantµa l'ensemblef1;2;3g,calculerlesproduits scalaireshEj;Eki.Quepeut-
onen d¶eduire?
Danslasuiteon considµereVcommeun espace euclidien,pourleproduitscalaired¶e¯ni
ci-dessus.OnorienteVdesortequelabase(E1;E2;E3)soitdirect.
I
V.2SoitP2SU.On note`Pl'application d¶e¯niesurVpar:pour toutA2V,`P(A)=PAP¡1.
IV.2.1Montrerque`Pestun automorphismeorthogonaldel'espace euclidienV(c'estµa direun endo-
morphismedeVquiconservelanorme).
IV.2.2SoientPetQdansSU. MontrerqueleproduitPQappartientµa SUetmontrerquelacompos¶ee
`P±`Qv¶eri¯e`P±`Q=`PQ.
3

Danslasuite,pourU2SU, on¶etudielesautomorphismes`UdeV.
I
V.3Caract¶erisation de`Dµ.
IV.3.1Pourj=1;2;3,exprimer`Dµ(Ej)danslabase(E1;E2;E3).
IV.3.2En d¶eduireque`Dµestunerotation del'espace euclidienV,donton donneraun vecteurquidirige
l'axe etunemesuredel'angle.
I
V.4SoitU2SU.En utilisantun r¶esultatadmisdansIII.2,d¶eterminerunebaseorthonormaledel'espace
euclidienVrelativementµa laquellelamatrice de`Uestunematrice derotation.
Pr¶eciserun vecteurquidirigel'axe etunemesuredel'anglede cetterotation.
I
V.5SoitU=µa¡b
ba¶2SU.En notanta=p+iq,(p;q)2R2,on¶ecritU=pI2+iHavec H2M2(C).
IV.5.1MontrerqueHappartientµa V.
IV.5.2D¶eterminer`U(H).
IV.5.3En notantb=r+is,(r;s)2R2,d¶eterminerparsescomposantesrelativementµa labase
(E1;E2;E3),un vecteurdel'axedelarotation`U.
I
V.6Onconsidµerelarotation`TdeV,d¶e¯nieparlamatrice deTdelaquestionI.3;donnerun vecteur
quidirigel'axe etunemesuredel'anglede cetterotation.
I
V.7SoitU2SU.D¶emonstrationdur¶esultatadmisdansIII.2.
IV.7.1OnsupposequeUaunevaleurpropredouble;quelles sontlesmatricesUpossibles?
IV.7.2Dansle casoµuUadeux valeurspropresdistinctes,montrerqueles sous-espacesproprescorre-
spondants sontorthogonauxdansC2.En d¶eduireler¶esultatadmisdansIII.2.
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