sujet

CCP PSI 2005 - Math¶
ematiques 2
Dur¶
ee : 4 heures
calculatrices autoris¶
ees
Notations et objectifs:
² R d¶esigne l'ensemble des nombres r¶eels, C d¶esigne l'ensemble des nombres complexes. Pour ¸ 2 C, on
note j¸j le module de ¸.
² M 2(C) d¶esigne l'espace des matrices µa deux lignes et deux colonnes, µa coe±cients complexes.
² M = (mi;j ) ¶etant une matrice µa coe±cients complexes, on note M = (mi;j ) la matrice dont les
coe±cients sont les conjugu¶es des coe±cients de M . La matrice transpos¶ee de M est not¶ee t M.
µ
¶
1 0
² Pour M 2 M2(C), on note det(M ) le d¶eterminant de M et tr(M ) la trace de M. On note I2 =
.
0 1
Le problµeme porte sur l'¶etude des sous-ensembles de matrices de M 2(C) et conduit µa d¶e¯nir, par des
matrices de M2(C), des rotations d'un espace euclidien de dimension 3.
Dans la premiµere partie , on d¶e¯nit un produit scalaire sur l'espace complexe C 2.
Dans la deuxiµeme et la troisiµeme partie , on ¶etudie des sous-ensembles de matrices de M2 (C).
Dans la quatriµeme partie, on d¶e¯nit une structure euclidienne sur un sous-ensemble de matrices de
M 2(C) et on ¶etudie des automorphismes de cet espace euclidien.
Dans tout le problµeme, des questions de calcul peuvent ^etre trait¶ees ind¶ependamment des autres quesions.
Partie I
On note C2 le C-espace vectoriel des couples de nombres complexes. Les deux vecteurs e 1 = (1; 0) et
e 2 = (0; 1) de C2 forment une base B = (e1 ; e2) de C2 appel¶ee base canonique.µ ¶
µ ¶
a
c
Etant donn¶e deux vecteurs x = (a; b), y = (c; d) de C2 , de matrices X =
,Y =
relativeb
d
ment µa la base
e¯nit le produit scalaire (xjy) = ac+ bd = tX Y ; la norme est d¶
e ¯nie
p canonique,
p on d¶
2
2
par jjxjj = (xjx) = jaj + jbj .
C2 est un espace vectoriel pr¶
ehilbertien complexe pour ce produit scalaire et B est une
2
base orthonormale de C .
I.1 Soient x = (a; b), y = (c; d) deux vecteurs de C2 et ¸; ¹ deux scalaires complexes. Exprimer les
produits scalaires (yjx), (¸xjy), (xj¹y) en fonction du produit scalaire (xjy).
I.2 Soient x = (a; 1 + 3i), y = (¡1 + 5i; 3 ¡ 2i) deux vecteurs de C2.
I.2.1 A quelle condition sur le nombre complexe a, les vecteurs x et y forment-ils une base de C2?
I.2.2 A quelle condition cette base est-elle orthogonale? Dans ce cas calculer la norme de x.
I.3 Soit T =
Ã
¡
i
2p
3
2
p
3
2
¡ 2i
!
2 M2 (C).
I.3.1 D¶eterminer les valeurs propres (complexes) et les sous-espaces propres de T .
I.3.2 En d¶eduire qu'il existe une base orthonormale de vecteurs propres de T , que l'on explicitera.
µ
¶
a c
I.4 Soit U =
2 M2(C). On note x = (a; b) et y = (c; d) les vecteurs colonnes de U . Exprimer
b d
le produit matriciel t UU en fonction de (xjy), jjxjj et jjyjj.
Partie II
On note U = fU 2 M2(C); t UU = I2g.
µ
¶
a c
II.1 Soit U =
2 M2(C) avec x = (a; b), y = (c; d). A quelle condition sur les vecteurs colonnes
b d
x et y de U a-t-on U 2 U ?
II.2 Soit U 2 U . Calculer jdet(U)j, le module de det(U).
II.3 Soit U 2 U .
II.3.1 Montrer que U est inversible et que U ¡1 appartient µa U .
II.3.2 Montrer que U appartient µa U et que t U appartient µa U .
II.3.3 Soit V 2 U . Montrer que le produit UV appartient µa U.
II.4 Soit U un ¶el¶ement de U et soit ¸ une valeur propre complexe de U. D¶eterminer j¸j.
Partie III
On note SU = fU 2 U; det(U ) = 1g.
Pour µ ¶el¶ement de R, on d¶e¯nit la matrice Dµ 2 SU par: Dµ =
III.1 Soit U =
µ
a c
b d
¶
µ
e iµ 0
0 e¡iµ
¶
.
2 M2(C).
III.1.1 Donner les quatre relations portant sur les scalaires a; b; c; d qui caract¶erisent l'appartenance de
U µa SU .
III.1.2 On suppose que U appartient µa SU. Montrer que c = ¡b et d = a.
µ
¶
a ¡b
III.1.2 En d¶eduire que U appartient µa SU si et seulement si U =
avec jaj2 + jbj2 = 1.
b a
III.2 Soit U =
µ
a ¡b
b a
¶
, avec jaj2 + jbj2 = 1 une matrice de SU .
2
III.2.1 D¶eterminer le polyn^ome caract¶eristique Â(¸) = det(U ¡ ¸I2) de U .
En d¶eduire qu'il existe un r¶eel µ tel que les valeurs propres de U sont eiµ et e¡iµ .
Etant donn¶ee une matrice U 2 SU, on admet que U est semblable µa une matrice diagonale
Dµ avec une matrice de passage P 2 SU, c'est µa dire qu'il existe µ 2 R et P 2 SU tels que
U = P Dµ P ¡1. La d¶emonstration de ce r¶esultat fera l'objet de la question IV.7.
III.2.2 V¶eri¯er que la matrice T d¶e¯nie µa la question I:3 appartient µa SU . D¶eterminer un r¶eel µ et une
matrice P appartenant µa SU , tels que T = P Dµ P ¡1.
Partie IV
Rappel: E ¶etant un espace euclidien orient¶
e de dimension1
3, rapport¶e µa une base orthonormale directe
0
1
0
0
²1; ²2 ; ²3), µ ¶etant un r¶eel, on note Rµ = @ 0 cos µ ¡ sin µ A la matrice relativement µa cette base, de la
0 sin µ cos µ
otation de E d'axe dirig¶e par le vecteur ² 1 et dont une mesure de l'angle est le r¶eel µ.
On note V = fA 2 M 2(C);
IV.1 Soit A =
µ
a c
b d
¶
A = t A et tr(A) = 0g.
2 V.
µ
a
r + is
r ¡ is ¡a
¶
avec a; r; s r¶eels. En d¶eduire que V est un
µ
¶
µ
¶
1 0
0 1
espace vectoriel r¶eel dont une base est form¶ee par les matrices E1 =
, E2 =
,
0 ¡1
1 0
µ
¶
0 i
E3 =
.
¡i 0
IV.1.1 Montrer que A est de la forme A =
IV.1.2 Montrer que l'application d¶e¯nie sur V £ V par: (A; B) p
7! hA; Bi = 12 tr(AB) d¶e¯nit un produit
scalaire sur l'espace vectoriel r¶eel V. En notant jjAjj = hA; Ai la norme de A, exprimer jjAjj 2
en fonction de det(A).
IV.1.3 Pour j et k appartenant µa l'ensemble f1; 2; 3g, calculer les produits scalaires hEj ; Ek i. Que peuton en d¶eduire?
Dans la suite on considµ
ere V comme un espace euclidien, pour le produit scalaire d¶e¯ni
ci-dessus. On oriente V de sorte que la base (E1; E2; E3) soit direct.
IV.2 Soit P 2 SU .On note `P l'application d¶e¯nie sur V par: pour tout A 2 V, `P (A) = P AP ¡1.
IV.2.1 Montrer que `P est un automorphisme orthogonal de l'espace euclidien V (c'est µa dire un endomorphisme de V qui conserve la norme).
IV.2.2 Soient P et Q dans SU . Montrer que le produit P Q appartient µa SU et montrer que la compos¶ee
`P ± `Q v¶eri¯e `P ± `Q = `P Q.
3
Dans la suite, pour U 2 SU , on ¶
e tudie les automorphismes `U de V.
IV.3 Caract¶erisation de `Dµ .
IV.3.1 Pour j = 1; 2; 3, exprimer `Dµ (Ej ) dans la base (E1; E2 ; E3 ).
IV.3.2 En d¶eduire que `Dµ est une rotation de l'espace euclidien V, dont on donnera un vecteur qui dirige
l'axe et une mesure de l'angle.
IV.4 Soit U 2 SU . En utilisant un r¶esultat admis dans III.2, d¶eterminer une base orthonormale de l'espace
euclidien V relativement µa laquelle la matrice de `U est une matrice de rotation.
Pr¶eciser un vecteur qui dirige l'axe et une mesure de l'angle de cette rotation.
IV.5 Soit U =
µ
a ¡b
b a
¶
2 SU . En notant a = p+ iq, (p; q) 2 R2, on ¶ecrit U = pI2 + iH avec H 2 M 2(C).
IV.5.1 Montrer que H appartient µa V .
IV.5.2 D¶eterminer `U (H).
IV.5.3 En notant b = r + is, (r; s) 2 R2, d¶eterminer par ses composantes relativement µa la base
(E1 ; E2 ; E3) , un vecteur de l'axe de la rotation `U .
IV.6 On considµere la rotation `T de V, d¶e¯nie par la matrice de T de la question I.3; donner un vecteur
qui dirige l'axe et une mesure de l'angle de cette rotation.
IV.7 Soit U 2 SU . D¶emonstration du r¶esultat admis dans III.2.
IV.7.1 On suppose que U a une valeur propre double; quelles sont les matrices U possibles?
IV.7.2 Dans le cas oµ
u U a deux valeurs propres distinctes, montrer que les sous-espaces propres correspondants sont orthogonaux dans C2. En d¶eduire le r¶esultat admis dans III.2.
999
4