corrigé

escp-eap2001(Ecolede commerce)
OPTIONSCIENTIFIQUEMATHEMATIQUESI
adapté enretirantcertainesquestionquisontdu coursdePC
etenajoutantledernierexemple.
1.
a)question de cours
b)P(f)estun polynômedel’endomorphismefdonc commuteavec f.
2.a)question de cours
b)Onsaitqueleshyperplans stables se cherchentenrésolvantLA=¹A:SoitentransposanttAtL=¹tL:
OrtL6=(0)donclapropositionéquivautà:tLestvecteurpropredetA
On noteB=(e1;e2;e3)labase canoniquedeR3etonconsidèrel’endomorphismegdeR3dontlamatrice danslabase
Best
B=0
@
110
011
0021
A:
²Pourtrouverlesdroites stablesoncherchelesvecteurspropresdeB:
Lesvaleurspropresdelamatrice triangulairesupérieureBsontsurladiagonale:1et2sontlesvaleurspropresde
B.
Le calculdonnesansproblèmeE1(B)=Vect(e1);E2(B)=Vect(e1+e2+e3)
lesdroites stables sontdoncVect(e1)etVect(e1+e2+e3).
²pourtrouverlesplans stablesonrecherchelesvecteurspropresdetB=0
@
100
110
0121
A.
OntrouveE1(tB)=Vect(e2¡e3);E2(tB)=Vect(e3)
lesplans stables sontlesplansd’équationy=zetz=0,soitlesplansVect(e1;e3)etVect(e1;e2).
gadmet6sousespacesvectoriels stables:
²n¡! 0o
²Vect(e1)etVect(e1+e2+e3)
²Vect(e1;e1+e2+e3)etVect(e1;e2)
²E
3.Soit(xk)k2[1;p]2Qp
k=1Fk,
fÃp
X
k=1
xk!=
p
X
k=1
f(xk)2
p
X
k=1
Fk;
puisquef(xk)2Fk.
Pp
k=1Fkestun sous-espace vectorielstableparf.
En utilisantlaquestion1)avec lepolynôme(X¡¸kIdE)nk,onvoitque,pourtout¸k,ker(f¡¸kIdE)nkeststablepar
f.
Alors,d’aprèslaquestion2),Pp k=1ker(f¡¸kIdE)nkeststableparf.
4.a)SoitFstableparfetx2F,
(f¡¸Id)(x)=f(x)¡x2F
commesommededeux vecteursdeF:Feststableparf¡¸Id.
RéciproquementsiFeststableparf¡¸Id,d’aprèslepremiersens,Feststablepar(f¡¸Id)¡(¡¸)Id=f.
fet(f¡¸Id)ontlesmêmesousespaces stables
b)SiFeststableparf,alorsf2(F)=f(f(F)) ½f(F)½F;Feststableparf2.
Laréciproque estfausse commelemontrelarotation de¼
2.
toutsousespace stableparfeststableparf2

Remarquelerésultatse généraliseàtoutepuissance positive def,oumêmeàtoutpolynômedel’endomorphismef.
c)Puisquef¡1existe,festbijective
SoitFun sous-espace stableparf,onaf(F)½F.Commefestbijectiveonadim(f(F)) =dim(F).Doncf(F)=F
.Onadoncf¡1(F)=f¡1(f(F)) =FetFeststableparf¡1.
Réciproquementcommef=¡f¡1¢¡1toutsousespace stableparf¡1eststableparf.
fetf¡1ontlesmêmes sous-espaces stables
d)Soitfun endomorphismedeElaissantstabletoutsous-espace vectorieldeEetB=(ei)i2[1;n]unebasedeE.f
laissestabletouteslesdroitesvectoriellesVect(ei),c’estàdireque8i2[1;n],eiestvecteurpropreassociéàf(question
2)a)etàunevaleurpropre¹i.
Soit(i;j)2[1;n]2telsquei6=j, ladroiteVect(ei+ej)eststable,donc,ei+ejestpropre etpourun certainréel¹,
f(ei+ej)=¹(ei+ej).Onadonc,
¹(ei+ej)=f(ei+ej)=f(ei)+f(ej)=¹iei+¹jej:
Puisque(ei;ej)estlibre,¹=¹i=¹jdèsquei6=j,nécessairementles¹isontégaux:
f=¹Id:
Réciproquement, il estévidentquesif=¹Id,ellelaissetousles sous-espaces stables.
f2(E)laissantstabletoutsous-espace deEestdelaformef=¸IdE.
Remarque:exercice classique:sipourtoutx,(x;f(x)) estliéfestunhomothétie éventuellementnulle.
e)LarotationRd’angle¼
2,décriteplushautconvient:ellen’apasdesous-espaces stablesdedimension1,doncles seuls
espacesf0getEdedimension0et2sontstables.
Le casoùl’endomorphisme estdiagonalisable
1.Sip=1,f,diagonalisable etn’ayantqu’uneseulevaleurpropre,estunehomothétie(i.e=¸Id):tousles sous-espaces
deEsontstables.
2.a)Onsait,puisquefestdiagonalisable,queEestsommedirectedes sousespacespropres:
E=
p
M
k=1
Ek:
ToutxdeF½Esedécomposedoncdemanièreuniquex=Pp
k=1xkavec 8k2[1;p], xk2Ek.
b)Pourx=Pp
k=1xk2F,
f(x)=fÃp
X
k=1
xk!=
p
X
k=1
f(xk)=
p
X
k=1
¸kxk
estdansF(stable).donclevecteurf(x)¡¸1xestdansF(parcombinaisonlinéaire)or:
f(x)¡¸1x=
p
X
k=1
¸kxk¡¸1
p
X
k=1
xk=
p
X
k=1
(¸k¡¸1)xk=
p
X
k=2
(¸k¡¸1)xk
c)Enrecommençantlamêmemanœuvrequedanslaquestion précédente,
p
X
k=3
(¸k¡¸2)(¸k¡¸1)xk2F
etdoncpar récurrence surjp
X
k=j
(¸k¡¸j)¢¢¢(¸k¡¸2)(¸k¡¸1)xk2F
eten…n p¡1
Y
i=1
(¸p¡¸i)xp2F:
Puisqueles¸isontdistincts,xp2F.Del’avantdernière égalité,ontirexp¡12Fetpar récurrence onmontrequetous
lesxi;(i2[1;p])sontdansF.
Dansvotre copie cesrécurrencesdoiventêtrerédigées.
2

3.MontronsquesiFeststableparf,F=©p
k=1(F\Ek).
—L’inclusion©p
k=1(F\Ek)½Festévidente(sommedesousespacesvectorielsdeF).
—L’inclusionF½Pp
k=1(F\Ek)résultedelaquestion précédente.
—CommelasommedesEkestdirecte, lasommedes sousespacesFkestaussidirecte.
FeststableparfsietseulementsiF=©p
k=1Fk;Fk½Ek
4.LesFk=F\Eksontdes sous-espacespropresdelarestriction defàF,puisqueF=©p
k=1(F\Ek), larestriction de
fàFestdiagonalisable.
l’endomorphismeinduitsurtoutsousespacstable estdiagonalisable
5.Dèsquefpossèdeun sous-espace proprededimensionsupérieureouégaleàdeux,ilpossèdedéjàunein…nitéde
sous-espaces stables, lesdroitesvectoriellesdecesous-espace.
Une condition nécessairepourqueEpossèdeun nombre…nidesous-espacesvectoriels stablesparfestquefnepossède
quedes sous-espacespropresdedimension1,c’estàdirequefdoitavoirnvaleurspropresdistinctes.
C’estsu¢sant,:les sous-espaces stables sontlesPn
i=1Fkavec 8k2[1;n],Fk½Ek,ce quientraînepuisqueEkestde
dimension1,Fk=f0gouFk=Ek.PourchaquekonadeuxchoixpourFk.Leschoixsontindépendants.
Ona2nsousespaces stables sitouteslesvaleurspropres sontsimples.
Le casoùl’endomorphisme estnilpotentd’ordren
1.a)véri…cationévidente.
b)Ilestévidentqueles sous-espacesprécédents sontstablesparD,montronsque ce sontles seuls.
RéciproquementsoitFun sous-espace nonréduità0etstableparD,
Fcontientun polynômenon nul , et toutpolynômedeFestdedegrén:Ilexistedoncun polynômePdedegrémaximum
notée k.
²OnaF½Rk[X].
²OnaRk[X]½F:Fétantstable,D(P)=P0;D2(P)=P00 ;:::;Dk(P)=P(k)sontdansF,orc’estunefamillede
polynômesétagésen degré.Rk[X]=Vect(D(i)(P)) ½F:
²Les seuls sousespaces stablesparDsontf0getlesRk[X].
²5/2 :Sice n’estpasdéjàfaitrevoyezledevoirdel’anderniersurdeséquationsliésàla dérivationetquicommence
aussiparl’étudedes sousespacespropresdeD.
2.a)analysedelamatrice :onaf(e1)=0;f(e2)=e1;f(e3)=e2;¢¢¢f(en)=en¡1:Doncen¡1=f(en);en¡2=f2(en)
¢¢¢e1=f(n¡1)(en),f(n)(en)=0.Oncherchedoncun vecteurentelquef(n)(en)=0etf(n¡1)(en)6=0
Puisquefn¡16=0,ilexisteentelquefn¡1(en)6=0.
Considéronslafamille(fk(en))k2[0;n¡1]etmontronsqu’elle estlibre.
SupposonsquePn¡1
k=0¹kfk(en)=0.Soitllepluspetitentiertelque¹l6=0,onadoncPn¡1 k=l¹kfk(en)=0,encomposant
parfn¡l¡1,onobtient
fn¡l¡1Ãn¡1
X
k=l
¹kfk(en)!=
n¡1
X
k=l
¹kfk+(n¡l¡1)(en)=¹lfn¡1(en)
ce quiestabsurde:touslescoe¢cient¹isontnuls, lafamille estbienlibre.
(fk(en))k2[0;n¡1]estunefamillelibredenvecteursdansEdedimensionn,c’estunebasedeE.
Lamatrice defdanslabase¡f(n¡1)(en);f(n¡2)(en);¢¢¢;f(en);en¢estA.
b)Ilsu¢tde changerlanormedesvecteursdebase.
On prend f1=e1;f2=e2;puisonveutf(f3)=2f2=2e2,f3=e3
2convient.Plusgénéralementsifi=ei (i¡1)!lamatrice
defdanscettebase estbienB,doncAestsemblableàB.
Onremarqueimmédiatementquelamatrice deD,danslabase canoniquedeRn¡1[X],estB, les sous-espaces stables
deBsontlesmêmes,àun isomorphismesprès,que ceuxdeD.
Cesontdonc:
fVect(ei;ei+1;¢¢¢en)gn¡1
i=0[n¡!
0o
3

Le casoùl’endomorphisme estnilpotentd’ordre2
1.a)f(f(F2)) =f0gpuisquef2=0,doncf(F2)½kerf:
b)OnaF2\F1½F2\kerf=f0g,F2\F1=f0g, lasommeF1+F2estdirecte.
Soitx=x1+x2oùx12F1etx22F2,f(x)=f(x1)+f(x2)=0+f(x2)2F1carf(F2)½F1,F1+F2eststable.
c)Soita2A\Cetb2B\C,alorsa+b2A+Beta+b2Cdonca+b2(A+B)\C:
L’inclusionensensinverse estfausse commelemontrel’exempledetroisdroitesdistinctes.
d)MontronsF1=(F1+F2)\kerf
²D’aprèsl’inclusion précédente
(F1\kerf)+(F2\kerf)½(F1+F2)\kerfdonc
F1+f0g½(F1+F2)\kerf
F1½(F1+F2)\kerf:
²Soity2(F1+F2)\kerfil existex12F1etx22F2telsquex1+x2=yety2Ker(f):Orx12F1½Ker(f)et
y2Ker(f)doncx2=y¡x12Ker(f)etdoncx2=0pardé…nition deF2:
Doncy=x12F1
²Donc
F1=(F1+F2)\kerf:
2.Onaencoref(f(F)) =f0gpuisquef2=0,doncf(F)½kerf:
DeplusFeststabledoncf(F)½Ker(f)\F=F1:
Réciproquementsif(F)½(F\Ker(f)) laquestion précédentemontrequeFeststable.
Feststablesietseulementsif(F)½(F\Ker(f))
3.Remarque:Ilya peut-êtremieuxlaméthode quisuitn’utilisantpasd’endomorphismenilpotentd’ordre2.
Onaimmédiatement
M¡Id=0
B
@
0100
0000
0011
0001
1
C
A;(M¡Id)2=0
B
@
0000
0000
0012
0001
1
C
A:
M¡2Id=0
B
@
¡1 1 0 0
0¡100
0 0 0 1
0 0 0 0
1
C
A;(M¡2Id)2=0
B
@
1¡200
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1
C
A:
(h¡Id)2(e1)=0;(h¡Id)2(e2)=0;(h¡2Id)2(e3)=0;(h¡2Id)2(e4)=0:
donc,puisqu’àvoirleursmatrices,(h¡Id)2et(h¡2Id)2sontderang 2,en utilisantlethéorèmedu rang,G1etG2
sontdedimension2,
G1=ker(h¡Id)2=Vect(e1;e2);etG2=ker(h¡Id)2=Vect(e3;e4)
sontsupplémentairescarfe1;e2getfe3;e4gformentunepartition delabase canonique.
RemarquonsqueG1etG2sontstablesd’aprèsI)3)b).Onreprend ensuitel’idée directrice du casdiagonalisable.
SoitFstable,H1=G1\FetH2=G2\Fsontstables(commeintersection desous-espaces stables)
PuisqueG1©G2=E,toutvecteurfdeFsedécomposesouslaformef=g1+g2(g12G1;g22G2):
Onadonc:
f=g1+g2
h(f)=h(g1)+h(g2)
h2(f)=(2h(g1)¡g1)+(4h(g2)¡4g2)pardé…nition deG1etG2
parcombinaisonlinéairepouréliminerg2eth(g2)ona
3g1¡2h(g1)=h2(f)¡4h(f)+4f2FcarFeststable
4

Encomposantparh:¡h(g1)+2g12Fetenéliminanth(g1),g12F.Etdoncg2=f¡g12F
etdoncg12H1etg22H2SoitF=H1©H2(sommedirecte carG1etG2lesont)
RéciproquementsiH1etH2sontdeuxsousespaces stablesdeG1etG2lasommeH1©H2eststable(I.3.a)
les sousespaces stables sontexactementlasommed’un sousespace stablede chaqueGi
Lesdroites stablesdeG1sontlesespacespropresdelarestriction defàG1,uneseuledroitestableVect(e1).Demême,
il n’yaqu’unedroitestabledansG2,Vect(e3).
Les sous-espaces stablesdefsontobtenusensommantceuxde
G1:f0g;Vect(e1);Vect(e1;e2)
etceuxde
G2:f0g;Vect(e3);Vect(e3;e4);
envoici laliste classée pardimension:
—dimension0:f0g
—dimension1:Vect(e1);Vect(e2);
—dimension2:G1=Vect(e1;e2);G2=Vect(e3;e4);Vect(e1;e3);
—dimension3:Vect(e1;e2;e3);Vect(e1;e3;e4);
—dimension4:Vect(e1;e2;e3;e4):
Existence d’un planstableparun endomorphisme
1.a)Eétantdedimensionn,L(E)estdedimensionn2, lafamilleden2+1vecteurs(fk)k2[0;n2]deL(E)estdoncliée: il
existeunefamillederéels,nontousnuls,(¹k)k2[0;n2]tellequePn2
k=0¹kfk=0,donclepolynôme,non nul, Pn2 k=0¹kXk
annulef.
b)
²L’ensemblefdoPoP6=0etP(f)=0gestunepartienonvidedeN,quipossèdeun pluspetitélémentd,ilexiste
doncun polynômenon nul, annulateurdefetdedegréminimumd.
²En divisantce polynômeparsoncoe¢cientdominantonobtientun polynômeunitaireM:
²Sice polynômen’étaitpasunique,onauraitdeuxsolutionsM1etM2.Ladi¤érence M1¡M2estalorsun polynôme
annulateurnon nuldedegré<d.Absurde.
c)festunehomothétie(éventuellementnulle)
2.NotonsMl’ensembledesracinesdeM:Onsaitdéjàque commeMestun polynômeannulateurSp(M)½M.
Réciproquementsi¸estuneracinedeM.montronsque(f¡¸Id)n’estpasinversibleparl’absurde.
Si¸estracinedeMon peutfactoriserM=(X¡¸)M1etdoncM(f)=(f¡¸Id)±M1(f)=0.Orsi(f¡¸Id)
estinversibleon peutmultiplierà gauchepar(f¡¸I)¡1:OntrouvequeM1estun polynômeannulateurnon nulde
degréstrictementpluspetitqued.Absurde.Donc(f¡¸Id)n’estpasinversible,doncpasinjective(endomorphisme en
dimension …nie)et¸2Sp(f)
¸estvaleurpropredefsietseulementsi¸esr racinedeM
3.a)f2+bf+cIdEn’estpasinjectifenreprenantlaméthodedelaquestion2 avec lefacteurX2+bX+c
b)Soitalorsx2Ker(f2+bf+cId);x6=0etF=Vect(x;f(x)):Véri…onsqueFestun planstableparf:
²Festengendrépardeux vecteursdoncdim(F)·2
²x6=0doncdim(F)>0
²siFestunedroitestable,ilexisteun scalaire¸telquef(x)=¸x.Enreportantdans(f2+bf+cId)(x)=¡! 0on
obtient¸2+b¸+c=0.Absurde carlediscriminanteststrictementnégatif.
²Feststable enregardantl’imagedelabase:f(x)2F,f(f(x)) =¡bf(x)¡cx2F
il existeun planstabledef.
5