corrigé

ENSAIT Concours2000
Math1
corrigé
PRELIMINAIRE
Soita;bdeuxfonctionscontinues surun intervalleIdeRàvaleursréelles.L’ensembledes solutionsde
l’équation di¤érentielley"+ay0+by=0estun espace vectorielsurRdedimension2.
IcigétantC1lafonctiong+1estcontinue etlafonction nulle estnaturellementcontinue.Eestdoncun
espace vectorielréeldedimension2.
PREMIERE PARTIE
Question1:L’ensembledes solutionsdel’équation di¤érentielley"+y=0estl’ensembledesfonctionsy
tellequ’il existeun réelAetun réelÁ2]¡¼;¼]tellesque8x;y(x)=Acos(x+Á)
y(x)admetalorsunein…nitéderacines:f¼
2¡Á+n¼,n2[1:: +1[g
Question2:
Question2.1:
¢f1estbienC2surR+¤carlesfonctionssin(x),1=xetcos(x)lesont.
¢depluspourx>0f0
1(x)=cos(x)
x¡sin(x) x2+sin(x)etf1"(x)=¡sin(x) x¡2cos(x) x2+2sin(x) x3+cos(x):
Doncf1"(x)+(1¡2
x2)f1(x)=³¡sin(x) x¡2cos(x) x2+2sin(x) x3+cos(x)´+³sin(x) x¡cos(x)´¡2³sin(x) x3¡cos(x) x2´
=0
f12E
¢Onsaitquelimx!0³sin(x)
x´=1doncf1seprolongeparcontinuité en0en posant:
f1(0)=0
¢sinetcossontdéveloppablesensériesentièresurRavec un rayon de convergence in…nie.Onadonc
x2R¤;sin(x)
x¡cos(x)=1 x
1
X
k=0
(¡1)kx2k+1
(2k+1)!+
1
X
k=0
(¡1)kx2k
(2k)!=
+1
X
k=0
(¡1)kµ1
(2k+1)!+1 (2k)!¶x2k
L’égalité estencorevraiesix=0.sin(x)
x¡cos(x)estdoncdéveloppable ensérie entièresurR,elleyest
doncC1.Par restrictionf1prolongée estC1surR+.
¢f1(n¼)=(¡1)n+1
¢Surchaqueintervalle[n¼;(n+1)¼]f1estcontinue etf1(n¼)£f1((n+1)¼)<0.Doncd’aprèslethéorème
desvaleursintermédiairesil existeuneracinexnsurchaqueintervalle]n¼;(n+)¼[
f1admetunein…nitéderacines
question1.2:Commedanslaquestion précédentef22C2(R+¤;R),et
8x>0;f2"(x)+(1¡2
x2)f2(x)=2(1¡®)sin(x) x2
®=1
question1.3:
¢f1etf2sontdeuxélémentsdeElinéairementindépendants.Ene¤ets’il existedeuxréels¸et¹telsque
¸f1+¹f2=0lavaleurenx=¼donne¡¸¡¹
¼=0etcelle en¼ 2donne2 ¼¸+¹=0.Ledéterminantdu système
:¯¯¯¯
¡1¡1=¼
2=¼1¯¯¯¯=2=¼2¡1estnon nul . Donc¸=¹=0
¢Eétantun espace vectorieldedimension2il existedeuxconstantesréellesC1etC2tellesque
y2E,y=C1f1+C2f2
Expressionquipeutsetransformeren posantA=pC2
1+C2 2etÁ2]¡¼;¼]telquecos(Á)=C1
A;sin(Á)=C2 A
y(x)=Aµsin(x+Á)
x¡cos(x+Á)¶

¢En particuliery(¼=2+n¼¡Á)=(¡1)n+1etcommeàlaquestion1.2 on déduitqu’il existeunein…nitéde
racines strictementpositive.
question3:
question3.1:lerésultatestévidentenmultipliantparx26=0surR+¤
question3.2:Supposonsqu’il existedes solutionsf(x)=P1
n=0anxndéveloppable ensérie entièresurR.
Ona alorspourtoutxréel :
x2f"(x)+(x2¡6)f(x)=
1
X
n=0
n(n¡1)anxn+
1
X
n=0
anxn+2¡6
1
X
n=0
anxn
x2f"(x)+(x2¡6)f(x)=¡6a0¡6a1+Ã1
X
n=2
(n¡3)(n+2)an+an¡2!xn
Onveutque cettequantitésoitnulle.Donca0=a1=a2=0etn¸4an=¡1
(n¡3)(n+2)an¡2.
Unerécurrence évidentemontrequesinestpairan=0.
Sinestimpairon posen=2k+1etpourk¸2a2k+1=¡1
(2k¡2)(2k+3)a2k¡1
a2k+1=(¡1)k¡11
((2k¡2)(2k¡4)¢¢¢4:2) ((2k+3) (2k+1)¢¢¢9:7a3=(¡1)k¡115(2k)(2k+2) (2k+3)!a3
Doncf(x)=¡15a3P1
k=1(¡1)k(2k)(2k+2) (2k+3)!x2k+1.Onvéri…eparlarègledeD’alembertque cettesérie entière
aun rayon de convergence in…nie:
8x2R;¯¯¯¯¯¯
(2k+2)(2k+4)
(2k+5)!x2k+3
(2k)(2k+2)
(2k+3)!x2k+1¯¯¯¯¯¯
=(2k+2)(2k+4)
(2k)(2k+2)(2k+4)(2k+5)x2¡!k! 1 0
f(x)=¡15a3P1
k=1(¡1)k(2k)(2k+2) (2k+3)!x2k+1
On peutdécomposer2k(2k+2)=(2k+2)(2k+3)¡3(2k+3)=(2k+2)(2k+3)¡3(2k+3)+3
D’où:
f(x)=¡15a3Ã1
X
k=1
(¡1)kx2k+1
(2k+1)!+3 x
1
X
k=1
(¡1)kx2k+2
(2k+2)!¡3 x2
1
X
k=1
(¡1)kx2k+3
(2k+3)!!
f(x)=¡15a3µ(sin(x)¡x)+3
xµcos(x)¡1+x2 2¶¡3 x2µsin(x)¡x+x3 6¶¶
f(x)=¡15a3³sin(x)+3cos(x)
x¡3sin(x) x2´
DEUXIEME PARTIE
question1:Onay=¸cos+¹sin.Donc en dérivant,comptetenu de¸0cos+¹0sin:y0=¡¸sin+¹cos
soitenredérivant:y"=¡¸cos¡¹sin¡¸0sin+¹0cosetcommey"+(1+g)y=0ona:
¸0sin¡¹0cos=gy
Onadoncun systèmelinéaired’inconnueslesfonctions¸0et¹0.Aprèsrésolution:
¸0=gysin,¹0=¡gycos
question2:il existedoncdeuxconstantesC1etC2tellesque:
8x>0;¸=C1+Zx
a
g(u)y(u)sin(u)du,¹(x)=C2¡Zx
a
g(u)y(u)cos(u)du
etdonc
8x>0;y(x)=¡C1+Rx
ag(u)y(u)sin(u)du¢cos(x)+¡C2¡Rx ag(u)y(u)cos(u)du¢sin(x)
2

question3:l’équivalence estune conséquence delaformule:
sin(u¡x)=sin(u)cos(x)¡sin(x)cos(u)
question4:
Onreprend y(x)=¡C1+Rx
ag(u)y(u)sin(u)du¢cos(x)+¡C2¡Rx ag(u)y(u)cos(u)du¢sin(x)
Sion dériveunefois(possible caronalesprimitivesdedeuxfonctionscontinue):
y0(x)=¡C1sin(x)+C2cos(x)¡µZx
a
g(u)y(u)sin(u)du¶sin(x)¡µZx
a
g(u)y(u)cos(u)du¶cos(x)
Lesdeuxautrestermes sesimpli…antdeuxàdeux.
Donc:
y"(x)=¡C1cos(x)¡C2sin(x)¡µZx
a
g(u)y(u)sin(u)du¶cos(x)+µZx
a
g(u)y(u)cos(u)du¶sin(x):::
::: ¡g(x)y(x)¡sin(x)2+cos(x)2¢
Onadoncbieny"(x)+y(x)=¡g(x)y(x):
TROISIEME PARTIE
question1:C’estune conséquence directedel’intégrabilitédegsur[1;+1[.Ene¤etsigestintégrable
jgjestintégrable etlima!+1R+1
ajg(t)jdt=0.L’intégrale estdoncinférieurà1=2pouraassez grand .
question2:
question2.1:l’imagedu segment[a;b]parlafonctioncontinueyestun segment.Iladmetdoncun plus
grand élément.
question2.2:D’aprèsl’inégalitédelamoyenne:
¯¯¯¯¯Zb
a
g(u)y(u)sin(u¡x)du¯¯¯¯¯·sup(y(u)sin(u¡x);u2[a;b])Zb
a
jg(u)duj·Mb:1:1=2
d’aprèslesmajorationsdesquestionsprécédentes.
question2.3:Onconnaîtlarelation:
8x2R+¤;y(x)=C1cos(x)+C2sin(x)+Zx
a
g(u)y(u)sin(u¡x)du
En particulierpourx2[a;b];jy(x)j·jC1j+jC2j+¯¯Rx
ag(u)y(u)sin(u¡x)du¯¯·jC1j+jC2j+Mb=2
Lemembrededroitenedépend plusdexc’estdoncun majorantdefjy(x)j;x2[a;b]g.Donc
Mb·jC1j+jC2j+Mb=2
CequiéquivautàMb·2(jC1j+jC2j)
En particulier:8b¸ajy(b)j·2(jC1j+jC2j).
yestdoncbornésur[a;+1[etM=sup(y;y¸a)·2(jC1j+jC2j)
question2.4yétantcontinuesurtoutsegment[®;a]yestbornée .Doncpar réunionyestbornésur
[®;+1[si®·a.Lerésultatestévidentdansle cascontraire.
L’exempledef2danslapremièrepartiemontrequeypeutnepasêtrebornée surR+¤:
question3:lafonctionguestcontinuesur[a;+1[commeproduitdefonctionscontinues.
Deplus8x2[a;+1[;jgu(x)j·Mjg(x)jlafonctionguestdonc continue,dominée parjg(x)jintégrablesur
[a;+1[donc estintégrablesur(a;+1[
question4:Onadonc
Zx
a
g(u)y(u)sin(u¡x)du=Z+1
a
g(u)y(u)sin(u¡x)du¡Z+1
x
g(u)y(u)sin(u¡x)du
3

Donc enreportanteten développantsin(u¡x)
8x2R+¤;y(x)=C3cos(x)+C4sin(x)¡Z+1
x
g(u)y(u)sin(u¡x)du
avec :
C3=C1+Z+1
a
g(u)y(u)sin(u)du,C4=C2¡Z+1
a
g(u)y(u)cos(u)du
question5:LaquestionestéquivalentemontrerqueR+1
xg(u)y(u)sin(u¡x)duaunelimitenullesix
tend versl’in…ni;Or
¯¯¯¯Z+1
x
g(u)y(u)sin(u¡x)du¯¯¯¯·¯¯¯¯Z+1
x
g(u)y(u)sin(u¡x)¯¯¯¯du·MZ+1
x
g(u)du
Commegestintégrablesur[a;+1[ce majorant tend vers0.Donc
limx! 1 (y(x)¡C3cos(x)¡C4sin(x)) =0
question6:On peut transformerC3cos(x)+C4sin(x)=Acos(x+Á)avec A>0.Ona alorsquepour
xn=¼
2+n¼¡Á,y(xn)=A(¡1)n+Ynavec Yn=y(xn)¡C3cos(xn)¡C4sin(xn)!n!1 0.
Apartird’un certainrangNonadoncxn>0etjYnj<A.Lesignedey(xn)estdonc(¡1)n.
Surchaqueintervalle[xn;xn+1]lafonctioncontinueyadmetdoncuneracined’aprèslethéorèmedesvaleurs
intermédiaires.
yadmetunein…nitéderacines
question7:SiC3=C4=0lafonctionyestnullesur[a;+1[:SoitM=sup[a;+1[(y)quiexisted’aprèsla
question3.Commeàlaquestion2ona
¯¯¯¯Z+1
a
g(u)y(u)sin(u¡x)du¯¯¯¯·M
2
CommeC3=C4=0onadonc8x¸ajy(x)j·M
2doncM·M 2.CommeM¸0onadoncM=0
En particuliery(a)=y0(a)=0.Orlafonction nulle estsolutionévidentedel’équation(Eq)Doncpar
unicitédelasolution d’une équation di¤érentielley"+a(x)y0+b(x)=c(x)véri…antune conditioninitiale
donnée 8x2R+¤;y(x)=0
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