Chapitre B.1.2 Etude de circuits linéaires simples en régime sinusoïdal à l'aide des nombres complexes 1°) Dipôles passifs linéaires: rappels 1.1) Résistance pure loi d’Ohm v t =R∗i t i R v avec R en Ω. 1.2) Condensateur parfait C i i (t ) = C × v dv(t ) dt C en Farad ( F ) En continu, un condensateur se comporte comme un circuit ouvert. Car si v(t) = V = Cste, alors i (t ) = C × dv(t ) dV =C× =0. dt dt Si la tension aux bornes du condensateur subit une discontinuité, alors le courant tend à être infini, il y a surintensité. En régime variable la tension aux bornes d’un condensateur ne peut-être discontinue. 1.3) Inductance pure L v(t ) = L × i di (t ) dt v L en Henry ( H ) En continu, une inductance se comporte comme un court-circuit. Car si i(t)= I = Cste, alors v(t ) = L × di (t ) dI = L× =0. dt dt Si le courant dans une inductance subit une discontinuité, alors la tension tend à être infini, il y a surtension. En régime variable le courant dans une inductance ne peut-être discontinu. 2°) Grandeur sinusoïdale en régime permanent 2.1) Représentations vectorielle et complexe associées 2.1.1) Représentation vectorielle A toute grandeur sinusoïdale de pulsation ω, on peut associer un vecteur tournant à la vitesse angulaire Ω = ω. Par convention, on le représente à l’instant t = 0 s. Bernaud J 1/4 Chapitre B.1.2 Etude de circuits linéaires simples en régime sinusoïdal à l'aide des nombres complexes v (t ) = Veff 2 cos(ωt + ϕ v ) → V (Veff , ϕ v ) Veff : longueur du vecteur, ϕv : angle polaire formé avec l’axe de référence des phases. Plan de Fresnel V ϕv Origine des Phases 2.1.2) Représentation par un nombre complexe Im Plan complexe z b ρ θ a Re On peut définir le complexe z, par ses coordonnées cartésiennes (a : partie réelle et b : partie imaginaire) ou par ses coordonnées polaires (ρ: le module et θ :l'argument). Dans le plan complexe: z = a + jb z = ρ cos θ + jρ sin θ On passe d’une forme à l’autre ainsi: a = ρ cos θ b = ρ sin θ Rappels de mathématique: soient ρ = a 2 + b 2 −1 b θ = tan a A=[ , ]=a jb et A' =[ ' , ' ]=a ' jb ' Addition ou soustraction de deux nombres complexes, on utilise la notation cartésienne, A A' =a j ba ' jb ' =aa ' j bb ' Produit ou quotient de deux nombres complexes, on utilise la notation polaire. A∗A' =[ , ]∗[ ' , ' ]=[∗ ' , ' ] [ , ] A '= =[ , −' ] A [ ' , ' ] ' Nombre complexe associé à une grandeur sinusoïdale: v(t ) = Veff Bernaud J 2 cos(ωt + ϕ v ) → V = [ Veff , ϕ v ] = Veff (cos ϕ v + j sin ϕ v ) 2/4 Chapitre B.1.2 Etude de circuits linéaires simples en régime sinusoïdal à l'aide des nombres complexes 2.2) Relations courant tension en notation complexe Toutes les lois générales de l’électricité s’appliquant aux grandeurs instantanées, s’appliquent aux grandeurs complexes associées, à partir du moment où on est en régime permanent. I i convention récepteur ϕi/v v V O. P. V eff , 0≡V =[V eff , 0 ]=V eff v t =V eff 2 sin t ≡ V i t =I eff 2 sin t−i /v ≡ I I eff ,−i / v ≡ I =[ I eff ,−i /v ]=I eff cosi /v j sin i /v 2.2.1) Impédance complexe Loi d’Ohm généralisée en sinusoidale : V = Z × I Avec Z impédance complexe, Z = 1/ Y, Y admittance complexe. Z= [V eff , 0] V V V = =[ eff ,0 −−i / v ]=[ eff ,i /v ] I [ I eff ,−i /v ] I eff I eff Z =[ Z , i /v ]=Z cosi /v j Z sin i / v =R j X Z peut s’écrire Z = R + j X avec R résistance et X réactance. Y peut s’écrire Y = G + j B avec G conductance et B susceptance. Résistance pure • i Z R=[ R , 0 ]=R R v V = R× I Condensateur parfait • C i v Bernaud J Z C =[ −j 1 1 ,− ]= = 2 C jC C V= 3/4 1 j I =− I jCω Cω Chapitre B.1.2 Etude de circuits linéaires simples en régime sinusoïdal à l'aide des nombres complexes Inductance parfaite • L Z L=[ L , i v ]= j L 2 V = jL ω I 2.2.2) Association d’impédance En série, les impédances complexes s’additionnent; en parallèle les admittances complexes s’additionnent. 2.3)Dipôles actifs linéaires 2.3.1)Modèle Equivalent de Thévenin (M.E.T.) Tout dipôle actif linéaire admet un M.E.T. représenté par l'association série suivante: I A Z0 I B E0 UAB U AB =E 0 −Z 0 . I Paramètres du modèle: E0 = ( U AB)I = 0 Tension complexe à vide du dipôle, Z0 : impédance complexe interne 2.3.2)Modèle Equivalent de Norton (M.E.N.) Tout dipôle actif linéaire admet un M.E.N. représenté par l'association parallèle suivante: I A ICC UAB Y0 Paramètres du modèle: B Bernaud J I = I CC −Y 0 U AB ICC : Courant de court circuit du dipôle, Y0 : admittance complexe interne 4/4