1°) Cinématique 1.1)Référentiel, Repère

Chapitre I : Mécanique
1°) Cinématique
C'est l'étude des mouvements indépendamment des causes qui les produisent.
1.1)Référentiel, Repère
Référentiel: C'est un objet matériel par rapport auquel le physicien étudie un
mouvement.
Repère: La position du mobile à chaque instant ne peut-être connue que par rapport à
un repère dont l'origine et les directions des axes sont fixes par rapport au référentiel.
Pour décrire le mouvement d'un mobile, il faut choisir le référentiel d'étude, un
repère lié à ce référentiel et une origine des dates.
1.2)Repérage des positions
Pour un mobile ponctuel, sa trajectoire est l'ensemble de ces positions pendant le
mouvement. Si c'est une portion de droite, le mouvement est rectiligne. Si c'est un arc de cercle, le
mouvement est curviligne.
La position du point peut-être repérée de différentes façons:
•
par des coordonnées cartésiennes: x = f(t), y = f(t) 
OM = x. i  y. j
par une abscisse curviligne: s= M =R. 
 : élongation angulaire ( en radian: rad).
•


O
M
1.3)Vitesse et vecteur vitesse
1.3.1)Vecteur vitesse moyenne

M
OM ' −
OM
Vm=
M'
=
t ' −t
t ' −t
1.3.2)Vecteur vitesse instantanée

OM ' −
OM d 
OM
=
v =lim
t
'
−t
d
t
t ' t
Quand M' tend vers M, la corde M'M tend vers une tangente en M à la trajectoire. Le
vecteur vitesse instantanée en M a pour direction celle de la tangente à la trajectoire
en M, son sens est celui du mouvement.
Expression du vecteur vitesse instantanée:
• en coordonnées cartésiennes:
d
OM d  x i  y j 

=
OM = x i  y j or v =
dt
dt
i et j indépendant de t.
Bernaud J
1/4
v =
dx d y
i
j
dt
dt
Chapitre I : Mécanique
en abscisse curviligne
On utilise alors d'autres vecteurs unitaires.
•
M ut
v
un
ut : tangent à la trajectoire en M dans le sens du
mouvement.
un : normal à la trajectoire, dirigé vers le centre de courbure de la trajectoire.
vt =v ut =
vn =0
d R. 
d
ds
ut =
ut =R
ut =R  ut ; vitesse angulaire(en rad.s-1)
dt
dt
dt
Relation entre vitesse linéaire et vitesse angulaire: v = w .R
v en m.s-1, R en m et w en rad.s-1
1.4)Accélération, vecteur accélération
1.4.1)Vecteur accélération moyenne
v ' −v
a moy =
t ' −t
1.4.2)Vecteur accélération instantanée
d v d 2
OM
=
a =
2
dt
dt
Expression du vecteur accélération instantanée:
• en coordonnées cartésiennes:
dx d y
i
j
d 
OM d v
dt
dt
d2 x  d2 y 
=
=d
=
i 2 j
a =
dt
dt
d t2
d t2
dt

2
•
en abscisse curviligne:
Exprimons 
a en fonction de ut et un .
at : accélération tangentielle de direction, la tangente à la trajectoire au point
considéré.
d v
ut d 2 s
d2 d 
at =
= 2
u t =R A 
ut

A= 2 =
: accélération angulaire en rad.s-2.
dt
dt
dt
dt
an : accélération normale, de direction, la normale à la trajectoire au point
considéré.
v2
v2
a n= u n avec  rayon de courbure de la trajectoire. A retenir: a n =


2
a =a t a n =
Bernaud J
2
d s
v
u  u n
2 t

dt
2/4
Chapitre I : Mécanique
si 
a et v sont de même direction,
– de même sens avec v croissant: le mouvement est accéléré;
– de sens contraire avec v décroissant: le mouvement est retardé.
1.5)Mouvement uniforme, mouvement uniformément varié
Un mouvement est dit uniforme, quand la norme de la vitesse reste constante.
Un mouvement est dit uniformément varié quand la mesure algébrique de l'accélération
tangentielle reste constante.
1.5.1)Mouvement rectiligne uniforme
La vitesse étant uniforme, sa norme est constante; sa direction est la même
(mouvement rectiligne), par conséquent le vecteur vitesse est constant.
 ⇒ a = d v = 0
équation horaire : x=vt  x o
v = cste
dt
1.5.2)Mouvement rectiligne uniformément varié
Le vecteur vitesse est colinéaire au vecteur accélération tangentielle.
 ⇒ v=a.t v o et x= 1 a t 2 v o . t x o
a =a. k = cste

2
1.5.3)Mouvement circulaire uniforme
La trajectoire est circulaire, le mouvement étant uniforme, la norme du
vecteur vitesse est constante, mais ce dernier ne l'est pas.
v
v=cste d ' où = =cste d'où s=v.tso ou = . to
R
d 2  aT
dv
a T = =0 et A= 2 = =0
dt
R
dt
2
v
a N = =Cste=2 . R accélération centripète
R
1.5.4)Mouvement circulaire uniformément varié
a T =cste d'où
A=
aT
=cste
R
= A.t o
=
Bernaud J
1
A t 2 o . to
2
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Chapitre I : Mécanique
2°) Dynamique
Cela correspond à l'étude du mouvement du centre d'inertie d'un solide.
2.1)Définitions
Système isolé : système qui n'est soumis à aucune action extérieure.
Système pseudo-isolé: système soumis à des actions extérieures qui se compensent.
Principe d'inertie : Le centre d'inertie d'un système isolé est animé d'un mouvement
rectiligne uniforme, sa quantité de mouvement reste constante.
Référentiels galiléens : Un référentiel dans lequel le principe d'inertie est vérifié est
dit galiléen.
2.2)Quantité de mouvement (unité kg.m.s_1)
La quantité de mouvement d'un système isolé de masse M est le produit de sa masse
par la vitesse de son centre d'inertie ( centre de gravité).
 =M. vG
P
2.3)Relation fondamental de la dynamique
Dans un référentiel galiléen, la somme des forces appliquées à un solide est égale à
la dérivée par rapport au temps de sa quantité de mouvement.

∑ F i = ddtP =
i=1
d M. vG
d vG
=M
=M aG
dt
dt
Si le mobile est animé d'un mouvement quelconque, la relation fondamentale de la
dynamique ne permet de connaître que le mouvement de son centre d'inertie.
Par contre, si le mouvement est une translation, alors tous les points du solide ont la même
vitesse, on obtient:
∑ F i =M. aG =M a
i=1
Application de la Relation Fondamentale de la Dynamique:
–
–
–
–
–
Bernaud J
choisir un référentiel galiléen ( référentiel terrestre);
définir le système dont on étudie le mouvement;
faire le bilan des forces appliquées au système;
écrire la R.F.D;
choisir des axes convenables afin de déterminer les inconnues du problème.
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