Intégrale multiple - Université Virtuelle de Tunis

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Chapitre XII
Intégrales Multiples
Introduction
On se place dans Rn,n≥1, muni de la distance suivante
d(x, y) = sup
1≤i≤n|xi−yi|
On ne considère que des fonctions définie sur Rnà valeurs dans R, dont
le support est compact. On rappelle que le support d’une telle fonction est
défini par
supp(f) = {x∈Rn|fx)6= 0}
Définition 0.1. Un pavé de Rnest un ensemble de la forme
{x∈Rn|ai≤xi≤bi,1≤i≤n}
où les composantes aiet bisont des multiples consécutifs de 2−k,k∈N.
On note Pkl’ensemble des pavés ainsi définis.
–Pkest un ensemble dénombrable.
– Chaque pavé de Pkest la réunion de 2kpavés de Pk+1.
– La distance de deux points d’un pavé de Pkest inférieure à 2−k.
– Le volume d’un pavé pappartenant à Pkest V(p)=2−nk.
– Les pavés de Pksont appelés pavés élémentaires. Ce sont des compacts
de Rn.
1 L’intégrale de Riemann
Soit f:Rn→Rune fonction bornée et à support compact. Pour un
pavé élémentaire p, on pose
mp= inf
x∈pf(x), Mp= sup
x∈pf(x)
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Pour k≥0, on définit les sommes de Riemann (ou sommes de Darboux) par
sk(f) = X
p∈Pk
mpV(p), Sk(f) = X
p∈Pk
MpV(p)
Ces sommations, qui portent sur tous les pavés pappartenant à Pk, sont en
fait finies car le support de fest compact.
Lemma 1.1. La suite (sk(f)) est croissante, la suite Sk(f)) est décroissante
et quels que soient les entiers ket k′, on a
sk(f)≤Sk′(f)
Démonstration. Soit k∈N. Par définition
sk+1(f) = 2−n(k+1) X
p∈Pk
mp
= 2−n(k+1) X
q∈PkX
p∈Pk+1
p⊂q
mp
Or, si pest inclus dans qalors mp≥mq, il en résulte que
sk+1(f)≥2−n(k+1) X
q∈Pk
mqX
p∈Pk+1
p⊂q
1
≥2−n(k+1) X
q∈Pk
2nmq
On démontre de même que la suite (Sk(f)) est décroissante. D’autre part, il
est clair que sk(f)≤Sk(f). Utilisant ce qui précède, il vient pour k′≤k
sk(f)≤Sk(f)≤Sk′(f)
et si k≤k′, on a
sk(f)≤sk′(f)≤Sk′(f)
Ce qui termine la démonstration.
Corollaire 1.2. Les suites (sk(f)) et (Sk(f)) sont convergentes.
Définition 1.3. La limite de la suite (sk(f)) est appelée l’intégrale inférieure
de f, la limite de la suite (Sk(f)) est appelée l’intégrale supérieure de f. Ces
deux limites sont notées respectivement
Z−
f(x)dx, Z+ f(x)dx
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Remarque 1.4.
On a toujours l’inégalité
Z−
f(x)dx ≤Z+ f(x)dx
Définition 1.5. On dit que fest intégrable au sens de Riemann, ou encore
Riemann-intégrable, lorsque l’intégrale supérieure de fet son intégrale infé-
rieure sont égales. L’intégrale de fest dans ce cas la limite commune des
deux suites (sk(f)) et (Sk(f))
ZRn
f(x)dx =Z− f(x)dx =Z+ f(x)dx
Remarque 1.6.
On vérifie que cette définition coïncide avec celle rencontrée en première
année pour des fonctions de Rdans R. Cette définition s’étend pour les
fonctions à valeurs complexes
Exemple 1.7.
Soit f: [0,1] →Rla fonction définie par
f(x) = 0,si 0≤x≤1/2
1,si 1/2≤x≤1
On vérifie que fest intégrable et que
Z1
0
f(x)dx =1
2
Exemple 1.8.
Soit f: [0,1] ×[0,1] →Rla fonction définie par
f(x, y) = 0,si xest rationnel
1,sinon
On vérifie que
Z−
f(x)dx = 0,Z+ f(x)dx = 1
Il en résulte que fn’est pas intégrable (au sens de Riemann).
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2 Ensembles négligeables
Définition 2.1. Un sous-ensemble Ede Rnest dit négligeable si, pour tout
ǫ > 0, il existe une suite (pj)de pavés élémentaires qui recouvrent Eet dont
la somme des volumes est inférieure à ǫ, c’est-à-dire
E⊂∞
[
j=1
pj,∞
X
j=1
V(pj)≤ǫ
Remarque 2.2.
Tout sous-ensemble d’un ensemble négligeable est lui-même négligeable.
Exemple 2.3.
Dans R3, la droite D={x= (x1, x2)|x2= 0}est négligeable. En effet,
pour tout ǫ > 0, il existe une suite (kj)telle que les segments de Ddéfinis
par j≤ |x1| ≤ j+ 1 soient contenus dans les pavés de Pkjde volume total
plus petit ou égal à ǫ/2j+1. Il en résulte que la somme des volumes des pavés
qui recouvrent Dvérifie
V≤∞
X
j=0
ǫ
2j+1 =ǫ
Plus généralement, on a
Proposition 2.4. Soit Sune hypersurface continue de Rn, c’est-à-dire un
ensemble de la forme
S={x∈Rn|xn=φ(x1, x2,...,xn−1),avec (x1, x2,...,xn−1)∈K}
où Kest un compact de Rn−1et φ:K→Rest une fonction continue. Alors
Sest un sous-ensemble négligeable de Rn.
Démonstration. Pour x∈Rn, on pose x= (x′, xn)où x′= (x1, x2,...,xn−1)
Posons E=φ(K). C’est un sous-ensemble de Ret on a S ⊂ K×E. Puisque
Kest un compact, il existe un entier mtel que
x′= (x1, x2,...,xn−1)∈K=⇒sup
1≤i≤n−1|xi| ≤ 2m
La fonction φétant continue sur K, elle y est uniformément continue. Donc,
pour tout entier ℓ, il existe en entier k≥ℓtel que
x′, y′∈Ket d(x′, y′)≤2−k=⇒ |φ(x′)−φ(y′)| ≤ 2−ℓ
Il en résulte que, pour tout pavé p∈ P′
k(P′ kétant l’ensemble des pavés de
Rn−1), on a
sup
x′∈p∩K
φ(x′)−inf
y′∈p∩Kφ(y′)≤2−ℓ
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