Intégrale multiple - Université Virtuelle de Tunis

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Université Virtuelle de Tunis
Intégrale multiple
Chapitre XII
Intégrales Multiples
Introduction
On se place dans Rn , n ≥ 1, muni de la distance suivante
d(x, y) = sup |xi − yi |
1≤i≤n
On ne considère que des fonctions définie sur Rn à valeurs dans R, dont
le support est compact. On rappelle que le support d’une telle fonction est
défini par
supp(f ) = {x ∈ Rn | f x) =
6 0}
Définition 0.1. Un pavé de Rn est un ensemble de la forme
{x ∈ Rn | ai ≤ xi ≤ bi , 1 ≤ i ≤ n}
où les composantes ai et bi sont des multiples consécutifs de 2−k , k ∈ N.
On note Pk l’ensemble des pavés ainsi définis.
– Pk est un ensemble dénombrable.
– Chaque pavé de Pk est la réunion de 2k pavés de Pk+1 .
– La distance de deux points d’un pavé de Pk est inférieure à 2−k .
– Le volume d’un pavé p appartenant à Pk est V (p) = 2−nk .
– Les pavés de Pk sont appelés pavés élémentaires. Ce sont des compacts
de Rn .
1
L’intégrale de Riemann
Soit f : Rn → R une fonction bornée et à support compact. Pour un
pavé élémentaire p, on pose
mp = inf f (x),
Mp = sup f (x)
x∈p
x∈p
1
Houcine Chebli
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Intégrale multiple
Pour k ≥ 0, on définit les sommes de Riemann (ou sommes de Darboux) par
X
X
sk (f ) =
mp V (p), Sk (f ) =
Mp V (p)
p∈Pk
p∈Pk
Ces sommations, qui portent sur tous les pavés p appartenant à Pk , sont en
fait finies car le support de f est compact.
Lemma 1.1. La suite (sk (f )) est croissante, la suite Sk (f )) est décroissante
et quels que soient les entiers k et k ′ , on a
sk (f ) ≤ Sk′ (f )
Démonstration. Soit k ∈ N. Par définition
X
sk+1 (f ) = 2−n(k+1)
mp
p∈Pk
= 2−n(k+1)
X
q∈Pk
X
mp
p∈Pk+1
p⊂q
Or, si p est inclus dans q alors mp ≥ mq , il en résulte que
X
X
sk+1 (f ) ≥ 2−n(k+1)
mq
1
q∈Pk
≥ 2−n(k+1)
X
p∈Pk+1
p⊂q
2n mq
q∈Pk
On démontre de même que la suite (Sk (f )) est décroissante. D’autre part, il
est clair que sk (f ) ≤ Sk (f ). Utilisant ce qui précède, il vient pour k ′ ≤ k
sk (f ) ≤ Sk (f ) ≤ Sk′ (f )
et si k ≤ k ′ , on a
sk (f ) ≤ sk′ (f ) ≤ Sk′ (f )
Ce qui termine la démonstration.
Corollaire 1.2. Les suites (sk (f )) et (Sk (f )) sont convergentes.
Définition 1.3. La limite de la suite (sk (f )) est appelée l’intégrale inférieure
de f , la limite de la suite (Sk (f )) est appelée l’intégrale supérieure de f . Ces
deux limites sont notées respectivement
Z
Z +
f (x) dx,
f (x) dx
−
2
Houcine Chebli
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Remarque 1.4.
On a toujours l’inégalité
Z
−
f (x) dx ≤
Z
+
f (x) dx
Définition 1.5. On dit que f est intégrable au sens de Riemann, ou encore
Riemann-intégrable, lorsque l’intégrale supérieure de f et son intégrale inférieure sont égales. L’intégrale de f est dans ce cas la limite commune des
deux suites (sk (f )) et (Sk (f ))
Z
Z
Z +
f (x) dx =
f (x) dx =
f (x) dx
Rn
−
Remarque 1.6.
On vérifie que cette définition coïncide avec celle rencontrée en première
année pour des fonctions de R dans R. Cette définition s’étend pour les
fonctions à valeurs complexes
Exemple 1.7.
Soit f : [0, 1] → R la fonction définie par
0, si 0 ≤ x ≤ 1/2
f (x) =
1, si 1/2 ≤ x ≤ 1
On vérifie que f est intégrable et que
Z 1
1
f (x) dx =
2
0
Exemple 1.8.
Soit f : [0, 1] × [0, 1] → R la fonction définie par
0, si x est rationnel
f (x, y) =
1, sinon
On vérifie que
Z
Z
f (x) dx = 0,
−
+
f (x) dx = 1
Il en résulte que f n’est pas intégrable (au sens de Riemann).
3
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2
Intégrale multiple
Ensembles négligeables
Définition 2.1. Un sous-ensemble E de Rn est dit négligeable si, pour tout
ǫ > 0, il existe une suite (pj ) de pavés élémentaires qui recouvrent E et dont
la somme des volumes est inférieure à ǫ, c’est-à-dire
E⊂
∞
[
∞
X
pj ,
j=1
j=1
V (pj ) ≤ ǫ
Remarque 2.2.
Tout sous-ensemble d’un ensemble négligeable est lui-même négligeable.
Exemple 2.3.
Dans R3 , la droite D = {x = (x1 , x2 ) | x2 = 0} est négligeable. En effet,
pour tout ǫ > 0, il existe une suite (kj ) telle que les segments de D définis
par j ≤ |x1 | ≤ j + 1 soient contenus dans les pavés de Pkj de volume total
plus petit ou égal à ǫ/2j+1 . Il en résulte que la somme des volumes des pavés
qui recouvrent D vérifie
∞
X
ǫ
V ≤
=ǫ
j+1
2
j=0
Plus généralement, on a
Proposition 2.4. Soit S une hypersurface continue de Rn , c’est-à-dire un
ensemble de la forme
S = {x ∈ Rn | xn = φ(x1 , x2 , . . . , xn−1 ), avec (x1 , x2 , . . . , xn−1 ) ∈ K}
où K est un compact de Rn−1 et φ : K → R est une fonction continue. Alors
S est un sous-ensemble négligeable de Rn .
Démonstration. Pour x ∈ Rn , on pose x = (x′ , xn ) où x′ = (x1 , x2 , . . . , xn−1 )
Posons E = φ(K). C’est un sous-ensemble de R et on a S ⊂ K × E. Puisque
K est un compact, il existe un entier m tel que
x′ = (x1 , x2 , . . . , xn−1 ) ∈ K =⇒
sup
1≤i≤n−1
|xi | ≤ 2m
La fonction φ étant continue sur K, elle y est uniformément continue. Donc,
pour tout entier ℓ, il existe en entier k ≥ ℓ tel que
x′ , y ′ ∈ K
et
′ ′
−k
′
′
−ℓ
d(x , y ) ≤ 2 =⇒ |φ(x ) − φ(y )| ≤ 2
Il en résulte que, pour tout pavé p ∈ Pk′ (Pk′ étant l’ensemble des pavés de
Rn−1 ), on a
sup φ(x′ ) − ′ inf φ(y ′ ) ≤ 2−ℓ
x′ ∈p∩K
y ∈p∩K
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Intégrale multiple
Ainsi, la distance entre deux points quelconques de φ(p ∩ K) est plus petite
que 2−ℓ , par suite l’ensemble (p ∩ K) × φ(p ∩ K) peut être recouvert par
(2k−ℓ +1) pavés de Pk et cela pour chaque p ∈ P ′ k . Or, K peut être recouvert
par (2m /2−k )n−1 pavés de P ′ k , on en déduit que S est recouvert par N =
2(k+m)(n−1) (2k−ℓ + 1) pavés de Pk . Le volume total de ces pavés est
V = N 2−kn = 2m(n−1) (2−ℓ + 2−k )
≤ 2m(n−1)+1 2−ℓ
On en déduit que V peut être rendu aussi petit que l’on veut, pourvu que ℓ
soit assez grand.
Proposition 2.5. Toute réunion dénombrable d’ensembles négligeables dans
Rn est négligeable.
Démonstration. Soit (Ek ) une suite d’ensembles négligeables dans Rn et soit
E leur réunion. Etant donné ǫ > 0, il existe une suite de pavés élémentaires
(pk,j ), j ∈ N telle que
Ek ⊂
∞
[
pk,j
et
j=1
∞
X
j=1
V (pk,j ) ≤
ǫ
2k+1
Cela étant pour tout entier k, on en déduit que


∞
∞
∞
∞ X
∞
∞
[
[
[
X
X

E=
Ek ⊂
pk,j  et
V (pk,j ) ≤
k=1
k=1
j=1
k=1 j=1
k=1
ǫ
2k+1
=ǫ
Ce qui traduit la propriété voulue.
Exemple 2.6.
Tout ensemble dénombrable dans Rn est négligeable. Par exemple, les
ensembles N, Z et Q sont négligeables dans R.
Exercice 2.7.
Donner un exemple d’ensemble A borné et négligeable dont le bord ∂A est
non négligeable. On rappelle que le bord de A est donné par ∂A = A∩∁int(A)
où int(A) est l’intérieur de A, c’est-à-dire le plus grand ouvert contenu dans
A.
3
Fonctions intégrables
Soit f : Rn → R une fonction bornée et à support compact. Par définition,
pour que f soit intégrable il faut et il suffit que, pour pour tout ǫ > 0, il
existe un entier k tel que
Sk (f ) − sk (f ) ≤ ǫ
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Dans ce paragraphe, on donne un critère d’intégrabilité. Sa démonstration
est un peu longue, en revanche il permet de découvrir plusieurs exemples de
fonctions intégrables.
Définition 3.1. On appelle oscillation de f au point x, le nombre
"
#
ω(f ) = lim
r→0
r>0
sup
kx−yk≤r
f (y) −
inf
kx−yk≤r
f (y)
Proposition 3.2. La fonction f est continue en x si et seulement si son
oscillation en ce point est nulle.
Démonstration. C’est une conséquence des inégalités suivantes
"
#
lim
r→0
r>0
inf
kx−yk≤r
f (y) ≤ f (x) ≤ lim
r→0
r>0
sup
f (y)
kx−yk≤r
Exercice 3.3.
Soit f : Rn → R une fonction bornée et à support compact. Soit Ω
l’ensemble des points de discontinuité de f . Montrer que si Ω est négligeable,
alors f est uniformément continue dans le complémentaire de tout voisinage
de Ω.
Théorème 3.4. Soit f : Rn → R une fonction bornée et à support compact.
Pour que f soit intégrable il faut, et il suffit, que l’ensemble de ses points de
discontinuité soit négligeable.
Démonstration. On désigne par Ω l’ensemble des points de discontinuité de
f et on pose, pour tout r ≥ 1,
1
Ωr = {x ∈ Rn | ω(x, f ) ≥ }
r
On a alors
Ω=
[
Ωr
r≥1
On pose aussi
M = sup |f (x)|,
x∈Rn
MA = sup |f (x)|, A ⊂ Rn
x∈A
1) On suppose Ω négligeable : Pour tout ǫ > 0, il existe des pavés ouverts
p1 , p2 , . . . , pm dont la réunion p contient (en son intérieur) Ω et tels que
m
X
j=1
V (pj ) ≤
ǫ
4M
6
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On pose d(∁p, Ω) = ρ > 0. Il existe un entier q tel que
supp(f ) ⊂ {x ∈ Rn | kxk < 2q } = E
On pose Q = E ∩ ∁p. La fonction f est uniformément continue sur Q et il
existe τ > 0 tel que
x′ , x′′ ∈ Q, kx′ − x′′ k < τ =⇒ |f (x′ ) − f (x′′ )| <
ǫ
2.2nq
Choisissons k tel que
2−k < min(τ, ρ)
Il existe un nombre fini de pavés de Pk dont la réunion contient supp(f ) et
est contenue dans E. Soient C1 , C2 , . . . , Cℓ , ceux qui sont contenus dans p
et soient D1 , D2 , . . . , Dh ceux qui restent et qui sont donc contenus dans Ω.
On a
Sk (f ) − sk (f ) =
ℓ
X
i=1
(MCi − mci )V (Ci ) +
≤ 2M
Or
ℓ
X
i=1
ℓ
X
i=1
et pour tout
x′
et
x′′
V (Ci ) + V (E)
h
X
i=1
h
X
i=1
V (Ci ) ≤ V (p) ≤
(MDi − mDi )V (Di )
(MDi − mDi )
ǫ
4M
dans Di , kx′ − x′′ k ≤ 2−k < τ . Donc
MDi − mDi ≤
ǫ
2.2nq
et il en résulte que
Sk (f ) − sk (f ) ≤
ǫ
ǫ.2nq
+
=ǫ
2 2.2nq
La fonction f est donc intégrable.
2) On suppose f intégrable : Pour montrer que Ω est négligeable, il suffit
de montrer que chaque Ωr , r ≥ 1, est négligeable. Puisque f est intégrable,
pour tout ǫ > 0, il existe un entier k tel que
Sk (f ) − sk (f ) ≤
ǫ
r
Soit Ω′r l’ensemble des points de Ωr qui appartiennent à la frontière de l’un
des pavés de Pk . On pose
Ω′′r = Ωr ∩ ∁Ω′r
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l’ensemble Ω′r est négligeable puisque ses points appartiennent à un nombre
fini d’hyperplans affines. D’autre part, il existe un nombre fini de pavés de
Pk , (pj ), 1 ≤ j ≤ m, tel que
Ω′′r ⊂
m
[
pj
j=1
et pj ∩ Ω′′r 6= ∅
Il en résulte que si x appartient à pj ∩ Ω′′r , alors
Mpj − mpj ≥ ω(x, f ) ≥
et
m
m
j=1
j=1
1
r
X
1X
ǫ
V (pj ) ≤
(Mpj − mpj )V (pj ) ≤ Sk (f ) − sk (f ) ≤
r
r
On en déduit que
m
X
j=1
V (pj ) ≤ ǫ
Ainsi, Ω′′r est lui aussi négligeable et il en de même de Ωr .
Corollaire 3.5. Toute fonction continue à support compact est intégrable.
Corollaire 3.6. Si deux fonctions f et g, bornées et à supports compacts,
sont intégrables, alors
1. La fonction λf + µg est intégrables, (λ, µ ∈ R)
2. Le produit f.g est une fonction intégrable
3. Les fonctions sup(f, g) et inf(f, g) sont intégrables
p
4. Les fonctions |f | et |f | sont intégrables
Démonstration. Il suffit de raisonner sur les points de discontinuité.
Proposition 3.7. Soient f et g deux fonctions bornées, à supports compacts
et intégrables
1. on a l’inégalité
Z
Z
|
2. si f ≤ g, alors
Rn
Z
Rn
f (x) dx| ≤
f (x) dx ≤
Rn
Z
|f (x)| dx
g(x) dx
Rn
3. On suppose de plus que f est positive, alors il existe une constante Cg
vérifiant
infn g(x) ≤ Cg ≤ sup g(x)
et telle que
Z
Rn
xR
Rn
f (x)g(x) dx = Cg
Z
f (x) dx
Rn
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Intégrale multiple
Notion de volume
Soit A un sous-ensemble borné de Rn , on désigne par ∂A son bord :
∂A = A ∩ ∁int(A)
On désigne par χA la fonction caractéristique de A, c’est-à-dire
1, si x ∈ A
χA (x) =
0, sinon
Cette fonction est bornée et à support compact
Définition 4.1. On dit que A est cubable si χA est intégrable. Dans ce cas,
on appelle volume de A le nombre
Z
V (A) = χA (x) dx
Théorème 4.2. Pour que χA soit intégrable, il faut et il suffit que son bord
soit négligeable.
Démonstration. Il suffit de montrer que ∂A est l’ensemble des points de
discontinuité de A.
– Si x ∈ int(A), il existe un ouvert U tel que
x ∈ U ⊂ int(A)
donc χA vaut 1 sur U , elle est en particulier continue au point x.
– Si x ∈ ∁A, il existe un ouvert V tel que
x ∈ V ⊂ ∁A
Donc χA vaut 0 sur V , elle est en particulier continue au point x. Ainsi,
l’ensemble des points de discontinuité de χA est contenu dans ∂A.
– Soit x ∈ ∂A ; comme il appartient à A, pour tout ouvert U contenant x,
il existe y1 dans U ∩ A et donc χA (y1 ) = 1. Le point x appartient aussi
à ∁int(A), il existe donc un point y2 dans U ∩ ∁A et donc χ(y2 ) = 0.
Cela montre que χA est discontinue en x.
Exercice 4.3.
Montrer qu’un ensemble cubable et de volume nul est négligeable. (Il
suffit de montrer que int(A) est négligeable, pour cela on raisonne par l’absurde).
Exercice 4.4.
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Intégrale multiple
Donner un exemple d’ensemble A borné, négligeable et dont la fonction
caractéristique χA n’est pas intégrable.
Exercice 4.5.
Montrer que tout pavé est cubable.
Exercice 4.6.
Soient f et g deux fonctions définies sur Rn à valeurs dans R, bornées
et à supports compacts. On suppose que f est intégrable et qu’elle coïncide
avec g partout sauf sur un sous-ensemble A de Rn , cubable et de volume nul
(A est donc négligeable d’après l’exercice 4.3). Montrer que g est elle aussi
intégrable et que
Z
Z
f (x) dx =
Rn
g(x) dx
Rn
(On montre que h = g − f est intégrable et que son intégrale est nulle).
Jusqu’ici, on n’a parlé que de fonctions définies sur Rn , alors que dans la
pratique, on aura à considérer des fonctions f définies sur une partie A de
Rn , que l’on peut supposer bornée. Dans ce cas, on considère la fonction g
définie sur Rn par
f (x), si x ∈ A
g(x) =
0,
sinon
c’est-à-dire g = f.χA .
Définition 4.7. Soit A une partie bornée de Rn . On dit que f est intégrable
sur A si g est intégrable et on note
Z
Z
f (x) dx =
g(x) dx
Rn
A
Proposition 4.8. (critère d’intégrabilité) Si la fonction χA est intégrable
et si l’ensemble des points de discontinuité de f est négligeable, alors f est
intégrable sur A.
Démonstration. En effet, l’ensemble des points de discontinuité de g = f.χA
est contenu dans la réunion de ∂A et de l’ensemble des points de discontinuité
de f .
Remarque 4.9.
Si A est cubable, c’est-à-dire si le bord de A est négligeable, les propriétés
de l’intégrale sur A se ramèment à celles de l’intégrale sur Rn .
10
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Intégrale multiple
Le Théorème de Fubini
Soit f : Rn → R une fonction bornée et à support compact. On suppose
f intégrable. Pour calculer l’intégrale de f , on cherche à intégrer f d’abord
par rapport aux (n − 1) premières variables, puis intégrer le résultat par
rapport à la variable restante
Z
Z Z
f (x) dx =
f (x1 , x2 , . . . , xn ) dx1 . . . dxn−1 dxn
Rn
Rn−1
R
Mais, la fonction qui à (x1 , x2 , . . . , xn−1 ) associe f (x1 , x2 , . . . , xn ) n’est pas
forcément intégrable. Cependant, on peut toujours considérer les quantités
suivantes
Z
F− (t) =
f (x1 , x2 , . . . , t) dx1 . . . dxn−1
−
et
+
F (t) =
Z
+
f (x1 , x2 , . . . , t) dx1 . . . dxn−1
Théorème 5.1. (Fubini) Si f est intégrable, alors les fonctions F− et F +
sont intégrables et on a
Z
Z
Z
F + (t) dt =
f (x) dx
(1)
F− (t) dt =
R
Rn
R
Démonstration. On remarque d’abord que F− et F+ sont bornées et à supports compacts.
1) On suppose f la fonction caractéristique d’un pavé p
p = {x ∈ Rn | ai ≤ xi ≤ bi , 1 ≤ i ≤ n}
Dans ce cas, on a de façon évidente

n−1

Y
(bi − ai ), si an ≤ t ≤ bn
+
F− (t) = F (t) =

 i=1
0,
sinon
On vérifie que dans ce cas l’égalité (1) est réalisée.
2) Grâce à la linéarité de l’intégrale, l’égalité (1) est réalisée si f est une
combinaison linéaire de fonctions caractéristiques de pavés.
3) Cas général : Puisque f est intégrable, pour tout ǫ > 0, il existe un
pavage Pk tel que
Sk (f ) − sk (f ) ≤ ǫ
On associe à ce pavage les fonctions f1 et f2 définies par
f1 (x) = mp ,
f2 (x) = Mp ∀x ∈ p ∈ Pk
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de façon que
Sk (f ) =
et
Z
Rn
Z
Rn
f2 (x) dx,
f1 (x) dx ≤
Z
sk (f ) =
f (x) dx ≤
Rn
Z
Z
Rn
f1 (x) dx
Rn
f2 (x) dx
et l’inégalité Sk (f ) − sk (f ) ≤ ǫ implique les deux suivantes
Z
R
R
f (x) dx − ǫ ≤ Rn f1 (x) dx ≤ Rn f (x) dx
Rn
Z
Rn
f (x) dx ≤
Posons
G(t) =
Z
Rn−1
H(t) =
Z
Rn−1
L’étape 2) montre que
G(t) ≤ F− (t),
Z
Rn
f2 (x) dx ≤
Z
f (x) dx + ǫ
Rn
f1 (x1 , . . . , xn−1 , t) dx1 . . . dxn−1
f2 (x1 , . . . , xn−1 , t) dx1 . . . dxn−1
Z
et
G(t) dt =
R
Z
+
H(t) ≥ F (t) et
H(t) dt =
Z
Rn
Z
Rn
R
f1 (x) dx
f2 (x) dx
Ce qui précède implique que
Z
Z +
+
F (t) dt −
F− (t) dt ≤ 2ǫ
−
Comme ǫ > 0 est arbitraire, il en résulte que
Z +
Z
+
F− (t) dt
F (t) dt =
−
et par conséquent
Z
Z
F− (t) dt =
−
+
Z
F− (t) dt,
+
F (t) dt =
−
Z
+
F + (t) dt
Ce qui prouve que F− et F + sont intégrables et on a les égalités
Z
Z
Z
+
f (x) dx
F− (t) dt =
F (t) dt =
R
Rn
R
Le théorème est ainsi démontré.
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Corollaire 5.2. Soit f une fonction continue et à support compact. Alors,
Z
Z Z
′
′
f (x) dx =
f (x , t) dx dt
(2)
Rn
Rn−1
R
où x′ = (x1 , x2 , . . . , xn−1 ).
Démonstration. En effet, la continuité de f implique l’égalité F− = F + .
Remarque 5.3.
Dans le théorème de Fubini, on peut faire jouer le rôle tenu par xn à
n’importe quelle autre variable xi , 1 ≤ i ≤ n. D’autre part, on peut réutiliser
le théorème de Fubini pour l’intégrale qui porte sur Rn−1 . Par exemple, si f
est continue et à support compact dans R3 , on a
Z
Z Z Z
f (x1 , x2 , x3 ) dx1 dx2 dx3 =
f (x1 , x2 , x3 ) dx1 dx2 dx3
R3
R
R
R
Remarque 5.4.
Attention, il peut arriver que la fonction F définie par
Z
F (t) =
f (x′ , t)dx′
Rn−1
soit définie et intégrable, sans que f ne le soit. En voici un exemple :
Exemple 5.5.
Soit f la fonction définie sur

 1,
f (x1 , x2 ) = −1,

0,
R2 par
si x1 ∈ Q ∩ [0, 1], x2 ∈ [0, 1]
si x1 ∈ Q ∩ [0, 1], x2 ∈ [−1, 0]
sinon
Pour tout x1 ∈ R, on a
F (x1 ) =
Z
f (x1 , x2 ) dx2 = 0
R
La fonction F ainsi définie est donc intégrable et son intégrale vaut 0. Cependant, on vérifie que f n’est pas intégrable sur R2 , car Sk (f ) − sk (f ) = 2.
La situation qui se présente le plus souvent dans la pratique
On se donne A ⊂ Rn borné et f une fonction définie sur A. En général
∂A est négligeable et si l’ensemble des points de discontinuité de f l’est aussi,
alors f est intégrable sur A. Il est parfois commode d’utiliser les notations
suivantes x = (x′ , xn ) avec x′ = (x1 , . . . , xn−1 ), on pose alors
An = {x′ ∈ Rn−1 | (x′ , xn ) ∈ A}
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Pn A = {xn ∈ R | ∃x′ , (x′ , xn ) ∈ A}
Le sous-ensemble An dépend de xn , le sous-ensemble Pn A est la projection
−−→
de A sur l’axe Oxn . Le plus souvent, on pourra s’assurer encore que pour
tout xn ∈ R (ou dans Pn A), la restriction de f à An est intégrable. C’est,
par exemple, toujours le cas lorsque f est continue. Le théorème de Fubini
s’écrit alors
Z
Z
Z
′
′
′
′
f (x , xn ) dx dxn =
f (x , xn ) dx dxn
A
Pn A
An
Eventuellement, on applique le théorème de Fubini plusieurs fois de suite
jusqu’à n’avoir à calculer que des intégrales simples. Il faut bien noter que le
rôle joué par la variable xn peut être joué par n’importe quelle variable xi ,
1 ≤ i ≤ n. Dans ce cas, on fera intervenir les sous-ensembles Ai et Pi A, à la
place de An et Pn A. Le théorème de Fubini s’écrit alors
Z
Z
Z
′
f (x) dx =
f (x) dx dxi
A
Pi A
Ai
où, cette fois-ci, on a posé x′ = (x1 , x2 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn ).
Voyons cela sur quelques exemples concrets.
Intégrales Doubles
Exemple 5.6.
Soit a > 1 et soit A = [0, 1] × [0, a]. On se propose de calculer l’intégrale
double
Z Z
|x − y| dxdy
I=
A
On a A1 = [0, a] et P1 A = [0, 1], on a aussi A2 = [0, 1] et P2 A = [0, a]. Le
théorème de Fubini dit que
Z 1 Z a
Z a Z 1
|x − y| dy dx =
|x − y| dx dy
I=
0
0
0
0
On intègre d’abord par rapport à la variable y et ensuite par rapport à la
variable x, il vient
Z a
Z 1 hZ x
Z 1 Z a
i
(y − x) dy dx
I =
|x − y| dy dx =
(x − y) dy +
0
=
0
0
0
x
Z 1 2
i1
x
(a − x)2 1h
+
dx = x3 + (x − a)3
2
2
6
0
0
3a2 − 3a + 2
6
On peut vérifier que si l’on intégrait d’abord par rapport à la variable x et
ensuite par rapport à la variable y, on trouverait le même résultat.
=
14
Houcine Chebli
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Intégrale multiple
Exemple 5.7.
Soit à calculer l’intégrale double suivante
Z Z
dxdy
I=
A x+y+1
où A = [0, 1]×[0, 1]. Il est facile de voir que le théorème de Fubini s’applique.
On intègre par exemple d’abord par rapport à y puis par rapport à x, il vient
Z 1 Z 1
Z 1h
i1
dy
I =
dx =
Log(x + y + 1) dx
0
0
0 x+y+1
0
=
Z 1
0
Exemple 5.8.
Log(x + 2) − Log(x + 1) dx = 3Log3 − 4Log2
Soit A = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x, y et x + y < 1} (Fig. 1) et soit f la
fonction définie sur A par f (x, y) = y. Le bord de A est négligeable d’après
la proposition 2.4, et f est continue sur A. Elle y est donc intégrable et on
peut appliquer le théorème de Fubini. On a
P2 A = [0, 1[, A2 = [0, 1 − y[
et
Z
f (x, y) dxdy =
A
Z
0
1 Z 1−y
y dx
0
dy =
Z
1
0
y(1 − y) dy =
1
6
Exemple 5.9.
Soit A le sous-ensemble de R2 défini par A = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ y ≤ 1}.
On se propose de calculer l’intégrale double
Z Z
dxdy
I=
A x+y+1
On intègre d’abord par rapport à x. On a A1 = [0, y] et P1 A = [0, 1], il vient
donc
Z 1 Z y
dx
I =
dy
0
0 x+y+1
=
Z 1
0
=
h1
2
Log(2y + 1) − Log(y + 1) dy
i1
(2y + 1)Log(2y + 1) − (y + 1)Log(y + 1)
0
3
= Log3 − 2Log2
2
15
Houcine Chebli
Université Virtuelle de Tunis
Intégrale multiple
1
1
O
Fig. 1 –
Exemple 5.10.
Soit A = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ R2 , y ≥ 0}. Soit f la fonction
définie par f (x, y) = x2 y. Dans ce cas, on a intérêt à intégrer d’abord par
rapport à la variable y et ensuite par rapport à la variable x. Le bord de A
est négligable et f est continue sur A et on peut appliquer le théorème de
Fubini. On a
p
P1 A = [−R, R], A1 = [0, R2 − x2 ]
et
Z
f (x, y) dxdy =
A
=
Z
R
Z
−R
1
2
Z
0
R
−R
√
R2 −x2
2
x y dy
!
x2 (R2 − x2 ) dx =
dx
2 5
R
15
Exemple 5.11.
Soit A le sous-ensemble délimité par la droite d’équation x = 2, la première
bissectrice et la courbe d’équation xy = 1 (Fig. 2). Soit f la fonction définie
sur A par f (x, y) = x2 /y 2 . On a

 [1/y, 2], si y ≤ 1
P2 A = [1/2, 2], A2 =

[y, 2],
si 1 ≤ y ≤ 2
16
Houcine Chebli
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Intégrale multiple
2
O
Fig. 2 –
De même, on a P1 A = [1, 2] et A1 = [1/x, x]. Le bord de A est négligeable
et le théorème de Fubini permet d’écrire
Z
Z 2 Z x 2 Z 2
x
f (x, y) dxdy =
dy dx =
(x3 − x) dx
2
A
1
1/x y
1
Il en résulte que l’intégrale cherchée vaut 9/4.
Exemple 5.12.
Soit A le sous-ensemble délimité par la courbe d’équation y = 1 − x2
et par la courbe d’équation y = x2 (Fig. 3). Soit f la fonction définie par
f (x, y) = x + y. L’intersection des deux
courbes est réalisée lorsque x2 =
√
1 − x2 , c’est-à-dire aux points x = ± 2/2. On a donc
√
√
P1 A = [− 2/2, 2/2], A1 = [x2 , 1 − x2 ]
On vérifie alors que
Z
f (x, y) dxdy =
A
√
2
3
Exemple 5.13.
Soit A le sous-ensemble délimité par la droite d’équation x = 2 et la courbe
d’équation 2y = x2 (Fig. 4). Soit f la fonction définie par
f (x, y) =
2x
(1 + x2 + y 2 )2
17
Houcine Chebli
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Intégrale multiple
O
Fig. 3 –
2
O
Fig. 4 –
18
Houcine Chebli
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Intégrale multiple
On a
P1 A = [0, 2],
A1 = [0, x2 /2]
P2 A = [0, 2],
√
A2 = [ 2y, 2]
Le théorème de Fubini permet d’écrire
Z
f (x, y) dxdy =
A
ou bien
Z
2
Z
0
f (x, y) dxdy =
A
Z
0
Z
x2 /2
!
f (x, y) dy dx
0
2 Z 2
√
2y
f (x, y) dx dy
Il est préférable d’utiliser la première relation où les intégrales sont faciles à
calculer. On vérifie que
Z
√
1
1
f (x, y) dxdy = − √ Arctg(2/ 5) − + 1
3
5
A
Exercice 5.14.
Soit A l’intérieur du triangle délimité par la droite d’équation x = 1, la
droite d’équation y = 2 et la droite d’équation x − y = 5. Calculer l’intégrale
Z
sin π(2x + y) dx dy
A
Exercice 5.15.
Calculer l’intégrale double
Z
xy dx dy
A
dans les cas suivants :
(a) A est la région délimitée par la droite d’équation x = 1, la droite d’équation y = 8 et la courbe d’équation y = x3 .
(b) A est la région délimitée par les courbes d’équations respectives y = x2
√
et y = x.
Intégrales Triples
Exemple 5.16.
On pose A = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1], c’est le cube unité. On se propose de
calculer l’intégrale suivante
Z Z Z
I=
sin(x + y + z) dxdydz
A
19
Houcine Chebli
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Intégrale multiple
On peut remarquer que les variables x, y et z varient de façon indépendante
l’une de l’autre. On peut par exemple intégrer successivement par rapport à
x, y et puis z. Il vient
Z 1 Z 1 Z 1
I =
sin(x + y + z) dx dy dz
0
=
0
Z 1 Z 1 h
i1 − cos(x + y + z) dy dz
0
=
0
0
Z 1 Z
0
=
0
0
1
(cos(y + z) − cos(y + z + 1)) dy dz
Z 1h
i1
sin(y + z) − sin(y + z + 1) dz
0
0
=
Z
1
0
(2 sin(z + 1) − sin z − sin(z + 2)) dz = cos 3 − 3 cos 2 + 3 cos 1 − 1
Exemple 5.17.
Soit A = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 }, c’est la boule fermée de
rayon R et de centre l’origine. Soit f = χA la fonction caractéristique de A.
On vérifie que le théorème de Fubini s’applique. On a
P3 A = [−R, R], A3 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ R2 − z 2 }
et
Z
χA (x, y, z) dxdydz =
Z
R
−R
=
Z
A3
dxdy dz
R
4
π(R2 − z 2 ) dz = πR3
3
−R
Z
Le volume de A est donc V (A) = 4πR3 /3.
Exemple 5.18.
Soit A l’ensemble défini par
A = {(x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ x, y, z et x + y + z ≤ 1}
On se propose de calculer l’intégrale sur A de la fonction f définie par
f (x, y, z) = y − z. Comme f ne dépend pas de x, il est préférable d’intégrer
d’abord par rapport à la variable x, on peut ensuite intégrer successivement
par rapport à y et à z. On a
P3 A = [0, 1],
A3 = {(x, y) | x + y ≤ 1 − z, 0 ≤ x, y, z}
20
Houcine Chebli
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Intégrale multiple
De plus, si l’on pose A3 = B, on aura
P2 B = [0, 1 − z],
B2 = [0, 1 − y − z]
Le théorème de Fubini permet alors d’écrire
Z
Z 1 Z
f (x, y, z) dx dy dz =
f (x, y, z) dx dy dz
A
0
A3
c’est-à-dire
Z
Z
f (x, y, z) dx dy dz =
1 Z 1−z
Z
Z
1 Z 1−z
Z
1
A
0
=
0
=
0
0
0
1−y−z
f (x, y, z) dx
0
(y − z)(1 − y − z) dy
dy
dz
(1 − z)(z 2 − z)
1
dz =
2
24
Exercice 5.19.
Soit A la pyramide délimitée par les plans d’équations respectives x = 0,
y = 0, z = 0 et par le plan d’équation x + y + z = 1. Calculer les intégrales
suivantes
Z
Z
dx dy dz
I=
et J = (x − yz) dx dy dz
A (1 + x + y + z)3
A
Solution : 1) Pour le calcul de I, la fonction à intégrer est symétrique par
rapport aux trois variables. On peut par exemple commencer par intégrer
par rapport à la variable z, puis par rapport à la variable y et enfin par
rapport à la variable x ; il vient
Z 1 Z 1−x Z 1−x−y
dz
I=
dy dx
(1 + x + y + z)3
0
0
0
Un calcul élémentaire donne I = 21 (Log2 − 58 ).
2) Pour le calcul de J, il est préférable de commencer par intégrer par rapport
à x (expliquer pourquoi) ensuite, indifféremment soit d’abord par rapport à
y et puis par rapport à z ou dans l’ordre inverse. Il vient
Z 1 Z 1−z Z 1−y−z
J=
(x − yz) dx dy dz
0
0
0
On trouve J = 1/30.
Exercice 5.20.
21
Houcine Chebli
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Intégrale multiple
Montrer que tout ensemble compact et négligeable est un ensemble cubable et que son volume vaut 0.
Solution : Puisque E est compact, il est fermé et, puisqu’il est négligeable,
son bord ∂E l’est aussi. donc E est cubable et on a
Z
V (E) = χE (x) dx = lim Sk (χE )
k→∞
Comme E est négligeable, on en déduit que V (E) = 0.
Exercice 5.21.
Soit A ⊂ Rn un sous-ensemble borné dont le bord est négligeable. Montrer que ∂A est cubable et que son volume vaut 0.
Réponse : c’est une conséquence de l’exercice précédent.
Exercice 5.22.
Soit A ⊂ Rn un sous-ensemble borné dont le bord est négligeable. Soit
f une fonction bornée dont l’ensemble des points de discontinuité est négligeable. Montrer que
Z
Z
f (x) dx =
A
f (x) dx
A
Indication : considérer la fonction f.χA − f χA .
6
Le théorème de changement de variables
Soient U et V deux ouverts de Rn , et φ : U → V une application de
classe C 1 . On suppose que φ est bijective, et que le déterminant jacobien
Jφ (x) de φ ne s’annule en aucun point x de U . Alors φ−1 est aussi de classe
C 1 , et, sous ces conditions, on dit que φ est un difféomorphisme de U sur V .
On admet le théorème suivant, dit théorème de changement de variables
Théorème 6.1. Soient U et V deux ouverts (bornés) cubables dans Rn . Soit
φ un difféomorphisme de U sur V . On suppose que le Jacobien de φ, noté
Jφ est une fonction bornée sur U . Alors, si f est une fonction bornée et
intégrable sur V , la fonction f ◦ φ est intégrable sur U et on a
Z
Z
f (y) dy = (f ◦ φ)(x)|Jφ (x)| dx
(3)
V
U
En particulier, si φ est une application linéaire et M (φ) sa matrice dans
la base canonique, le déterminant jacobien de φ est le déterminant de M (φ).
Celui-ci est non nul, puisque φ est une bijection de U sur V . La formule (3)
s’écrit dans ce cas
Z
Z
f (y) dy = | det(M (φ))| (f ◦ φ)(x) dx
U
V
22
Houcine Chebli
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Intégrale multiple
Exemple 6.2.
Soit ABCD le parallélogramme du plan dont les sommets ont pour coordonnées : A(1, 1), B(3, 2), C = (4, 4) et D(2, 3). On désigne par D l’intérieur
de ce parallélogramme et on se propose de calculer l’intégrale
Z Z
I=
xy dxdy
D
On peut calculer séparément l’intégrale à l’intérieur de chacun des deux
triangles ABC et ACD et ensuite faire la somme. Au lieu de cela, on va
faire un changement de variables qui prend en compte la forme du domaine
D. Les droites (AB) et (CD) ont respectivement pour équation : 2y − x = 1
et 2y − x = 4. Les droites (BC) et (AD) ont respectivement pour équation :
2x − y = 4 et 2x − y = 1. On considère le changement de variables défini par
X = 2y − x et Y = 2x − y
On en déduit rapidement que
1
1
x = (X + 2Y ) et y = (2X + Y )
3
3
Cela représente une application linéaire φ : (X, Y ) 7→ (x, y) qui est une
bijection de l’intérieur D′ du carré de sommets A′ (1, 1), B ′ (1, 4), C ′ (4, 4)
et D′ (4, 1) sur l’intérieur D du parallélogramme ABCD. On vérifie que son
jacobien vaut −1/3. Le théorème de changement de variables permet alors
d’écrire
Z Z
Z Z
1
1
1
xy dxdy =
(X + 2Y )(2X + Y ) dXdY
3
9
3
′
D
D
=
1
3
Z
1
4Z 4
1
1
(X + 2Y )(2X + Y ) dXdY
9
La dernière intégrale se calcule facilement et donne I = 237/12.
Exemple 6.3.
On se propose de calculer l’intégrale
Z Z
cos(x + y) cos(x − y) dx dy
D
où D est l’intérieur du carré de sommets A = (2, 0), B = (0, 2), C = (−2, 0)
et D = (0, −2). Soit φ la rotation de centre l’origine et d’angle π/4.
√ Alors
√
′
′
′
D = R(D
)
où
D
est
l’intérieur
du
carré
de
sommets
A
=
(
2,
−
2),
√ √
√ √
√
√
B ′ = ( 2, 2), C ′ = (− 2, 2) et D′ = (− 2, − 2), c’est-à-dire que
23
Houcine Chebli
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Intégrale multiple
√ √
√ √
D′ =] − 2, 2[ × ] − 2, 2[.On vérifie facilement que |Jφ | = 1 et qu’en
terme de coordonnées, on a
√
2
(x, y) = φ(u, v) =
(u − v, u + v)
2
de sorte que
√
√
cos(x − y) = cos( 2v) et cos(x + y) = cos( 2u)
Donc,
Z Z
D
cos(x + y) cos(x − y) dx dy =
=
Z
√
2
√
− 2
Z
√
Z
√
2
√
√
√
cos( 2u) cos( 2v) du dv
− 2
2
√
− 2
2
√
cos( 2u) du = 2 sin2 (2)
Les rotations constituent un outil souvent intéressant pour simplifier le calcul
d’intégrales multiples.
Comme application du théorème de changement de variables, on va établir
les formules d’intégration en coordonnées polaires en coordonnées sphériques
et en coordonnées cylindriques.
Intégration en Coordonnées Polaires.
Soient r > 0, Ur =]0, r[×] − π, π[, Vr le disque Dr de centre l’origine et de
rayon r privé du segment {(x, y) | y = 0, −r < x ≤ 0} et soit φ l’application
de Ur sur Vr définie par
φ : (ρ, θ) 7→ (ρ cos θ, ρ sin θ)
L’application φ est un difféomorphisme et Jφ (ρ, θ) = ρ. Puisqu’un segment
de droite est négligeable, si f est intégrable sur Dr , on a
Z
Z rZ π
f (x, y) dxdy =
f (ρ cos θ, ρ sin θ) ρdρdθ
(4)
Dr
0
−π
Par exemple, la fonction f définie par
f (x, y) = e−(x
2 +y 2 )
est continue et donc intégrable sur Dr . L’égalité (4) donne dans ce cas :
Z
Z
f (x, y) dx dy =
f (ρ cos θ, ρ sin θ)ρ dρ dθ
Dr
Ur
=
Z
−ρ2
e
ρ dρ dθ =
Ur
Z
π
−π
Z
0
r
−ρ2
e
ρ dρ
dθ
2
= π(1 − e−r )
24
Houcine Chebli
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Intégrale multiple
Exemple 6.4.
Soit a un réel strictement positif et soit A la région du plan définie par
A = {(x, y) | 0 < y < ax et 1 < x2 + y 2 < 3}
On se propose de calculer l’intégrale double suivante
Z Z
xy
I=
dxdy
2
2 2
A (x + y )
Là encore, le passage en coordonnées polaires est tout
√ à fait indiqué. Posons
a = tg(α) et U = {(ρ, θ) | 0 < θ < α et 1 < ρ < 3} ; on peut vérifier que
l’application φ qui à (ρ, θ) associe (ρ cos θ, ρ sin θ) est un difféomorphisme de
U sur A. Il en résulte que
Z √3
Z
dρ α
I =
cos θ sin θ dθ
ρ 0
1
=
Log3 sin2 α
a2 Log3
=
4
4(a2 + 1)
Exemple 6.5.
On considère le segment circulaire A (Fig. 5), de rayon r et d’angle α ≤ π.
On se propose de calculer l’aire de ce segment circulaire. L’aire cherchée est
égale à
Z Z
I=
dxdy
A
Mais, elle est aussi égale à la différence entre l’aire du secteur et l’aire du
triangle OAB, c’est-à-dire
1
1
I = r2 α − r2 sin α
2
2
On peut retrouver ce résultat en calculant l’intégrale ci-dessus par passage
en coordonnées polaires.
Exemple 6.6.
Soir r > 0 et Dr le disque de centre l’origine et de rayon r. On se propose
de calculer l’intégrale suivante
Z Z
dxdy
Ir =
2 + y 2 + 3)2
(x
Dr
Le passage en coordonnées polaires (voir exemple précédent) permet d’écrire
Z r Z 2π
ρdρdθ
Ir =
(ρ2 + 3)2
0
0
=
Z
2π
0
Z
r
0
ρdρ
πr2
=
2
+ 3)
3(r2 + 3)
(ρ2
On constate que, lorsque r tend vers l’infini, Ir tend vers π/3.
25
Houcine Chebli
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Intégrale multiple
α
O
Fig. 5 –
Exercice 6.7.
Calculer les intégrales suivantes
Z
x2 y dx dy où A = {(x, y) | 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4}
A
Z
xy dx dy
A
Z
A
Z
A
où A = {(x, y) | 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4, 0 ≤ x, 0 ≤ y}
x
p
dx dy
2
x + y2
où A = {(x, y) | 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4}
y
p
dx dy où A = {(x, y) | x ≤ 0, y ≥ 0, 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4}
2
2
x +y
Z
sin(x2 + y 2 ) dx dy où A = {(x, y) | x2 + y 2 ≤ 1}
A
Intégration en Cordonnées Sphériques
Considérons l’application φ : R3 → R3 , définie par
(x, y, z) = φ(ρ, θ, ϕ) = (ρ sin θ cos ϕ, ρ sin θ sin ϕ, ρ cos θ)
C’est une application de classe C 1 et son déterminant jacobien est
Jφ (ρ, θ, ϕ) = ρ2 sin θ
26
Houcine Chebli
Université Virtuelle de Tunis
Intégrale multiple
Soient 0 ≤ R1 < R2 , U l’ouvert défini par
U = {(ρ, θ, ϕ) | 0 < θ < π; 0 < ϕ < 2π; 0 < R1 < ρ < R2 }
et soit
V = {(x, y, z) ∈ R3 | R12 < x2 + y 2 + z 2 < R22 }
et φ réalise un difféomorphisme de U sur V \{(x, y, z) ∈ V | y = 0}. Le
disque {(x, y, z) ∈ V | y = 0} étant négligeable, si f est une fonction bornée
et intégrable sur U ,
Z
Z R2 Z π Z 2π
f (x, y, z) dx dy dz =
f ◦ φ(ρ, θ, ϕ)ρ2 sin θ dρ dθ dϕ
(5)
U
R1
0
0
A titre d’exemple, prenons 0 < R1 < R2 et soit f la fonction définie par
1
f (x, y, z) = p
2
x + y2 + z2
L’intégrale de f sur U est donnée par
Z R2 Z π Z 2π 2
Z Z Z
1
ρ
p
dxdydz =
sin θdθdϕdρ
2
2
2
ρ
x +y +z
U
R1
0
0
= 2π(R22 − R12 )
On constate que, lorsque R1 tend vers 0, l’intégrale a une limite qui vaut
2πR22 .
Considérons l’intégrale de la fonction
1
g(x, y, z) = p
x2 + y 2 + (z − a)2
où a > R2 = R et R1 = 0. On a
Z
Z RZ
g(x, y, z) dx dy dz =
U
0
= 2π
Z
π
0
R
0
Z
0
2π
r2 sin θ
p
dr dθ dϕ
x2 + y 2 + (z − a)2
4πR3
(a + ρ) − (a − ρ)
ρdρ =
a
3a
Exercice 6.8.
On désigne par B(0, 1) la boule de centre l’origine et de rayon 1. Calculer
l’intégrale suivante
Z
1
p
dx dy dz
2
x + y2 + z2
B(0,1)
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Houcine Chebli
Université Virtuelle de Tunis
Intégrale multiple
Noter que c’est une intégrale impropre, puisque la fonction à intégrer n’est
pas définie à l’origine. Elle doit être interprétée comme la limte, lorsque
ǫ tend vers 0 de l’intégrale sur l’ensemble B(0, 1)\B(0, ǫ). Le passage en
coordonnées sphériques permet justement de surmonter cette difficulté.
Intégration en Cordonnées Cylindriques
Considérons l’application φ : R3 → R3 , définie par
(x, y, z) = φ(r, θ, z) = (r cos θ, r sin θ, z)
C’est une aplication de classe C 1 et sa matrice jacobienne est donnée par


cos θ −r sin θ 0
 sin θ r cos θ 0 
0
0
1
dont le déterminant Jφ (r, θ, z) vaut r, juste comme avec les coordonnées
polaires. Si U est un ouvert (borné) de R3 et si f est une fonction (bornée)
et intégrable, la formule de changement de variables donne
Z
Z
f (x, y, z) dx dy dz =
f (r cos θ, r sin θ, z)r dr dθ dz
φ(U )
U
Exemple 6.9.
Soit V ⊂ R3 l’ouvert à l’intérieur p
du cylindre d’équation x2 + y 2 = 4,
délimitée par le cône d’équation z = x2 + y 2 et les plans x = y et y =
0. Comment décrire cette région en coordonnées cylindriques
? Il suffit de
p
2
décrire les surfaces qui la délimitent. La surface z = x + y 2 est l’image
du plan z = r, puisque
q
p
2
2
x + y = r2 (cos2 θ + sin2 θ) = r
Le cylindre x2 + y 2 = 4 est l’image de la surface r2 = 4, c’est-à-dire le
plan r = 2 (puisqu’on se restreint à r ≥ 0). Le plan x = y est l’image
de {(r, θ) | r cos θ = r sin θ}. L’équation r cos θ = r sin θ est satisfaite pour
r = 0, et aussi lorsque θ = π/4 et θ = 5π/4. Puisque x et y sont non
négatifs, θ doit être entre 0 et π/2, ce qui élimine θ = 5π/4 et donc l’équation
r cos θ = r sin θ est équivalente aux deux équations r = 0 et θ = π/4. Enfin,
le plan y = 0 est l’image des plans r = 0 et θ = 0. En conclusion, l’ouvert V
est l’image par φ de l’ouvert
U = {(r, θ, z) | 0 < r < 2, 0 < θ < π/4, 0 < z < r}
La formule de changement de variables s’écrit
Z
Z π/4Z 2 Z r
f (x, y, z) dx dy dz =
f (r cos θ, r sin θ, z) rdz dr dθ
V
0
0
0
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Intégrale multiple
Pour la fonction f définie par f (x, y, z) = z sin((x2 + y 2 )2 ), on obtient
Z
0
π/4Z 2 Z r
0
4
z sin(r ) rdz dr dθ =
0
=
=
Z
Z
0
π/4Z 2
0
π/4
0
r3
sin(r4 ) dr dθ
2
− cos(16) + 1
dθ
8
π
(1 − cos(16))
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Exercice 6.10.
On pose V = {(x, y, z) | z ≥ 0, x2 + y 2 ≤ 1, x2 + y 2 + z 2 ≤ 3}. Calculer
le volume de V en utilisant respectivement, les coordonnées polaires, les
coordonnées sphériques et les coordonnées cylindriques.
Remarque 6.11.
1. On peut étendre la notion d’intégrale de Riemann dans Rn à certaines
fonctions qui ne sont pas nécessairement bornées ou ne sont pas à
support compact.
2. On peut définir des intégrales multiples dépendant d’un paramètre,
comme dans le cas d’une seule variable. La continuité, la dérivabilité,
etc. s’étudient de façon tout à fait analogue au cas d’une intégrale
simple (n = 1).
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