MVA101 - ED 14 - Algèbre linéaire (4)

MVA101 - ED 14 - Algèbre linéaire (4)
Rappels de cours : Valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation
1 - Définition intuitive
Soit fune application linaire.
•Un vecteur est dit vecteur propre par l’application linéaire fs’il est non nul et si l’application
ne fait que modifier sa taille sans changer sa direction.
•Une valeur propre associée à un vecteur propre est le facteur de modification de taille, c’est-à-
dire le nombre par lequel il faut multiplier le vecteur pour obtenir son image. Ce facteur peut être
négatif (renversement du sens du vecteur) ou nul (vecteur transformé en un vecteur de longueur
nulle).
Figure 1: L’application linéaire fétire le vecteur xsans changer sa direction. xest un vecteur propre
pour fet sa valeur propre est λ. (source : wikipedia)
•Un sous-espace propre associé à une valeur propre est l’ensemble des vecteurs propres qui
ont une même valeur propre et le vecteur nul. Ils subissent tous la multiplication par le même
facteur.
Exemple (cas particulier) : Considérons un ballon de baudruche parfaitement sphérique et prenons
comme application linéaire une dilatation qui éloigne tous les points du ballon de son centre d’un
rapport constant. Cette dilatation agrandit tous les vecteurs d’un même rapport sans changer leur
direction. Tous les vecteurs, à l’exception du vecteur nul, sont donc des vecteurs propres et il existe
une unique valeur propre. L’espace propre associé à cette valeur propre est donc composé de tous les
vecteurs, il s’agit donc de R3. Cette application linéaire est particulière, on dit que c’est une homothétie.
A quoi servent les vecteurs et les valeurs propres en pratique ?
La connaissance des vecteurs et valeurs propres donne une information clé sur l’application linéaire
considérée. Il existe de plus de nombreux cas où cette connaissance caractérise totalement l’application
linéaire.
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2 - Définition mathématique
Soit Eun espace vectoriel et fun endomorphisme de E, c’est à dire une application linéaire de Edans
E.
On dit que λ∈R(ou C)est une valeur propre de fsi et seulement si :
(1) ∃x∈E, x 6= 0,tel que f(x) = λx
Traduction de la définition (1) : "Il existe un vecteur xappartenant à l’espace vectoriel E, non nul,
tel que l’image du vecteur xpar fest proportionnelle à x."
Le coefficient de proportionnalité est alors la valeur propre λet xest un vecteur propre associé à la
valeur propre λ.
Propriétés :
1. Un vecteur propre ne peut pas être associé à deux valeurs propres différentes
2. Par définition d’une valeur propre, un sous-espace propre n’est jamais réduit au vecteur nul.
3 - Lien entre le noyau d’une application linéaire fet le déterminant de la matrice
associée A
Soit Eun espace vectoriel, fun endomorphisme de Eet Ala matrice carrée associée à l’endomorphisme
fdans une base Bde E.
Rappel : On appelle noyau de fet on note Ker(f)le sous-espace vectoriel de E:
(2) Ker(f) = f−1({0}) = {x∈Etels que f(x) = 0}
Propriété : Le déterminant de la matrice Aest nul si et seulement si le noyau de l’endomorphisme f
associé est non réduit au vecteur nul :
(3) Ker(f)6={0}⇐⇒ det(A) = 0
4 - Calcul des valeurs propres d’un endomorphisme
Soit A= (aij )la matrice de l’endomorphisme fdans une base Bde Eet soit X=
x
y
· · ·
z
le vecteur
colonne correspondant au vecteur propre udans la base B, alors :
f(u) = λu(4)
=⇒AX =λX(5)
⇐⇒ (A−λI)X= 0 (I : matrice unité d’ordre n)(6)
Notons gl’application linéaire associée à la matrice (A−λI)dans la base B.
−→ Pour que l’équation (6) ait une solution autre que la solution triviale X= 0, il faut par définition
que le noyau de l’application linéaire gne soit pas réduit au vecteur nul, c’est à dire Ker(g)6={0}.
D’après la propriété (3), cela signifie que le déterminant de A−λI doit être égal à 0, c’est à dire :
(7) det(A−λI) = 
a11 −λ a12 · · · a1n
a21 a22 −λ· · · · · ·
· · · · · · · · · · · ·
an1· · · · · · ann −λ
= 0
2

Le déterminant det(A−λI)est un polynôme en λde degré nque l’on appelle le polynôme
caractéristique de A. Les valeurs de λqui annulent ce polynôme, c’est à dire les racines du
polynôme, sont les valeurs propres de A.
On appelle ordre de multiplicité de la valeur propre λil’ordre de multiplicité de la ième racine du
polynôme caractéristique. Il peut donc y avoir au maximum nvaleurs propres distinctes, d’ordre de
multiplicité 1 chacune.
Exemple : Calculer les valeurs propres de la matrice A=5−3
6−4.
Les valeurs propres de Asont les scalaires λivérifiant :
det(A−λI) = 0 ⇔
5−λ−3
6−4−λ
=−(5 −λ)(4 + λ) + 18
=λ2−λ−2
= (λ+ 1)(λ−2) = 0
Donc les valeurs propres de Asont : λ1=−1et λ2= 2. Ce sont des valeurs propres d’ordre de
multiplicité 1 chacune.
5 - Calcul des vecteurs propres d’un endomorphisme
a - Cas des valeurs propres distinctes
Un vecteur propre Xde composantes (x, y, · · · , z)dans la base Bde E, associé à la valeur propre λ
doit vérifier la relation :
(8) AX =λX ⇐⇒ (A−λI)X= 0 ⇐⇒ (A−λI)
x
y
· · ·
z
=
0
0
· · ·
0
Pour trouver les coordonnées du vecteur propre Xil suffit donc de résoudre un système linéaire.
Propriété : Si la matrice Aadmet nvaleurs propres, distinctes deux à deux, les nvecteurs propres
associés sont linéairement indépendants et forment une base de l’espace vectoriel E.
Exemple : Déterminer les vecteurs propres associés aux valeurs propres de la matrice A=5−3
6−4.
Les vecteurs propres obtenus forment-ils une base de E=R2?
En posant x1et x2les vecteurs propres associés respectivement à λ1et λ2, on a :
•Pour λ1=−1:
(A+I)X1= 0 ⇐⇒ 6−3
6−3x
y=0
0
Le système ci-dessus est équivalent à : 6x−3y= 0 ⇐⇒ y= 2x.
Choix d’un vecteur propre : x1=1
2. Donc le sous-espace propre Eλ1associé à λ1est le
sous-espace engendré seulement par le vecteur x1:Eλ1=α1
2, α ∈R=Vect 1
2
•Pour λ2= 2 :
(A−2I)X1= 0 ⇐⇒ 3−3
6−6x
y=0
0
3

Le système ci-dessus est équivalent à : 3x−3y= 0 ⇐⇒ y=x.
Choix d’un vecteur propre : x2=1
1. Donc Eλ2=Vect 1
1.
Comme ici la matrice possède deux valeurs propres distinctes, la famille (x1, x2)forme bien une
base de R2(Vérification : le déterminant 
1 1
2 1
6= 0).
b - Cas général
Propriété: La dimension de chaque sous-espace propre Eλiest inférieure ou égale à la multiplicité mi
de la valeur propre λi. Ce qui signifie que pour chaque λi, le sous-espace propre Eλiest engendré par
au plus mivecteurs propres.
Exemple : Soit une matrice de taille (3,3) ayant une valeur propre λ1d’ordre de multiplicité 2 et une
deuxième valeur propre λ2d’ordre de multiplicité 1.
−→ Alors, Eλ1sera engendré soit par 2 vecteurs propres (Eλ1=Vect{x1, x′
1}: c’est un plan vectoriel
de R3) soit par 1 vecteur propre (Eλ1=Vect{x1}: c’est une droite vectorielle de R3). Et Eλ2sera
engendré par 1 vecteur propre (Eλ1=Vect{x2}: c’est une droite vectorielle de R3).
6 - Diagonalisation d’une matrice
Soit A= (aij )la matrice de l’endomorphisme fdans la base B= (e1, e2,· · · , en)de E.
a - Cas des valeurs propres distinctes
Rappel : Les vecteurs propres x1, x2,· · · , xnassociés aux nvaleurs propres λ1, λ2,· · · , λnforment une
base Bx= (x1, x2,· · · , xn)de E.
Propriété : Si la matrice Apossède nvaleurs propres distinctes, alors on dit qu’elle est diagonalisable
ce qui signifie que dans la base Bx, la matrice est diagonale et égale à :
(9) D=
λ10· · · 0
0λ2· · · 0
· · · · · · · · · · · ·
0 0 · · · λn
avec D=P−1AP (formule de changement de base), où Preprésente la matrice de passage de la base
Bà la base Bx, dont les colonnes sont constituées des vecteurs propres x1, x2,· · · , xnde A.
Exemple : Reprenons la matrice A=5−3
6−4. On sait qu’elle possède deux valeurs propres distinctes
λ1=−1et λ2= 2 et que les deux vecteurs propres associés sont x1= (1,2) et x2= (1,1).
Alors la matrice Aest diagonalisable et une diagonalisation possible est : D=P−1AP =λ10
0λ2=
−1 0
0 2, avec la matrcie de passage P= (x1x2) = 1 1
2 1.
b - Cas général
Considérons ici le cas où les valeurs propres λide Asont d’ordre de multiplicité mi. Cela signifie que
pour chaque λile sous-espace propre associé est engendré par au plus mivecteurs propres que l’on
note Xi,j ,1≤j≤mi.
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Propriété : La matrice Aest diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des différents
sous-espaces propres est égale à n.
Dans ce cas, la matrice diagonale Dest la matrice dont les coefficients diagonaux sont les λirépétés
mifois et la matrice de passage Psera la matrice dont les colonnes sont les vecteurs Xi,j (l’ordre n’a
pas d’importance, mais si on a le vecteur Xi,j sur la k-ième colonne de P, alors on a la valeur propre
λisur la k-ième colonne de D).
Exemple : Soit la matrice A=
0 3 −1
2−1 1
0 0 2
.
Après calcul on trouve que Apossède 2 valeurs propres :
•λ1= 2 de multiplicité 2 avec le sous-espace propre associé Eλ1=Vect 
x1=
0
1
3
, x′
1=
1
0
−2
•λ2=−3de multiplicité 1 avec le sous-espace propre associé Eλ2=Vect 
x2=
1
−1
0
.
On a bien : dim(Eλ1)+dim(Eλ2) = 2+1 = 3, donc la matrice Aest diagonalisable et une diagonalisation
possible est : D=P−1AP =
λ10 0
0λ10
0 0 λ2
=
2 0 0
0 2 0
0 0 −3
, avec P= (x1x′
1x2) = 
0 1 1
1 0 −1
3−2 0
.
Exercice 1
Soit Ala matrice suivante : A=
0 2 −1
3−2 0
−2 2 1
1. Calculer les valeurs propres de la matrice A.
2. Calculer les vecteurs propres associés aux valeurs propres de Aet en déduire les sous-espaces
propres associés à chacune des valeurs propres.
Exercice 2
Soit Ala matrice suivante : A=
100
010
1−1 2
1. Calculer les valeurs propres de la matrice A.
2. Calculer les vecteurs propres associés aux valeurs propres de Aet en déduire les sous-espaces
propres associés à chacune des valeurs propres.
3. Démontrer que Aest diagonalisable.
4. En déduire une matrice Ptelle que P−1AP soit diagonale.
Chloé Mimeau, 10 janvier 2017.
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