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Fonctions de plusieurs variables réelles
I Structure euclidienne de Rn
1
I.A Produit scalaire canonique de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.B Norme et distance euclidiennes dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.C Boules dans l'espace vectoriel euclidien R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
n
n
m
II Parties ouvertes et fermées de l'espace euclidien
2
Rm
II.A Parties ouvertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
II.B Parties fermées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II.C Intérieur, adhérent, frontière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
III Parties bornées de Rn euclidien
4
IV Limite et continuité
5
III.ADénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
III.BPropriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
IV.ADénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
IV.B Opérations et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
IV.CFonction continue sur une partie fermée bornée de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
n
V Applications partielles
6
V.A Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
V.B Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
VI Fonctions de classe C 1 de
dans R
7
VIIComposition de fonctions de classe
9
U
VI.ADénition avec les dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.B Développement limité d'ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.CNotation diérentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.DGradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C1
ϕ : t 7→ f (x(t), y(t))
ψ : (u, v) 7→ f (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
7
8
8
9
VII.ADérivée de la fonction
................................... 9
VII.BDérivées partielles de la fonction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
VII.CDeux exemples d'équations aux dérivées partielles du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
VIII
Dérivées partielles d'ordre supérieur à 1
10
IX Extremum local d'une fonction de deux variables
12
X Applications géométriques
13
VIII.AThéorème de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
VIII.BUn exemple d'équation aux dérivées partielles d'ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
VIII.CCalcul du laplacien en coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
IX.ADénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
IX.B Tout extremum local est un point critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
X.A Tangente et normale en un point régulier d'une ligne de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
X.B Plan tangent à une surface en un point régulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Dans tout le chapitre, n est un entier inférieur ou égal à 3.
I
Structure euclidienne de
Rn
I.A Produit scalaire canonique de Rn
Dénition 1.
Le produit scalaire canonique de R est déni comme suit :
n
n
n
∀x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R , ∀y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ R , (x | y) =
n
X
i=1
On obtient ainsi la
structure euclidienne canonique
de R .
n
1
xi yi
I.B Norme et distance euclidiennes dans Rn
Dénition 2.
v
uX
u n 2
x = (x1 , x2 , . . . , xn ) 7→ kxk = t
xi
L'application
La distance associée est l'application d de R
i=1
n
× Rn
est la norme euclidienne sur R .
dans R dénie par :
n
+
v
u n
uX
d(x, y) = t (xi − yi )2
i=1
I.C Boules dans l'espace vectoriel euclidien Rm
Dans ce paragraphe, E est l'espace R euclidien. La norme euclidienne est notée k . k, et la distance associée est
notée d. Les éléments de R sont regardés comme des points ou comme des vecteurs.
n
n
Dénition 3.
Soient a ∈ E et r un réel > 0.
On appelle boule ouverte de centre a de rayon
r l'ensemble :
B(a, r) = x ∈ E / kx − ak < r = x ∈ E / d(a, x) < r
On appelle boule fermée de centre a de rayon
r l'ensemble :
Bf (a, r) = x ∈ E / kx − ak 6 r = x ∈ E / d(a, x) 6 r
On appelle boule fermée unité la boule fermée de centre 0 de rayon 1.
Remarque 1. Dans R euclidien, les boules sont des disques; dans R , ce sont les boules habituelles; et dans R :
2
3
B(a, r) = x ∈ R / |x − a| < r =]a − r, a + r[
Bf (a, r) = x ∈ R / |x − a| 6 r = [a − r, a + r]
II
Parties ouvertes et fermées de l'espace euclidien
Rm
II.A Parties ouvertes
Dénition 4.
Soit A ⊂ R . A est dite partie ouverte de R , ou ouvert de R , si A est vide ou si :
∀x ∈ A, ∃r > 0 tel que B(x, r) ⊂ A
n
n
n
Exemples 1.
1. ]0, 1[ est un ouvert de R. [0, 1[ et [0, 1] ne sont pas des ouverts de R.
2. Toute boule ouverte de R est un ouvert de R .
3. Le demi-plan y > 0 est un ouvert de R .
n
n
2
Exercice 1
Démontrer que le demi-plan x > 0 est un ouvert de R .
2
[pv035]
Théorème 1.
∅ et R sont des ouverts de R .
Toute réunion d'ouverts de R est un ouvert de R .
Toute intersection nie d'ouverts de R est un ouvert de R .
n
n
n
n
n
n
2
Démonstration.
• ∅ est un ouvert de Rn , comme indiqué dans la dénition d'un ouvert. Rn lui-même est
Rn , et tout r > 0, la boule ouverte de centre x de rayon r est bien sûr incluse dans Rn .
un ouvert de Rn : en eet, pour tout x de
Soit (Ai )i∈I une famille quelconque d'ouverts de Rn .
S
Soit x ∈ Si∈I Ai . Il existe i0 ∈ I tel que x ∈ Ai0 . Comme
S Ai0 est ouvert, il existe r > 0 tel que
S B(x, r) ⊂ Ai0 . On a alors
B(x, r) ⊂ i∈I Ai , et il est ainsi prouvé que pour tout x ∈ i∈I Ai , il existe r > 0 tel que B(x, r) ⊂ i∈I Ai .
S
n
i∈I Ai est donc un ouvert de R .
• Soit (A1 , . . . , Ap ) une famille nie d'ouverts de Rn .
T
Soit x ∈ 16i6p Ai . Pour chaque i, x appartient à Ai et Ai est ouvert, donc il existe ri > 0 tel que TB(x, ri ) ⊂ Ai . Posons
r = min16i6p ri . On a, pour chaque i compris entre 1 et p, B(x, r) ⊂ B(x, ri ) ⊂ Ai . Il en résulte B(x, r) ⊂ 16i6p Ai , et donc :
T
n
16i6p Ai est un ouvert de R .
•
Une intersection innie d'ouverts n'est pas nécessairement un ouvert. On peut considérer pour cela :
Exemple 2.
\
p∈N∗
1 1
= {0}
− ,
p p
II.B Parties fermées
Dénition 5.
Soit A ⊂ R . A est dite partie fermée de R , ou fermé de R , si R − A est un ouvert de R .
Pour montrer qu'une partie est fermée, on montre donc que son complémentaire (voir l'exercice 4) est ouvert.
n
n
n
n
n
Exemples 3.
1. [0, 1] est un fermé de R. [0, 1[ n'est pas un fermé de R.
2. Toute boule fermée de R est un fermé de R .
n
n
Exercice 2
Montrer que le demi-plan x > 0 est un fermé de R .
2
[pv036]
Exercice 3
Montrer que N est un fermé de R.
[pv037]
Théorème 2.
∅ et R sont des fermés de R .
Toute intersection de fermés de R est un fermé de R .
Toute réunion nie de fermés de R est un fermé de R .
n
n
n
n
n
Démonstration.
n
Elle est faite dans les deux exercices suivants.
Exercice 4
Soient E un ensemble, et A une partie de E. On rappelle que le complémentaire de A, noté E − A ou E\A, est par
dénition : ∅ si A = E, E si A = ∅, et dans les autres cas :
E −A = x ∈ E/x ∈
/A
Soit (A ) une famille quelconque de parties de E. Montrer que :
\
[
[
E−
A =
(E − A ) et E −
A
i i∈I
i
i∈I
i
i∈I
i∈I
i
=
\
(E − Ai )
i∈I
[pv012]
Exercice 5
En utilisant l'exercice 4, faire la démonstration du théorème.
3
[pv013]
II.C Intérieur, adhérent, frontière
Soit A une partie non vide de R et a ∈ R .
1. L'ensemble des points intérieurs à A est l'ensemble Å appelé intérieur de A et déni par :
Dénition 6.
n
a ∈ Å
n
⇐⇒
∃r > 0, B(a, r) ⊂ A
2. L'ensemble des points adhérents à A est l'ensemble Ā appelé adhérence de A et déni par :
a ∈ Ā
⇐⇒
∀r > 0, B(a, r) ∩ A 6= ∅
3. La frontière (ou bord) de A est l'adhérence de A privée de l'intérieur de A :
Fr(A) = Ā \ Å
On peut aussi dénir l'extérieur de A comme l'intérieur du complémentaire de A (cette notion est
cependant moins utilisée) :
Ext(A) = (A )
Remarque 2.
◦
c
Exercice 6
Montrer que Ā = Ext(A) .
c
[pv014]
Proposition 1.
1. On a Å ⊂ A ⊂ Ā.
2. Å est un ouvert, Ā et Fr(A) sont des fermés.
Plus précisément, Å est le plus grand ouvert contenu dans A, et Ā le plus petit fermé contenant A.
3. A est un ouvert ⇐⇒ A = Å.
4. A est un fermé ⇐⇒ A = Ā.
Exercice 7
Montrer ces propriétés.
[pv015]
Exercice 8
Représenter A, puis décrire Å, Ā et Fr(A) dans chacun des cas suivants :
1. A =]0, 1].
2. A = {(x, y) ∈ R , x > 0, y > 0, et x + y < 1}.
3. A = {(x, y, z) ∈ R , x + y + z < 1}.
2
3
2
2
2
[pv016]
III
Parties bornées de
Rn
euclidien
III.A Dénition
Dénition 7.
Une partie A de R est dite bornée s'il existe r > 0 tel que A ⊂ B(0, r),
n
4
i.e.
∀x ∈ A, kxk < r
.
III.B Propriétés
Propriétés
1.
A ⊂ B et B bornée =⇒ A bornée.
Toute intersection de parties bornées est bornée.
Toute réunion nie de parties bornées est bornée.
Exercice 9
Montrer ces propriétés.
[pv017]
Exemples 4.
1. ∅ est borné, tout ensemble réduit à un élément est borné.
2. Toute boule est bornée.
3. Tout sous-ensemble ni de R est borné. 4. Un sous-espace vectoriel de R autre que 0 est non-borné.
n
n
Exercice 10
Soit A ⊂ R , soit a ∈ R . Montrer que :
n
n
A
est bornée
⇐⇒ ∃r > 0, A ⊂ B(a, r)
[pv018]
IV
Limite et continuité
IV.A Dénitions
Soient E = R , euclidien, A une partie de E, f une application de A dans R, et a = (a , . . . , a ) ∈ Ā.
On dit que f admet la limite ` au point a si, par dénition :
Dénition 8.
n
1
h
∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ A,
kx − ak 6 η =⇒ |f (x) − `| 6 ε
n
i
Soient E = R , euclidien, A une partie de E, f une application de A dans R, et a = (a , . . . , a ) ∈ A.
f est dite continue en a si, par dénition lim f (x) = f (a).
De manière équivalente, cette dénition revient à :
Dénition 9.
n
1
n
x→a
∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ A,
h
kx − ak 6 η =⇒ |f (x) − f (a)| 6 ε
i
On dit que f est continue sur A si f est continue en tout point a ∈ A.
Exercice 11
Soit k > 0. Une application f : E → R est dite k-lipschitzienne si :
∀x, y ∈ E, |f (x) − f (y)| 6 kkx − yk
Montrer que dans ces conditions f est continue sur E (c'est-à-dire en tout point de E). En déduire la continuité des
applications suivantes :
1. Continuité de la norme : E → R, x 7→ kxk.
2. Continuité des projections : p : R → R, x = (x , . . . , x ) 7→ x .
i
n
1
n
i
[pv019]
5
IV.B Opérations et continuité
Théorème 3 (Opérations élémentaires).
Soient f, g deux applications dénies sur une partie A de R et à valeurs réelles, et λ ∈ R. Si f et g sont continues en
a ∈ A (resp. sur A), alors les fonctions :
n
f + g : x 7→ f (x) + g(x)
λf : x 7→ λf (x)
;
;
f g : x 7→ f (x)g(x)
sont continues en a (resp. sur A).
Théorème 4 (Composition).
Soit f une application dénie sur une partie A de R et à valeurs dans I ⊂ R, et h une application de I dans R. Si f
est continue en a et h est continue au point f (a), alors h ◦ f est continue au point a.
n
Exercice 12
On admet la continuité des fonctions classiques de R dans R : sinus, exponentielle etc.
1. Soit p, q ∈ N. À l'aide des continuités essentielles, montrer que f : R → R, (x, y) 7→ x y , est continue.
2. En déduire que l'ensemble des fonctions polynomiales dedeux variables
(x, y) sont continues.
1
3. Justier la continuité sur R de la fonction (x, y) 7→ exp 1 + x y .
2
p q
2
2 2
[pv038]
Exercice 13
Soient U un ouvert de E, a ∈ U , et f : U → F .
1. On suppose que f est continue en a. Soit (x ) une suite de U qui tend vers a. Montrer que la suite f (x )
tend vers f (a).
2. On pose f (x, y) =
si (x, y) 6= (0, 0) et f (0, 0) = 0. Calculer lim f n1 , nα . f est-elle continue en (0, 0) ?
n n∈N
1
n
x2 y
x4 +y 2
n→+∞
n∈N
2
[pv039]
IV.C Fonction continue sur une partie fermée bornée de Rn
Théorème 5.
Soit f une fonction de R dans R, continue. Si A est une partie fermée et bornée de R , alors f est bornée et atteint
ses bornes (c'est à dire que f a un minimum et un maximum sur A).
n
Démonstration.
V
n
Ce théorème est admis.
Applications partielles
Pour simplier la présentation, on prendra n = 3 dans un certain nombre de dénitions.
V.A Dénition
Dénition 10.
les fonctions :
Soient U un ouvert de R , (a, b, c) ∈ U et f : U → R. On appelle applications partielles de f en (a, b, c)
3
ϕ1 : t 7→ f (t, b, c)
ϕ2 : t 7→ f (a, t, c)
ϕ3 : t 7→ f (a, b, t)
1. On a en fait une condition nécessaire et susante : f est continue en a ⇐⇒ pour toute suite (xn )n∈N de U qui tend vers a, la suite
tend vers f (a). Mais la réciproque (⇐=) n'est pas facile à établir.
(f (xn ))n∈N
6
Exercice 14
On pose f (x, y) = x y. Représenter les fonctions partielles t 7→ f (t, 1) et t 7→ f (1, t).
2
[pv040]
V.B Dérivées partielles
Dénition 11.
Soit f : U → R. Lorsque les fonctions partielles :
t 7→ f (t, y0 , z0 ) t 7→ f (x0 , t, z0 ) t 7→ f (x0 , y0 , t)
sont dérivables, respectivement en x , y , z . Les dérivées sont notées :
0
0
0
∂f
(x0 , y0 , z0 )
∂x
ou :
∂f
(x0 , y0 , z0 )
∂y
∂f
(x0 , y0 , z0 )
∂z
D1 f (x0 , y0 , z0 ) D2 f (x0 , y0 , z0 ) D3 f (x0 , y0 , z0 )
On les appelle dérivées partielles de f au point (x , y , z ).
0
0
0
Exercice 15
On reprend la fonction f de l'exercice 13 : f (x, y) =
si (x, y) 6= (0, 0) et f (0, 0) = 0.
1. Expliciter les applications partielles f ( . , 0) et f (0, . ).
2. Calculer les dérivées partielles de f en (0, 0). Les dérivées partielles sont-elles continues?
x2 y
x4 +y 2
[pv041]
VI
Fonctions de classe
C1
de
U
dans
R
VI.A Dénition avec les dérivées partielles
Dénition 12.
f :U →R
est dite de classe C si f admet des dérivées partielles en tout point (x, y, z) de U , et si les fonctions :
1
(x, y, z) 7→
sont continues sur U .
∂f
(x, y, z),
∂x
(x, y, z) 7→
Théorème 6 (Opérations élémentaires).
∂f
(x, y, z),
∂y
(x, y, z) 7→
∂f
(x, y, z)
∂z
Soient f, g deux applications dénies sur un ouvert U de R et à valeurs réelles, et λ ∈ R. Si f et g sont de classe C
sur U , alors les fonctions :
n
f + g : (x, y, z) 7→ f (x, y, z) + g(x, y, z)
sont de classe C sur U ..
;
1
λf : (x, y, z) 7→ λf (x, y, z)
f g : (x, y, z) 7→ f (x, y, z)g(x, y, z)
1
Théorème 7 (Composition).
Soit f une application dénie sur un ouvert U de R et à valeurs dans I ⊂ R, et h une application de I dans R. Si f
est de classe C sur U et si h est de classe C sur I , alors h ◦ f est de classe C sur U .
1
n
1
1
7
VI.B Développement limité d'ordre 1
Théorème 8.
Si f est de classe C sur l'ouvert U , alors :
1
f (x0 + h, y0 + k, z0 + l)
=
f (x0 , y0 , z0 ) +
∂f
∂f
(x0 , y0 , z0 )h +
(x0 , y0 , z0 )k +
∂x
∂y
∂f
(x0 , y0 , z0 )l + o(k(h, k, l)k)
∂z
Démonstration.
Ce théorème est admis.
Remarque 1.
Il s'agit d'un développement limité à l'ordre 1 de la fonction f en (x , y , z ).
0
0
0
Exercice 16
Contrôler ce résultat en calculant "à la main" un développement limité à l'ordre 1 des fonctions suivantes :
1. f (x, y) = x (x + y).
2. f (x, y, z) = ze .
2
xy 2
[pv042]
La somme et le produit de deux fonctions de classe C sur U , sont des fonctions de classe C sur U ;
cela résulte des mêmes règles que sur les dérivations de fonctions d'une seule variable.
Remarque 3.
Dénition 13.
1
1
Avec les notations précédentes, l'application linéaire :
df(x0 ,y0 ,z0 ) : (h, k, l) 7→
∂f
∂f
∂f
(x0 , y0 , z0 )h +
(x0 , y0 , z0 )k +
(x0 , y0 , z0 )
∂x
∂y
∂z
est appelée diérentielle (ou application linéaire tangente) de f au point (x , y , z ).
0
0
0
VI.C Notation diérentielle
On remarque que la diérentielle de la première projection p : (x, y, z) 7→ x est p elle-même
dp : (h, k, l) 7→ h
En calcul diérentiel, on note plutôt dx cette dernière application. On fait de même pour la deuxième et la troisième
projection. Et on se souviendra donc que :
dx : (h, k, l) 7→ h = diérentielle de la première projection = première projection
dy : (h, k, l) 7→ k = diérentielle de la deuxième projection = deuxième projection
dz : (h, k, l) 7→ l = diérentielle de la troisième projection = troisième projection
Avec les notations précédentes, on a :
1
1
1
df
(x0 ,y0 ,z0 )
d
C'est une égalité dans L(R , R), où df
base de L(R , R).
3
3
d
d
∂f
∂f
∂f
(x0 , y0 , z0 ) x +
(x0 , y0 , z0 ) y +
(x0 , y0 , z0 ) z
∂x
∂y
∂z
=
(x0 ,y0 ,z0 )
apparaît comme combinaison linéaire de dx, dy et dz, qui forment une
8
VI.D Gradient
Dénition 14.
On dénit le gradient de l'application f : U → R par :
∇f(x0 ,y0 ,z0 )
 ∂f
(x0 , y0 , z0 )
 ∂x
 ∂f

(x0 , y0 , z0 )
=
 ∂y

∂f
(x0 , y0 , z0 )
∂z







Le gradient est un vecteur de R . Si →−u est le vecteur de R de coordonnées (h, k, l) :
3
3
−
∇f(x0 ,y0 ,z0 ) . →
u =
∂f
∂f
∂f
(x0 , y0 , z0 )h +
(x0 , y0 , z0 )k +
(x0 , y0 , z0 )l
∂x
∂y
∂z
Exercice 17
Donner le gradient, puis le développement limité à l'ordre 1 au point (2, 0, ) de la fonction
π
3
f : (x, y, z) 7→ ex
2
y
sin(xz)
[pv043]
VII
C1
Composition de fonctions de classe
Les fonctions envisagées dans ce paragraphe, qu'elles soient d'une ou plusieurs variables, sont toutes de classe C ,
donc diérentiables en tout point de leur ouvert de dénition.
1
VII.A Dérivée de la fonction ϕ : t 7→ f (x(t), y(t))
Ce paragraphe est extrêmement important!
Soient U un ouvert de R et f : U → R, de classe C . Soient I un intervalle de R, et g : I → U , également de classe C .
ϕ est dénie comme la composée de la fonction g : t 7→ (x(t), y(t)), de I dans U , et de la fonction f : (x, y) 7→ f (x, y),
de U dans R. Ce qu'on peut schématiser par :
2
1
1
g
Le but est de calculer ϕ (t ), pour t
0
0
ϕ(t0 + h)
0
∈I
.
f
ϕ : t 7→ (x(t), y(t)) 7→ f (x(t), y(t))
= f (x(t0 + h), y(t0 + h))
= f x(t0 ) + x0 (t0 )h + o(h), y(t0 ) + y 0 (t0 )h + o(h)
d
= f (x(t0 ), y(t0 )) + f(x(t0 ),y(t0 )) x0 (t0 )h + o(h), y 0 (t0 )h + o(h)
+o (x0 (t0 )h + o(h), y 0 (t0 )h + o(h))
Le o(k . . . k) est un o(h), et le terme intermédiaire, compte-tenu de la linéarité de df
peut s'écrire :
h df
(x (t ), y (t )) + o(h)
Il reste : ϕ(t + h) = f (x(t ), y(t )) + h df
(x (t ), y (t )) + o(h), c'est-à-dire :
ϕ(t + h) = ϕ(t ) + h df
(x (t ), y (t )) + o(h)
Le terme qui, dans le second membre, est en facteur de h, n'est autre que la dérivée de ϕ au point t . On a donc :
ϕ (t ) = df
(x (t ), y (t ))
Si maintenant on exprime cette diérentielle à l'aide des dérivées partielles, on a le résultat nal :
(x(t0 ),y(t0 ))
0
(x(t0 ),y(t0 ))
0
0
0
(x(t0 ),y(t0 ))
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(x(t0 ),y(t0 ))
0
0
0
0
0
0
ϕ0 (t0 ) =
D'où le théorème :
0
(x(t0 ),y(t0 ))
0
0
0
0
∂f
∂f
((x(t0 ), y(t0 )) × x0 (t0 ) +
((x(t0 ), y(t0 )) × y 0 (t0 )
∂x
∂y
9
Théorème 9.
Si ϕ(t) = f (x(t), y(t)), les fonctions intervenant étant de classe C , on a :
1
ϕ0 (t) =
∂f
∂f
((x(t), y(t)) × x0 (t) +
((x(t), y(t)) × y 0 (t)
∂x
∂y
VII.B Dérivées partielles de la fonction ψ : (u, v) 7→ f (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
On suppose que f , ainsi que les fonctions : (u, v) 7→ x(u, v), (u, v) 7→ y(u, v), (u, v) 7→ z(u, v), sont de classe C .
Alors ψ est de classe C , et pour ses dérivées partielles, on applique ce qui précède :
1
1
∂ψ
(u, v)
∂u
∂x
(u, v)
∂u
∂z
∂y
(u, v) + D3 f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ×
(u, v)
+D2 f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ×
∂u
∂u
∂x
∂ψ
(u, v) = D1 f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ×
(u, v)
∂v
∂v
∂y
∂z
+D2 f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ×
(u, v) + D3 f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ×
(u, v)
∂v
∂v
= D1 f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ×
VII.C Deux exemples d'équations aux dérivées partielles du premier ordre
Deux types de changement de variable sont au programme pour résoudre ce type d'équation : le changement de
variable ane, et le changement de variable en coordonnées polaires.
Exercice 18
Trouver toutes les fonctions f ∈ C (R , R) telles que
1
2
∀(x, y) ∈ R2 ,
∂f
∂f
(x, y) =
(x, y)
∂x
∂y
Indication : calculer les dérivées partielles de la fonction g dénie par : g(u, v) = f
1
2 (u
+ v), 12 (u − v)
.
[pv044]
Exercice 19
Résoudre, à l'aide d'un passage en coordonnées polaires, l'équation d'inconnue f :]0; +∞[×R → R suivante
(E) x
∂f
∂f
+y
− f = −x2 − y 2
∂x
∂y
Indication : il s'agit de poser (x, y) = (r cos θ, r sin θ) avec (r, θ) ∈ U =]0, +∞[×
i
− π2 , π2
h
, et :
ϕ(r, θ) = f (r cos θ, r sin θ)
[pv049]
VIII
Dérivées partielles d'ordre supérieur à 1
VIII.A Théorème de Schwarz
Soit f : U → R avec U ouvert de R (n = 2 pour simplier).
Si f est de classe C sur U , on peut parler des fonctions ∂f
et ∂f
, qui sont des fonctions de U dans R. Ces deux
∂x
∂y
fonctions peuvent avoir des dérivées partielles sur U :
∂ f ∂ ∂f
∂ f
∂ ∂f
∂ f
∂ f
,
noté
,
noté
,
∂x ∂y ∂x
∂y∂x ∂x ∂y
∂x∂y ∂y
2
1
2
2
2
2
2
2
10
Le théorème de Schwarz (admis) dit que si ces fonctions dérivées partielles secondes sont continues sur U , alors :
2
∂2f
∂2f
=
∂y∂x
∂x∂y
Plus généralement, si f est de classe C , c'est-à-dire lorsque toutes les dérivées partielles jusqu'à l'ordre k sont des
fonctions continues sur U , alors l'ordre des dérivations n'a pas d'importance.
∂ f
∂ f
C'est non trivial : pour s'en convaincre, il sut de détailler les calculs de ∂y∂x
et de ∂x∂y
lorsque f (x, y) = Arctan ,
avec (x, y) ∈ U =]0, +∞[×R.
k
2
2
y
x
VIII.B Un exemple d'équation aux dérivées partielles d'ordre 2
Exercice 20
On considère l'équation aux dérivées partielles
∂2f
∂2f
∂2f
−4
+4 2 =0
2
∂x
∂x∂y
∂y
(E)
On fait le changement de variable : u = y + αx, v = y + βx et ϕ(u, v) = f (x, y).
1. Déterminer une condition sur α et β pour que l'équation (E) soit équivalente à une équation du type ∂∂vϕ = 0.
2. En déduire les solutions de l'équation.
2
2
[pv064]
VIII.C Calcul du laplacien en coordonnées polaires
Soit V =]0, +∞[×R. On considère
une fonction
f : (x, y) 7→ f (x, y), de classe C sur V , à valeurs dans R.
i
h
On pose maintenant U =]0, +∞[× − , . Si (r, θ) ∈ U , on a (x, y) = (r cos θ, r sin θ) ∈ V , et l'application (r, θ) 7→
(x, y) ainsi dénie est une bijection de classe C de U dans V .
On dénit alors la fonction ϕ par :
2
π
2
π
2
∞
ϕ:
On appelle
laplacien
U → R
(r, θ) 7→ f (r cos θ, r sin θ)
de f la fonction ∆f dénie par :
∆f (x, y) =
∂2f
∂2f
(x, y) + 2 (x, y)
2
∂x
∂y
Et on se propose, dans l'exercice suivant, d'exprimer ∆f (x, y) en fonction de r, de θ, et des dérivées partielles de ϕ.
Exercice 21
On a :
∂ϕ
(r, θ)
∂r
=
cos θD1 f (r cos θ, r sin θ) + sin θD2 f (r cos θ, r sin θ)
=
cos θD1 f (x, y) + sin θD2 f (x, y)
1. Calculer pareillement .
2. En déduire D f (x, y) en fonction de r, θ, et des dérivées partielles premières de ϕ (équation qu'on notera (1)), et
de même D f (x, y) en fonction de r, θ, et des dérivées partielles premières de ϕ (équation (2)).
y) = α(r, θ) (1)
3. f (x, y) = ϕ(r, θ) équation (0) nous a donc conduits aux équations (1) et (2) : DD ff (x,
(x, y) = β(r, θ) (2)
En appliquant les mêmes formules, calculer maintenant D f (x, y) et D f (x, y) en fonction de r, θ, et des dérivées
partielles premières de α et β.
4. Calculer D f (x, y) et D f (x, y) en fonction de r, θ, et des dérivées partielles de ϕ.
5. En déduire que :
∂ϕ
∂θ
1
2
1
2
11
11
22
22
∆f (x, y) =
∂2ϕ
1 ∂ϕ
1 ∂2ϕ
(r, θ) +
(r, θ) + 2 2 (r, θ)
2
∂r
r ∂r
r ∂θ
[pv028]
2. on dit alors que f est de classe C 2 sur U .
11
IX
Extremum local d'une fonction de deux variables
IX.A Dénition
Dénition 15.
Soient U un ouvert de R , f ∈ C (U, R), et (a, b) un point de U .
On dit que f présente un maximum local en (a, b) s'il existe un disque D centré en (a, b) tel que :
2
1
∀(x, y) ∈ D,
f (x, y) 6 f (a, b)
On dit que f présente un minimum local en (a, b) s'il existe un disque D centré en (a, b) tel que :
∀(x, y) ∈ D,
f (x, y) > f (a, b)
IX.B Tout extremum local est un point critique
Théorème 10.
f
a un extremum local en (a, b)
=⇒
∂f
∂f
(a, b) =
(a, b) = 0
∂x
∂y
Un point tel que (a, b) où le gradient de f est nul, est appelé
, ou point singulier.
point critique
Il sut de voir que les fonctions partielles t 7→ f (t, b) et t 7→ f (a, t) sont dérivables, et présentent un extremum, respectivement en a et en b.
Démonstration.
Il est essentiel que U soit ouvert, car si U n'était pas ouvert, on pourrait avoir un extremum en un
point de la frontière, sans nullité des dérivées partielles. La situation est donc la même que pour les fonctions de R dans
R : la nullité de la dérivée en un point a n'entraîne pas que la fonction présente un extremum en a, et la fonction peut
avoir un extremum à l'extrémité fermée d'un intervalle sans que sa dérivée y soit nulle. Un exemple de point frontière
qui est extremum et n'est pas critique apparaît dans l'exercice qui suit.
Remarque 4.
Exercice 22
Soit f dénie pour tout (x, y) ∈ R par f (x, y) = x + y − (y − x) .
1. Déterminer les points critiques de f .
2. f a-t-elle des extremums globaux sur R ?
3. On s'intéresse à la restriction de f au disque fermé de centre O et de rayon 1.
(a) Expliquer pourquoi la restriction de f à ce disque a un minimum et un maximum.
(b) Montrer que si f admet un extremum à l'intérieur du disque, il est nécessairement atteint en (0, 0).
En étudiant le signe de t 7→ f (t, 0) et de t 7→ f (t, t) lorsque t tend vers 0, montrer que (0, 0) n'est pas un
extremum local. Conclure.
(c) On pose g(θ) = f (cos θ, sin θ). Étudier les variations de g. En déduire le minimum et le maximum de f sur
le disque fermé de centre O et de rayon 1..
2
4
4
2
2
[pv048]
Exercice 23
Soit k > 0. Quel est le maximum de xyz sachant que x > 0, y > 0, z > 0, et x + y + z = k ?
Exercice 24
On veut construire une boîte parallélépipédique sans couvercle de volume
la surface.
12
1
2
m3
[pv045]
. Trouver les dimensions qui minimisent
[pv046]
X
Applications géométriques
X.A Tangente et normale en un point régulier d'une ligne de niveau
Considérons une fonction F , dénie sur un ouvert U inclus dans R . On suppose que F est de classe C sur U , ce
qui signie que les fonctions :
∂F
∂F
(x, y) et (x, y) 7→
(x, y)
(x, y) 7→
∂x
∂y
existent et sont continues sur U .
Soit λ ∈ R xé. On considère l'ensemble des points M de U dont les coordonnées x et y vérient :
2
1
F (x, y) = λ
Cet ensemble, s'il n'est pas vide, est en général une courbe (on l'admet), qu'on appelle
F correspondant
à la valeur λ.
Exemple 5. Si F est un polynôme de degré 1 en x et y (ie F (x, y) = ax + by + c avec (a, b) 6= (0, 0)), alors les lignes
de niveau de F sont les droites du plan.
Les notations restent les mêmes. Soit C la courbe d'équation F (x, y) = λ. Un point M de C , de coordonnées x
et y est dit
lorsque les dérivées partielles (x , y ) et (x , y ) ne sont pas toutes deux nulles. Autrement
dit :
→
−
M est régulier ⇐⇒ ∇F 6= 0
On prouve (et nous l'admettons) qu'au voisinage du point→−régulier M , la courbe C peut être localement paramétrée :
plus précisément, il existe un arc paramétré régulier
(I, f ) de classe C , dont le support coïncide localement avec la
−−−→ →
courbe C . En particulier, il existe t ∈ I tel que OM = −f (t ) ; et si l'on note →−f (t) = x(t)→−i + y(t)→−j , on a :
ligne de niveau de
λ
0
∂F
∂x
régulier
0
0
∂F
∂y
0
0
0
λ
0
0
M0
déf
0
λ
1
λ
0
0
0
∀t ∈ I, F (x(t), y(t)) = λ
Si on dérive par rapport à t cette dernière relation, on obtient :
∀t ∈ I,
Pour le point M , cela donne :
0
∂F
∂F
(x(t), y(t))x0 (t) +
(x(t), y(t))y 0 (t) = 0
∂x
∂y
→
−
(∇FM0 | f 0 (t0 )) = 0
On voit que le vecteur gradient est orthogonal à la tangente, et on a donc le résultat suivant
Théorème 11.
En un point régulier M d'une ligne de niveau d'équation F (x, y) = λ, le vecteur ∇F est un vecteur directeur de la
normale (c'est à dire orthogonal à cette ligne de niveau).
0
Remarque 5.
M0
On admet qu'il est orienté dans le sens des valeurs croissantes de f .
Exercice 25
Soit a > 0. On donne la courbe (Γ) d'équation : x(x + y ) = a(y − x )
1. Déterminer l'ensemble des points réguliers de (Γ).
2. Former l'équation de la tangente en un point régulier (x , y ).
3. On coupe (C) par la droite D : y = tx (t étant un paramètre xé). Donner en fonction de t les coordonnées des
points d'intersection. En déduire une paramétrisation de (Γ).
2
2
2
0
2
0
t
[pv032]
13
X.B Plan tangent à une surface en un point régulier
On considère une surface dénie par une équation cartésienne f (x, y, z) = 0.
Le plan tangent en un point régulier M d'une surface d'équation f (x, y, z) = 0 est le plan passant par
et orthogonal à ∇f .
Dénition 16.
M0
0
M0
Cette dénition est naturelle car on a vu que ce plan contient les tangentes en M de toutes les courbes tracées sur
(S) et passant par ce point.
0
Exercice 26
∂g
∂g
Soit g une fonction de classe C sur R . On note p = ∂x
(x , y ) et q =
(x , y ).
∂y
Donner l'équation du plan tangent à la surface z = f (x, y) au point M (x , y , z ) en fonction de x , y , z , p et q.
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
[pv033]
Exercice 27
Soit f la fonction dénie sur R par f (x, y) = x − 2y .
1. Déterminer l'équation du plan tangent P au graphe G de f en un point quelconque M de G .
2. Pour le point M de coordonnées (2, 1, 2), déterminer tous les points M tels que le plan tangent en M soit parallèle
àP .
2
2
3
M0
f
0
f
0
M0
[pv058]
14