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Fonctions de plusieurs variables réelles
I Structure euclidienne de Rn
1
I.A Produit scalaire canonique de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.B Norme et distance euclidiennes dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.C Boules dans l'espace vectoriel euclidien R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
n
n
m
II Parties ouvertes et fermées de l'espace euclidien
2
Rm
II.A Parties ouvertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
II.B Parties fermées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II.C Intérieur, adhérent, frontière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
III Parties bornées de Rn euclidien
4
IV Limite et continuité
5
III.ADénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
III.BPropriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
IV.ADénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
IV.B Opérations et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
IV.CFonction continue sur une partie fermée bornée de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
n
V Applications partielles
6
V.A Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
V.B Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
VI Fonctions de classe C 1 de
dans R
7
VIIComposition de fonctions de classe
9
U
VI.ADénition avec les dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.B Développement limité d'ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.CNotation diérentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.DGradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C1
ϕ : t 7→ f (x(t), y(t))
ψ : (u, v) 7→ f (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
7
8
8
9
VII.ADérivée de la fonction
................................... 9
VII.BDérivées partielles de la fonction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
VII.CDeux exemples d'équations aux dérivées partielles du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
VIII
Dérivées partielles d'ordre supérieur à 1
11
IX Extremum local d'une fonction de deux variables
12
X Applications géométriques
13
VIII.AThéorème de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
VIII.BUn exemple d'équation aux dérivées partielles d'ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
VIII.CCalcul du laplacien en coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
IX.ADénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
IX.B Tout extremum local est un point critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
X.A Tangente et normale en un point régulier d'une ligne de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
X.B Plan tangent à une surface en un point régulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Dans tout le chapitre, n est un entier inférieur ou égal à 3.
I
Structure euclidienne de
Rn
I.A Produit scalaire canonique de Rn
Dénition 1.
Le produit scalaire canonique de R est déni comme suit :
n
n
n
∀x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R , ∀y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ R , (x | y) =
n
X
i=1
On obtient ainsi la
structure euclidienne canonique
de R .
n
1
xi yi
I.B Norme et distance euclidiennes dans Rn
Dénition 2.
v
uX
u n 2
x = (x1 , x2 , . . . , xn ) 7→ kxk = t
xi
L'application
La distance associée est l'application d de R
i=1
n
× Rn
est la norme euclidienne sur R .
dans R dénie par :
n
+
v
u n
uX
d(x, y) = t (xi − yi )2
i=1
I.C Boules dans l'espace vectoriel euclidien Rm
Dans ce paragraphe, E est l'espace R euclidien. La norme euclidienne est notée k . k, et la distance associée est
notée d. Les éléments de R sont regardés comme des points ou comme des vecteurs.
n
n
Dénition 3.
Soient a ∈ E et r un réel > 0.
On appelle boule ouverte de centre a de rayon
r l'ensemble :
B(a, r) = x ∈ E / kx − ak < r = x ∈ E / d(a, x) < r
On appelle boule fermée de centre a de rayon
r l'ensemble :
Bf (a, r) = x ∈ E / kx − ak 6 r = x ∈ E / d(a, x) 6 r
On appelle boule fermée unité la boule fermée de centre 0 de rayon 1.
Remarque 1. Dans R euclidien, les boules sont des disques; dans R , ce sont les boules habituelles; et dans R :
2
3
B(a, r) = x ∈ R / |x − a| < r =]a − r, a + r[
Bf (a, r) = x ∈ R / |x − a| 6 r = [a − r, a + r]
II
Parties ouvertes et fermées de l'espace euclidien
Rm
II.A Parties ouvertes
Dénition 4.
Soit A ⊂ R . A est dite partie ouverte de R , ou ouvert de R , si A est vide ou si :
∀x ∈ A, ∃r > 0 tel que B(x, r) ⊂ A
n
n
n
Exemples 1.
1. ]0, 1[ est un ouvert de R. [0, 1[ et [0, 1] ne sont pas des ouverts de R.
2. Toute boule ouverte de R est un ouvert de R .
3. Le demi-plan y > 0 est un ouvert de R .
n
n
2
Exercice 1
Montrer que l'ensemble (x, y) ∈ R ,
2
max(|x|, |y|) < 1
est un ouvert de R .
2
Théorème 1.
∅ et R sont des ouverts de R .
Toute réunion d'ouverts de R est un ouvert de R .
Toute intersection nie d'ouverts de R est un ouvert de R .
n
n
n
n
n
n
2
[pv010]
Démonstration.
• ∅ est un ouvert de Rn , comme indiqué dans la dénition d'un ouvert. Rn lui-même est
Rn , et tout r > 0, la boule ouverte de centre x de rayon r est bien sûr incluse dans Rn .
un ouvert de Rn : en eet, pour tout x de
Soit (Ai )i∈I une famille quelconque d'ouverts de Rn .
S
Soit x ∈ Si∈I Ai . Il existe i0 ∈ I tel que x ∈ Ai0 . Comme
S Ai0 est ouvert, il existe r > 0 tel que
S B(x, r) ⊂ Ai0 . On a alors
B(x, r) ⊂ i∈I Ai , et il est ainsi prouvé que pour tout x ∈ i∈I Ai , il existe r > 0 tel que B(x, r) ⊂ i∈I Ai .
S
n
i∈I Ai est donc un ouvert de R .
• Soit (A1 , . . . , Ap ) une famille nie d'ouverts de Rn .
T
Soit x ∈ 16i6p Ai . Pour chaque i, x appartient à Ai et Ai est ouvert, donc il existe ri > 0 tel que TB(x, ri ) ⊂ Ai . Posons
r = min16i6p ri . On a, pour chaque i compris entre 1 et p, B(x, r) ⊂ B(x, ri ) ⊂ Ai . Il en résulte B(x, r) ⊂ 16i6p Ai , et donc :
T
n
16i6p Ai est un ouvert de R .
•
Une intersection innie d'ouverts n'est pas nécessairement un ouvert. On peut considérer pour cela :
Exemple 2.
\
p∈N∗
1 1
− ,
= {0}
p p
Exercice 2
Démontrer que R − Z, complémentaire de Z dans R, est un ouvert de R.
[pv011]
II.B Parties fermées
Dénition 5.
Soit A ⊂ R . A est dite partie fermée de R , ou fermé de R , si R
n
n
n
n
−A
est un ouvert de R .
n
Pour montrer qu'une partie est fermée, on montre donc que son complémentaire (voir l'exercice 5) est ouvert.
Exemples 3.
1. [0, 1] est un fermé de R. [0, 1[ n'est pas un fermé de R.
2. Toute boule fermée de R est un fermé de R .
n
n
Exercice 3
Montrer que l'ensemble (x, y) ∈ R ,
2
max(|x|, |y|) 6 1
est un fermé de R .
2
[pv009]
Exercice 4
Montrer que N est un fermé de R.
[pv037]
Théorème 2.
∅ et R sont des fermés de R .
Toute intersection de fermés de R est un fermé de R .
Toute réunion nie de fermés de R est un fermé de R .
n
n
n
n
n
Démonstration.
n
Elle est faite dans les deux exercices suivants.
Exercice 5
Soient E un ensemble, et A une partie de E. On rappelle que le complémentaire de A, noté E − A ou E\A, est par
dénition : ∅ si A = E, E si A = ∅, et dans les autres cas :
E −A = x ∈ E/x ∈
/A
Soit (A ) une famille quelconque de parties de E. Montrer que :
\
[
[
E−
A =
(E − A ) et E −
A
i i∈I
i
i∈I
i
i∈I
i∈I
3
i
=
\
i∈I
(E − Ai )
[pv012]
Exercice 6
En utilisant l'exercice 5, faire la démonstration du théorème.
[pv013]
II.C Intérieur, adhérent, frontière
Soit A une partie non vide de R et a ∈ R .
1. L'ensemble des points intérieurs à A est l'ensemble Å appelé intérieur de A et déni par :
Dénition 6.
n
a ∈ Å
n
⇐⇒
∃r > 0, B(a, r) ⊂ A
2. L'ensemble des points adhérents à A est l'ensemble Ā appelé adhérence de A et déni par :
a ∈ Ā
⇐⇒
∀r > 0, B(a, r) ∩ A 6= ∅
3. La frontière (ou bord) de A est l'adhérence de A privée de l'intérieur de A :
Fr(A) = Ā \ Å
Remarque 2. On peut aussi dénir l'extérieur de A comme l'intérieur du complémentaire de A (cette notion est
cependant moins utilisée) :
Ext(A) = (A )
◦
c
Exercice 7
Montrer que Ā = Ext(A) .
c
[pv014]
Proposition 1.
1. On a Å ⊂ A ⊂ Ā.
2. Å est un ouvert, Ā et Fr(A) sont des fermés.
Plus précisément, Å est le plus grand ouvert contenu dans A, et Ā le plus petit fermé contenant A.
3. A est un ouvert ⇐⇒ A = Å.
4. A est un fermé ⇐⇒ A = Ā.
Exercice 8
Montrer ces propriétés.
[pv015]
Exercice 9
Représenter A, puis décrire Å, Ā et Fr(A) dans chacun des cas suivants :
1. A =]0, 1].
2. A = {(x, y) ∈ R , x > 0, y > 0, et x + y < 1}.
3. A = {(x, y, z) ∈ R , x + y + z < 1}.
2
3
2
2
2
[pv016]
III
Parties bornées de
Rn
euclidien
III.A Dénition
Dénition 7.
Une partie A de R est dite bornée s'il existe r > 0 tel que A ⊂ B(0, r),
n
4
i.e.
∀x ∈ A, kxk < r
.
III.B Propriétés
Propriétés
1.
A ⊂ B et B bornée =⇒ A bornée.
Toute intersection de parties bornées est bornée.
Toute réunion nie de parties bornées est bornée.
Exercice 10
Montrer ces propriétés.
[pv017]
Exemples 4.
1. ∅ est borné, tout ensemble réduit à un élément est borné.
2. Toute boule est bornée.
3. Tout sous-ensemble ni de R est borné. 4. Un sous-espace vectoriel de R autre que 0 est non-borné.
n
n
Exercice 11
Soit A ⊂ R , soit a ∈ R . Montrer que :
n
n
A
est bornée
⇐⇒ ∃r > 0, A ⊂ B(a, r)
[pv018]
IV
Limite et continuité
IV.A Dénitions
Soient E = R , euclidien, A une partie de E, f une application de A dans R, et a = (a , . . . , a ) ∈ Ā.
On dit que f admet la limite ` au point a si, par dénition :
Dénition 8.
n
1
h
∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ A,
kx − ak 6 η =⇒ |f (x) − `| 6 ε
n
i
Soient E = R , euclidien, A une partie de E, f une application de A dans R, et a = (a , . . . , a ) ∈ A.
f est dite continue en a si, par dénition lim f (x) = f (a).
De manière équivalente, cette dénition revient à :
Dénition 9.
n
1
n
x→a
∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ A,
h
kx − ak 6 η =⇒ |f (x) − f (a)| 6 ε
i
On dit que f est continue sur A si f est continue en tout point a ∈ A.
Exercice 12
Soit k > 0. Une application f : E → R est dite k-lipschitzienne si :
∀x, y ∈ E, |f (x) − f (y)| 6 kkx − yk
Montrer que dans ces conditions f est continue sur E (c'est-à-dire en tout point de E). En déduire la continuité des
applications suivantes :
1. Continuité de la norme : E → R, x 7→ kxk.
2. Continuité des projections : p : R → R, x = (x , . . . , x ) 7→ x .
i
n
1
n
i
[pv019]
5
IV.B Opérations et continuité
Théorème 3 (Opérations élémentaires).
Soient f, g deux applications dénies sur une partie A de R et à valeurs réelles, et λ ∈ R. Si f et g sont continues en
a ∈ A (resp. sur A), alors les fonctions :
n
f + g : x 7→ f (x) + g(x)
λf : x 7→ λf (x)
;
;
f g : x 7→ f (x)g(x)
sont continues en a (resp. sur A).
Théorème 4 (Composition).
Soit f une application dénie sur une partie A de R et à valeurs dans I ⊂ R, et h une application de I dans R. Si f
est continue en a et h est continue au point f (a), alors h ◦ f est continue au point a.
n
Exercice 13
Montrer rigoureusement que
sinus, exponentielle etc., étant bien sûr acquise).
1 + x2 ey+x
f : R → R, (x, y) →
7
2 + sin x
2
2
, est continue (la continuité des fonctions classiques :
[pv020]
Par la suite, on admet que les fonctions polynomiales de deux variables (x, y) sont continues sur R. De même pour
les fonctions polynomiales de trois variables (x, y, z).
Exercice 14
Soient U un ouvert de E, a ∈ U , et f : U → R.
1. On suppose que f est continue en a. Soit (x ) une suite de U qui tend vers a. Montrer que la suite f (x )
tend vers f (a).
si (x, y) 6= (0, 0) et f (0, 0) = 0. Calculer lim f n1 , αn . f est-elle continue en (0, 0) ?
2. On pose f (x, y) =
n n∈N
1
n
xy
x2 +y 2
n∈N
n→+∞
[pv021]
IV.C Fonction continue sur une partie fermée bornée de Rn
Théorème 5.
Soit f une fonction de R dans R, continue. Si A est une partie fermée et bornée de R , alors f est bornée et atteint
ses bornes (c'est à dire que f a un minimum et un maximum sur A).
n
Démonstration.
V
n
Ce théorème est admis.
Applications partielles
Pour simplier la présentation, on prendra n = 3 dans un certain nombre de dénitions.
V.A Dénition
Dénition 10.
les fonctions :
Soient U un ouvert de R , (a, b, c) ∈ U et f : U → R. On appelle applications partielles de f en (a, b, c)
3
ϕ1 : t 7→ f (t, b, c)
ϕ2 : t 7→ f (a, t, c)
ϕ3 : t 7→ f (a, b, t)
1. On a en fait une condition nécessaire et susante : f est continue en a ⇐⇒ pour toute suite (xn )n∈N de U qui tend vers a, la suite
tend vers f (a). Mais la réciproque (⇐=) n'est pas facile à établir.
(f (xn ))n∈N
6
Exercice 15
si y > x
On pose : f (x, y) = xxy sinon
Représenter les fonctions partielles f ( . , 1), f (0, . ), f (1, . ).
2
3
[pv022]
V.B Dérivées partielles
Dénition 11.
Soit f : U → R. Lorsque les fonctions partielles :
t 7→ f (t, y0 , z0 ) t 7→ f (x0 , t, z0 ) t 7→ f (x0 , y0 , t)
sont dérivables, respectivement en x , y , z . Les dérivées sont notées :
0
0
0
∂f
(x0 , y0 , z0 )
∂x
ou :
∂f
(x0 , y0 , z0 )
∂y
∂f
(x0 , y0 , z0 )
∂z
D1 f (x0 , y0 , z0 ) D2 f (x0 , y0 , z0 ) D3 f (x0 , y0 , z0 )
On les appelle dérivées partielles de f au point (x , y , z ).
0
Exercice 16
0
0
On reprend la fonction f de l'exercice 14 : f (x, y) =
si (x, y) 6= (0, 0) et f (0, 0) = 0.
1. Expliciter les applications partielles f ( . , 0) et f (0, . ).
2. Calculer les dérivées partielles de f en (0, 0). Les dérivées partielles sont-elles continues?
xy
x2 +y 2
[pv023]
VI
Fonctions de classe
C1
de
U
dans
R
VI.A Dénition avec les dérivées partielles
Dénition 12.
f :U →R
est dite de classe C si f admet des dérivées partielles en tout point (x, y, z) de U , et si les fonctions :
1
(x, y, z) 7→
sont continues sur U .
∂f
(x, y, z),
∂x
(x, y, z) 7→
Théorème 6 (Opérations élémentaires).
∂f
(x, y, z),
∂y
(x, y, z) 7→
∂f
(x, y, z)
∂z
Soient f, g deux applications dénies sur un ouvert U de R et à valeurs réelles, et λ ∈ R. Si f et g sont de classe C
sur U , alors les fonctions :
n
f + g : (x, y, z) 7→ f (x, y, z) + g(x, y, z)
sont de classe C sur U ..
;
1
λf : (x, y, z) 7→ λf (x, y, z)
f g : (x, y, z) 7→ f (x, y, z)g(x, y, z)
1
Théorème 7 (Composition).
Soit f une application dénie sur un ouvert U de R et à valeurs dans I ⊂ R, et h une application de I dans R. Si f
est de classe C sur U et si h est de classe C sur I , alors h ◦ f est de classe C sur U .
1
n
1
1
7
VI.B Développement limité d'ordre 1
Théorème 8.
Si f est de classe C sur l'ouvert U , alors :
1
f (x0 + h, y0 + k, z0 + l)
=
f (x0 , y0 , z0 ) +
∂f
∂f
(x0 , y0 , z0 )h +
(x0 , y0 , z0 )k +
∂x
∂y
∂f
(x0 , y0 , z0 )l + o(k(h, k, l)k)
∂z
Démonstration.
Ce théorème est admis.
Remarque 1.
Il s'agit d'un développement limité à l'ordre 1 de la fonction f en (x , y , z ).
0
0
0
Exercice 17
Contrôler ce résultat en calculant "à la main" un développement limité à l'ordre 1 des fonctions suivantes :
1. f (x, y) = x y.
2. f (x, y, z) = z cos(xy).
3
[pv024]
La somme et le produit de deux fonctions de classe C sur U , sont des fonctions de classe C sur U ;
cela résulte des mêmes règles que sur les dérivations de fonctions d'une seule variable.
Remarque 3.
Dénition 13.
1
1
Avec les notations précédentes, l'application linéaire :
df(x0 ,y0 ,z0 ) : (h, k, l) 7→
∂f
∂f
∂f
(x0 , y0 , z0 )h +
(x0 , y0 , z0 )k +
(x0 , y0 , z0 )
∂x
∂y
∂z
est appelée diérentielle (ou application linéaire tangente) de f au point (x , y , z ).
0
0
0
VI.C Notation diérentielle
On remarque que la diérentielle de la première projection p : (x, y, z) 7→ x est p elle-même
dp : (h, k, l) 7→ h
En calcul diérentiel, on note plutôt dx cette dernière application. On fait de même pour la deuxième et la troisième
projection. Et on se souviendra donc que :
dx : (h, k, l) 7→ h = diérentielle de la première projection = première projection
dy : (h, k, l) 7→ k = diérentielle de la deuxième projection = deuxième projection
dz : (h, k, l) 7→ l = diérentielle de la troisième projection = troisième projection
Avec les notations précédentes, on a :
1
1
1
df
(x0 ,y0 ,z0 )
d
C'est une égalité dans L(R , R), où df
base de L(R , R).
3
3
d
d
∂f
∂f
∂f
(x0 , y0 , z0 ) x +
(x0 , y0 , z0 ) y +
(x0 , y0 , z0 ) z
∂x
∂y
∂z
=
(x0 ,y0 ,z0 )
apparaît comme combinaison linéaire de dx, dy et dz, qui forment une
8
VI.D Gradient
Dénition 14.
On dénit le gradient de l'application f : U → R par :
∇f(x0 ,y0 ,z0 )
 ∂f
(x0 , y0 , z0 )
 ∂x
 ∂f

(x0 , y0 , z0 )
=
 ∂y

∂f
(x0 , y0 , z0 )
∂z







Le gradient est un vecteur de R . Si →−u est le vecteur de R de coordonnées (h, k, l) :
3
3
−
∇f(x0 ,y0 ,z0 ) . →
u =
∂f
∂f
∂f
(x0 , y0 , z0 )h +
(x0 , y0 , z0 )k +
(x0 , y0 , z0 )l
∂x
∂y
∂z
Exercice 18
Pour chacune des applications suivantes donner le gradient, puis le développement limité à l'ordre 1 de f au point
indiqué : p
1. f (x, y) = 1 + x y en (1, 2).
2. f (x, y, z) = xy + yz + zx en (−1, 2, 1).
2 2
[pv025]
VII
C1
Composition de fonctions de classe
Les fonctions envisagées dans ce paragraphe, qu'elles soient d'une ou plusieurs variables, sont toutes de classe C ,
donc diérentiables en tout point de leur ouvert de dénition.
1
VII.A Dérivée de la fonction ϕ : t 7→ f (x(t), y(t))
Ce paragraphe est extrêmement important!
Soient U un ouvert de R et f : U → R, de classe C . Soient I un intervalle de R, et g : I → U , également de classe C .
ϕ est dénie comme la composée de la fonction g : t 7→ (x(t), y(t)), de I dans U , et de la fonction f : (x, y) 7→ f (x, y),
de U dans R. Ce qu'on peut schématiser par :
2
1
1
g
f
ϕ : t 7→ (x(t), y(t)) 7→ f (x(t), y(t))
Le but est de calculer ϕ (t ), pour t
0
0
ϕ(t0 + h)
0
∈I
.
= f (x(t0 + h), y(t0 + h))
= f x(t0 ) + x0 (t0 )h + o(h), y(t0 ) + y 0 (t0 )h + o(h)
d
= f (x(t0 ), y(t0 )) + f(x(t0 ),y(t0 )) x0 (t0 )h + o(h), y 0 (t0 )h + o(h)
+o (x0 (t0 )h + o(h), y 0 (t0 )h + o(h))
Le o(k . . . k) est un o(h), et le terme intermédiaire, compte-tenu de la linéarité de df
peut s'écrire :
h df
(x (t ), y (t )) + o(h)
Il reste : ϕ(t + h) = f (x(t ), y(t )) + h df
(x (t ), y (t )) + o(h), c'est-à-dire :
ϕ(t + h) = ϕ(t ) + h df
(x (t ), y (t )) + o(h)
Le terme qui, dans le second membre, est en facteur de h, n'est autre que la dérivée de ϕ au point t . On a donc :
ϕ (t ) = df
(x (t ), y (t ))
(x(t0 ),y(t0 ))
0
(x(t0 ),y(t0 ))
0
0
0
(x(t0 ),y(t0 ))
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(x(t0 ),y(t0 ))
0
0
0
0
0
0
0
(x(t0 ),y(t0 ))
9
0
0
0
0
Si maintenant on exprime cette diérentielle à l'aide des dérivées partielles, on a le résultat nal :
ϕ0 (t0 ) =
∂f
∂f
((x(t0 ), y(t0 )) × x0 (t0 ) +
((x(t0 ), y(t0 )) × y 0 (t0 )
∂x
∂y
D'où le théorème :
Théorème 9.
Si ϕ(t) = f (x(t), y(t)), les fonctions intervenant étant de classe C , on a :
1
ϕ0 (t) =
∂f
∂f
((x(t), y(t)) × x0 (t) +
((x(t), y(t)) × y 0 (t)
∂x
∂y
VII.B Dérivées partielles de la fonction ψ : (u, v) 7→ f (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
On suppose que f , ainsi que les fonctions : (u, v) 7→ x(u, v), (u, v) 7→ y(u, v), (u, v) 7→ z(u, v), sont de classe C .
Alors ψ est de classe C , et pour ses dérivées partielles, on applique ce qui précède :
1
1
∂x
(u, v)
∂u
∂y
∂z
+D2 f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ×
(u, v) + D3 f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ×
(u, v)
∂u
∂u
∂ψ
∂x
(u, v) = D1 f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ×
(u, v)
∂v
∂v
∂y
∂z
+D2 f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ×
(u, v) + D3 f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ×
(u, v)
∂v
∂v
∂ψ
(u, v)
∂u
= D1 f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ×
VII.C Deux exemples d'équations aux dérivées partielles du premier ordre
Deux types de changement de variable sont au programme pour résoudre ce type d'équation : le changement de
variable ane, et le changement de variable en coordonnées polaires.
Exercice 19
Exercice 20
Trouver toutes les fonctions f ∈ C (R , R) telles que
1
2
∀(x, y) ∈ R2 ,
∂f
∂f
(x, y) − 3 (x, y) = 0
∂x
∂y
Indication : Poser u = ax + by, v = cx + dy et f (x, y) = F (u, v). Choisir a, b, c et d pour se ramener à une équation
simple d'inconnue F .
[pv026]
[pv026]
Exercice 21
Résoudre, à l'aide d'un passage en coordonnées polaires, l'équation d'inconnue f :]0; +∞[×R → R suivante
(E) x
∂f
∂f
+y
− f = −x2 − y 2
∂x
∂y
Indication : il s'agit de poser (x, y) = (r cos θ, r sin θ) avec (r, θ) ∈ U =]0, +∞[×
i
− π2 , π2
h
, et :
ϕ(r, θ) = f (r cos θ, r sin θ)
[pv049]
10
VIII
Dérivées partielles d'ordre supérieur à 1
VIII.A Théorème de Schwarz
Soit f : U → R avec U ouvert de R (n = 2 pour simplier).
et ∂f
, qui sont des fonctions de U dans R. Ces deux
Si f est de classe C sur U , on peut parler des fonctions ∂f
∂x
∂y
fonctions peuvent avoir des dérivées partielles sur U :
∂ f ∂ ∂f
∂ f
∂ ∂f
∂ f
∂ f
,
noté ∂y∂x
,
noté ∂x∂y
,
∂x ∂y ∂x
∂x ∂y
∂y
Le théorème de Schwarz (admis) dit que si ces fonctions dérivées partielles secondes sont continues sur U , alors :
2
1
2
2
2
2
2
2
2
∂2f
∂2f
=
∂y∂x
∂x∂y
Plus généralement, si f est de classe C , c'est-à-dire lorsque toutes les dérivées partielles jusqu'à l'ordre k sont des
fonctions continues sur U , alors l'ordre des dérivations n'a pas d'importance.
∂ f
∂ f
C'est non trivial : pour s'en convaincre, il sut de détailler les calculs de ∂y∂x
et de ∂x∂y
lorsque f (x, y) = Arctan ,
avec (x, y) ∈ U =]0, +∞[×R.
k
2
2
y
x
VIII.B Un exemple d'équation aux dérivées partielles d'ordre 2
Exercice 22
Le but de cet exercice est de décrire les fonctions f ∈ C (R , R) qui vérient l'équation aux dérivées partielles :
2
(E)
2
1 ∂2f
∂2f
− 2 2 =0
2
∂x
a ∂y
(a est un réel strictement positif xé)
Soient α et β deux réels distincts. On pose : u = x + αy et v = x + βy. Ces relations permettent de calculer x et y en
fonction de u et v. On dénit alors une fonction ϕ de R dans R par : ϕ(u, v) = f (x(u, v), y(u, v)).
1. Observer que ϕ est de classe C , et former une équation aux dérivées partielles du second ordre vériée par ϕ.
∂ ϕ
2. Choisir α et β de telle sorte que cette équation se réduise à : ∂u∂v
= 0.
3. Trouver toutes les fonctions f qui vérient (E).
2
2
2
[pv027]
VIII.C Calcul du laplacien en coordonnées polaires
Soit V =]0, +∞[×R. On considère
une fonction
f : (x, y) 7→ f (x, y), de classe C sur V , à valeurs dans R.
i
h
On pose maintenant U =]0, +∞[× − , . Si (r, θ) ∈ U , on a (x, y) = (r cos θ, r sin θ) ∈ V , et l'application (r, θ) 7→
(x, y) ainsi dénie est une bijection de classe C de U dans V .
On dénit alors la fonction ϕ par :
2
π
2
π
2
∞
ϕ:
On appelle
laplacien
U → R
(r, θ) 7→ f (r cos θ, r sin θ)
de f la fonction ∆f dénie par :
∆f (x, y) =
∂2f
∂2f
(x,
y)
+
(x, y)
∂x2
∂y 2
Et on se propose, dans l'exercice suivant, d'exprimer ∆f (x, y) en fonction de r, de θ, et des dérivées partielles de ϕ.
Exercice 23
On a :
∂ϕ
(r, θ)
∂r
=
cos θD1 f (r cos θ, r sin θ) + sin θD2 f (r cos θ, r sin θ)
= cos θD1 f (x, y) + sin θD2 f (x, y)
2
2. on dit alors que f est de classe C sur U .
11
1. Calculer pareillement .
2. En déduire D f (x, y) en fonction de r, θ, et des dérivées partielles premières de ϕ (équation qu'on notera (1)), et
de même D f (x, y) en fonction de r, θ, et des dérivées partielles premières de ϕ (équation (2)).
y) = α(r, θ) (1)
3. f (x, y) = ϕ(r, θ) équation (0) nous a donc conduits aux équations (1) et (2) : DD ff (x,
(x, y) = β(r, θ) (2)
En appliquant les mêmes formules, calculer maintenant D f (x, y) et D f (x, y) en fonction de r, θ, et des dérivées
partielles premières de α et β.
4. Calculer D f (x, y) et D f (x, y) en fonction de r, θ, et des dérivées partielles de ϕ.
5. En déduire que :
∂ϕ
∂θ
1
2
1
2
11
11
22
22
∆f (x, y) =
1 ∂ϕ
∂2ϕ
1 ∂2ϕ
(r,
θ)
+
(r, θ)
(r,
θ)
+
∂r2
r ∂r
r2 ∂θ2
[pv028]
IX
Extremum local d'une fonction de deux variables
IX.A Dénition
Dénition 15.
Soient U un ouvert de R , f ∈ C (U, R), et (a, b) un point de U .
On dit que f présente un maximum local en (a, b) s'il existe un disque D centré en (a, b) tel que :
2
1
∀(x, y) ∈ D,
f (x, y) 6 f (a, b)
On dit que f présente un minimum local en (a, b) s'il existe un disque D centré en (a, b) tel que :
∀(x, y) ∈ D,
f (x, y) > f (a, b)
IX.B Tout extremum local est un point critique
Théorème 10.
f
a un extremum local en (a, b)
=⇒
∂f
∂f
(a, b) =
(a, b) = 0
∂x
∂y
Un point tel que (a, b) où le gradient de f est nul, est appelé
, ou point singulier.
point critique
Il sut de voir que les fonctions partielles t 7→ f (t, b) et t 7→ f (a, t) sont dérivables, et présentent un extremum, respectivement en a et en b.
Démonstration.
Il est essentiel que U soit ouvert, car si U n'était pas ouvert, on pourrait avoir un extremum en un
point de la frontière, sans nullité des dérivées partielles. La situation est donc la même que pour les fonctions de R dans
R : la nullité de la dérivée en un point a n'entraîne pas que la fonction présente un extremum en a, et la fonction peut
avoir un extremum à l'extrémité fermée d'un intervalle sans que sa dérivée y soit nulle. Un exemple de point frontière
qui est extremum et n'est pas critique apparaît dans l'exercice qui suit.
Remarque 4.
Exercice 24
On note f (x, y) = xy et D = [−2, 1]
1. Justier
que f a un minimum et un maximum sur D, puis les déterminer à l'aide d'encadrements.
2. Déterminer le point critique de f . Montrer qu'il ne s'agit pas d'un extremum relatif (on pourra montrer la négation
de la dénition).
2
sans calcul
[pv029]
Exercice 25
On note f (x, y) = xy(1 − x − y) et D = {(x, y) ∈ R , x > 0, y > 0, et x + y 6 1}.
1. Justier que f a un maximum sur D et qu'il se situe à l'intérieur de D.
2
12
2. Déterminer la valeur de ce maximum.
[pv030]
Exercice 26
On donne f (x, y) = x + xy + y + 2x − 2y.
1. Déterminer les points critiques de f sur R .
2. Soit (h, k) ∈ R . Montrer que :
2
2
2
2
f (−2 + h, 2 + k) − f (−2, 2) > 0
Que peut-on en conclure?
[pv031]
X
Applications géométriques
X.A Tangente et normale en un point régulier d'une ligne de niveau
Considérons une fonction F , dénie sur un ouvert U inclus dans R . On suppose que F est de classe C sur U , ce
qui signie que les fonctions :
∂F
∂F
(x, y) 7→
(x, y) et (x, y) 7→
(x, y)
∂x
∂y
existent et sont continues sur U .
Soit λ ∈ R xé. On considère l'ensemble des points M de U dont les coordonnées x et y vérient :
2
1
F (x, y) = λ
Cet ensemble, s'il n'est pas vide, est en général une courbe (on l'admet), qu'on appelle
F correspondant
à la valeur λ.
Exemple 5. Si F est un polynôme de degré 1 en x et y (ie F (x, y) = ax + by + c avec (a, b) 6= (0, 0)), alors les lignes
de niveau de F sont les droites du plan.
Les notations restent les mêmes. Soit C la courbe d'équation F (x, y) = λ. Un point M de C , de coordonnées x
et y est dit
lorsque les dérivées partielles (x , y ) et (x , y ) ne sont pas toutes deux nulles. Autrement
dit :
→
−
M est régulier ⇐⇒ ∇F 6= 0
On prouve (et nous l'admettons) qu'au voisinage du point→−régulier M , la courbe C peut être localement paramétrée :
plus précisément, il existe un arc paramétré régulier
(I, f ) de classe C , dont le support coïncide localement avec la
−
→
−
−−→ →
→
−
→
−
courbe C . En particulier, il existe t ∈ I tel que −OM
= f (t ) ; et si l'on note f (t) = x(t) i + y(t) j , on a :
ligne de niveau de
λ
0
∂F
∂x
régulier
0
0
0
∂F
∂y
0
déf
0
λ
0
0
M0
0
λ
1
λ
0
0
0
∀t ∈ I, F (x(t), y(t)) = λ
Si on dérive par rapport à t cette dernière relation, on obtient :
∀t ∈ I,
Pour le point M , cela donne :
0
∂F
∂F
(x(t), y(t))x0 (t) +
(x(t), y(t))y 0 (t) = 0
∂x
∂y
→
−
(∇FM0 | f 0 (t0 )) = 0
On voit que le vecteur gradient est orthogonal à la tangente, et on a donc le résultat suivant
Théorème 11.
En un point régulier M d'une ligne de niveau d'équation F (x, y) = λ, le vecteur ∇F est un vecteur directeur de la
normale (c'est à dire orthogonal à cette ligne de niveau).
0
Remarque 5.
M0
On admet qu'il est orienté dans le sens des valeurs croissantes de f .
13
Exercice 27
Soit a > 0. On donne la courbe (Γ) d'équation : x(x + y ) = a(y − x )
1. Déterminer l'ensemble des points réguliers de (Γ).
2. Former l'équation de la tangente en un point régulier (x , y ).
3. On coupe (C) par la droite D : y = tx (t étant un paramètre xé). Donner en fonction de t les coordonnées des
points d'intersection. En déduire une paramétrisation de (Γ).
2
2
2
0
2
0
t
[pv032]
X.B Plan tangent à une surface en un point régulier
On considère une surface dénie par une équation cartésienne f (x, y, z) = 0.
Le plan tangent en un point régulier M d'une surface d'équation f (x, y, z) = 0 est le plan passant par
et orthogonal à ∇f .
Dénition 16.
M0
0
M0
Cette dénition est naturelle car on a vu que ce plan contient les tangentes en M de toutes les courbes tracées sur
(S) et passant par ce point.
0
Exercice 28
∂g
∂g
Soit g une fonction de classe C sur R . On note p = ∂x
(x , y ) et q =
(x , y ).
∂y
Donner l'équation du plan tangent à la surface z = f (x, y) au point M (x , y , z ) en fonction de x , y , z , p et q.
1
2
0
0
0
0
0
0
0
Exercice 29
Déterminer
les plans tangents aux points réguliers de la surface (S) : z
x = 2
.
y = 3(z + 1)
14
3
= xy
0
0
0
[pv033]
qui contiennent la droite d'équations :
[pv034]