Rn
Rn
Rn
Rm
Rm
Rn
Rn
C1UR
C1
ϕ:t7→ f(x(t), y(t))
ψ: (u, v)7→ f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))
n3
Rn
Rn
Rn
x= (x1, x2, . . . , xn)Rn,y= (y1, y2, . . . , yn)Rn,(x|y) =
n
X
i=1
xiyi
Rn
Rn
x= (x1, x2, . . . , xn)7→ kxk=v
u
u
t
n
X
i=1
x2
iRn
dRn×RnR+
d(x, y) = v
u
u
t
n
X
i=1
(xiyi)2
Rm
ERnk.k
dRn
aE r > 0
a r
B(a, r) = xE / kxak< r=xE / d(a, x)< r
a r
Bf(a, r) = xE / kxak6r=xE / d(a, x)6r
0 1
R2R3R
B(a, r) = xR/|xa|< r=]ar, a +r[
Bf(a, r) = xR/|xa|6r= [ar, a +r]
Rm
ARnARnRnA
xA, r > 0B(x, r)A
]0,1[ R[0,1[ [0,1] R
RnRn
y > 0R2
(x, y)R2,max(|x|,|y|)<1R2
RnRn
RnRn
RnRn
• ∅ RnRnRnx
Rnr > 0x r Rn
(Ai)iIRn
xSiIAii0I x Ai0Ai0r > 0B(x, r)Ai0
B(x, r)SiIAixSiIAir > 0B(x, r)SiIAi
SiIAiRn
(A1,...,Ap)Rn
xT16i6pAii x AiAiri>0B(x, ri)Ai
r= min16i6prii p B(x, r)B(x, ri)AiB(x, r)T16i6pAi
T16i6pAiRn
\
pN1
p,1
p={0}
RZ Z R R
ARnARnRnRnARn
[0,1] R[0,1[ R
RnRn
(x, y)R2,max(|x|,|y|)61R2
N R
RnRn
RnRn
RnRn
E A E A E A E\A
A=E E A =
EA=xE / x /A
(Ai)iIE
E\
iI
Ai=[
iI
(EAi)E[
iI
Ai=\
iI
(EAi)
ARnaRn
A˚
A A
a˚
A⇒ ∃r > 0, B(a, r)A
A¯
A A
a¯
A⇒ ∀r > 0, B(a, r)A6=
A A A
(A) = ¯
A\˚
A
A A
(A) =
(Ac)
¯
A= (A)c
˚
AA¯
A
˚
A¯
A(A)
˚
A A ¯
A A
AA=˚
A
AA=¯
A
A˚
A¯
A(A)
A=]0,1]
A={(x, y)R2, x >0, y >0, x +y < 1}
A={(x, y, z)R3, x2+y2+z2<1}
Rn
ARnr > 0AB(0, r)xA, kxk< r
AB B =A
Rn
Rn0
ARnaRn
A⇒ ∃r > 0, A B(a, r)
E=RnA E f A Ra= (a1, . . . , an)¯
A
f ` a
ε > 0,η > 0,xA, hkxak6η=⇒ |f(x)`|6εi
E=RnA E f A Ra= (a1, . . . , an)A
f a lim
xaf(x) = f(a)
ε > 0,η > 0,xA, hkxak6η=⇒ |f(x)f(a)|6εi
f A f a A
k > 0f:ERk
x, y E, |f(x)f(y)|6kkxyk
f E E
ER, x 7→ kxk
pi:RnR, x = (x1, . . . , xn)7→ xi
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