Demonstrations Spe TS

Terminale S – Spécialité
Principales démonstrations
DIVISIBILITE ET CONGRUENCES DANS
.
Division euclidienne :
Propriété : Soit a un entier naturel et b un entier naturel non nul.
Il existe un unique couple (q ;r) d’entiers naturels tels que :
a = bq + r et 0 ≤ r < b.
q est le quotient et r le reste de la division euclidienne de a par b.
(a est appelé le dividende).
Démonstration :
Soit a et b dans N avec b ≠ 0.
• Existence de q et r
Propriété d’ Archimède dans N :
Soit b un entier naturel non nul.
Alors, quel que soit l’entier naturel a, il existe un entier naturel n tel que a < nb.
D’après la propriété d’Archimède dans N, l’ensemble des entiers naturels n , tels que a < nb
n’est pas vide. Il possède donc un plus petit élément k ≠ 0.
k – 1 est aussi un entier naturel et (k – 1)b ≤ a < kb
On pose alors q = k – 1 et on obtient : qb ≤ a < (q+1)b.
En retranchant qb, on obtient 0 ≤ a – qb < b
En posant r = a – bq, on conclut que a = bq + r et 0 ≤ r < b.
• Unicité de q et r
On suppose a = bq1 + r1 = bq2 + r2 avec 0 ≤ r1 < b et 0 ≤ r2 < b.
On en déduit que –b < r2 – r1 < b et que r2 – r1 = b(q1 – q2).
Ainsi, r2 – r1 est un multiple de b strictement compris entre –b et b.
On a donc r2 – r1 = 0, d’où r2 = r1.
On en déduit alors, du fait que b ≠ 0, que q1 = q2.
D’où l’unicité annoncée dans la propriété.
Remarque :
q est le quotient de la division euclidienne de a par b si, et seulement si, on a :
bq ≤ a <b(q + 1)
Interprétation graphique : On encadre a par deux multiples consécutifs de b.
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Principales démonstrations
Algorithme d’Euclide
Lemme d’Euclide : Soit a, b, q et r des entiers naturels.
Si a = bq + r alors PGCD(a ;b) = PGCD(b ;r).
Démonstration
• Si d est un diviseur commun à a et b alors il divise aussi a et bq.
Il divise donc aussi r = a – bq
Donc d est un diviseur commun à b et r.
• Si d’ est un diviseur commun à b et r alors il divise aussi bq et r.
Il divise donc aussi a = bq + r
Donc d’ est un diviseur commun à a et b.
Conclusion : L’ensemble des diviseurs communs à a et b et l’ensemble des diviseurs communs à b et r
ont les mêmes éléments et donc le même plus grand élément.
On a donc bien PGCD(a ;b) = PGCD(b ;r).
Propriété : Soit a et b deux entiers naturels non nuls, avec a ≥ b.
On définit la suite (rn) d’entiers naturels de la façon suivante :
• r0 = b ;
• r1 est le reste de la division euclidienne de a par b ;
• Pour n ≥ 1 : si rn = 0, alors rn+1 = 0 ;
Si rn ≠ 0, alors rn+1 est le reste de la division euclidienne de rn-1 par rn
Alors il existe un entier p tel que rp ≠ 0 et, pour tout n > p, rn = 0.
On a alors rp = PGCD(a ;b) ;
Démonstration
La division euclidienne de a par b s’écrit a = bq1 + r1, avec 0 ≤ r1 < b.
• Si b|a, alors r1 = 0 et donc le processus s’arrête avec p = 0.
• Si b ne divise pas a, la division euclidienne de b par r1 s’écrit :
b = r1q2 + r2 avec 0 ≤ r2 < r1
Si r2 = 0, le processus s’arrête avec p = 1.
Sinon : on suppose que pour tout entier n, rn ≠ 0, alors rn-1 = rnqn+1 + rn+1 avec 0 ≤ rn+1 < rn.
La suite (rn) est donc une suite d’entiers naturels strictement décroissante.
De plus, rn+1 < rn rn+1 < rn – 1 et rn ≤ rn-1 – 1 rn+1 ≤ rn-1 – 2
Montrons, par récurrence, que rn+1 ≤ r0 – (n + 1) ≤ b – (n + 1).
Soit Pn la propriété : pour tout n entier naturel, rn+1 ≤ r0 – (n + 1) ≤ b – (n + 1)
P0 est vraie car : r1 ≤ r0 ≤ r0 – 1 ≤ b – 1
Supposons Pn vraie.
rn+2 ≤ rn+1 ≤ rn+1 - 1 ≤ r0 – (n + 1) – 1
Donc rn+2 ≤ r0 – (n + 2) ≤ b – (n + 2)
Donc d’après le principe de récurrence, Pn est vraie pour tout n.
On a alors rb+1 ≤ b – (b + 1) ≤ -1, ce qui est absurde car rn ∈ N, pour tout n ∈ N.
Donc, la supposition rn ≠ 0 pour tout n était absurde.
Nécessairement, au bout d’un nombre fini de divisions (au maximum b), on obtiendra un reste nul.
Soit rp le dernier reste non nul.
Le lemme d’Euclide permet d’écrire :
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Principales démonstrations
PGCD(a ;b) = PGCD(b ;r1) = PGCD(r1;r2) = …. = PGCD(rp-2;rp-1) = PGCD(rp-1;rp) = rp
car rp+1 = 0 donc rp divise rp-1.
Finalement, on vient de prouver que l’algorithme d’Euclide permettait de déterminer le PGCD de a et
b : c’est le dernier reste non nul dans la succession des divisions euclidiennes définies par cet
algorithme.
Congruences
Théorème : Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
La relation de congruence modulo n est compatible avec l’addition et la multiplication dans Z.
Autrement dit, a, a’, b et b’ étant des entiers relatifs quelconques, on a :
Si a  a’ [n] et b  b’ [n] alors a + b  a’ + b’ [n] et ab  a’b’ [n]
Démonstration
Si a  a’ [n] et b  b’ [n], alors n divise a – a’ et b – b’ ; donc n divise la somme (a – a’) + (b – b’).
On en déduit que n divise (a + b) – (a’ + b’). On en conclut que a + b  a’ + b’ [n].
De même, n divise a – a’ et b – b’ ; donc il existe deux entiers k et k’ tels que :
a = a’ + kn et b = b’ + k’n
Alors en effectuant le produit, on a :
ab = a’b’ + a’k’n + b’kn + kk’n² = a’b’ + n(a’k’ + b’k + kk’n)
Il existe ainsi un entier K (K = a’k’ + b’k + kk’n) tel que ab – a’b’ = nK.
Donc n divise ab – a’b’ et ab  a’b’ [n].
Conséquence : Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et a et a’ deux entiers quelconques. On a :
pour tout entier k, si a  a’ [n] alors ka  ka’ [n] ;
pour tout entier naturel p non nul, si a  a’ [n] alors ap  a’p [n]
Démonstration
• On a k  k’ [n] et a  a’ [n] ; d’où par multiplication, avec la propriété précédente : ka  ka’ [n].
• On suppose que a  a’ [n] et on réalise une démonstration par récurrence sur p.
Initialisation : pour p = 1, la propriété est vraie par hypothèse.
On suppose que la propriété est vraie pour un entier k ≥ 1 : ak  bk [n].
On a par hypothèse, a  a’ [n], et, donc, par multiplication, avec le théorème précédent :
ak × a  a’k × a’ [n], c'est-à-dire : ak+1  a’k+1 [n].
La propriété est donc héréditaire à partir du rang 1.
On a ainsi établi la propriété recherchée pour tout entier naturel p ≥ 1.
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Principales démonstrations
NOMBRES PREMIERS - PPCM.
Nombres premiers
Propriétés :
1. Tout entier plus grand que 1 admet au moins un diviseur premier.
2. Tout entier naturel non premier n différent de 1 admet un diviseur premier a tel que a ≤
3. Il y a une infinité de nombres premiers.
n.
Démonstration
Propriété 1
Soit n un entier strictement supérieur à 1.
• Si n est premier, il admet lui-même comme diviseur premier.
• Si n est composé, il admet d‘autres diviseurs que 1 et n ; soit p le plus petit d’entre eux.
Alors p est premier ; sinon, il serait composé et il admettrait un diviseur d tel que 1 < d < p ;
mais d serait alors un diviseur de n plus petit que p, ce qui est impossible. Donc, p est premier et n
admet p comme diviseur premier.
Propriété 2
Soit n un entier composé strictement supérieur à 1.
n admet un diviseur d autre que 1 et n.
Alors n = d×d’ avec d’ > 0.
d est supérieur ou égal à 2.
d' est aussi supérieur ou égal à 2, car si d’ = 1 alors on aurait n = d.
Supposons d ≤ d’.
Alors d² ≤ dd’, soit d² ≤ n ou encore d ≤ n.
D’après le résultat précédent, d admet au moins un diviseur premier a qui est aussi un diviseur
premier de n.
Comme a ≤ d, on en déduit que a ≤
n.
Propriété 3
Raisonnons par l’absurde en supposant qu’il existe un nombre fini d’entiers premiers p1, p2,…., pn.
Soit N = p1× p2×…×pn +1
N est un entier supérieur ou égal à 2, il admet donc au moins diviseur premier pi (avec 1 ≤ i ≤ n) de
l'ensemble { p1 ;p2;….; pn} (d'après la propriété 1).
pi divise N et pi divise p1× p2×…×pn; donc pi divise N - p1× p2×…×pn = 1.
Donc pi = 1 : ce qui est impossible puisque 1 n'est pas premier.
Conclusion : l'ensemble des nombres premiers est infini.
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Terminale S – Spécialité
Principales démonstrations
PGCD et PPCM
Propriétés :
1. Soit a’ et b’ deux entiers premiers entre eux, alors PPCM(a’ ;b’) = |a’b’|.
2. Soit a et b deux entiers relatifs non nuls, alors on a :
PGCD(a ;b)×PPCM(a ;b) = |a| × |b|.
Démonstration du 2
Comme PPCM(a ;b) = PPCM(|a| ;|b|), on se limite à a et b entiers naturels.
Soit δ = PGCD(a ;b) et µ = PPCM(a ;b).
On a alors a= δa’ et b = δb’ avec a’ et b’ premiers entre eux.
On a donc PPCM(a’ ;b’) = a’b’
µ = PPCM(δa’ ; δb’) = δ×PPCM(a’ ; b’) = δ×a’×b’
Ainsi δµ = δ²×a’×b’ = δ×a’× δ×b’ = ab
Théorème de Bézout. Théorème de Gauss. Petit théorème de Fermat
Théorème de Bézout : Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement si il
existe des entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.
Démonstration :
•
On suppose a et b premiers entre eux ; leur PGCD est 1.
Ainsi, au moins l’un des deux nombres a ou b est non nul, par exemple a.
Soit E l’ensemble des entiers de la forme au + bv, avec u et v entiers.
Cet ensemble n’est pas vide, car il contient a (avec u = 1 et v = 0) et –a (avec u = -1 et v = 0).
E contient a et –a, et l’ un de ces deux entiers est strictement positif, donc E contient au
moins un entier strictement positif.
Soit δ le plus petit d’entre eux ; il existe ainsi u0 et v0 entiers tels que :
δ = au0 + bv0.
La division euclidienne de a par δ s’écrit : a = δq + r, avec 0 ≤ r < δ.
D’où : r = a - δq = a – (au0 + bv0)q = a(1 – u0) + b(-v0q).
Ainsi, r appartient à E car il est de la forme au + bv avec u et v entiers (u = 1 – u0 et v = -v0q) .
Comme δ est le plus petit élément strictement positif de E, l’inégalité 0 ≤ r < δ montre que r
est nul, d’où a = δq et δ divise a.
On montre de même que δ divise b, d’où δ = 1 car a et b sont premiers entre eux : il existe bien
deux entiers u0 et v0 tels que au0 + bv0 = 1.
•
S’il existe des entiers u et v tels que au + bv = 1, alors si d est le PGCD de a et b, il divise a et b,
donc au + bv, c'est-à-dire 1 : ainsi, d vaut 1, et a et b sont premiers entre eux.
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Terminale S – Spécialité
Principales démonstrations
Corollaire (Identité de Bézout) : Soit a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls.
Si d = PGCD(a ; b), alors il existe des entiers relatifs u et v tels que au + bv = d.
Démonstration
En effet, soit a et b deux entiers non nuls dont le PGCD est d. Soit les entiers a’ et b’ tels que a=da’
et b = db’. Comme a’ et b’ sont premiers entre eux, il existe des entiers u et v tels que a’u + b’v = 1. En
multipliant les deux membres de cette égalité par d, on obtient :
ua’d + vb’d = d, d’où au + bv = d.
Propriété :
Si un entier est premier avec deux entiers, alors il est premier avec leur produit.
Démonstration
Soit a un entier premier avec b et c : d’après le théorème de Bézout, il existe des entiers u et v tels
que au + bv = 1 et des entiers u’ et v’ tels que au’ + cv’ = 1.
En effectuant le produit membre à membre, on obtient :
(au + bv)(au’ + cv’) = 1, soit : a²uu’ + acuv’ + abvu’ + bcvv’ = 1.
Ou encore : a(auu’ + cuv’ + bvu’) + bc(vv’) = 1
Comme auu’ + cuv’ + bvu’ et vv’ sont des entiers, le théorème de Bézout montre que a et bc sont
premiers entre eux.
Théorème de Gauss : Soit a, b et c trois entiers non nuls.
Si a divise bc et si a et premier avec b alors a divise c.
Ce théorème est très utile pour résoudre les équations diophantiennes de la forme ax + by = c, avec x
et y entiers.
Démonstration
Si a est premier avec b, d’après le théorème de Bézout, il existe des entiers u et v tels que au + bv =
1.
En multipliant les deux membres de cette égalité par c, on obtient : acu + bcv = c.
Or, a divise acu et bc par hypothèse, donc a divise bcv : on en déduit que a divise acu + bcv, c'est-àdire c.
Théorème :
Si p est un nombre premier et n entier, alors np  n [p].
Démonstration
On va raisonner par récurrence sur n.
Pour n = 0, on a bien 0p  0 [p].
Supposons la propriété vraie pour l’entier naturel n, soit np  n [p].
p
p
 p 
n + 1.
En appliquant la formule du binôme de Newton, (n + 1)p = np +  np-1 +  np-2 + … + 
 1
2
p - 1
p
p p(p -1)……(p – k + 1)
donne :
Or, pour 1 ≤ k ≤ p – 1,   est divisible par p ; en effet, la formule   =
k
k
k!
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Terminale S – Spécialité
Principales démonstrations
p
k!   = p(p – 1)….(p – k + 1).
k
p est premier avec k, k – 1, ……,2 et 1 car un nombre premier est premier avec tous les entiers
naturels non nuls strictement inférieurs à lui. Donc p est premier avec le produit k! de tous ces entiers
naturels.
p
p
Comme p divise le produit k!  , p divise   d’après le théorème de Gauss.
k
k
D’où : (n + 1)p  np + 1 [p], soit (n + 1)p  n + 1 [p]. La propriété est donc vraie pour le rang n + 1.
Puisqu’elle est vraie pour le rang 0, elle est vraie pour tout entier naturel n.
SIMILITUDES PLANES.
Propriétés :
1. L’image d’un triangle par une similitude est un triangle semblable.
1
2. La transformation réciproque d’une similitude de rapport k est une similitude de rapport .
k
3. La composée de deux similitudes de rapports k et k’ est une similitude de rapport kk’.
Démonstration
1. Soit trois points A, B et C, d’images respectives A’, B’ et C’ par une similitude s, de rapport k.
On a A’B’ = k×AB, B’C’ = k×BC et C’A’= k×CA.
Les longueurs des côtés du triangle A’B’C’ étant proportionnelles aux longueurs des côtés du
triangle ABC, les deux triangles sont donc semblables.
2. Comme s est une transformation, s-1 est aussi une transformation. De plus, si M’ = s(M) et N’=
s(N), alors M’N’ = k×MN.
1
1
Donc MN = ×M’N’, donc s-1 est une similitude de rapport .
k
k
3. Si s multiplie les longueurs par k et s’ multiplie les longueurs par k’, alors s’ o s multiplie les
longueurs par kk’.
Propriété :
Soit une similitude directe s et deux points distincts A et B d’images respectives A’ et B’.
Quel que soit le point M, si M’ = s(M), alors :
→ →
→ →
(AM, A’M’) = ( AB , A’B’) + λ×2π (λ ∈ Z).
→ →
L’angle ( AB , A’B’) est appelé angle de la similitude directe s.
Démonstration
D’après la relation de Chasles appliquée aux angles orientés :
→ →
→ →
→ →
→
→
(AM, A’M’) = (AM, AB ) + ( AB , A’B’) + (A'B', A’M’) + λ×2π.
s est une similitude directe ; elle conserve donc les angles orientés et ainsi :
→ →
→
→
(AM, AB ) = (A'M', A'B') + λ×2π.
→
→
→ →
→ →
→ →
D’où (A'B', A’M’) = - (AM, AB ) + λ×2π et par suite, (AM, A’M’) = ( AB , A’B’) + λ×2π.
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Terminale S – Spécialité
Principales démonstrations
Propriété caractéristique :
Une transformation s est une similitude directe si, et seulement si, son écriture complexe est de
la forme z Ñ az + b, où a et b sont des nombres complexes (a non nul). Le rapport de la similitude est
égal au module de a, et son angle est un argument de a.
Démonstration
Soit s une similitude directe de rapport k, M un point quelconque du plan d’affixe z et M’ son image
par s d’affixe z’. On a A’M’ = k×AM.
On pose Z =
→ →
z’ – zA’
A’M’
. On a |Z| =
= k. De plus, arg(Z) = (AM, A’M’).
z – zA
AM
→ →
→ →
On a démontré précédemment que (AM, A’M’) = ( AB , A’B’) + λ×2π.
→ →
On pose ( AB , A’B’) = θ. Le nombre complexe Z a pour module k et pour argument θ.
L’écriture exponentielle de Z est Z = keiθ.
Par suite, z’ – zA’ = keiθ(z – zA) et z’ = keiθz + zA’ – zA keiθ.
En posant a = keiθ et b = zA’ – zA keiθ, on obtient z’ = az + b.
Réciproquement, Soit f une application d’écriture complexe z Ñ az + b (avec a ≠ 0).
f est une transformation, car comme a ≠ 0, l’équation z’ = az + b d’inconnue z admet une solution
unique.
Soit M et N deux points quelconques et M’ et N’ leurs images par f :
M’N’ = |zM’ – zN’| = |azM + b – (azN + b)| = |a|×|zM’ – zM| = |a|×MN.
Donc f est une similitude de rapport |a|.
Théorème :
Une similitude plane directe de rapport k et d’angle θ est :
• soit une translation si k = 1 et θ = 0 ;
• soit la composée dans un ordre quelconque d’une rotation de centre Ω et d’angle θ et d’une
homothétie de même centre Ω et de rapport k.
Elle admet une écriture complexe de la forme :
z' - ω = a(z - ω) avec |a| = k et arg(a) = θ + k×2π (k ∈ Z)
Démonstration
Soit s d’écriture complexe : z Ñ az + b.
Si a = 1, s est une translation.
b
. Soit h l’homothétie
1-a
de centre Ω et de rapport |a| et r la rotation de centre Ω et d’angle θ, θ étant un argument de a.
On suppose dans la suite que a ≠ 1. s admet donc un point fixe Ω d’affixe ω =
On va établir que s = r o h = h o r.
Soit M en point quelconque d’affixe z et M’ = s(M) d’affixe z’.
Si M1 = h(M) et M’’ = r(M1) alors M’’ = r o h(M).
Avec les écritures complexes on a :
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Terminale S – Spécialité
Principales démonstrations
z1 - ω = |a|×(z - ω), z’’ - ω = eiθ(z1 - ω), soit z’’ - ω = |a|eiθ×(z - ω) ;
ou encore z’’ –
b 

b
ab
b
. D’où z’’ = az –
= az –
+
= az + b = z’
 1 - a
1-a
1-a 1-a
On en déduit que M’’ = M’.
On a donc démontré que pour tout point M, s(M) = r o h(M), donc s = r o h.
De même si M2 = r(M) et M’’ = h(M2), alors M’’ = h o r(M).
A l’aide des écritures complexes on retrouve z’’ = z’ et M’’ = M’.
On a donc démontré que pour tout point M, s(M) = h o r(M), donc s = h o r.
Propriété :
Etant donnés quatre points A, B, A’ et B’ tels que A ≠ B et A’ ≠ B’, il existe une unique similitude
directe transformant A en A’ et B en B’.
→ →
A’B’
Elle a pour rapport
et pour angle( AB , A’B’).
AB
Démonstration
Si la similitude s existe on la détermine par son écriture complexe z’ = az + b.
On note α, α’, β et β’ les affixes respectives des points A, A’, B et B’.
On a donc α ≠ α’ et β ≠ β’. Il s’agit donc de démontrer l’existence d’un unique couple (a ;b) tel que A’ =
s(A) et B’ = s(B).
αa + b = α’
(a ;b) est solution du système : 
.
 βa + b = β’
Le déterminant de ce système est égal à α×1 - β×1
Comme α - β ≠ 0, le système admet un unique couple de solutions (a ;b).
La résolution du système conduit à :
a=
α’ - β’
αβ’ - α’β
et b =
α-β
α-β
→ →
→ →
α’ - β’ A’B’
=
et arg(a) = ( BA ,B’A’) = ( AB ,A’B’) + k×2π (k ∈ Z).
 α - β  AB
Donc |a| = 
Propriété :
Etant donnée une droite T, toute similitude indirecte s est la composée de la symétrie σ d’axe T
et d’une similitude directe s’.
Démonstration
Soit s une similitude indirecte et σ la symétrie d’axe T. On pose s’ = s o σ.
s' est la composée de deux similitudes, donc s’ est une similitude.
σ et s étant indirectes, s’ est directe.
Or, s’ o σ = (s o σ) o σ = s o (σ o σ).
Si A’ est le symétrique de A par rapport à T, alors A est le symétrique de A par rapport à A’.
Donc σ o σ est l’identité du plan (on dit que σ est involutive.)
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Terminale S – Spécialité
Principales démonstrations
Donc s’ o σ = s o Id = s
Propriété :
Une transformation est une similitude indirecte si, et seulement si, son écriture complexe est de
la forme z Ñ a z + b (a ≠ 0). Le rapport est égal à |a|.
Démonstration
On a démontré qu’une similitude indirecte est la composée d’une symétrie axiale d’axe T quelconque
→
et d’une similitude directe s’. On peut donc choisir pour T l’axe (o ; u ). Or l’écriture complexe de la
→
symétrie σ d’axe (O ; u ) est z Ñ z et l’écriture complexe de s’ est de la forme z Ñ az + b.
Par composition des écritures complexes, on obtient le résultat : s’ o σ (z) = s’( z ) = a z + b.
Réciproquement, si s est une transformation d’écriture complexe z’ = a z + b, alors s est la composée
d’une symétrie axiale suivie d’une similitude directe d’écritures complexes respectives z Ñ z et z Ñ az
+ b.
Propriétés :
1. Une similitude qui admet trois points fixes non alignés est l’identité.
2. Une similitude ayant deux points fixes distincts A et B est l’identité ou la symétrie d’axe (AB).
Démonstration
1. Soit s une similitude admettant trois points fixes A, B et C non alignés.
Ainsi s(A) = A, s(B) = B et s(C) = C. s est une isométrie car son rapport
AB
est égal à 1.
AB
S’il existe un point M tel que M’ = s(M) ≠ M, puisque s conserve les distances, AM = AM’, BM =
BM’ et CM = CM’. Les points A, B et C sont des points de la médiatrice de [MM’]. Ils sont donc
alignés. Ce qui contredit « A, B et C non alignés ».
Ainsi, pour tout point M, s(M) = M ; s est l’identité Id.
2. Soit s une similitude admettant deux points fixes distincts A et B. s est une isométrie car son
rapport est 1 comme vu précédemment. Soit C un point n’appartenant pas à (AB) et C’ = s(C).
Si C’ = C, alors s admet trois points fixes non alignés et s est l’identité.
Si C’ ≠ C, alors AC = AC’ et BC = BC’ ; la droite (AB) est la médiatrice de [CC’].
Soit σ la symétrie d’axe (AB) et f la similitude σ o s.
σ o s(A) = σ(A) = A car A ∈ (AB) ; σ o s(B) = σ(B) = B car B ∈ (AB); σ o s(C) = σ(C’) = C car C et
C’ sont symétriques par rapport à la droite (AB).
Donc σ o s est une similitude qui admet trois points fixes.
Donc σ o s = Id.
Par suite, σ o (σ o s) = σ o Id. Comme σ o σ = Id, alors s = σ.
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Terminale S – Spécialité
Principales démonstrations
Sections planes de surface.
Cylindres illimités d’axe (Oz)
Propriété (section par un plan parallèle à (xOy) :
L’ intersection du cylindre illimité d’axe (z’z) et de rayon R et du plan
P d’équation z = a est un cercle de rayon R.
Démonstration
Soit P le plan d’équation z = a et soit A le point d’intersection de P avec l’axe (z’z).
x² + y² = R²
Un point M(x ;y ;z) appartient au plan P et à Σ si, et seulement si, on a 
, ce qui équivaut
z = a
à:
M ∈ P et AM² = R².
L’intersection de P et de Σ est donc le cercle de centre A et de rayon R dans le plan P.
Propriété (section par un plan parallèle à (yOz) ou (xOz):
L’ intersection du cylindre illimité d’axe (z’z) et de rayon R avec un plan
parallèle au plan (xOz) ou au plan (yOz) est constituée de deux droites
parallèles à (zz’) si la distance d de O
à ce plan est inférieure à R. Ces droites sont confondues si d = R.
Si d > R, le plan P ne coupe pas le cylindre.
Démonstration
Soit Q le plan d’équation y = b, avec b étant un réel donné. Un point M(x ;y ;z) appartient au plan Q et
au cylindre si, et seulement si, on a :
x² + y² = R²
x² = R² - b²

, ce qui équivaut à 
.
y = b
y = b
Si b² > R², Q et Σ ne se coupent pas.
Si b² ≤ R², c’est à dire si –R ≤ b ≤ R, alors le système équivaut à :
x=
R² - b² et y = b (1) ou x = -
R² - b² et y = b (2), la variable z étant quelconque.
R et b étant des réels donnés, en posant a = R² - b², on reconnaît des représentations
paramétriques de deux droites :
x = a
x = -a
(1) y = b ou (2) y = b , m étant un réel quelconque.
z = m
z = m
Ces droites ont pour vecteur directeur (0 ;0 ;1) ; elles sont parallèles à l’axe (zz’) et sont confondues
si b = R car on a alors a = -a = 0.
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Terminale S – Spécialité
Principales démonstrations
Propriété (section par un plan parallèle à (xOy) :
La section d’un cône illimité d’axe (z’z) et de sommet O par un plan
parallèle au plan(xOy) et ne passant pas par l’origine est un cercle centré
sur (z’z).
Démonstration
On considère le cône C d’équation x² + y² = z² tan² α et le plan P d’équation z = k qui coupe (z’z) en
A.
Un point M(x ;y ;z) appartient à la fois à C et à P si, et seulement si, on a :
x² + y² = z² tan² α

z = k
x² + y² = k²tan ²α
Soit : 
z = k
→ →
Si on considère dans le plan P le repère (A ; i ; j ), l’intersection de C et de P a pour équation dans ce
repère x² + y² = k²tan²α.
On reconnait une équation du cercle de centre A et de rayon |k| tanα.
Si le plan P passe par l’origine, alors k = 0 : l’intersection est alors réduite au point O.
Propriété (section par un plan parallèle à (yOz) ou (xOz):
La section d’un cône illimité d’axe (z’z) et de sommet O par le plan
(xOz) ou le plan (yOz) est la réunion de deux génératrices du cône.
La section de ce cône par un plan strictement parallèle au plan (yOz)
ou au plan (xOz) est une courbe formée de deux branches : cette courbe
est une hyperbole.au plan(xOy) et ne passant pas par l’origine est un
cercle centré sur (z’z).
Démonstration
Une équation du plan (xOz) est y = 0.
L’intersection de ce plan et du cône est caractérisée par :
x² + y² = z²tan²α
x² = z²tan²α

, soit 
soit (x = z tan α et y = 0) ou (x = -z tan α et y = 0).
y = 0
y = 0
→ →
L’intersection cherchée est donc constituée de deux droites qui dans le repère (O ; i ; k ) ont des
coefficients opposés. Ce sont des génératrices du cône.
Si le plan sécant est parallèle au plan (xOz) sans passer par l’origine O du repère, l’intersection est
une courbe qui comporte deux branches ; on admet que cette courbe est une hyperbole.
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