Demonstrations Spe TS

Terminale S – Spécialité Principales démonstrations
1
DIVISIBILITE ET CONGRUENCES DANS .
Division euclidienne :
Propriété
:
Soit a un entier
na
turel
et b un entier naturel non nul.
Il existe un unique couple (q ;r) d’entiers naturels tels que :
a = bq + r et 0 ≤ r < b.
q est le quotient et r le reste de la division euclidienne de a par b.
(a est appelé le dividende).
Démonstration :
Soit a et b dans N avec b ≠ 0.
• Existence de q et r
Propriété d’ Archimède dans N :
Soit b un entier naturel non nul.
Alors, quel que soit l’entier naturel a, il existe un entier naturel n tel que a < nb.
D’après la propriété d’Archimède dans N, l’ensemble des entiers naturels n , tels que a < nb
n’est pas vide. Il possède donc un plus petit élément k ≠ 0.
k – 1 est aussi un entier naturel et (k – 1)b ≤ a < kb
On pose alors q = k – 1 et on obtient : qb ≤ a < (q+1)b.
En retranchant qb, on obtient 0 ≤ a – qb < b
En posant r = a – bq, on conclut que a = bq + r et 0 ≤ r < b.
• Unicité de q et r
On suppose a = bq
1
+ r
1
= bq
2
+ r
2
avec 0 ≤ r
1
< b et 0 ≤ r
2
< b.
On en déduit que –b < r
2
– r
1
< b et que r
2
– r
1
= b(q
1
– q
2
).
Ainsi, r
2
– r
1
est un multiple de b strictement compris entre –b et b.
On a donc r
2
– r
1
= 0, d’où r
2
= r
1.
On en déduit alors, du fait que b ≠ 0, que q
1
= q
2
.
D’où l’unicité annoncée dans la propriété.
Remarque :
q est le quotient de la division euclidienne de a par b si, et seulement si, on a :
bq ≤ a <b(q + 1)
Interprétation graphique : On encadre a par deux multiples consécutifs de b.

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2
Algorithme d’Euclide
Lemme d’Euclide
:
Soit a, b, q et r des entiers naturels.
Si a = bq + r alors PGCD(a ;b) = PGCD(b ;r).
Démonstration
• Si d est un diviseur commun à a et b alors il divise aussi a et bq.
Il divise donc aussi r = a – bq
Donc d est un diviseur commun à b et r.
• Si d’ est un diviseur commun à b et r alors il divise aussi bq et r.
Il divise donc aussi a = bq + r
Donc d’ est un diviseur commun à a et b.
Conclusion : L’ensemble des diviseurs communs à a et b et l’ensemble des diviseurs communs à b et r
ont les mêmes éléments et donc le même plus grand élément.
On a donc bien PGCD(a ;b) = PGCD(b ;r).
Propriété
:
Soit a
et b
deux entiers naturels non nuls, avec a
≥ b.
On définit la suite (r
n
) d’entiers naturels de la façon suivante :
• r
0
= b ;
• r
1
est le reste de la division euclidienne de a par b ;
• Pour n ≥ 1 : si r
n
= 0, alors r
n+1
= 0 ;
Si r
n
≠ 0, alors r
n+1
est le reste de la division euclidienne de r
n-1
par r
n
Alors il existe un entier p tel que r
p
≠ 0 et, pour tout n > p, r
n
= 0.
On a alors r
p
= PGCD(a ;b) ;
Démonstration
La division euclidienne de a par b s’écrit a = bq
1
+ r
1
, avec 0 ≤ r
1
< b.
• Si b|a, alors r
1
= 0 et donc le processus s’arrête avec p = 0.
• Si b ne divise pas a, la division euclidienne de b par r
1
s’écrit :
b = r
1
q
2
+ r
2
avec 0 ≤ r
2
< r
1
Si r
2
= 0, le processus s’arrête avec p = 1.
Sinon : on suppose que pour tout entier n, r
n
≠ 0, alors r
n-1
= r
n
q
n+1
+ r
n+1
avec 0 ≤ r
n+1
< r
n
.
La suite (r
n
) est donc une suite d’entiers naturels strictement décroissante.
De plus, r
n+1
< r
n
 r
n+1
< r
n
– 1 et r
n
≤ r
n-1
– 1  r
n+1
≤ r
n-1
– 2
Montrons, par récurrence, que r
n+1
≤ r
0
– (n + 1) ≤ b – (n + 1).
Soit P
n
la propriété : pour tout n entier naturel, r
n+1
≤ r
0
– (n + 1) ≤ b – (n + 1)
P
0
est vraie car : r
1
≤ r
0
≤ r
0
– 1 ≤ b – 1
Supposons P
n
vraie.
r
n+2
≤ r
n+1
≤ r
n+1
- 1 ≤ r
0
– (n + 1) – 1
Donc r
n+2
≤ r
0
– (n + 2) ≤ b – (n + 2)
Donc d’après le principe de récurrence, P
n
est vraie pour tout n.
On a alors r
b+1
≤ b – (b + 1) ≤ -1, ce qui est absurde car r
n
∈ N, pour tout n ∈ N.
Donc, la supposition r
n
≠ 0 pour tout n était absurde.
Nécessairement, au bout d’un nombre fini de divisions (au maximum b), on obtiendra un reste nul.
Soit r
p
le dernier reste non nul.
Le lemme d’Euclide permet d’écrire :

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3
PGCD(a ;b) = PGCD(b ;r
1
) = PGCD(r
1
;r
2
) = …. = PGCD(r
p-2
;r
p-1
) = PGCD(r
p-1
;r
p
) = r
p
car r
p+1
= 0 donc r
p
divise r
p-1
.
Finalement, on vient de prouver que l’algorithme d’Euclide permettait de déterminer le PGCD de a et
b : c’est le dernier reste non nul dans la succession des divisions euclidiennes définies par cet
algorithme.
Congruences
Théorème
:
Soit n un enti
er supérieur ou égal à 2.
La relation de congruence modulo n est compatible avec l’addition et la multiplication dans Z.
Autrement dit, a, a’, b et b’ étant des entiers relatifs quelconques, on a :
Si a  a’ [n] et b  b’ [n] alors a + b  a’ + b’ [n] et ab  a’b’ [n]
Démonstration
Si a  a’ [n] et b  b’ [n], alors n divise a – a’ et b – b’ ; donc n divise la somme (a – a’) + (b – b’).
On en déduit que n divise (a + b) – (a’ + b’). On en conclut que a + b  a’ + b’ [n].
De même, n divise a – a’ et b – b’ ; donc il existe deux entiers k et k’ tels que :
a = a’ + kn et b = b’ + k’n
Alors en effectuant le produit, on a :
ab = a’b’ + a’k’n + b’kn + kk’n² = a’b’ + n(a’k’ + b’k + kk’n)
Il existe ainsi un entier K (K = a’k’ + b’k + kk’n) tel que ab – a’b’ = nK.
Donc n divise ab – a’b’ et ab  a’b’ [n].
Conséquence
:
Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et a et a’ deux entiers quelconques.
On a
:
pour tout entier k, si a  a’ [n] alors ka  ka’ [n] ;
pour tout entier naturel p non nul, si a  a’ [n] alors a
p
 a’
p
[n]
Démonstration
• On a k  k’ [n] et a  a’ [n] ; d’où par multiplication, avec la propriété précédente : ka  ka’ [n].
• On suppose que a  a’ [n] et on réalise une démonstration par récurrence sur p.
Initialisation : pour p = 1, la propriété est vraie par hypothèse.
On suppose que la propriété est vraie pour un entier k ≥ 1 : a
k
 b
k
[n].
On a par hypothèse, a  a’ [n], et, donc, par multiplication, avec le théorème précédent :
a
k
× a  a’
k
× a’ [n], c'est-à-dire : a
k+1
 a’
k+1
[n].
La propriété est donc héréditaire à partir du rang 1.
On a ainsi établi la propriété recherchée pour tout entier naturel p ≥ 1.

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4
NOMBRES PREMIERS - PPCM.
Nombres premiers
Propriété
s
:
1. Tout entier plus grand que 1 admet au moins un diviseur premier.
2. Tout entier naturel non premier n différent de 1 admet un diviseur premier a tel que a ≤ n.
3. Il y a une infinité de nombres premiers.
Démonstration
Propriété 1
Soit n un entier strictement supérieur à 1.
• Si n est premier, il admet lui-même comme diviseur premier.
• Si n est composé, il admet d‘autres diviseurs que 1 et n ; soit p le plus petit d’entre eux.
Alors p est premier ; sinon, il serait composé et il admettrait un diviseur d tel que 1 < d < p ;
mais d serait alors un diviseur de n plus petit que p, ce qui est impossible. Donc, p est premier et n
admet p comme diviseur premier.
Propriété 2
Soit n un entier composé strictement supérieur à 1.
n admet un diviseur d autre que 1 et n.
Alors n = d×d’ avec d’ > 0.
d est supérieur ou égal à 2.
d' est aussi supérieur ou égal à 2, car si d’ = 1 alors on aurait n = d.
Supposons d ≤ d’.
Alors d² ≤ dd’, soit d² ≤ n ou encore d ≤ n.
D’après le résultat précédent, d admet au moins un diviseur premier a qui est aussi un diviseur
premier de n.
Comme a ≤ d, on en déduit que a ≤ n.
Propriété 3
Raisonnons par l’absurde en supposant qu’il existe un nombre fini d’entiers premiers p
1
, p
2
,…., p
n
.
Soit N = p
1
× p
2
× …×p
n
+1
N est un entier supérieur ou égal à 2, il admet donc au moins diviseur premier p
i
(avec 1 ≤ i ≤ n) de
l'ensemble { p
1
;p
2
;….; p
n
} (d'après la propriété 1).
p
i
divise N et p
i
divise p
1
× p
2
×…×p
n
; donc p
i
divise N - p
1
× p
2
×…×p
n
= 1.
Donc p
i
= 1 : ce qui est impossible puisque 1 n'est pas premier.
Conclusion : l'ensemble des nombres premiers est infini.

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5
PGCD et PPCM
Propriété
s
:
1. Soit a’ et b’ deux entiers premiers entre eux, alors PPCM(a’ ;b’) = |a’b’|.
2. Soit a et b deux entiers relatifs non nuls, alors on a :
PGCD(a ;b)×PPCM(a ;b) = |a| × |b|.
Démonstration du 2
Comme PPCM(a ;b) = PPCM(|a| ;|b|), on se limite à a et b entiers naturels.
Soit δ = PGCD(a ;b) et µ = PPCM(a ;b).
On a alors a= δa’ et b = δb’ avec a’ et b’ premiers entre eux.
On a donc PPCM(a’ ;b’) = a’b’
µ = PPCM(δa’ ; δb’) = δ×PPCM(a’ ; b’) = δ×a’×b’
Ainsi δµ = δ²×a’×b’ = δ×a’× δ×b’ = ab
Théorème de Bézout. Théorème de Gauss. Petit théorème de Fermat
Théorème de Bézout
:
Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement si il
existe des entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.
Démonstration :
• On suppose a et b premiers entre eux ; leur PGCD est 1.
Ainsi, au moins l’un des deux nombres a ou b est non nul, par exemple a.
Soit E l’ensemble des entiers de la forme au + bv, avec u et v entiers.
Cet ensemble n’est pas vide, car il contient a (avec u = 1 et v = 0) et –a (avec u = -1 et v = 0).
E contient a et –a, et l’ un de ces deux entiers est strictement positif, donc E contient au
moins un entier strictement positif.
Soit δ le plus petit d’entre eux ; il existe ainsi u
0
et v
0
entiers tels que :
δ = au
0
+ bv
0
.
La division euclidienne de a par δ s’écrit : a = δq + r, avec 0 ≤ r < δ.
D’où : r = a - δq = a – (au
0
+ bv
0
)q = a(1 – u
0
) + b(-v
0
q).
Ainsi, r appartient à E car il est de la forme au + bv avec u et v entiers (u = 1 – u
0
et v = -v
0
q) .
Comme δ est le plus petit élément strictement positif de E, l’inégalité 0 ≤ r < δ montre que r
est nul, d’où a = δq et δ divise a.
On montre de même que δ divise b, d’où δ = 1 car a et b sont premiers entre eux : il existe bien
deux entiers u
0
et v
0
tels que au
0
+ bv
0
= 1.
• S’il existe des entiers u et v tels que au + bv = 1, alors si d est le PGCD de a et b, il divise a et b,
donc au + bv, c'est-à-dire 1 : ainsi, d vaut 1, et a et b sont premiers entre eux.