Composition 3T 2011-2012 Sujet 1

NOM :
Prénom :
4ème
Classe :
Date :
Composition n°3 de Mathématiques 2011-2012 – Sujet1
La calculatrice est autorisée donc les calculs doivent être détaillés !
Date : 10/05/2012
Appréciation :
Stanislas
Notation sur 40
Durée : 2h
Compétences du socle commun pouvant être évaluées :
3.1.3.
3.1.4.
3.2.2.
3.2.3.
3.2.4.
5.5.1.
Raisonner, argumenter, pratiquer une démarche expérimentale ou technologique,
démontrer.
Présenter la démarche suivie, les résultats obtenus, communiquer à l'aide d'un langage
adapté.
Nombres et calculs : connaître et utiliser les nombres entiers, décimaux et
fractionnaires : mener à bien un calcul mental, à la main, avec calculatrice, avec ordinateur.
Géométrie : connaître et représenter des figures géométriques et des objets de l'espace :
utiliser leurs propriétés.
Grandeurs et mesure : réaliser des mesures (longueurs, durées...), calculer des valeurs
(volumes, vitesse…) en utilisant différentes unités.
Images – Cartes - Croquis - Textes – Graphiques.
1ère PARTIE : PARTIE NUMERIQUE
/20
Exercice 1 : On considère le programme de calcul encadré :
a) Vérifier que lorsque le nombre de départ est 1, on obtient 2.
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- Choisir un nombre
- Enlever 4 à ce nombre
- Multiplier le résultat par 3
- A jouter 12
- Puis soustraire le nombre choisi au
départ de la ligne précédente.
b) Quel nombre trouve-t-on si le nombre choisi est -2 ?
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c) Quel nombre trouve-t-on si le nombre choisi est 3 ?
/4
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d) Conjecturer quel est le nombre trouvé si le nombre choisi est x ? (sans justifier)
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1
NOM :
Prénom :
Classe :
Date :
Exercice 2 :
1) En laissant des traits apparents sur le graphique, répondre aux questions suivantes :
a) Quel est le volume de glace obtenu à partir de 6 litres de liquide ?
/5
…………………..……………………………………………………………………………………………………..…………………………
b) Quel volume d’eau liquide faut-il mettre à geler pour obtenir 10 litres de glace ?
…………………..……………………………………………………………………………………………………..…………………………
2) Le volume de glace est-il proportionnel au volume de liquide ? (justifier)
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3) On admet que 5 litres d’eau donne 5,4 litres de glace, quel est le pourcentage
d’augmentation ?
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2
NOM :
Prénom :
Classe :
Date :
Exercice 3 : Un planeur quitte Nouméa pour aller à Koné.
a) A l’aide de votre règle graduée et de la carte
déterminer, au kilomètre prés, la distance qu’il
aura parcourue arrivé à Koné.
…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………….
/5
………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
b) Sachant qu’il a effectué ce parcours en 2h 18 min. Déterminer sa vitesse moyenne
arrondie au kilomètre par heure près.
…………………..……………………………………………………………………………………………………..…………………………
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Exercice 4 : Mettre sous la forme d’une fraction irréductible.
/3
Chaque étape doit être justifiée, les règles du calcul doivent être mises en évidence !
6 17 5
:
A= 5 14 7
6 × 54
B= 2
5 × 2 × 53
C = 7-5 × 74 × 4 × 70
…………………………………………………
…………………………………………….
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…………………………………………………
…………………………………………….
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Exercice 5 : Calculer la valeur numérique des expressions algébriques A et B pour
3
x = et y = -4.
/3
2
A = 5x – 3y
B = - 2y² + xy
A=
B=
A=
B=
A=
B=
3
NOM :
Prénom :
Classe :
2ème PARTIE : ACTIVITES GEOMETRIQUES
Date :
/20
Exercice 1 :
a) Construire (Construction apparente) un triangle ABC tel que AC = 12 cm, AB = 13 cm
et BC = 5 cm.
/1
b) Placer le point R appartenant à [AC] tel que AR = 9 cm.
c) Placer le point T appartenant à [AB] tel que la droite (RT) soit perpendiculaire à la
droite (AC).
d) Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.
/3
…………………..……………………………………………………………………………………………………..…………………………
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e) Que peut-on dire des droites (RT) et (BC) ? (Justifier)
/2
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f) Calculer la valeur exacte de la longueur du segment [AT].
/4
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4
NOM :
Prénom :
Classe :
Date :
Exercice 2 :
a) Déterminer la mesure de a
IKJ
/2
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b) Démontrer que (GH) // (KJ)
/2
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…………………..…………………………………………………………………………………………………………………………………
/3
c) Démontrer que J est le milieu de [HI].
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…………………..……………………………………………………………………………………………………..…………………………
…………………..……………………………………………………………………………………………………..…………………………
…………………..…………………………………………………………………………………………………………………………………
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d) On donne GH = 3,2 cm, déterminer KJ.
/3
…………………..……………………………………………………………………………………………………..…………………………
…………………..……………………………………………………………………………………………………..…………………………
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…………………..……………………………………………………………………………………………………..…………………………
…………………..……………………………………………………………………………………………………..…………………………
5
CORRECTION
1ère PARTIE : PARTIE NUMERIQUE
/20
Exercice 1 : On considère le programme de calcul encadré :
a) Vérifier que lorsque le nombre de départ est 1, on obtient 2.
1 - 4 = -3
-3×3 = -9
-9 + 12 = 3
- Choisir un nombre
- Enlever 4 à ce nombre
- Multiplier le résultat par 3
- A jouter 12
- Puis soustraire le nombre choisi au
départ de la ligne précédente.
3-1=2
b) Quel nombre trouve-t-on si le nombre choisi est -2 ?
-2 - 4 = -6
-6×3 = -18
-18 + 12 = -6
-6 - (-2) = -4
On obtient -4 si le nombre choisi est -2.
c) Quel nombre trouve-t-on si le nombre choisi est 3 ?
3 - 4 = -1
-1×3 = -3
-3 + 12 = 9
9-3=6
On obtient 6 si le nombre choisi est 3.
d) Conjecturer quel est le nombre trouvé si le nombre choisi est x ? (sans justifier)
Il semble qu’on obtient le double du nombre de départ.
Justification (non demandée) :
Soit x le nombre de départ.
Le programme de calcul donne :
(x - 4)×3 + 12 - x = 3x - 12 +12 - x = 2x
Et 2x est bien le double de x.
6
CORRECTION
Exercice 2 :
1) En laissant des traits apparents sur le graphique, répondre aux questions suivantes :
a) Quel est le volume de glace obtenu à partir de 6 litres de liquide ?
/5
Avec 6 litres d’eau liquide, on obtient environ 6,5 litres de glace.
b) Quel volume d’eau liquide faut-il mettre à geler pour obtenir 10 litres de glace ?
Pour obtenir 10 litres de glace, il faut environ 9,2 litres d’eau liquide.
2) Le volume de glace est-il proportionnel au volume de liquide ? (justifier)
La représentation graphique est une droite qui passe par l’origine du repère.
Donc le volume de glace est bien proportionnel au volume de liquide.
3) On admet que 5 litres d’eau donne 5,4 litres de glace, quel est le pourcentage
d’augmentation ?
5,4 - 5
Le pourcentage d’augmentation est :
×100 = 8 soit 8 %.
5
7
CORRECTION
Exercice 3 : Un planeur quitte Nouméa pour aller à Koné.
a) A l’aide de votre règle graduée et de la carte
déterminer, au kilomètre prés, la distance qu’il
aura parcourue arrivé à Koné.
On lit sur la carte 3,5 cm entre Nouméa et Koné.
2 cm représentent 100 km
Donc 3,5 cm représentent
/5
100×3,5
= 175 km
2
b) Sachant qu’il a effectué ce parcours en 2h 18 min. Déterminer sa vitesse moyenne
arrondie au kilomètre par heure près.
2h18min = 2 +
v=
18
= 2,3 h
60
d 175
=
≈ 76 km/h
t 2,3
Exercice 4 : Mettre sous la forme d’une fraction irréductible.
Chaque étape doit être justifiée, les règles du calcul doivent être mises en évidence !
6 17 5
A= :
5 14 7
A=
6 17 7
- ×
5 14 5
A=
6 17×7
5 7×2×5
A=
12 17 12 - 17
5
=
=10 10
10
10
C = 7-5 × 74 × 4 × 70
1
A=2
B=
C = 7-5+4+0 × 4
C = 4×7-1
4
C=
7
6 × 54
52 × 2 × 5 3
6 54
B = × 2+3
2 5
B = 3×54-5 = 3×5-1 =
3
5
Exercice 5 : Calculer la valeur numérique des expressions algébriques A et B pour
3
x = et y = -4.
/3
2
A = 5x – 3y
B = - 2y² + xy
3
3
A = 5× - 3×(-4)
B = -2×(-4)² + ×(-4)
2
2
15
A=
+ 12
B = = -2×16 - 6 = - 32 - 6 = - 38
2
15 + 24 39
=
A=
2
2
8
CORRECTION
2ème PARTIE : ACTIVITES GEOMETRIQUES
/20
Exercice 1 :
a) Construire (Construction apparente) un triangle ABC tel que AC = 12 cm, AB = 13 cm
et BC = 5 cm.
/1
b) Placer le point R appartenant à [AC] tel que AR = 9 cm.
c) Placer le point T appartenant à [AB] tel que la droite (RT) soit perpendiculaire à la
droite (AC).
d) Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.
/3
AB² = 13² = 169
AC² + BC² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169
L’égalité de Pythagore AB² = AC² + BC² étant vérifiée, le triangle ABC est donc
rectangle en C.
e) Que peut-on dire des droites (RT) et (BC) ? (Justifier)
/2
Les droites (RT) et (BC) étant perpendiculaires à la même droite (AC) sont donc
parallèles.
f) Calculer la valeur exacte de la longueur du segment [AT].
/4
Les droites (RT) et (BC) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès
dans les triangles ART et ACB :
AR AT RT
=
=
AC AB CB
Soit :
9 AT
=
12 13
9
D’où AT = 13× = 9,75 cm
12
9
CORRECTION
Exercice 2 :
a) Déterminer la mesure de a
IKJ
/2
La somme des mesures des angles du triangle IJK est égale à 180°.
Donc a
IKJ = 180° - a
IJK - a
JIK = 180° - 79° - 27° = 74°
b) Démontrer que (GH) // (KJ)
Les angles correspondants a
IGH et a
IKJ déterminés par les droites (GH) et (KJ) et la
sécante (IG) sont de même mesure.
Donc les droites (GH) et (KJ) sont parallèles.
c) Démontrer que J est le milieu de [HI].
Dans le triangle IGH, la droite (KJ) qui passe par le milieu K du côté [IG] et qui est
parallèle au côté [GH] coupe le côté [HI] en son milieu.
Donc J est le milieu de [HI].
d) On donne GH = 3,2 cm, déterminer KJ.
/3
Dans le triangle IGH, la longueur du segment [KJ] qui joint les milieux de deux côtés est
égale à la moitié de la longueur du troisième côté.
Donc KJ =
GH 3,2
=
= 1,6 cm
2
2
10