Première S3 IE6 variables aléatoires S1 2016-2017

Première S3 IE6 variables aléatoires S1 2016-2017
1
Exercice 1 : (15 points)
Une urne contient 5 boules rouges, 4 jaunes et n vertes, n étant un entier naturel non nul.
Ces n + 9 boules sont indiscernables au toucher. On tire successivement et avec remise deux
boules de l'urne.
1) Exprimer en fonction de n la probabilité des événements suivants :
M : "Les deux boules sont de la même couleur."
D : "Les deux boules sont de couleur différente."
2) On considère le jeu suivant : le joueur gagne 2 € si les deux boules obtenues sont de
même couleur et perd 3 € sinon.
On appelle X la variable aléatoire égale au gain (positif ou négatif) du joueur.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
b) Montrer que l'espérance de X est :
E(X) = 2(n² - 27n – 19)
(n + 9)²
3) On considère la fonction f définie sur [1; + [ par f(x) = 2(x² - 27x – 19)
(x + 9)² .
a) Dresser le tableau des variations de f.
b) Résoudre l'inéquation f(x) > 0.
4) A l'aide de la question 3.
a) Déterminer la valeur de n pour laquelle E(X) est minimale. Que vaut alors cette
espérance minimale.
b) A partir de quelle valeur de n, E(X) est-elle positive ? Interpréter le résultat.
Exercice 2 : Péréquation affine (5 points)
Lors d'une épreuve, les notes attribuées aux candidats suivent la loi de probabilité suivante :
Notes
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Probabilité
0,01
0,04
0,06
0,11
0,19
0,16
0,10
0,13
0,14
0,04
0,02
1) Pour un candidat pris au hasard, on note X sa note obtenue.
Calculer E(X) et V(X).
2) Le responsable du concours souhaiterait que la moyenne soit égale à 5 et la variance soit
égale à 3. Il demande d'appliquer une transformation affine qui à X associe aX + b.
Calculer a et b.

Première S3 IE6 variables aléatoires S2 2016-2017
2
Exercice 1 : (15 points)
Une urne contient 4 boules rouges, 7 jaunes et n vertes, n étant un entier naturel non nul.
Ces n + 11 boules sont indiscernables au toucher. On tire successivement et avec remise deux
boules de l'urne.
1) Exprimer en fonction de n la probabilité des événements suivants :
M : "Les deux boules sont de la même couleur."
D : "Les deux boules sont de couleur différente."
2) On considère le jeu suivant : le joueur gagne 1 € si les deux boules obtenues sont de
même couleur et perd 2 € sinon.
On appelle X la variable aléatoire égale au gain (positif ou négatif) du joueur.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
b) Montrer que l'espérance de X est :
E(X) = n² - 44n – 47
(n + 11)²
3) On considère la fonction f définie sur [1; + [ par f(x) = x² - 44x – 47
(x + 11)² .
a) Dresser le tableau des variations de f.
b) Résoudre l'inéquation f(x) > 0.
4) A l'aide de la question 3.
a) Déterminer la valeur de n pour laquelle E(X) est minimale. Que vaut alors cette
espérance minimale.
b) A partir de quelle valeur de n, E(X) est-elle positive ? Interpréter le résultat.
Exercice 2 : Péréquation affine (5 points)
Lors d'une épreuve, les notes attribuées aux candidats suivent la loi de probabilité suivante :
Notes
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Probabilité
0,02
0,03
0,06
0,14
0,16
0,17
0,12
0,1
0,12
0,06
0,02
1) Pour un candidat pris au hasard, on note X sa note obtenue.
Calculer E(X) et V(X).
2) Le responsable du concours souhaiterait que la moyenne soit égale à 5 et la variance soit
égale à 2. Il demande d'appliquer une transformation affine qui à X associe aX + b.
Calculer a et b.

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CORRECTION
3
Exercice 1 : (15 points)
Une urne contient 5 boules rouges, 4 jaunes et n vertes, n étant un entier naturel non nul.
Ces n + 9 boules sont indiscernables au toucher. On tire successivement et avec remise deux
boules de l'urne.
1) Exprimer en fonction de n la probabilité des événements suivants :
M : "Les deux boules sont de la même couleur."
D : "Les deux boules sont de couleur différente."
2) On considère le jeu suivant : le joueur gagne 2 € si les deux boules obtenues sont de
même couleur et perd 3 € sinon.
On appelle X la variable aléatoire égale au gain (positif ou négatif) du joueur.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
b) Montrer que l'espérance de X est :
E(X) = 2(n² - 27n – 19)
(n + 9)²
3) On considère la fonction f définie sur [1; + [ par f(x) = 2(x² - 27x – 19)
(x + 9)² .
a) Dresser le tableau des variations de f.
b) Résoudre l'inéquation f(x) > 0.
4) A l'aide de la question 3.
a) Déterminer la valeur de n pour laquelle E(X) est minimale. Que vaut alors cette
espérance minimale.
b) A partir de quelle valeur de n, E(X) est-elle positive ? Interpréter le résultat.
5) Résoudre l’inéquation f(x) > 0.
Contrôler graphiquement à la calculatrice et donner l’allure de la courbe représentant la
fonction f dans un repère.
1) Il s'agit d'une situation d'équiprobabilité (chaque boule à la même chance
d'être tirée).
P(M) = p(RR) + p(JJ) + p(VV) = 5²
(n + 9)² + 4² (n + 9)² + n² (n + 9)² = n² + 41 (n + 9)²
D est l'événement contraire de M.

Première S3 IE6 variables aléatoires S1 2016-2017
CORRECTION
4
Donc p(D) = 1 – p(M) = 1 - n² + 41
(n + 9)² = (n + 9)² - n² - 41 (n + 9)²
p(D) = n² + 18n + 81 – n² - 41
(n + 9)² = 18n + 40 (n + 9)²
2) a) p(X = 2) = p(M) = n² + 41
(n + 9)²
p(X = -3) = p(D) = 18n + 40
(n + 9)²
b) E(X) = 2p(X = 2) - 3p(X=-3) = 2n² + 41
(n + 9)² - 318n + 40 (n + 9)²
E(X) = 2n² + 41 – 27n – 60
(n + 9)² = 2(n² - 27n – 19)
(n + 9)²
3) a) f est dérivable sur [1; + [.
f(x) = 2u(x)
v(x)avec u(x) = x² - 27x – 19 et v(x) = (x + 9)²
f'(x) = 2u'(x)v(x) – u(x)v'(x)
(v(x))² 
Or u'(x) = 2x – 27 et v'(x) = 2(x + 9)
Donc f'(x) = 2(2x – 27)(x + 9)² - (x² - 27x – 19)2(x + 9)
(x + 9)4
f'(x) = 2(x + 9)2x – 27)(x + 9) – 2(x² - 27x – 19)
(x + 9)4
f'(x) = 22x² + 18x – 27x – 243 + – 2x²+ 54x + 38
(x + 9)3
f'(x) = 245x – 205
(x + 9)3= 109x – 41 (x + 9)3
Comme x > 1, (x + 9)3 > 0 et f'(x) est du signe de 9x – 41.
Tableau des variations de f :
x
f'
f(x)
1
-
41/9
+
m
+

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CORRECTION
5
m = f
41
9 = - 161
122
b) f(x) = 0  x² - 27x – 19 = 0
Le discriminant de cette équation du second degré est :
 = b² - 4ac = (-27)² - 41(-19) = 805
Comme  > 0, cette équation admet deux solutions distinctes :
x1 = - b - 
2a = 27 - 805 2  -0,7 et x2 = -b +  2a = 27 + 805 2  27,7
Sur [1; + [, f(x) > 0  x  ]x2 ; + [.
4) a) f admet un minimum en x = 41
9  4,6
On vérifie que E(4) = - 222
169 > E(5) = -129 98
Donc l'espérance est minimale pour n = 5 et vaut – 129
98  -1,32.
b) L'espérance est positive pour n > 27.
Le jeu devient intéressant pour le joueur si le nombre de boules vertes
est supérieur ou égal à 28.
Vérification graphique