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5 janvier 2015
Dénombrement
I Ensembles
I.A La notion d’ensemble
On ne donnera pas la définition mathématique, mais plutôt une définition intuitive de ce qu’est un ensemble. Il
s’agit d’une « collection d’objets » mathématiques à laquelle peut appartenir (ou non) un objet donné.
Lorsque x appartient à l’ensemble E , on note x ∈ E et on dit que x est un élément de E . Dans le cas contraire, on
note x ∈/ E .
Exemple 1 :
On peut définir un ensemble E par les méthodes suivantes :
1. En énonçant un à un les éléments entre des accolades. Par exemple, E 1 = {A, B,C , D},
E 2 = {vert,rouge}, E 3 = {1, 2, 3, . . . , 12}, N = {0, 1, 2, . . . , n, . . .}. Ces définitions sont dites par extension.
2. Par une liste de règles (axiomes).
C’est par une définition de ce type que l’on construit N (axiomatique de Péano), et qu’on en déduit la construction des ensembles Z, Q, R et C.
3. À l’aide d’un ensemble de référence E 0 et d’un prédicat P (x). Ces définitions sont dites en compréhension.
E = {x ∈ E 0 / P (x)} signifie que x ∈ E si et seulement si x ∈ E 0 et P (x) est vrai.
Par exemple E = {n ∈ N/2n + 1 est premier }. Alors 2 ∈ E , mais 3 ∈/ E . On ne peut pas énumérer tous les éléments
de E , mais on peut vérifier l’appartenance d’un entier à cet ensemble.
I.B Parties d’un ensemble
Définition 1
Si E et F sont deux ensembles, on dit que F est un sous-ensemble (ou une partie) de E , ou que F est inclus dans
E , si tout élément de F est un élément de E . Notation : F ⊂ E .
De manière usuelle, on écrit :
—
—
—
—
—
E = F si E ⊂ F et F ⊂ E (C’est la double inclusion, qui est utilisée pour démontrer l’égalité de deux ensembles)
F Ú E si F ⊂ E et F 6= E .
; l’ensemble vide défini par ; ⊂ E et ∀x ∈ E , x ∈/ ;.
{a} un ensemble ne contenant qu’un élément a (on l’appelle un singleton).
P (E ) l’ensemble des parties de E . Par exemple, si E = {1, 2},l’ensemble des parties de E est l’ensemble P (E ) = {;, {1}, {2}, {1, 2}}.
Remarque 1 :
F ⊂/ E si ∃x ∈ F, x ∈/ E .
Proposition 1
Soient E , F,G trois ensembles. On a :
(i) ; ⊂ E
(ii) E ⊂ E
(iii) (E ⊂ F et F ⊂ G) ⇒ E ⊂ G
Démonstration.
(i) C’est évident par définition de l’ensemble vide.
(ii) C’est également évident car ∀x ∈ E , x ∈ E.
(iii) Soit x ∈ E, alors comme E ⊂ F , on a x ∈ F . De plus, comme F ⊂ G, on a x ∈ G. Donc E ⊂ G.
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I.C Opérations sur les parties d’un ensemble
5 janvier 2015
I.C Opérations sur les parties d’un ensemble
Définition 2
Soient E un ensemble et A et B deux sous ensembles de E . On définit, à partir de A et B, les parties suivantes de
E:
•
•
•
•
A ∪ B = {x ∈ E , x ∈ A ou x ∈ B}, appelé réunion des ensembles A et B.
A ∩ B = {x ∈ E , x ∈ A et x ∈ B}, appelé intersection des ensembles A et B.
A \ B = {x ∈ E , x ∈ A et x ∈/ B}, appelé différence A moins B.
∁E A = E \ A le complémentaire de A dans E . Noté aussi Ā.
E
A
∁E A
A
B
B
A
A ∪B
A ∩B
Définition 3
Deux parties A et B de E sont dites disjointes si A ∩ B = ;.
Proposition 2
Propriétés des opérations sur les ensembles :
Soient E un ensemble et A, B et C des sous ensembles de E .
b) ∁E E = ;
¡
¢
c) ∁E ∁E A = A
1. Avec la réunion :
a) A ∪ ; = ; ∪ A = A
b) A ∪ A = A
4. Les lois de Morgan :
c) A ∪ E = E
a) ∁E (A ∪ B) = (∁E A) ∩ (∁E B)
d) A ∪ B = B ∪ A
b) ∁E (A ∩ B) = (∁E A) ∪ (∁E B)
e) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
5. Union et intersection :
f) A ∪ B = A ⇔ B ⊂ A
a) A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )
2. Avec l’intersection :
(distributivité de ∩ par rapport à ∪).
a) A ∩ ; = ; ∩ A = ;
b) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
b) A ∩ A = A
(distributivité de ∪ par rapport à ∩).
c) A ∩ E = A
c) A ∩ (A ∪ B) = A ∪ (A ∩ B) = A
d) A ∩ B = B ∩ A
6. Différence :
e) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )
a) A \ B = ; ⇔ A ⊂ B
f) A ∩ B = A ⇔ A ⊂ B
b) A \ ; = A
3. Avec le complémentaire :
c) A \ B = A ∩ ∁E B = A \ (A ∩ B)
a) ∁E ; = E
Démonstration. Nous allons effectuer une démonstration partielle de ces propriétés. La démonstration des autres propriétés est similaire et pourra
être faite à titre d’exercice :
• Montrons d’abord directement par équivalences la propriété 4a). Soit x ∈ E, alors :
x ∈ ∁E (A ∪ B )
⇔
⇔
⇔
⇔
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non(x ∈ A ou x ∈ B )
non(x ∈ A)et non(x ∈ B )
x ∈ ∁E A et x ∈ ∁E B
x ∈ (∁E A) ∩ (∁E B )
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I.D Ensembles produits
5 janvier 2015
• Montrons maintenant la propriété 5a). On veut montrer une égalité d’ensembles et pour cela, on va montrer les inclusions réciproques
(ou double inclusion) :
— A ∩ (B ∪C ) ⊂ (A ∩ B ) ∪ (A ∩C )
Soit x ∈ A ∩ (B ∪C ), alors x ∈ A et(x ∈ B ou x ∈ C ).
1er cas : x ∈ A et x ∈ B , alors x ∈ A ∩ B .
2ème cas : x ∈ A et x ∈ C , alors x ∈ A ∩C .
En conclusion, x ∈ A ∩ B ou x ∈ A ∩C , donc x ∈ (A ∩ B ) ∪ (A ∩C ).
— (A ∩ B ) ∪ (A ∩C ) ⊂ A ∩ (B ∪C )
Soit x ∈ (A ∩ B ) ∪ (A ∩C ), alors (x ∈ A ∩ B )ou(x ∈ A ∩C ).
1er cas : x ∈ A ∩ B , alors x ∈ A et x ∈ B , donc x ∈ A et x ∈ B ∪C .
2ème cas : x ∈ A ∩C , alors x ∈ A et x ∈ C , donc x ∈ A et x ∈ B ∪C .
En conclusion, on a démontré que x ∈ A ∩ (B ∪C ).
I.D Ensembles produits
Définition 4
Soient E et F deux ensembles. On appelle ensemble produit de E et F , noté E × F , l’ensemble constitué des
couples (x, y) où x ∈ E et y ∈ F .
Exemple 2 :
Si E = {A, B,C } et F = {1, 2}, alors :
E × F = {(A, 1), (A, 2), (B, 1), (B, 2), (C , 1), (C , 2)}
F
E ×F
2
1
E
A
B
C
Définition 5
Soient E 1 , E 2 , . . . , E n des ensembles. On définit de même l’ensemble produit E 1 × E 2 × · · · × E n de ces ensembles,
constitué des n-uplets (x1 , x2 , . . . , xn ) où xi ∈ E i pour tout entier i ∈ [[1, n]].
Remarque 2 :
exemple.
Lorsque E 1 = E 2 = . . . = E n = E , on note : E n = E × E × · · · × E comme on l’a déjà utilisé pour R2 par
I.E Structure algébrique des ensembles
Définition 6
On appelle loi de composition interne (ou opération) sur un
½ ensemble E une application ⊕ de E × E à valeurs
E ×E →
E
dans E qui, à un couple (x, y), associe son image x ⊕ y. ⊕ :
(x, y) 7→ x ⊕ y
Exemple 3 : N × N est l’ensemble des couples de coordonnées (x, y), avec x et y des éléments de N.
+ est une opération sur l’ensemble N : l’image du couple (2, 3) est 2 + 3 = 5.
× est également une opération sur l’ensemble N : l’image du couple (2, 3) est 2 × 3 = 6.
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I.E Structure algébrique des ensembles
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Définition 7
On appelle groupe un couple (G, ⊕), où G est un ensemble et ⊕ une loi de composition interne sur G vérifiant :
1. ⊕ est associative (c’est à dire que pour tout (a, b, c) ∈ G 3 , on a : (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)).
2. ⊕ possède un élément neutre (c’est à dire qu’il existe un élément e tel que ∀a ∈ G, a ⊕ e = e ⊕ a = a )
3. Tout élément de G possède un symétrique pour la loi ⊕ (c’est à dire que ∀a ∈ G, ∃b ∈ G tel que a ⊕ b =
b ⊕ a = e, et on note b = a −1 ou −a selon les groupes et les lois de composition).
Si ∀(a, b) ∈ G 2 , on a : a ⊕ b = b ⊕ a, alors (G, ⊕) est un groupe commutatif (ou groupe abélien).
Exemples 4 :
— (Z, +),(Q, +),(Q∗ , ×),(R, +) et (R∗ , ×) sont des groupes commutatifs.
Pour le groupe (R, +), l’élément neutre est 0 et le symétrique de a est noté −a (appelé opposé de a). Pour le
1
groupe (R∗ , ×), l’élément neutre est 1 et le symétrique de a est noté (appelé inverse de a).
a
— (N, +) et (Z∗ , ×) ne sont pas des groupes.
On peut donner un exemple plus original et plus imagé de la notion de groupe si on considère l’ensemble des heures
d’une pendule noté {0 = 12, 1, 2, 3, . . . , 11}, et muni de la loi d’addition + avec par exemple :
1+3
7+8
=
=
4
15 = 3
On vérifie très facilement qu’il s’agit d’un groupe abélien (appelé en mathématiques Z/12Z) d’élément neutre 0, et où
la notion de symétrique prend un sens géométrique. Le symétrique de 2 est 10...
Définition 8
On appelle sous-groupe du groupe (G, ⊕) tout groupe (H , ⊕) contenu dans G (H est muni de la même loi que G).
Remarque 3 : Ceci assure en particulier que ∀a, b ∈ H , a ⊕ b ∈ H , car ⊕ est également une loi interne pour H (on
dit que H est stable par ⊕).
Proposition 3
Soit (G, ⊕) un groupe, dont on note e l’élément neutre et a −1 le symétrique de a ∈ G, alors un ensemble H est un
sous-groupe de G si et seulement si :
(i) e ∈ H
(ii) Si a ∈ H , alors a −1 ∈ H .
(iii) Si a, b ∈ H , alors a ⊕ b ∈ H
Dans l’exemple de la pendule, on peut par exemple vérifier que {0, 3, 6, 9} est un sous-groupe du groupe des heures.
Définition 9
On appelle corps un triplet (K, ⊕, ⊗) vérifiant :
1. (K, ⊕) est un groupe commutatif.
2. (K∗ , ⊗) est un groupe.
3. ⊗ est distributive (à droite et à gauche) par rapport à ⊕. C’est à dire :
∀(x, y, z) ∈ K3 , x ⊗ (y ⊕ z) = x ⊗ y ⊕ x ⊗ z
∀(x, y, z) ∈ K3 , (x ⊕ y) ⊗ z = x ⊗ z ⊕ y ⊗ z
De plus, ce corps est dit commutatif si (K∗ , ⊗) est un groupe commutatif.
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Exemples 5 :
(Q, +, ×) et (R, +, ×) sont des corps commutatifs.
Exercice I.1 :
1. Montrer que l’ensemble C, muni des lois de composition + et × est un corps commutatif.
2. Montrer que l’ensemble (U, ×) des nombres complexes de module 1 est un sous-groupe de (C∗ , ×).
3. Montrer que l’ensemble (Un , ×) des racines n ièmes de l’unité est un sous-groupe de U.
II Applications
II.A Généralités
On rappelle que f est une application d’un ensemble E vers un ensemble F si tout élément x de E admet une image
notée f (x) dans F , et si cette image est unique. Autrement dit :
∀x ∈ E , ∃!y ∈ F tel que y = f (x)
(! signifie unique)
On note F (E , F ) l’ensemble des applications de l’ensemble E vers l’ensemble F .
©
ª
On note Γ = (x, y) ∈ E × F, y = f (x) le graphe de l’application.
Définition 10
Soit A ⊂ E . On appelle image de la partie A, le sous-ensemble de F noté f (A), par abus de langage, et défini par :
f (A) = {y ∈ F , ∃x ∈ A tel que y = f (x)}
C’est l’ensemble des images par f des éléments de la partie A.
’ Attention, f (A) n’est pas l’image d’un élément de E , mais le sous ensemble de F constitué des images des éléments de A.
½
N →
N
Exemple 6 : Soit l’application f :
.
n 7→ n + 1
On a par exemple f ({0, 1}) = {1, 2}, et f (N) = N∗ (car ∀n ∈ N∗ , n = f (n − 1) et 0 n’a pas d’antécédent par f dans N).
Définition 11
Soit B ⊂ F . On appelle image réciproque de la partie B, le sous-ensemble de E noté f −1 (B), et défini par :
f −1 (B) = {x ∈ E , f (x) ∈ B}
C’est l’ensemble des antécédents par f des éléments de la partie B.
Remarque 4 : Attention ! f −1 n’est pas une application en général ! Ne pas confondre image réciproque d’une partie
par l’application f (celle-ci existe toujours) et application réciproque f −1 (qui n’existe que si f est bijective). Dans
l’exemple suivant, f n’admet pas d’application réciproque sur R, mais R a une image réciproque par f (il s’agit de R).
½
R → R
Exemple 7 : Considérons l’application f :
x 7→ x 2
—
—
—
—
f −1 ({1}) = {−1; 1} car ∀x ∈ R, f (x) = 1 ⇔ x 2 = 1 ⇔ x = ±1.
f −1 (R+ ) = R car ∀x ∈ R, f (x) = 1 ⇔ x 2 Ê 0 ⇔ x ∈ R.
f −1 (R∗− ) = ; car l’inéquation f (x) < 0 n’a pas de solution dans
R.
p p
De même, on a f −1 (R− ) = {0}, f −1 (R) = R et f −1 ([0, 2]) = [− 2, 2].
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II.B Injections, surjections, bijections
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2
1
p
− 2
p
0
2
Image réciproque de [0,2]
II.B Injections, surjections, bijections
II.B.1 Notion intuitive d’ensembles en bijection
Deux ensembles E et F sont en bijection lorsque « tout élément de E est associé à un unique élément de F et que,
de cette manière, tout élément de F se trouve associé à un unique élément de E ».
Remarque 5 : Deux ensembles finis de même cardinal (i.e. avec le même nombre d’éléments) sont en bijection.
• L’ensemble {a, b, c, d} est en bijection avec l’ensemble {α, β, γ, δ} (En définissant l’application a ↔ α, b ↔ β, c ↔
γ, d ↔ δ ou encore a ↔ β, b ↔ α, c ↔ δ, d ↔ γ, etc...)
E
a
β
c
δ
α
b
γ
d
F
• Un ensemble composé de trois boules de couleurs différentes est en bijection avec l’ensemble {1, 2, 3} (on « numérote » les boules).
1
2
3
Exemples d’ensembles infinis en bijection En respectant la définition donnée, on peut établir que certains ensembles usuels sont en bijection.
½
N →
N∗
— N et N∗ sont en bijection par la relation : f :
(On a les associations 0 ↔ 1, 1 ↔ 2, 2 ↔ 3, . . . , n ↔
n 7→ n + 1
n + 1, . . .)
— N et N × N sont en bijection.
On a les associations :
(0, 0) ↔ 0, (1, 0) ↔ 1, (0, 1) ↔ 2, (2, 0) ↔ 3, . . .
N
18
9
1
0
5
8
2
4
7
11
0
1
1
3
6
10
N
Bijection de N × N sur N (schéma)
½
N2
→
N
Une autre relation de bijection plus formelle est f :
.
(p, s) 7→ 2p (2s + 1) − 1
— N et Q sont en bijection.
— R et R2 sont en bijections (il y a donc autant de points sur une droite que sur un plan).
Exercice II.1 :
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Démontrer que les ensembles N et Z sont en bijection.
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II.B Injections, surjections, bijections
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
N



n
Solution. Il suffit de considérer la relation :



n
→
7→
7→
Z
n
2
n +1
−
2
si n est pair.
si n est impair.
Définition 12
Un ensemble en bijection avec N est dit dénombrable.
On peut « indexer » ses éléments par les entiers naturels.
Le cardinal d’un tel ensemble est noté ℵ0
Remarques 6 : • L’ensemble R n’est pas dénombrable. (résultat établi par Cantor en 1873, sa démonstration publiée en 1891 utilise l’argument aujourd’hui appelé « argument de la diagonale de Cantor »). Le cardinal d’un tel
ensemble est noté ℵ1
• Hypothèse du continu formulée par Cantor, Cohen en 1963, démontre son indécidabilité dans le système axiomatique méthode de démonstration dite du forcing)
• À quelles conditions deux ensembles E et F sont-ils en bijection ? : notion intuitive de surjection/injection.
II.B.2 Applications injectives, surjectives, bijectives
Définition 13
Soit f : E → F une application. On dit que f est injective (ou une injection) si tout élément de F a au plus un
antécédent (par f ), ce qui s’énonce de la manière suivante :
∀x, x ′ ∈ E , f (x) = f (x ′ ) ⇒ x = x ′
ou de manière équivalente, par contraposée :
∀x, x ′ ∈ E , x 6= x ′ ⇒ f (x) 6= f (x ′ )
E
F
E
Non injectif
F
Injectif
Définition 14
Soit f : E → F une application. On dit que f est surjective (ou une surjection) si tout élément de F a au moins
un antécédent (par f ), ce qui s’énonce :
∀y ∈ F, ∃x ∈ E , y = f (x)
E
F
E
Non surjectif (et injectif)
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F
Surjectif (et non injectif)
II.C Compléments sur les applications
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Définition 15
Soit f : E → F une application. On dit que f est bijective (ou une bijection) si tout élément de F a un et un seul
antécédent (par f ), ce qui s’énonce de la manière suivante :
∀y ∈ F, ∃!x ∈ E , y = f (x)
E
F
Bijectif (injectif et surjectif)
Avec les définitions précédentes, on constate donc que f est bijective si et seulement si elle est injective et
surjective.
Remarque 7 : La propriété de surjectivité traduit l’existence d’un antécédent par f pour tout élément y de F .
La propriété d’injectivité traduit l’unicité d’un éventuel antécédent de y.
La propriété de bijectivité traduit donc l’existence et l’unicité d’un tel antécédent.
Proposition 4
f : E → F est surjective si et seulement si f (E ) = F .
Exercice II.2 :
Discuter de l’injectivité et de la surjectivité des applications suivantes dans leur ensemble image :
f :
½
i:
½
N
n
R
x
→
7
→
N
n +1
→
7→
l:
R+
x2
½
g:
j:
R
θ
→
7
→
½
½
Z
n
→
7
→
→
7
→
N
n
C
e iθ
Z
n +1
h:
½
N
k:
2
n
½
C →
m:
z 7→
½
Z
n
R+
x
→
7
→
→
7
→
Z
2n + 3
R
x2
C∗
ez
II.C Compléments sur les applications
II.C.1 Composée de deux applications et application réciproque
On rappelle les définitions suivantes, déjà données dans les chapitres précédents pour des cas particuliers :
1. Si f : E → F et g : F → G sont deux applications, alors on définit la composée de f suivie de g par :
g◦f :
½
E
x
→
7
→
G
g [ f (x)]
2. Si f : E → F est une application bijective, alors tout élément y de F a un unique antécédent x par f , et on définit
l’application réciproque de f notée f −1 par f −1 (y) = x. On a alors :
y = f (x) ⇔ x = f −1 (y)
3. L’application I dE :
jective.
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½
E
x
→
7
→
E
x
est appelée application identique (ou identité) de E . Elle est trivialement bi-
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II.C Compléments sur les applications
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Proposition 5
Soient f : E → F et g : F → G deux applications bijectives.
1. L’application I dE est bijective et I dE−1 = I dE .
2. f −1 ◦ f = I dE , et f ◦ f −1 = I dF
3. g ◦ f : E → G est bijective, et (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1
g◦f
g
f
E
F
f
G
−1
g
−1
(g ◦ f )−1
Exercice II.3 :
Soit f : E → F une application :
1. Montrer que s’il existe g : F → E tel que g ◦ f = I dE , alors f est injective.
2. Montrer que s’il existe h : F → E tel que f ◦ h = I dF , alors f est surjective.
3. Montrer que si les deux conditions précédentes sont réunies, alors f est bijective et f −1 = g = h.
Définition 16
On dit que l’application f : E → E est involutive (ou une involution) si f ◦ f = I dE . Si f est une involution, alors
f est bijective et on a f −1 = f .
1. f :
Exemples 8 :
(
R∗ → R∗
1
est une involution.
x 7→
x
II.C.2 Prolongement et restriction d’une application
Définition 17
Soit f : E → F une application, et A une partie de E . On appelle restriction de f à la partie A, l’application notée
f |A définie par :
½
A →
F
f |A :
x 7→ f (x)
D f |A = D f ∩ A.
½
R → R
Exemple 9 : Soit f :
.
x 7→ |x|
½
½
R− → R−
R+
On a f |R− = −I dR− :
et f |R+ = I dR+ :
x 7→ −x
x
Remarque 8 :
→
7→
R+
.
x
Définition 18
Soit f : E → F une application, et X un ensemble qui contient E (E ⊂ X ). On dit que l’application g : X → F est
un prolongement de f si g |E est l’application f .
En d’autres termes, g est un prolongement de f sur X si g coïncide avec f sur E .
Exemple 10 :
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Soit f :
½
R+
x
→
7→
R
p
x
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L’application :
g1 :
½
Cf
R
x
→
7
→
pR
|x|
est un prolongement (continu) de f .

 R → pR
x si x Ê 0 est aussi un prolongement (non continu) de f .
x 7→
L’application g 2 :

x 7→ −1 si x < 0
Remarque 9 : Dans la plupart des cas, on prolonge une fonction en un point seulement, qui se trouve hors de
l’ensemble de définition, et de façon à ce que le prolongement soit continu (prolongement par continuité).
III Ensembles finis, dénombrements
Notation : On note [[1, n]] =
½
;
{1, 2, . . . , n}
si n = 0 (par convention)
si n Ê 1
III.A Définition d’un ensemble fini. Propriétés
La plupart des théorèmes
££ de ce
¤¤ paragraphe sont relativement intuitifs et seront admis. En particulier, on admet que
s’il existe une bijection de 1, p sur [[1, n]], alors p = n.
Définition 19
On dit qu’un ensemble E non vide est fini à n éléments s’il existe une bijection de [[1, n]] sur E . n est appelé
cardinal de E et noté n = card E .
On convient que l’ensemble vide est fini et que card ; = 0.
Exemples 11 :
1. [[1, n]] est un ensemble fini et card ([[1, n]]) = n (l’identité est alors une bijection qui convient).
££
¤¤
££
¤¤
2. p, q avec q Ê p est un ensemble fini, et card ( p, q ) = q − p + 1.
¤¤
££
¤¤
½ ££
p, q
→
1, q − p + 1
En effet, ϕ :
est une application bijective
k
7→
k −p +1
(à démontrer).
Remarque 10 : La définition signifie qu’on peut « indexer » les éléments de E .
Si E est fini et de cardinal n, il existe une bijection :
ϕ:
½
[[1, n]]
i
→
7→
E
ϕ(i ) = ai
a1 , a2 , . . . , an sont les éléments de E .
Théorème 1
Soit E un ensemble fini et F ⊂ E . Alors card F É card E . De plus, card F = card E si et seulement si F = E .
Théorème 2
Soit E et F deux ensembles finis.
(i) Il existe une injection de E dans F si et seulement si card E É card F .
(ii) Il existe une surjection de E dans F si et seulement si card E Ê card F .
(iii) Il existe une bijection de E dans F si et seulement si card E = card F .
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III.B Opérations sur les ensembles finis
5 janvier 2015
Démonstration. Ces deux théorèmes sont admis.
Les points (i) et (ii) du théorème 2 sont connus sous le nom de « principe des tiroirs ».
(i) S’il y a plus d’objets que de tiroirs, l’un des tiroirs contiendra nécessairement deux objets (i.e. si card E > card F ,
alors f : E → F ne peut pas être injective).
E
F
(ii) S’il y a plus de tiroirs que d’objets, l’un des tiroirs ne contiendra nécessairement aucun objet (i.e. si card E <
card F , alors f : E → F ne peut pas être surjective).
E
F
Corollaire 2.1
Soient E et F deux ensembles de même cardinal. Alors toute application f : E → F injective (resp. surjective) est
bijective.
Démonstration. On suppose card E = card F = n :
• Si f : E → F est injective, alors f : E → f (E) ⊂ F est bijective (car injective et surjective). Donc d’après le théorème 2, on a :
card f (E) = card E = n = card F
En résumé, on obtient
½
f (E) ⊂ F
, d’où f (E) = F d’après le théorème 1. Donc f est surjective.
card f (E) = card F
• Si f : E → F est surjective, alors en notant f 1 , f 2 ,... , f n les éléments de F , on peut écrire : f 1 = f (e 1 ), f 2 = f (e 2 ),... , f n = f (e n ) où les
( f i )1Éi Én sont tous distincts car f est une application surjective.
Les n éléments e 1 ,e 2 ,... ,e n de E étant distincts, on a {e 1 ,e 2 ,... ,e n } = E (car card E = n). Enfin, comme les images de e 1 ,e 2 ,... ,e n sont
distinctes, alors f est bien injective.
Ce théorème s’interprète encore à l’aide du principe des tiroirs. On suppose qu’il y a autant de tiroirs que d’objets :
E
F
Si on affecte chaque objet à un tiroir vide, tous les tiroirs sont remplis (i.e. f injective ⇒ f surjective). Réciproquement,
si tous les tiroirs sont remplis par au moins un objet, alors il ne peut y avoir deux objets dans même tiroir (i.e. f
surjective ⇒ f injective).
III.B Opérations sur les ensembles finis
Théorème 3
Soient E et F deux ensembles finis. Alors E ∪ F est fini, et :
card (E ∪ F ) = card E + card F − card (E ∩ F )
Si E et F sont disjoints on a card (E ∪ F ) = card E + card F .
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III.C Dénombrement des applications
5 janvier 2015
E
F
Interprétation : Si on additionne le nombre
d’éléments de E et celui de F , on compte deux
fois le nombre d’éléments de l’intersection.
Corollaire 3.1
Si E 1 , . . . , E n sont disjoints, alors :
card (E 1 ∪ E 2 ∪ . . . ∪ E n ) = card E 1 + card E 2 + . . . + card E n
Théorème 4
Soient E et F deux ensembles finis. Alors E × F est fini, et :
F
E ×F
y2
card (E × F ) = card E × card F
y1
x1
Démonstration. Soit E = {x 1 ,... , x n }. Alors :
x2
x3
E
E × F = ({x 1 } × F ) ∪ ({x 2 } × F ) ∪ ... ∪ ({x n } × F )
Cette réunion étant disjointe, E × F est donc fini et :
card (E × F ) =
Or ∀k ∈ [[1,n]] ,
card ({x k } × F ) = card F , car :
ϕ:
est bijective. Finalement :
card (E × F ) =
n
X
½
k=1
F
y
n
X
k=1
→
7→
card ({x k } × F )
{x k } × F
(x k , y )
card F = n card F = card E × card F
Corollaire 4.1
Si E est fini et n ∈ N∗ , alors E n est fini et card E n = ( card E )n .
Exemple 12 :
Pour E = {0, 1}n = {0, 1} × {0, 1} × · · · {0, 1}, alors card E = 2n .
{z
}
|
n fois
Par exemple,
{0, 1}3 = {(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}
et on vérifie bien que card ({0, 1}3 ) = 8 = 23 .
III.C Dénombrement des applications
Rappel : On note F (E , F ), ou encore F E , l’ensemble des applications de E dans F .
Théorème 5
Si E et F sont finis, alors F E est fini et :
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card F E = ( card F ) card E
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III.D Arrangements
5 janvier 2015
Exemple 13 : On cherche les applications de E = {1, 2} dans F = {1, 2, 3}. Le dessin suivant représente le nombre
d’applications possibles :
Image de 1
Images possibles
Image de 2
1
1
2
3
2
1
2
3
3
1
2
3
Tirages successifs avec remise.
Ce problème pourrait aussi se reformuler comme recherche du nombre de possibilités de deux tirages successifs
de 3 boules distinctes dans une urne avec remise (3 choix pour le premier tirage suivi de 3 choix pour le second). Il y a
donc clairement 32 = 9 applications possibles, qui sont :
½
½
½
½
½
1 7→ 1
1 7→ 1
1 7→ 1
1 7→ 2
1 7→ 2
;
;
;
;
;
2 7→ 1
2 7→ 2
2 7→ 3
2 7→ 1
2 7→ 2
½
1 7→ 2
;
2 7→ 3
½
1 7→ 3
;
2 7→ 1
½
1 7→ 3
;
2 7→ 2
½
1 7→ 3
2 7→ 3
On constate que le nombre d’applications est exactement le nombre d’éléments de l’ensemble F
ce qui s’explique par le fait que l’application
½ E
F
→
{1, 2, 3}2
f
7→ ( f (1), f (2))
card E
= {1, 2, 3}2 ,
est bijective.
Démonstration. Principe de la démonstration du théorème 5.
On note p = card E, et E = {x 1 , x 2 ,... , x p }. Comme dans l’exemple précédent, on construit une application bijective (à démontrer) :
½ E
F
→
Fp
ϕ:
f
7→ ( f (x 1 ),... , f (x p ))
On en déduit alors, d’après le théorème 2 et le corollaire 4.1, que F E est fini et que :
card F E = card (F p ) = ( card F )p = ( card F ) card E
III.D Arrangements
Définition 20
Soient n et p deux nombres entiers tels que p É n.
On appelle arrangement de p éléments parmi n, une injection d’un ensemble E fini à p éléments dans un ensemble F fini à n éléments.
Exemple 14 : On peut reprendre l’exemple précédent en cherchant le nombre d’arrangements de 2 éléments parmi
3, ce qui revient à compter le nombre d’injections de E = {1, 2} dans F = {1, 2, 3}. Le dessin suivant représente le nombre
d’applications injectives possibles :
Image de 1
1
Images possibles
2
3
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Image de 2
2
3
1
3
1
2
III.D Arrangements
5 janvier 2015
C’est le même principe que pour le dénombrement des applications, mais il faut prendre garde à ne pas répéter
deux fois la même image.
Tirages successifs sans remise
Ce problème pourrait aussi se reformuler comme recherche du nombre de possibilités de deux tirages successifs
de 3 boules distinctes dans une urne sans remise (3 choix pour le premier tirage suivi de 2 choix pour le second). Il y a
donc clairement 3 × 2 = 6 applications possibles, qui sont :
½
F
1 7→ 1
;
2 7→ 2
½
1 7→ 1
;
2 7→ 3
½
1 7→ 2
;
2 7→ 1
½
1 7→ 2
;
2 7→ 3
½
1 7→ 3
;
2 7→ 1
½
1 7→ 3
;
2 7→ 2
On constate que le nombre d’injections de E dans F correspond au nombre d’éléments (a, b) de l’ensemble
= {1, 2, 3}2 avec a 6= b. On peut d’ailleurs écrire les arrangements de la manière suivante :
card E
(1, 2); (1, 3); (2, 1); (2, 3); (3, 1); (3, 2);
Plus généralement, on peut utiliser cet exemple pour compter le nombre d’arrangements de p éléments parmi n. Il
s’agit, de même, de choisir p éléments parmi les n éléments de F en leur assignant un numéro : Il y a n choix pour le
premier élément, puis n − 1 pour le second et ainsi de suite. Soit en tout :
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − p + 1)
choix possibles.
Proposition 6
p
Le nombre A n d’arrangements de p éléments parmi n est :
p
An
Exercice III.1 :
les décrire.
=


n!
= n(n − 1) · · · (n − p + 1)
(n − p)!

0
si 0 É p É n
si p > n
On note E = {1, 2}, E ′ = {1, 2, 3} et F = {a, b, c, d}. Donner le nombre d’arrangements de E dans F , et
Par exemple, l’arrangement
½
1 7→ a
se notera (a, b).
2 7→ b
Donner le nombre d’arrangements de E ′ dans F .
On peut utiliser la proposition 6 pour compter le nombre de permutations d’un ensemble fini E à n éléments (bijections de E dans E ). On sait, d’après le corollaire 2.1, que pour toute application f de E dans E , on a f bijective si et
seulement si f est injective. Donc compter le nombre de permutations de E revient à compter le nombre d’injections
de E dans E . Il y a ainsi :
n!
A nn =
= n!
0!
permutations de E . Ce que résume le théorème suivant :
Théorème 6
Si E est un ensemble fini de cardinal n, alors le nombre de permutations de E est n!.
Exercice III.2 :
Soit E = {1, 2, 3}. Donner la liste des permutations de E .
Exercice III.3 :
Combien y-a-t-il de podiums possibles dans un 100 m ?
Solution. A 38 = 336
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III.E Combinaisons
5 janvier 2015
III.E Combinaisons
Définition 21
Soit E un ensemble fini à n éléments, et p un entier compris entre 0 et n. On appelle combinaison de p éléments
de E , toute partie de E à p éléments.
Exemple 15 :
Si E = {a, b, c, d}, les combinaisons de 3 éléments de E sont {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d} et {b, c, d}.
Cela revient à un tirage simultané
Dans l’exemple précédent, {b, c, d} est une combinaison de E = {a, b, c, d}, composée des différents arrangements
(b, c, d), (b, d, c), (c, b, d), (c, d , b), (d, b, c) et (d, c, b), soit en tout 3! = 6 arrangements qui correspondent aux permutations de {b, c, d}, l’ordre ne comptant pas pour les combinaisons.
De même, chacune des autres combinaisons contient 6 arrangements. Au total, on obtient tous les arrangements
de 3 éléments parmi 4 :
A 34 = (Nombre de combinaisons) × 6
Ce qui permet d’en déduire le :
Nombre de combinaisons =
A 34
6
=
4×3×2
=4
6
à De
! manière générale, on peut compter le nombre de combinaisons de p éléments d’un ensemble à n éléments, noté
n
p
(anciennement noté : C n ) en utilisant le
p
principe du berger :
à !
n
p
=
Nombre total d’arrangements (⋆)
Nombre d’arrangements par combinaison (⋆)
=
n!
An
=
p!
p!(n − p)!
p
(⋆) de p éléments dans un ensemble à n éléments.
Remarque 11 :
Le principe du berger s’appelle ainsi en raison de l’évidence suivante :
Nombre de moutons =
Nombre total de pattes
Nombre de pattes par mouton
Théorème 7
Le nombre de combinaisons de p éléments d’un ensemble à n éléments est :
à !
n
n!
=
p!(n − p)!
p
Proposition 7 (Formules très importantes)
à ! Ã
!
n
n
1) Pour 0 É p É n, on a :
=
p
n−p
2) Pour n Ê p + 1, on a :
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Ã
! Ã
! Ã !
n +1
n
n
=
+
p +1
p +1
p
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III.E Combinaisons
Remarque 12 :
5 janvier 2015
1) Il faut connaître sans hésiter les valeurs suivantes :
à ! Ã
!
à ! à !
n
n
n
n
=
=n
=
= 1 et
1
n −1
0
n
2) La deuxième formule de la proposition
à ! 7 est connue sous le nom de formule du triangle de Pascal. Elle permet de
n
calculer de proche en proche les
, en les disposant de manière triangulaire : on construit un tableau où, pour
p
à !
n
`
0 É p É n, on place l’élément
à la n i eme
ligne et p i ème colonne :
p
❍
❍❍ p 0
n ❍❍
0
1
2
3
4
5
..
.
..
.
1
1
1
1
1
1
..
.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
···
..
p +1
p
···
.
à !
n
p
n
n +1
..
.
Ã
Ã
n
p +1
n +1
p +1
!
!
La première colonne et la diagonale ne contiennent que des 1, et chacun des autres éléments est obtenu en faisant
la somme des éléments haut et haut-gauche.
Démonstration. Les deux alinéas de la proposition 7 peuvent être démontrés de deux manières différentes : par un calcul direct ou bien d’un point
de vue « ensembliste » (plus explicatif). Nous allons procéder selon les deux méthodes, en commençant par le calcul :
1) Pour la première égalité :
à !
n
p
=
=
n!
n!
=
p!(n − p)! (n − p)!p!
Ã
!
n!
n
=
(n − p)!(n − (n − p))!
n−p
2) Pour la seconde égalité :
à ! Ã
!
n
n
+
p
p +1
=
=
n!
(p + 1)n! + (n − p)n!
n!
+
=
p!(n − p)! (p + 1)!(n − p − 1)!
(p + 1)!(n − p)!
Ã
!
(n + 1)!
n +1
(n + 1)n!
=
=
(p + 1)!((n + 1) − (p + 1))!
(p + 1)!((n + 1) − (p + 1))!
p +1
Effectuons maintenant la démonstration de ces propriétés à l’aide des ensembles. Celle-ci pourra servir de référence pour ce type de raisonnement :
1) Soit E un ensemble à n éléments. L’ensemble P p (E) des parties de E à p éléments est en bijection avec l’ensemble P n−p (E) des parties de E à
(n − p) éléments par l’application :
½
P p (E) → P n−p (E)
ϕ:
F
7→
∁E F
Donc ces deux ensembles ont même cardinal. Autrement dit, compter le nombre de parties de E à p éléments revient à compter le nombre de
complémentaires de ces parties (qui sont les parties à (n − p) éléments).
Par exemple, si E = {a,b,c,d }, les parties à 3 éléments de E sont {a,b,c},{a,b,d }, {a,c, d } et {b,c,d }, et leurs complémentaires respectifs sont
{d },{c},{b} et {a}.
Ã
!
n +1
2) Soit E un ensemble à (n + 1) éléments. Par définition, le nombre de parties de E à (p + 1) éléments est
. Comptons ce nombre d’une autre
p +1
manière. On fixe x ∈ E. E est composé :
Ã
!
n
— Des parties de E ne contenant pas x, soit un choix de (p + 1) éléments parmi les n restants :
choix.
p +1
à !
n
— Des parties de E contenant x, soit un choix des p autres éléments parmi les n restants :
choix.
p
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III.E Combinaisons
5 janvier 2015
On obtient ainsi l’égalité souhaitée.
Théorème 8 (Formule du binôme de Newton)
Soient a, b ∈ C et n ∈ N, alors :
à !
n
X
n p n−p
(a + b) =
a b
p=0 p
n
Exemple 16 :
Pour n = 5, l’écriture de la formule nous donne :
à !
5
X
5 p 5−p
5
(a + b)
=
a b
p
p=0
à !
à !
à !
à !
à !
à !
5 5
5
5 2 3
5 3 2
5 4
5 5
4
=
b +
ab +
a b +
a b +
a b+
a
0
1
2
3
4
5
Les coefficients sont alors fournis par la ligne 5 du triangle de Pascal. On a finalement : (a + b)5 = b 5 + 5ab 4 + 10a 2 b 3 +
10a 3 b 2 + 5a 4 b + a 5 Lorsqu’on effectue un développement, il est d’ailleurs inutile de réécrire la formule : on écrit directement ces coefficients.
à !
n n
X
n
Remarque 13 : De part la symétrie des coefficients, on peut écrire de manière équivalente : (a+b) =
a n−p b p
p=0 p
Démonstration. On va démontrer la formule par récurrence sur n (pour n Ê 0) :
◦ Initialisation : Pour n = 0, la formule est vraie car :
à !
0 0
X
(a + b)0 = 1 et
a p b 0−p = 1a 0 b 0 = 1
p=0 p
◦ Hérédité : Soit un entier n Ê 0 fixé :
Supposons que la formule est vraie au rang n. Montrons qu’elle est vraie au rang n+1. Commençons par utiliser l’hypothèse de récurrence :
à !
n n
X
n+1
n
(a + b)
= (a + b)(a + b) = (a + b)
a p b n−p
d’après l’hypothèse de récurrence.
p=0 p
à !
à !
n n
n n
X
X
=
a p+1 b n−p +
a p b n−p+1
p=0 p
p=0 p
Un décalage d’indice sur la première somme permet de trouver un facteur commun sous les deux sommes et de rassembler à nouveau
l’expression :
Ã
!
à !
n+1
n n
X
X
n
n+1
p n−(p−1)
(a + b)
=
a b
+
a p b n−p+1
p=1 p − 1
p=0 p
à !
Ã
!
n n
n
X
X
n
a p b n−p+1
a p b n−p+1 + b n+1 +
= a n+1 +
p=1 p
p=1 p − 1
Il reste à conclure à l’aide de la formule du triangle de Pascal :
Ã
!
ÃÃ
! Ã !!
n+1
n
X n + 1 p (n+1)−p
X
n
n
a p b n−p+1 + b n+1 =
a b
(a + b)n+1 = a n+1 +
+
p
p
p=0
p=1 p − 1
{z
}
|
¡n+1¢
p
Donc la formule est vraie au rang (n + 1).
◦ Conclusion : Par récurrence, la formule est vraie pour tout n Ê 0.
Exemple 17 :
Si x ∈ R :
à !
à !
n n
n
X
X
p n
p
n
(−1)
(1 + x) =
x et (1 − x) =
xp
p
p
p=0
p=0
n
Proposition 8
à !
n n
X
= 2n et
p=0 p
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à !
n
(−1)
=0
p
p=0
n
X
p
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III.E Combinaisons
5 janvier 2015
Démonstration. Le principe de la démonstration, à l’aide de la formule du binôme, est à connaître :
à !
à !
n n
n n
X
X
=
1p 1n−p = (1 + 1)n = 2n
p=0 p
p=0 p
n
X
(−1)p
p=0
à !
à !
n n
X
n
=
(−1)p 1n−p = ((−1) + 1)n = 0
p
p=0 p
Proposition 9
Si E est fini de cardinal n, alors l’ensemble P (E ) des parties de E est fini de cardinal 2n .
Démonstration. On rappelle qu’on note P k (E) l’ensemble des parties de E à k éléments. On a P (E) = P 0 (E) ∪ P 1 (E) ∪ ... ∪ P n (E), d’où :
card P (E)
=
=
card P 0 (E) + card P 1 (E) + card P 2 (E) + ··· + card P n (E)
à ! à ! à !
à !
à !
n n
X
n
n
n
n
+
+
= 2n
+ ... +
=
0
1
2
n
p=0 p
Remarque 14 : Les problèmes de dénombrements se ramènent tous à un problème d’urne et de boules, on peut
résumer le nombre de tirages de p boules dans une urne qui en contient n (avec p É n) :
tirage avec remise tirage sans remise
tirages successifs
np
An
à p!
n
tirage simultané
p
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TABLE DES MATIÈRES
5 janvier 2015
Table des matières
I
Ensembles
I.A La notion d’ensemble . . . . . . . . . . .
I.B Parties d’un ensemble . . . . . . . . . . .
I.C Opérations sur les parties d’un ensemble
I.D Ensembles produits . . . . . . . . . . . . .
I.E Structure algébrique des ensembles . . .
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1
1
1
2
3
3
II Applications
II.A Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.B Injections, surjections, bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.B.1 Notion intuitive d’ensembles en bijection . . . . . . . . . .
II.B.2 Applications injectives, surjectives, bijectives . . . . . . . .
II.C Compléments sur les applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.C.1 Composée de deux applications et application réciproque
II.C.2 Prolongement et restriction d’une application . . . . . . . .
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III Ensembles finis, dénombrements
III.A Définition d’un ensemble fini. Propriétés
III.B Opérations sur les ensembles finis . . . .
III.C Dénombrement des applications . . . . .
III.DArrangements . . . . . . . . . . . . . . . .
III.E Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . .
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Lycée Jean Perrin 2013/2014
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