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5 janvier 2015
Dénombrement
I Ensembles
I.A La notion d’ensemble
On ne donnera pas la définition mathématique, mais plutôt une définition intuitive de ce qu’est un ensemble. Il
s’agit d’une « collection d’objets » mathématiques à laquelle peut appartenir (ou non) un objet donné.
Lorsque xappartient à l’ensemble E, on note x∈Eet on dit que xest un élément de E. Dans le cas contraire, on
note x∈/E.
Exemple 1 : On peut définir un ensemble Epar les méthodes suivantes :
1. En énonçant un à un les éléments entre des accolades. Par exemple, E1={A,B,C,D},
E2={vert,rouge}, E3={1,2,3,... ,12}, N={0,1,2,... ,n,...}. Ces définitions sont dites par extension.
2. Par une liste de règles (axiomes).
C’est par une définition de ce type que l’on construit N(axiomatique de Péano), et qu’on en déduit la construc-
tion des ensembles Z,Q,Ret C.
3. À l’aide d’un ensemble de référence E0et d’un prédicat P(x). Ces définitions sont dites en compréhension.
E={x∈E0/P(x)} signifie que x∈Esi et seulement si x∈E0et P(x) est vrai.
Par exemple E={n∈N/2n+1 est premier }. Alors 2 ∈E, mais 3 ∈/E. On ne peut pas énumérer tous les éléments
de E, mais on peut vérifier l’appartenance d’un entier à cet ensemble.
I.B Parties d’un ensemble
Si Eet Fsont deux ensembles, on dit que Fest un sous-ensemble (ou une partie) de E, ou que Fest inclus dans
E, si tout élément de Fest un élément de E. Notation : F⊂E.
Définition 1
De manière usuelle, on écrit :
—E=Fsi E⊂Fet F⊂E(C’est la double inclusion, qui est utilisée pour démontrer l’égalité de deux ensembles)
—FÚEsi F⊂Eet F6=E.
—;l’ensemble vide défini par ;⊂Eet ∀x∈E,x∈/;.
— {a} un ensemble ne contenant qu’un élément a(on l’appelle un singleton).
—P(E) l’ensemble des parties de E. Par exemple, si E={1,2},l’ensemble des parties de Eest l’ensemble P(E)={;,{1},{2},{1,2}}.
Remarque 1 : F⊂/Esi ∃x∈F,x∈/E.
Soient E,F,Gtrois ensembles. On a :
(i) ;⊂E
(ii) E⊂E
(iii) (E⊂FetF⊂G)⇒E⊂G
Proposition 1
Démonstration.
(i) C’est évident par définition de l’ensemble vide.
(ii) C’est également évident car ∀x∈E,x∈E.
(iii) Soit x∈E, alors comme E⊂F, on a x∈F. De plus, comme F⊂G, on a x∈G. Donc E⊂G.
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I.C Opérations sur les parties d’un ensemble 5 janvier 2015
I.C Opérations sur les parties d’un ensemble
Soient Eun ensemble et Aet Bdeux sous ensembles de E. On définit, à partir de Aet B, les parties suivantes de
E:
•A∪B={x∈E,x∈Aou x∈B}, appelé réunion des ensembles Aet B.
•A∩B={x∈E,x∈Aet x∈B}, appelé intersection des ensembles Aet B.
•A\B={x∈E,x∈Aet x∈/B}, appelé différence A moins B.
• ∁EA=E\Ale complémentaire de Adans E. Noté aussi ¯ A.
Définition 2
A
∁EA
E
A
B
A∪B
A
B
A∩B
Deux parties Aet Bde Esont dites disjointes si A∩B=;.
Définition 3
Propriétés des opérations sur les ensembles :
Soient Eun ensemble et A,Bet Cdes sous ensembles de E.
1. Avec la réunion :
a) A∪;=;∪A=A
b) A∪A=A
c) A∪E=E
d) A∪B=B∪A
e) (A∪B)∪C=A∪(B∪C)
f) A∪B=A⇔B⊂A
2. Avec l’intersection :
a) A∩;=;∩A=;
b) A∩A=A
c) A∩E=A
d) A∩B=B∩A
e) (A∩B)∩C=A∩(B∩C)
f) A∩B=A⇔A⊂B
3. Avec le complémentaire :
a) ∁E;=E
b) ∁EE=;
c) ∁E¡∁EA¢=A
4. Les lois de Morgan :
a) ∁E(A∪B)=(∁EA)∩(∁EB)
b) ∁E(A∩B)=(∁EA)∪(∁EB)
5. Union et intersection :
a) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
(distributivité de ∩par rapport à ∪).
b) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
(distributivité de ∪par rapport à ∩).
c) A∩(A∪B)=A∪(A∩B)=A
6. Différence :
a) A\B=;⇔ A⊂B
b) A\;= A
c) A\B=A∩∁EB=A\(A∩B)
Proposition 2
Démonstration. Nous allons effectuer une démonstration partielle de ces propriétés. La démonstration des autres propriétés est similaire et pourra
être faite à titre d’exercice :
•Montrons d’abord directement par équivalences la propriété 4a). Soit x∈E, alors :
x∈∁E(A∪B)⇔non(x∈Aou x∈B)
⇔non(x∈A)etnon(x∈B)
⇔x∈∁EAetx∈∁EB
⇔x∈(∁EA)∩(∁EB)
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I.D Ensembles produits 5 janvier 2015
•Montrons maintenant la propriété 5a). On veut montrer une égalité d’ensembles et pour cela, on va montrer les inclusions réciproques
(ou double inclusion) :
—A∩(B∪C)⊂(A∩B)∪(A∩C)
Soit x∈A∩(B∪C), alors x∈Aet(x∈Boux∈C).
1er cas : x∈Aetx∈B, alors x∈A∩B.
2`
eme cas : x∈Aetx∈C, alors x∈A∩C.
En conclusion, x∈A∩Bou x∈A∩C, donc x∈(A∩B)∪(A∩C).
— (A∩B)∪(A∩C)⊂A∩(B∪C)
Soit x∈(A∩B)∪(A∩C), alors (x∈A∩B)ou(x∈A∩C).
1er cas : x∈A∩B, alors x∈Aet x∈B, donc x∈Aet x∈B∪C.
2`
eme cas : x∈A∩C, alors x∈Aet x∈C, donc x∈Aetx∈B∪C.
En conclusion, on a démontré que x∈A∩(B∪C).
I.D Ensembles produits
Soient Eet Fdeux ensembles. On appelle ensemble produit de Eet F, noté E×F, l’ensemble constitué des
couples (x,y) où x∈Eet y∈F.
Définition 4
Exemple 2 : Si E={A,B,C} et F={1,2}, alors :
E×F={(A,1),(A,2),(B,1),(B,2),(C,1),(C,2)}
A B C
1
2
F
E
E×F
Soient E1,E2,...,Endes ensembles. On définit de même l’ensemble produit E1×E2×···×Ende ces ensembles,
constitué des n-uplets (x1,x2,...,xn) où xi∈Eipour tout entier i∈[[1,n]].
Définition 5
Remarque 2 : Lorsque E1=E2=... =En=E, on note : En=E×E×···×Ecomme on l’a déjà utilisé pour R2par
exemple.
I.E Structure algébrique des ensembles
On appelle loi de composition interne (ou opération) sur un ensemble Eune application ⊕de E×Eà valeurs
dans Equi, à un couple (x,y), associe son image x⊕y.⊕:½E×E→E
(x,y)7→ x⊕y
Définition 6
Exemple 3 : N×Nest l’ensemble des couples de coordonnées (x,y), avec xet ydes éléments de N.
+est une opération sur l’ensemble N: l’image du couple (2,3) est 2+3=5.
×est également une opération sur l’ensemble N: l’image du couple (2,3) est 2×3=6.
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I.E Structure algébrique des ensembles 5 janvier 2015
On appelle groupe un couple (G,⊕), où Gest un ensemble et ⊕une loi de composition interne sur Gvérifiant :
1. ⊕est associative (c’est à dire que pour tout (a,b,c)∈G3, on a : (a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c)).
2. ⊕possède un élément neutre (c’est à dire qu’il existe un élément etel que ∀a∈G,a⊕e=e⊕a=a)
3. Tout élément de Gpossède un symétrique pour la loi ⊕(c’est à dire que ∀a∈G,∃b∈Gtel que a⊕b=
b⊕a=e, et on note b=a−1ou −aselon les groupes et les lois de composition).
Si ∀(a,b)∈G2, on a : a⊕b=b⊕a, alors (G,⊕) est un groupe commutatif (ou groupe abélien).
Définition 7
Exemples 4 :
— (Z,+),(Q,+),(Q∗,×),(R,+) et (R∗,×) sont des groupes commutatifs.
Pour le groupe (R,+), l’élément neutre est 0 et le symétrique de aest noté −a(appelé opposé de a). Pour le
groupe (R∗,×), l’élément neutre est 1 et le symétrique de aest noté 1
a(appelé inverse de a).
— (N,+) et (Z∗,×) ne sont pas des groupes.
On peut donner un exemple plus original et plus imagé de la notion de groupe si on considère l’ensemble des heures
d’une pendule noté {0=12,1,2,3,...,11}, et muni de la loi d’addition +avec par exemple :
1+3=4
7+8=15 =3
On vérifie très facilement qu’il s’agit d’un groupe abélien (appelé en mathématiques Z/12Z) d’élément neutre 0, et où
la notion de symétrique prend un sens géométrique. Le symétrique de 2 est 10...
On appelle sous-groupe du groupe (G,⊕) tout groupe (H,⊕) contenu dans G(Hest muni de la même loi que G).
Définition 8
Remarque 3 : Ceci assure en particulier que ∀a,b∈H,a⊕b∈H, car ⊕est également une loi interne pour H(on
dit que Hest stable par ⊕).
Soit (G,⊕) un groupe, dont on note el’élément neutre et a−1le symétrique de a∈G, alors un ensemble Hest un
sous-groupe de Gsi et seulement si :
(i) e∈H
(ii) Si a∈H, alors a−1∈H.
(iii) Si a,b∈H, alors a⊕b∈H
Proposition 3
Dans l’exemple de la pendule, on peut par exemple vérifier que {0,3,6,9} est un sous-groupe du groupe des heures.
On appelle corps un triplet (K,⊕,⊗) vérifiant :
1. (K,⊕) est un groupe commutatif.
2. (K∗,⊗) est un groupe.
3. ⊗est distributive (à droite et à gauche) par rapport à ⊕. C’est à dire :
∀(x,y,z)∈K3,x⊗(y⊕z)=x⊗y⊕x⊗z
∀(x,y,z)∈K3,(x⊕y)⊗z=x⊗z⊕y⊗z
De plus, ce corps est dit commutatif si (K∗,⊗) est un groupe commutatif.
Définition 9
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5 janvier 2015
Exemples 5 : (Q,+,×) et (R,+,×) sont des corps commutatifs.
Exercice I.1 :
1. Montrer que l’ensemble C, muni des lois de composition +et ×est un corps commutatif.
2. Montrer que l’ensemble (U,×) des nombres complexes de module 1 est un sous-groupe de (C∗,×).
3. Montrer que l’ensemble (Un,×) des racines nièmes de l’unité est un sous-groupe de U.
II Applications
II.A Généralités
On rappelle que fest une application d’un ensemble Evers un ensemble Fsi tout élément xde Eadmet une image
notée f(x) dans F, et si cette image est unique. Autrement dit :
∀x∈E,∃!y∈Ftel que y=f(x) (! signifie unique)
On note F(E,F) l’ensemble des applications de l’ensemble Evers l’ensemble F.
On note Γ=©(x,y)∈E×F,y=f(x)ªle graphe de l’application.
Soit A⊂E. On appelle image de la partie A, le sous-ensemble de Fnoté f(A), par abus de langage, et défini par :
f(A)={y∈F,∃x∈Atel que y=f(x)}
C’est l’ensemble des images par fdes éléments de la partie A.
Définition 10
’ Attention, f(A) n’est pas l’image d’un élément de E, mais le sous ensemble de Fconstitué des images des élé-
ments de A.
Exemple 6 : Soit l’application f:½N→N
n7→ n+1.
On a par exemple f({0,1}) ={1,2}, et f(N)=N∗(car ∀n∈N∗,n=f(n−1) et 0 n’a pas d’antécédent par fdans N).
Soit B⊂F. On appelle image réciproque de la partie B, le sous-ensemble de Enoté f−1(B), et défini par :
f−1(B)={x∈E,f(x)∈B}
C’est l’ensemble des antécédents par fdes éléments de la partie B.
Définition 11
Remarque 4 : Attention ! f−1n’est pas une application en général ! Ne pas confondre image réciproque d’une partie
par l’application f(celle-ci existe toujours) et application réciproque f−1(qui n’existe que si fest bijective). Dans
l’exemple suivant, fn’admet pas d’application réciproque sur R, mais Ra une image réciproque par f(il s’agit de R).
Exemple 7 : Considérons l’application f:½R→R
x7→ x2
—f−1({1}) ={−1;1} car ∀x∈R,f(x)=1⇔x2=1⇔x=±1.
—f−1(R+)=Rcar ∀x∈R,f(x)=1⇔x2Ê0⇔x∈R.
—f−1(R∗
−)=; car l’inéquation f(x)<0 n’a pas de solution dans R.
— De même, on a f−1(R−)={0}, f−1(R)=Ret f−1([0,2]) =[−p2,p2].
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