Vecteurs aléatoires

Vecteurs aléatoires
I Couples de variables aléatoires
1
II Covariance et coecient de corrélation linéaire
5
I.A
I.B
I.C
I.D
I.E
I.F
Loi conjointe, lois marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calcul des lois marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Loi conditionnelle, indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indépendance et image par une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Somme de deux variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Généralisation aux n-uplets de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.A Espérance de la somme et du produit de deux variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.B Espérance du produit de deux variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.C Inégalité de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.D Covariance de deux variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.E Coecient de corrélation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
3
4
4
4
5
6
6
6
8
Dans tout le chapitre, on note (Ω, P ) un espace probabilisé. X est une variable aléatoire sur Ω telle que X(Ω) est
un ensemble ni . X et X sont évidemment d'espérance nie et on pourra calculer l'espérance et la variance de X .
2
Remarque : Le programme mentionne que X(Ω) est ni mais, dans certains exercices, nous étendrons sans grande
diculté les notions exposées au cas où X(Ω) est dénombrable.
I Couples de variables aléatoires
I.A Loi conjointe, lois marginales
Dénition 1.
Soient X et Y des variables aléatoires réelles dénies sur Ω. L'application :
(X, Y ) :
Ω
ω
→
7
→
R2
X(ω), Y (ω)
est appelée couple de variables aléatoires X et Y .
Dénition 2.
La loi P du couple (X, Y ) est appelée loi conjointe de X et Y . C'est l'application dénie pour
par :
X,Y
(x, y) ∈ X(Ω) × Y (Ω)
PX,Y {(x, y)} = P (X, Y ) = (x, y) = P (X = x) ∩ (Y = y)
Les lois X et Y sont appelées loi marginales du couple (X, Y ).
On note par la suite X(Ω) = {x , . . . , x } et Y (Ω) = {y , . . . , y } où les x et y sont deux à deux distincts. Dans
ce cas, on peut représenter la loi conjointe de X et Y dans un tableau du type suivant :
1
n
X \Y
y1
x1
PX,Y {(x1 , y1 )}
1
x2
...
xn
PX,Y {(xn , y1 )}
...
m
i
j
y2
···
ym
PX,Y {(x1 , y2 )}
···
PX,Y {(x1 , ym )}
···
Exercice 1
...
PX,Y {(xn , ym )}
On considère un lancer de deux dés à 6 faces bien équilibrés et discernables. X désigne le résultat du premier dé et Y
la somme des deux dés.
1
1. Pour (k, n) ∈ [[1, 6]] × [[2, 12]], donner P (X = k) ∩ (Y = n) (distinguer suivant les valeurs de n et k).
2. Représenter le tableau de la loi conjointe (X, Y ).
[cv031]
Théorème 1.
Démonstration.
L'application P est une probabilité sur X(Ω) × Y (Ω).
X,Y
On a clairement, pour tout (xk , yk ) ∈ X(Ω) × Y (Ω), PX,Y ({(x, y)} ∈ [0, 1]. De plus :
X
PX,Y
(x, y)
=
n
X
=
m
X

i=1
(x,y)∈X(Ω)×Y (Ω

n
X

P (X = xi ∩ Y = yj )
j=1
P (X = xi ) = 1
d'après la formule des probabilités totales.
i=1
En eet, les évènements {Y = yj } pour j ∈ [[1, m]] forment un système complet d'évènements de Ω.
I.B Calcul des lois marginales
Proposition 1.
Si (X, Y ) est un couple de variables aléatoires, ses lois marginales P et P peuvent se calculer par :
X
∀i ∈ [[1, n]] ,
P (X = xi ) =
m
X
Y
P (X = xi ) ∩ (Y = yj )
j=1
∀j ∈ [[1, m]] ,
P (Y = yj ) =
n
X
P (X = xi ) ∩ (Y = yj )
i=1
Démonstration. Vérions le premier point. Pour i xé, l'évènement {X = xi } est la réunion de la famille nie d'évènements deux à deux
disjoints {(X = xi ) ∩ (Y = yj )} pour j ∈ [[1, m]]. On utilise alors la propriété d'additivité.
La connaissance de P permet de calculer P et P mais la réciproque est fausse, comme le montre
l'exemple qui suit.
Remarque 2. Si on considère le tableau de la loi conjointe (X, Y ) ci-dessus, la somme des éléments de la i-ème ligne
donne P (x ) et la somme des éléments de la j-ème colonne donne P (y ) (à vérier par soi-même).
Exemple 1. On jette deux dés à 6 faces : un bleu et un rouge. X (resp. Y ) est le nombre de points indiqués par le
dé bleu (resp. rouge). On pose Z = 7 − X . Il est clair que X, Y et Z suivent la loi uniforme sur {1, 2, 3, 4, 5, 6}. En
revanche, les couples de variables aléatoires (X, Y ) et (X, Z) ne suivent pas la même loi :
Remarque 1.
X
X,Y
X
i
Y
Y
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
j
1
2
3
4
5
6
1
0
0
0
0
0
1
6
2
0
0
0
0
1
6
0
3
0
0
0
1
6
0
0
0
0
1
6
0
0
0
5
0
1
6
0
0
0
0
6
1
6
0
0
0
0
0
4
Loi de (X, Y )
Loi de (X, Z)
Ceci s'explique par le fait que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes alors que les variables aléatoires X et
Z ne le sont pas (cf dénition plus loin).
2
I.C Loi conditionnelle, indépendance
Dénition 3.
par :
Soit x ∈ X(Ω) tel que P (X = x) > 0. On appelle loi conditionnelle de Y sachant X = x la loi dénie
∀y ∈ Y (Ω),
P (Y = y|X = x)
Exercice 2
Le nombre de clients journaliers X d'un magasin suit une loi de Poisson de paramètre λ > 0. On estime que chaque
client a, de façon indépendante, une probabilité p d'acheter le produit α (et il en prend un alors en général). On note
Y la variable aléatoire donnant le nombre de produits achetés dans la journée.
1. Donner la loi conditionnelle de Y sachant X = n.
2. Montrer que Y suit une loi de Poisson de paramètre λp.
[cv026]
Dénition 4.
Deux variables aléatoires X et Y sont dites indépendantes si pour tout (x, y) ∈ X(Ω) × Y (Ω) :
P (X = x ∩ Y = y) = P (X = x)P (Y = y)
On rappelle que ceci revient à dire que pour tout (x, y) ∈ X(Ω) × Y (Ω) tel que P (X = x) > 0, on a
.
Exemple 2. On reprend l'exemple 1. Soit i ∈ [[1, 6]] xé. On a :
Remarque 3.
P (Y = y|X = x) = P (Y = y)
P (Y = j|X = i) =
et d'autre part :
1
= P (Y = j) ∀j ∈ [[1, 6]]
6
si j = 7 − i
si j 6= 7 − i
On voit dans cet exemple que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes, alors que les variables aléatoires
X et Z ne le sont pas. Plus précisément, on est dans un cas extrême : la connaissance de la valeur de X détermine
complètement la connaissance de la valeur de Z .
Remarque 4. Si les variables aléatoires X et Y sont indépendantes et qu'on connaît leurs lois marginales, alors on
peut déterminer leur loi conjointe. En eet, pour tout (x, y) ∈ X(Ω) × Y (Ω) :
P (Z = j|X = i) =
1
0
PX,Y {(x, y)} = P (X = x) ∩ (Y = y) = P (X = x)P (Y = y)
Exercice 3
On jette un dé bleu et un dé rouge. On note X le nombre de points indiqués par le dé bleu, Y ceux du dé rouge et on
dénit la variable aléatoire Z de la manière suivante :

si X(ω) 6 3.
 X(ω)
Y (ω)
si X(ω) > 3 et Y (ω) > 3.
Z(ω) =

Y (ω) + 3 si X(ω) > 3 et Y (ω) 6 3.
Déterminer les lois des couples (X, Y ) et (X, Z). Vérier que ces couples ont même loi marginale mais pas même loi
conjointe.
Les variables aléatoires X et Z sont elles indépendantes?
[cv028]
Proposition 2.
Si les variables aléatoires X et Y sont indépendantes, alors pour tout (A, B) ⊂ X(Ω) × Y (Ω), on a :
P (X, Y ) ∈ A × B = P (X ∈ A)P (Y ∈ B)
3
I.D Indépendance et image par une application
Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes, f et g deux fonctions dont les domaines de
dénition contiennent respectivement X(Ω) et Y (Ω). Alors les variables aléatoires f (X) et g(Y ) sont indépendantes.
Proposition 3.
Démonstration.
Admis.
I.E Somme de deux variables aléatoires indépendantes
Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans N, la loi de la variable aléatoire
est donnée par :
Proposition 4.
X +Y
∀n ∈ N,
P (X + Y = n)
X
=
P (X = i)P (Y = j)
i+j=n
n
X
P (X = i)P (Y = n − i)
=
i=0
Démonstration.
Remarquons que {X + Y = n} =
n
[
{X = i ∩ Y = n − i}
(réunion disjointe). Ainsi :
i=0
P (X + Y = n)
=
n
[
P
!
{X = i ∩ Y = n − i}
=
n
X
P (X = i ∩ Y = n − i)
i=0
i=0
=
n
X
P (X = i)P (Y = n − i)
i=0
La formule peut s'appliquer aux variables aléatoires X et Y de l'exemple 1 puisqu'elles sont indépendantes.
Par exemple, la probabilité que la somme S = X + Y soit égale à 7 est donnée par la relation :
Exemple 3.
P (S = 7)
= P (X + Y = 7) =
7
X
P (X = i)P (Y = 7 − i)
i=0
6 X
1
=
i=1
1
×
6 6
=
6
1
=
36
6
Exercice 4
Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement les lois B(p) et B(n, p). Écrire la loi de
S = X + Y . Quelle loi retrouve t-on?
[cv029]
Exercice 5
Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs α et β. Écrire
la loi de S = X + Y . Quelle loi retrouve t-on?
[cv030]
I.F Généralisation aux n-uplets de variables aléatoires
Soient X , X , . . . , X des variables aléatoires réelles dénies sur Ω. On dit que ces variables aléatoires
sont mutuellement indépendantes si pour tout (α , α , . . . , α ) ∈ X (Ω) × X (Ω) × · · · × X (Ω),
Dénition 5.
1
2
n
1
P
n
\
2
n
!
(Xi = αi )
i=1
Si
=
1
n
Y
2
n
P (Xi = αi )
i=1
sont des variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes, alors quel que soit
, les évènements (X ∈ A ) sont mutuellement indépendants.
Théorème 2. X1 , X2, . . . , Xn
(A1 , . . . , An ) ∈ P X1 (Ω) × · · · × P Xn (Ω)
i
4
i
Démonstration.
Admis.
Proposition 5. Soient X , . . . , X des variables aléatoires mutuellement indépendantes et p ∈ [[1, n]]. Si f et g sont
deux fonctions à valeurs réelles dénies respectivement sur X (Ω) × . . . × X (Ω) et X (Ω) × . . . × X (Ω), alors les
variables aléatoires f (X , . . . , X ) et g(X , · · · , X ) sont indépendantes.
1
n
1
1
Démonstration.
p
p+1
p
p+1
n
n
Admis.
Remarque 5. En particulier, si X , . . . , X sont des variables aléatoires mutuellement indépendantes, les variables
aléatoires (X + · · · + X ) et X sont indépendantes.
On en déduit l'application suivante :
1
1
n−1
n
n
Théorème 3. Une loi binomiale est une somme de lois de Bernoulli indépendantes.
Plus précisément, si X , . . . , X sont mutuellement indépendantes de loi B(p), avec p ∈]0, 1[, alors X
la loi B(n, p).
1
n
1
+ · · · + Xn
suit
Exercice 6
Montrer ce résultat en utilisant une récurrence sur n ∈ N .
∗
[cv039]
On retrouve ainsi la loi suivie lorsqu'on eectue une suite d'épreuves indépendantes de même probabilité
. On peut considérer X la variable aléatoire donnant 1 en cas de succès à la i-ème épreuve et 0 sinon.
Il est clair que X + · · · + X donne le nombre de succès lors des n premières épreuves, et on a déjà vu que ce nombre
suivait la loi B(n, p) !
Remarque 6.
p
i
1
n
II Covariance et coecient de corrélation linéaire
II.A Espérance de la somme et du produit de deux variables aléatoires
Remarque 7.
réelles :
On rappelle que l'espérance est linéaire, donc en particulier si X et Y sont deux variables aléatoires
E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
Proposition 6.
Soient X et Y deux variables aléatoires réelles, alors :
E(XY ) =
X
xi yj P (X = xi ) ∩ (Y = yj )
16i6n
16j6m
Démonstration.
XY
:
Admis. Ceci provient de la formule du transfert pour un couple de variables aléatoires (hors programme), avec f (X, Y ) =
E(XY ) =
X
xi yj P (X, Y ) = (xi , yj )
(xi ,yj )∈X(Ω)×Y (Ω)
Exemple 4.
On reprend les variables aléatoires X et Y de l'exemple 1. On a :
E(XY )
=
6 X
6
X
ijP (X = i) ∩ (Y = j)
i=1 j=1
=
6 X
6
X
ij
36
i=1 j=1
6
6
1 X X
1
49
i
j=
× 21 × 21 =
36 i=1 j=1
36
4
5
II.B Espérance du produit de deux variables aléatoires indépendantes
Théorème 4.
Si X et Y sont des variables aléatoires réelles indépendantes alors :
E(XY ) = E(X)E(Y )
Démonstration.
Il sut d'écrire :
E(XY )
=
n X
m
X
xi yj P (X = xi ) ∩ (Y = yj ) =
xi yj P (X = xi ) ∩ (Y = yj )
X
i=1 j=1
16i6n
16j6m
=
n X
m
X
xi yj P (X = xi )P (Y = yj )
car X et Y sont indépendantes.
i=1 j=1
E(XY )
=
n
X

! m
X
xi P (X = xi ) 
yj P (Y = yj ) = E(X)E(Y )
i=1
Exemple 5.
j=1
On reprend les variables aléatoires X et Y de l'exemple 1. On a :
E(XY ) = E(X)E(Y ) =
21 21
49
×
=
6
6
4
Attention car la réciproque est fausse. Par exemple, si X suit la loi uniforme sur {−1, 0, 1} et si
est la loi dénie par
1 si X = 0
Y =
0 si X 6= 0
alors on a E(X) = 0 et d'autre part XY = 0 ce qui entraîne E(XY ) = 0, donc :
Remarque 8.
Y = 1{X=0}
E(XY ) = E(X)E(Y )
Il est pourtant clair que X et Y ne sont pas indépendantes puisque :
P (X = 0)|(Y = 1) = 1, alors que :
P (X = 0) =
II.C Inégalité de Cauchy-Schwarz
Théorème 5.
1
3
Soient X et Y deux variables aléatoires, alors :
|E(XY )| 6
p
p
E(X 2 ) E(Y 2 )
De plus, on a l'égalité si et seulement si X et Y sont colinéaires.
Démonstration.
Pour simplier, on suppose que Y 6= 0. Soit t ∈ R. Il sut de remarquer que E (X + tY )2 > 0, et d'autre part que :
E (X + tY )2 = t2 E(Y 2 ) + 2tE(XY ) + E(X 2 ) > 0
Ce trinôme est positif ou nul si et seulement si son discriminant est négatif ou nul, c'est à dire si et seulement si :
2
E(XY ) − E(X 2 )E(Y 2 ) 6 0
ce qui fournit exactement l'inégalité recherchée. De plus, on a l'égalité si et seulement si le déterminant de l'expression est nul, ce qui équivaut
à l'existence d'un zéro double pour le trinôme :
∃t0 ∈ R,
E (X + t0 Y )2 = 0
Ceci n'est possible que si X + t0 Y = 0 (toutes les valeurs prises sur Ω étant nulles).
II.D Covariance de deux variables aléatoires
Dénition 6.
Soient X et Y deux variables aléatoires réelles. On appelle covariance de X et Y le réel :
Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y )
Remarque 9.
Pour X = Y , on a Cov(X, X) = V (X).
6
Exercice 7
Montrer que Cov(X, Y ) = E (X − E(X))(Y − E(Y )).
Théorème 6.
[cv038]
Si X et Y sont des variables aléatoires réelles indépendantes alors :
Cov(X, Y ) = 0
Démonstration.
C'est immédiat avec le théorème 4.
Remarque 10.
La réciproque est fausse.
Exercice 8
Soient A et B deux évènements indépendants et de même probabilité p. On dénit les variables aléatoires :
1 si x ∈ A
1 si x ∈ B
1 : x 7→
et
1 : x 7→
0 si x ∈
/ A
0 si x ∈
/ B
1. Quelle est la loi de probabilité suivie par les variables aléatoires 1 et 1 ?
2. Vérier qu'elles sont indépendantes. Que peut-on en déduire sur Cov(1 , 1 ) ?
3. On pose X = 1 − 21 et Y = 41 + 21 .
(a) Montrer que Cov(X, Y ) = 0.
(b) Calculer P (X = 0), P (Y = 0) et P (X = 0 ∩ Y = 0).
(c) Conclure.
A
B
A
B
A
A
B
A
B
B
[cv037]
Proposition 7.
Si X et Y sont deux variables aléatoires, alors :
V (aX + bY ) = a2 V (X) + b2 V (Y ) + 2ab Cov(XY )
Démonstration.
On eectue le calcul en tenant compte de la linéarité de l'espérance :
V (aX + bY )
=
=
=
2
E (aX + bY )2 − E(aX + bY )
2
E a2 X 2 + 2abXY + b2 Y 2 − aE(X) + bE(Y )
a2 E(X 2 ) + 2abE(XY ) + b2 E(Y 2 ) − a2 (E(x))2 + 2abE(X)E(Y ) + b2 (E(Y ))2
En regroupant correctement les termes, on retrouve bien le résultat à prouver.
En particulier, si X et Y sont indépendantes, la variance de la somme est la somme des variances.
Corollaire 1. Si X et Y sont des variables aléatoires réelles indépendantes alors :
Remarque 11.
V (X + Y ) = V (X) + V (Y )
Démonstration.
le théorème 6.
D'après la proposition précédente, on a V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2 Cov(XY ), et le résultat est immédiat en utilisant
On peut généraliser ce théorème par récurrence en utilisant la remarque 5 : si X , . . . , X sont des
variables aléatoires mutuellement indépendantes, alors :
Remarque 12.
1
n
V (X1 + · · · + Xn ) = V (X1 ) + · · · + V (Xn )
Exercice 9
On suppose que X , . . . , X sont mutuellement indépendantes de loi B(p), avec p ∈]0, 1[, calculer l'espérance et la
variance de X + · · · + X . Trouve-t-on les résultats attendus?
1
1
n
[cv036]
n
7
II.E Coecient de corrélation linéaire
Dénition 7.
Si X et Y sont deux variables aléatoires, on appelle coecient de corrélation linéaire de X et Y le réel :
Cov(X, Y )
Cov(X, Y )
ρ(X, Y ) = p
=
σ(X)σ(Y )
V (X)V (Y )
Proposition 8.
Si X et Y sont deux variables aléatoires, alors |ρ(X, Y )| 6 1.
Démonstration.
C'est immédiat avec le résultat de l'exercice ?? et le théorème de Cauchy-Schwarz puisque :
|ρ(X, Y )| = q
E (X − E(X))(Y − E(Y )) q
61
E (X − E(X))2
E (Y − E(Y ))2
En particulier :
On a ρ(X, Y ) = 0 si et seulement si Cov(X, Y ) = 0 (en particulier, cela se produit lorsque X et Y sont
indépendantes).
On a |ρ(X, Y )| = 1 si et seulement si X − E(X) et Y − E(Y ) sont colinéaires, c'est à dire :
Remarque 13.
Proposition 9. On a ρ(X, Y )
tels que aX + bY + c = 0.
Démonstration.
=
±1
si et seulement s'il existe des réels
À faire en exercice.
8
a, b, c
, avec
(a, b)
6=
(0, 0)
,