Télécharger

E
EK=R C
EKf∈ L(E)
f−→ x−→ x f(−→ x)
∃λ∈K, f(−→ x) = λ−→ x
λ f −→ x
λ f ⇐⇒ ∃−→ x6=−→ 0, f(−→ x) = λ−→ x
E=R[X]f
f:P(X)7→ (X2−1)P0(X)−2XP (X)
f E
f P

Sp(f)fSpec(f)
E=C∞(R,R)
D E f f0Sp(D)
I E f 0
Sp(I)
λ f ⇐⇒ Ker(f−λIdE)6=−→ 0E
Eλ= Ker(f−λIdE)λ
EKf∈ L(E)
λ f Eλf
−→
x E −→ x f D =K−→ x
f
H
N
−→
x∈Eλf(−→ x) = λ−→ x
ff(−→ x)=f(λ−→ x) = λf(−→ x)
f(−→ x)∈Eλ
−→
x E D =K−→ x
?−→ x f λ −→ y∈D α ∈K
−→
y=α−→ x
f(−→ y) = f(α−→ x) = αf(−→ x) = αλ−→ x∈D
D f
? D f f(−→ x)∈D
∃λ∈Kf(−→ x) = λ−→ x
−→
x D
EKf∈ L(E)f
f α
f f ◦f=f
f λ2=λSpec f⊂ {0,1}

f IdE−IdESpec f⊂ {−1,1}
H
N
f α
? λ f x 6=−→ 0
f(−→ x) = λ−→ x=α−→ x(λ−α)−→ x=−→ 0
−→
x6= 0 λ=αSp(f)⊂ {α}
? α f
E
Sp(f) = {α}Eα=E.
f
? λ f x 6=−→ 0
λ−→ x=f(−→ x) = f◦f(−→ x) = ff(−→ x)=f(λ−→ x) = λf(−→ x) = λ2−→ x
λ−→ x=λ2−→ x(λ2−λ)−→ x=λ(λ−1)−→ x=−→ 0
−→
x6= 0 λ= 0 λ= 1 Sp(f)⊂ {0,1}
? f Im f⊕Ker f=E
f6= 0 Ker f6=EIm f= Ker(f−IdE)6={−→ 0}1f
f6=IdEKer(f−IdE) = Im f6=EKer f6={−→ 0}0
f
Sp(f) = {0,1}
Ker fIm f
f
? λ f x 6=−→ 0
−→
x=f◦f(−→ x) = ff(−→ x)=f(λ−→ x) = λf(−→ x) = λ2−→ x
−→
x=λ2−→ x(λ2−1)−→ x= (λ−1)(λ−1)−→ x=−→ 0
−→
x6= 0 λ= 1 λ=−1 Sp(f)⊂ {−1,1}
? f Ker(f−IdE)⊕Ker(f+IdE) = E
f6=−IdEKer(f+IdE)6=EKer(f−IdE)6={−→ 0}1f
f6=IdEKer(f−IdE)6=EKer(f+IdE)6={−→ 0} −1
f
Sp(f) = {−1,1}
Ker(f+IdE) Ker(f−IdE)
f∈ L(E)λ1, λ2, . . . , λpf
Eλ1+Eλ2+· · · +Eλp=Eλ1⊕Eλ2⊕ · · · ⊕ Eλp

∀(−→ u1,−→ u2,...,−→ up)∈Eλ1×Eλ2× · · · × Eλp,h−→ u1+−→ u2+...+−→ up=−→ 0 =⇒−→ u1=−→ u2=···=−→ up=−→ 0
Eλ1, Eλ2,...,Eλpp+ 1
Eλ1, Eλ2,...,Eλp+1 λ1, λ2,...,λp+1
(−→ u1,−→ u2,...,−−−→ up+1)∈Eλ1×Eλ2× · · · × Eλp+1
−→
u1+−→ u2+···+−−−→ up+1 =−→ 0
f
f(−→ u1) + f(−→ u2) + ···+f(−−−→ up+1) = −→ 0
λ1−→ u1+λ2−→ u2+···+λp+1 −−−→ up+1 =−→ 0
λp+1
(λp+1 −λ1)−→ u1+ (λp+1 −λ2)−→ u2+···+ (λp+1 −λp)−→ up=−→ 0
p
(λp+1 −λ1)−→ u1= (λp+1 −λ2)−→ u2=···= (λp+1 −λp)−→ up=−→ 0
λp+1 −λi
−→
u1=−→ u2=···=−→ up=−→ 0
−−−→
up+1 =−→ 0
−→
u1=−→ u2=···=−→ up=−−−→ up+1 =−→ 0
Eλ1, Eλ2,...,Eλp+1
f E
f E f
f E f
C
R
EKn f ∈ L(E)f χf
x7→ χf(x) = det(xIdE−f)
EE A f E
χf(x) = det(xIn−A)χfn1
(−1)ndet f
xn−1n= 2 n= 3

λ f ⇐⇒ χf(λ) = 0
Ker(f−λIdE){−→ 0E}f−λIdE
χf(λ) = det(λIdE−f)=(−1)ndet(f−λIdE)=0
λ k f λ k
(x−λ)kχf(x) (x−λ)k+1
χf(λ) = χ0
f(λ) = · · · =χ(k−1)
f(λ)=0 χ(k) f(λ)6= 0
λ k f
16dim Eλ6k
−→
x
f(−→ x) = λ−→ x Eλ
dim Eλ=p F EλU= (−→ u1,−→ u2,...,−→ un)
E=Eλ⊕F f
A=
λIp B
0 C
χf(x) (x−λ)pk λ
p k >p
EKn f ∈ L(E)
f E f f
f
f E Kn f n λ1, λ2, . . . , λn
Kf
ERE= (−→ e1,−→ e2,−→ e3)
f∈ L(E)A=1
2
5 1 −1
2 4 −2
1−1 3
fUE f
D