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Compléments d'algèbre linéaire
I Bases
2
II Sous-espaces vectoriels supplémentaires
6
III Formule du rang
9
I.A
I.B
I.C
I.D
I.E
I.F
I.G
I.H
I.I
Combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sous-espace vectoriel engendré par une partie (ou une famille) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Partie génératrice d'un sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Familles nies libres, familles nies liées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Familles innies libres, familles innies liées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dimension nie : rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemples de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Application linéaire dénie par une base et son image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.A Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.B Somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.C Somme directe de deux sous-espaces vectoriels; sous-espaces vectoriels supplémentaires . . . . . . . . . .
II.D Cas particulier où E est de dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.ANoyau, image d'une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.BRang d'une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.CFormule du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.DUne conséquence importante de la formule du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
3
3
4
4
5
6
6
7
7
8
9
11
11
12
IV Hyperplans
12
V Sous-espaces stables par un endomorphisme
13
VI Exemples d'endomorphismes d'un espace vectoriel
14
VIIChangement de base
17
VIII
Trace d'une matrice carrée
18
IX Transposée d'une matrice
20
IV.ADénition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
IV.B Équation cartésienne d'un hyperplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
VI.AHomothéties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
VI.B Projecteurs (ou projections vectorielles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
VI.CAutomorphismes involutifs (ou symétries vectorielles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
VII.AMatrice de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
VII.BEet d'un changement de base sur la matrice-colonne d'un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
VII.CEet d'un changement de base sur la matrice d'un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
VIII.ADénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VIII.BLinéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VIII.CTrace d'un produit de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VIII.DTrace d'un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
19
19
19
IX.ADénition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
IX.B Matrices symétriques et antisymétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Dans tout le chapitre, E est un espace vectoriel sur K = R ou C.
Les vecteurs seront en général notés par des lettres latines x, y, a, u etc., éventuellement coiées d'une èche : ~x, ~y, ~a, ~u,
et les scalaires seront représentés par des lettres grecques : α, β, λ, µ etc...
1
I
Bases
I.A Combinaisons linéaires
Dénition 1.
Soit A une partie nie ou innie de E. Soit ~x ∈ E.
−
−
→) de vecteurs de A, et k scalaires
~x est dit combinaison linéaire d'éléments de A s'il existe une famille nie (→
a ,→
a ,...,−
a
α , α , . . . , α tels que :
→
−
→
−
−
→
1
1
2
2
k
k
~x = α1 a1 + α2 a2 + · · · + αk ak
Exercice 1
.
1. Montrer que M est combinaison linéaire de I et de M .
2. En déduire que si ad − bc 6= 0, alors M est inversible, et donner son inverse en fonction de M et de I .
E = M2 (K), M =
a
c
b
d
, I2 =
1
0
0
1
2
2
2
[al012]
I.B Sous-espace vectoriel engendré par une partie (ou une famille)
Dénition 2.
On appelle Vect A l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de A.
Remarque 1.
Par convention, Vect ∅ = −0→.
E
Théorème 1.
Vect A
est le plus petit sous-espace vectoriel de E qui contient A.
Il s'agit de démontrer que Vect A est un sous-espace vectoriel de E, que Vect A contient A, et que tout sous-espace vectoriel
qui contient A contient Vect A.
Vect A est un sous-espace vectoriel de E :
−
→
−
→
→
→
Vect A est non vide car 0 ∈ Vect A. En eet, si −
x est un vecteur quelconque de A, le vecteur 0 peut s'écrire 0−
x , et apparaît
donc comme combinaison linéaire de vecteurs de A.
La somme de deux éléments de Vect A, c'est-à-dire la somme de deux combinaisons linéaires de vecteurs de A, est aussi une
combinaison linéaire de vecteurs de A, donc c'est un élément de Vect A.
Enn, si −→x ∈ Vect A, et si λ ∈ K, alors λ−→x est combinaison linéaire d'éléments de A, donc appartient à Vect A.
Vect A contient A : en eet, quel que soit −→x ∈ A, on a −→x = 1−→x ∈ Vect A.
Tout sous-espace vectoriel F qui contient A, contient Vect A : en eet, un élément −→x de Vect A peut s'écrire −→x = X α −→a , où les α
sont des scalaires de K, et les −→a sont des vecteurs de A. Mais comme A ⊂ F , les −→a sont aussi des vecteurs de F . Et −→x = X α −→a
appartient donc à F , car F , en tant que sous-espace vectoriel de E, est stable pour l'addition et pour la loi externe, donc stable par
combinaison linéaire.
Il est ainsi prouvé que Vect A ⊂ F .
Démonstration.
E
E
n
i i
i
i=1
n
i
i
i i
i=1
I.C Partie génératrice d'un sous-espace vectoriel
Dénition 3.
Si F est un sous-espace vectoriel de E et si A est une partie de F telle que F = Vect A, on dit que A engendre F , ou
que A est une partie génératrice de F .
On parle aussi de famille génératrice (→−a ) . La diérence fondamentale est que dans une famille, il peut y avoir
répétition de vecteurs.
i i∈I
2
I.D Familles nies libres, familles nies liées
Dénition 4.
Une famille nie (−x→, −x→, . . . , −x→) est dite libre si :
1
2
n
−
→
→+α −
→
−
→ −
α1 x
1
2 x2 + · · · + αn xn = 0E =⇒ α1 = α2 = · · · = αn = 0
∀α1 , α2 , . . . , αn ∈ K,
La famille nie (−→−x→, −x→, .−→. . , −x→) est dite
liée dans le cas contraire, c'est-à-dire s'il existe α , α , . . . , α
nuls, tels que α x + α x + · · · + α −x→ = −0→
1
1 1
2
n
1
2 2
n n
2
, on tous
∈K n
n
E
Les vecteurs sont dits linéairement indépendants dans le cas d'une famille libre, et linéairement dépendants (ou liés),
dans le cas d'une famille liée. Pour deux vecteurs liés, on dit aussi qu'ils sont colinéaires.
Exemple 1. On rappelle que toute famille de polynômes non nuls échelonnée en degrés est libre. Autrement dit, si
P , P , . . . , P ∈ K[X] \ {0} avec deg P < deg P < · · · < deg P , alors la famille (P , P , . . . , P ) est libre.
1
2
n
1
2
n
1
2
n
I.E Familles innies libres, familles innies liées
Dénition 5.
La famille innie (→−x ) est dite libre si par dénition toute sous-famille nie est libre; elle est dite liée dans le cas
contraire, c'est-à-dire s'il existe une sous-famille nie qui est liée.
Remarque 1. En particulier, une famille qui contient le vecteur nul est liée de même qu'une famille qui contient deux
vecteurs égaux. En eet, dans chacun des deux cas, il existe une sous-famille nie de deux vecteurs qui est liée.
i i∈I
Exercice 2
Soit I ⊂ N. Montrer qu'une famille (P ) de polynômes non nuls échelonnée en degrés est une famille libre.
i i∈I
Remarque 2.
Exercice 3
E = F(R∗+ , R)
Ce résultat est à retenir!
; on considère la famille (f ) , où f
a a∈R
Exercice 4
E = RR
[al013]
. La famille (g ) , où g
α α∈R
α
: x 7→ sin(x + α)
a
: x 7→ | ln x|a
. Montrer qu'il s'agit d'une famille libre.
est-elle libre?
[al014]
[al015]
Théorème 2.
→, −
→, . . . , −
→, −
→, . . . , −
Si la−→famille
(−
x
x
x→) est liée, tandis que la famille (−
x
x
x−−→) est libre, alors −
x→ est combinaison linéaire
−
→
−
−
−
→
de x , x , . . . , x .
1
1
2
Démonstration.
2
n
1
2
n−1
n
n−1
La famille (−x→, −x→, . . . , −x→) est liée, donc il existe α , α , . . . , α
1
2
n
, non tous nuls, tels que :
n ∈K
1
2
−
→
−
→
−
→
−
→
α1 x1 + α2 x2 + · · · + αn xn = 0E
Si α était nul, on aurait :
−
→
→+α −
→ + ··· + α
−
α −
x
x
x−−→ = 0
l'un au moins des nombres α , α , . . . , α étant non nul, ce qui est en contradiction avec l'hypothèse : la famille (−x→, −x→, . . . , −x−−→) est
libre. On a donc nécessairement α 6= 0.
Maintenant on revient à la première équation, qui nous permet d'exprimer −x→ comme combinaison linéaire de −x→, −x→, . . . , −x−−→ :
n
1 1
1
2
2 2
n−1 n−1
E
n−1
1
2
n−1
n
n
−
→=
x
n
n−1
X
−
i=1
1
2
n−1
αi −
→
xi
αn
→
−
→
−
−
−
Pour
deux
vecteurs,
ce
dernier
théorème
s'énonce
:
si
x et →
y sont liés, et →
x 6= 0 , alors il existe λ ∈ K
tel que →−y = λ→−x .
Remarque 3.
3
I.F Bases
Dénition 6.
Soient E un K-espace vectoriel, et E = (→−e ) une famille de vecteurs de E :
E est une base de E ⇐⇒ E est libre et génératrice.
déf
i i∈I
Théorème 3.
Soient E un K-espace vectoriel, et E = (→−e ) une famille de vecteurs de E :
−
tout vecteur →
x de E s'exprime de manière unique
E est une base de E ⇐⇒ comme combinaison linéaire des vecteurs de E
i i∈I
Les coecients qui interviennent dans cette combinaison linéaire s'appellent les coordonnées, ou les composantes, de →−x
dans la base E .
Remarque 4. La combinaison linéaire est nie en ce sens que seulement un nombre ni de vecteurs de E interviennent
avec un coecient non nul. Pour tous les autres vecteurs de E , la coordonnée correspondante de →−x est nulle.
Démonstration.
Ce théorème a été démontré en Sup pour une famille nie. Pour une famille innie, il est un peu pénible, et on l'admet!
I.G Dimension nie : rappels
On donne ici un rappel rapide, sans démonstration, de notions importantes vues en Sup.
Dénition 7.
E
est dit de dimension nie s'il possède une partie génératrice nie.
Théorème 4 (et dénition de la dimension).
Si E est de dimension nie, alors E possède des bases, qui ont toutes le même nombre d'éléments. Ce nombre est appelé
la dimension de E.
Remarque 5.
Par convention, dim{→−0 } = 0.
Théorème 5 (de la base incomplète).
Si E est de dimension nie, toute partie libre peut être complétée pour obtenir une base.
Théorème 6 (Isomorphisme entre E
et K , lorsque E est de dimension n).
Si E est de dimension n, E est isomorphe à K (via une base).
n
n
→
−
Précisons : soit E = (→−e , →−e , . . . , −e→) une
 base
 de E . Tout vecteur x de E s'écrit de manière unique sous la forme
1
2
. Et l'application
n
x1
 x2 


−
ϕ:→
x 7→ 



xn
ϕ
... est un isomorphisme de E dans K . Cela signie que chaque vecteur
est représenté par une unique matrice-colonne ( est une application),
qu'inversement
une matrice-colonne
dénit un




→
−
x =
n
X
i=1
−
xi →
ei
vecteur unique (l'application ϕ est bijective), et que si
n
x1
 x2 


−
ϕ(→
x) = 



xn
...
4
et
y1
 y2 


−
ϕ(→
y) = 



yn
... , alors ϕ(λ→−x + →−y ) =

 
y1
x1
 x2   y2 


 
λ
 ϕ
+


 
yn
xn

... ( est linéaire).
...
Lorsqu'on choisit de travailler avec les coordonnées, c'est-à-dire au fond d'utiliser cet isomorphisme (non intrinsèque ),
il ne faut pas oublier de préciser la base. Et on peut écrire :
1


x1
 x2 


→
−
x : 



xn
...
Le signe " = " à la place de " : " serait abusif. En eet, →−x est représenté par cette matrice-colonne, mais ne lui est
pas égal (on n'a pas E = K , mais E isomorphe à K ).
n
n
Théorème 7.
Si dim E = n, toute famille libre a au plus n éléments, et si elle en a n, c'est une base. Toute famille génératrice a au
moins n éléments, et si elle en a n, c'est une base.
Théorème 8.
Si dim E = n, alors tout sous-espace vectoriel F de E est de dimension nie 6 n. Et si dim F = n, alors F = E.
Ce théorème s'applique souvent pour des sous-espaces vectoriels : si F et F sont deux sous-espaces
vectoriels de E, de dimensions nies, alors :
Remarque 6.
1
F1 ⊂ F2
dim F1 = dim F2
2
=⇒ F1 = F2
Exercice 5
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n > 1, f un endomorphisme nilpotent non nul de E et p le plus petit entier
tel que f = 0.
1. Montrer qu'il existe x ∈ E tel que la famille x, f (x), f (x), . . . , f (x) soit libre.
2. En déduire f = 0.
p
2
p−1
n
[al039]
I.H Exemples de bases
Les exemples suivants doivent être connus; il est quasi-immédiat
que ce sont des bases.

    
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0

Base canonique de K : constituée par les vecteurs .
...
...
... .
..
0
0
0
1
Base canonique de M (K) (matrices à p lignes, q colonnes, à coecients dans K) : constituée par les matrices
E dont tous les coecients sont nuls, sauf celui de la ligne i et de la colonne j , qui est égal à 1. M (K) est
donc de dimension p × q.
Base canonique de K[X] : c'est la famille (X ) . C'est bien sûr une base innie, mais tout polynôme est
combinaison linéaire nie des éléments de cette base.
Remarque 7. Retenir que toute famille de polynômes de degrés deux à deux diérents est libre.
Base canonique de K [X] (sous-espace vectoriel de K[X] constitué par les polynômes de degré 6 n) : c'est la
famille (X ) .






n
 
 
 
,
 
 
 
 
 
,
 
 






,...,










pq
ij
pq
k
k∈N
n
k
06k6n
1. c'est-à-dire qu'il dépend de la base
5
Toute famille (P ) avec deg P = k est une base de K[X] :
Elle est libre puisque constituée de polynômes de degrés échelonnés.
Elle est génératrice. En eet si P ∈ K[X], on note n = deg P . La famille (P , P , . . . , P ) est une famille libre de
K [X], donc une base de K [X] puisque c'est une famille libre de n + 1 éléments dans un espace de dimension
n + 1. Le polynôme P est donc engendré par cette famille qui est contenue dans la famille (P )
. Ainsi P est
engendré par la famille (P ) .
Remarquez ici la subtilité qui consiste à passer par la dimension nie pour montrer que la famille innie est génératrice.
Remarque 8.
k k∈N
k
0
n
2
n
n
k k∈N
k k∈N
Exercice 6
Dans R , on pose x = (2, 3, −1), y = (1, −1, −2), u = (3, 7, 0) et v = (5, 0, −7).
Déterminer les dimensions de F = Vect{x, y} et G = Vect{u, v}. Montrer que F = G.
3
[al016]
I.I Application linéaire dénie par une base et son image
Théorème 9.
Soient E et F deux K-espaces vectoriels, soit U = (→−u ) une base de E, et soit V = (→−v ) une famille de vecteurs de
F.
Il existe une et une seule application linéaire f : E → F , telle que :
i i∈I
i i∈I
−
−
∀i ∈ I, f (→
ui ) = →
vi
En clair : une application linéaire est connue dès qu'on connaît les images des vecteurs d'une base.
Soit −→x ∈ E. Il existe une unique sous-famille nie J de I et une unique famille de coecients non nuls (α )
. On a alors nécessairement (à cause de la linéarité) :
Démonstration X
simpliée.
tels que :
i i∈J
→
αi −
ui
−
→
x =
i∈J
→
f (−
x)=
X
→
αi −
vi
i∈J
Il sut de vérier que f , ainsi dénie, est linéaire.
II
Sous-espaces vectoriels supplémentaires
II.A Somme de sous-espaces vectoriels
Dénition 8.
Soient F , F , . . . , F des sous-espaces vectoriels d'un K-espace vectoriel E. On dénit :
1
2
p
p
X
n
o
−
→+−
→ + ··· + −
→ / →
−
Fi = F1 + F2 + · · · + Fp = →
x =−
x
x
x
xi ∈ Fi , i ∈ [[1, p]]
1
2
p
i=1
C'est donc l'ensemble des vecteurs →−x de E qui sont sommes de vecteurs des sous-espaces vectoriels F pour 1 6 i 6 p.
i
Exercice 7
1. Montrer que F contient tous les espaces F pour 1 6 i 6 p.
2. Montrer que : F + F + · · · F est le plus petit sous-espace vectoriel de E qui contient tous les F , avec 1 6 i 6 p.
p
X
i
i
i=1
1
2
p
i
[al017]
6
II.B Somme directe
Dénition 9.
Soient F , F , . . . , F des sous-espaces vectoriels d'un K-espace vectoriel E. On dit que la somme F = F + F + · · · + F
est directe si tout vecteur de F se décompose de manière unique comme somme de vecteurs de F . Dans ce cas, on
note :
M
1
2
p
1
2
p
i
n
F1 + F2 + · · · + Fp = F1 ⊕ F2 ⊕ · · · ⊕ Fp =
Fi
i=1
Théorème 10.
La somme F = F + F + · · · + F est directe si et seulement si le vecteur nul de F se décompose de manière unique
comme somme de vecteurs des F (1 6 i 6 p).
1
2
p
i
Ceci revient à dire que la somme F = F
, ,
on a :
Remarque 9.
1
−
→ ∈ F ... −
→∈F
x
x
2
2
p
p
−
−
→+−
→ + ··· + −
→=→
x
x
x
0
1
2
p
+ F2 + · · · + Fp
est directe si et seulement si pour −x→ ∈ F ,
1
1
−
−
→=−
→ = ... = −
→=→
x
x
x
0
1
2
p
=⇒
(L'unique décomposition est celle où tous les →−x sont nuls).
i
Exercice 8
Montrer ce résultat.
[al041]
II.C Somme directe de deux sous-espaces vectoriels ; sous-espaces vectoriels supplémentaires
Dans le cas d'une somme de deux sous-espaces vectoriels, on dispose d'une caractérisation ecace, vue en première
année :
Théorème 11.
F1 + F2 = F1 ⊕ F2
Démonstration. (⇐=)
−
→
F1 ∩ F2 = {0E }
⇐⇒
Supposons qu'on ait deux écritures de −→x comme somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de F :
1
2
−
→
→+−
→=−
→
→
x =−
x
x
y1 + −
y2
1
2
Alors on a :
−
→−−
→
→
−
→
x
y =−
y −x
et ce vecteur apparaît comme un vecteur de F (à gauche du signe "=")
et comme un vecteur de F (à droite du signe "="). C'est donc un
élément de F ∩ F , et il est nul d'après l'hypothèse de départ. Donc −x→ = −→y et −x→ = −→y , et l'unicité est établie.
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
F2
2
2
~
x
~
x2
F1
~
x1
→
(⇐=) Supposons que F ∩ F ait un élément −
x . Alors on peut écrire les deux décompositions suivantes comme somme d'un élément de
et d'un élément de F :
−
→ −
→ →
−
→
→
x =−
x +0 =0 +−
x
Par unicité de l'écriture, on a bien −→x = −0→.
1
F1
2
2
E
E
E
Remarque 10. Dans les situations faisant intervenir une somme directe, il est souvent utile de faire un schéma, comme
ci-dessus. Mais bien entendu, ce schéma se fait en dimension 2, ou 3 avec perspective, alors que les espaces vectoriels
qu'on représente sont de dimensions quelconques, éventuellement innies.
7
Remarque 11. Attention à ne pas en conclure que la somme de p sous-espaces vectoriels est directe si et seulement si
les intersections sont deux à deux réduites à {0} ! C'est vrai pour p = 2 mais faux pour p > 3.
Par exemple, si F = R(1, 0, 0), G = R(0, 1, 0) et H = R(1, 1, 0), on voit bien que les intersections sont deux à deux
réduites à {0}, mais que la somme F + G + H n'est pas directe (justier pourquoi).
Théorème 12.
Soit E un K-espace vectoriel et F , F deux sous-espaces vectoriels de E. Alors :
−
→
E =F ⊕F
⇐⇒ E = F + F et F ∩ F = {0 }
On dit que F et F sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E.
1
2
1
1
2
1
2
1
2
E
2
Exercice 9
Soient H = {(x , x , . . . , x ) ∈ K / x + x + · · · + x = 0} et ~u = (1, . . . , 1) ∈ K .
Montrer que H et Vect(~u) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de K .
1
2
n
n
1
2
n
n
n
[al018]
Exercice 10
On donne les deux ensembles :
d
et G = f ∈ C([−1, 1], C) / f constante.
Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de C([−1, 1], C).
1
Z
n
F = f ∈ C([−1, 1], C) /
o
f (t) t = 0
n
o
−1
[al019]
II.D Cas particulier où E est de dimension nie
Dans tout ce paragraphe II.D, E est de dimension nie égale à n.
Théorème 13 (base adaptée à une décomposition en somme directe).
Si E est de dimension nie et est somme directe de p sous-espaces vectoriels F , F , . . . , F , alors la concaténation de
bases des F (1 6 i 6 p) donne une base de E. Il en résulte :
1
2
p
i
dim E = dim F1 + dim F2 + · · · + dim Fp
Pour n =−→3 (le cas−→général ne pose pas de diculté supplémentaire). Soient U = (−u→, . . . , −u→) une base de F , V = (−→v , . . . , −→v )
une base de F , et W = (w , . . . , w ) une base de F .
On concatène (i.e. on met bout à bout) les bases U et V et W :
Démonstration.
p
1
2
1
r
1
q
1
3
→, . . . , −
→, −
→
−
→ −
→
−
→
E = (−
u
u
p v1 , . . . , vq , w1 , . . . , wr ) = U &V&W
1
Montrons que−→E est une
base de E :
Soit x ∈ E. −→x −→est somme d'un vecteur −x→ de F , d'un vecteur−→−x→ de F et d'un vecteur −x→ de F ; −x→ est combinaison linéaire des
vecteurs de U , x est combinaison linéaire des vecteurs de V , x est combinaison linéaire des vecteurs de W , et par conséquent −→x
est combinaison linéaire des vecteurs de E .
E est donc génératrice.
Considérons une combinaison linéaire nulle des vecteurs de E :
1
1
2
2
2
3
3
1
3
→
→ + ··· + α −
→
−
→
−
→
−
→
−
→ −
α1 −
u
p up + β1 v1 + · · · + βq vq + γ1 w1 + · · · + γr wr = 0
1
D'après le théorème 10, on a alors :
→
→ + ··· + α −
→
−
→
−
→
−
→
−
→ −
α1 −
u
p up = β1 v1 + · · · + βq vq = γ1 w1 + · · · + γr wr = 0
1
L'indépendance linéaire de U montre alors que α = · · · = α
l'indépendance linéaire de W montre que γ = · · · = γ = 0.
Finalement, on a établi :
1
1
p
=0
, l'indépendance linéaire de V montre que β
1
= · · · = βq = 0
, et
r
→
→ + ··· + α −
→
−
→
−
→
−
→
−
→ −
α1 −
u
p up + β1 v1 + · · · + βq vq + γ1 w1 + · · · + γr wr = 0
1
ce qui est l'indépendance linéaire de E .
Finalement E est une base de E, et par suite : dim E = p + q + r = dim F
1
=⇒
α1 = · · · = αp = β1 = · · · = βq = γ1 = · · · = γr = 0
+ dim F2 + dim F3
.
Réciproquement, si E est de dimension nie et est somme de p sous-espaces vectoriels F , F , . . . , F ,
et si la concaténation de bases des F (1 6 i 6 p) donne une base de E, alors la somme est directe.
Remarque 12.
1
i
8
2
p
Exercice 11
Démontrer ce résultat pour n = 3 (en utilisant la remarque du théorème 10).
[al042]
Théorème 14 (existence de supplémentaires).
Si E est de dimension nie, tout sous-espace vectoriel de E admet des supplémentaires.
Démonstration. Soit F un sous-espace vectoriel de E . F est lui-même de dimension nie, inférieure ou égale à la dimension de E . On
introduit une base U de F ; U est une famille libre de E, qu'on complète par une famille V pour obtenir une base de E. Vect V est un
sous-espace vectoriel supplémentaire de F d'après la remarque précédente.
Théorème 15 (dimension d'une somme de sous-espaces vectoriels).
On a, en dimension nie :
Démonstration.
Posons F = F
1
dim(F1 + F2 ) = dim F1 + dim F2 − dim(F1 ∩ F2 )
+ F2
, et introduisons un supplémentaire G de F
1
∩ F2
dans F :
2
F2 = (F1 ∩ F2 ) ⊕ G
Montrons alors que F = F ⊕ G :
→
→
→
• F = F + G : en eet , pour tout vecteur −
x de F , il existe −
y ∈ F et −
z ∈ F tels que
−
→
→
→
→
→
→
→
→
→
x =−
y +−
z . Mais pour −
z , il existe −
z ∈ F ∩ F et −
z ∈ G tels que −
z =−
z +−
z . On a alors :
1
1
1
1
d'où −→x ∈ F
1
2
2
2
1
2
−
→
→
→
→
→
→
→
x =−
y +−
z1 + −
z2 = −
y +−
z1 + −
z2
.
1+G
−
→
• F1 ∩ G = 0
F1 ∩ G ⊂ (F1 ∩ F2 ) ∩ G
F2
: on a G ⊂ F , d'où F ∩ G ⊂ F ∩ F ; on a aussi
F ∩ G ⊂ G ; d'où
, et ce dernier sous-espace vectoriel est réduit à −→0 .
On a donc : dim F = dim F + dim G. Mais on a aussi dim F = dim(F ∩ F ) + dim G, d'après
la dénition de G. On conclut :
2
1
1
1
2
G
F1 ∩ F2
1
2
1
2
F1
dim F = dim F1 + dim F2 − dim(F1 ∩ F2 )
Théorème 16 (caractérisation des sommes directes en dimension nie).
Soit E un espace vectoriel de dimension nie, et soient F et F deux sous-espaces vectoriels de E :
h
i
E = F ⊕ F ⇐⇒ E = F + F et dim E = dim F + dim F
h
i
→
−
⇐⇒ F ∩ F = 0 et dim E = dim F + dim F
1
1
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
Exercice 12
Démontrer ce théorème.
[al044]
Exercice 13
Soit F = {(x, y, z, t) ∈ R / x + y = z et y + z + t = 0} et G = Vect{(1, 1, 2, 1)}.
La somme F + G est-elle directe?
4
III
Formule du rang
III.A Noyau, image d'une application linéaire
Dénition 10.
Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f ∈ L(E, F ). Par dénition :
−
−
−
→
→
−
Ker f = →
x ∈ E / f (→
x ) = 0F = f −1 ( 0F )
−
−
−
−
Im f = →
y ∈ F / ∃→
x ∈ E, f (→
x)=→
y = f (E)
9
[al020]
Ker f , noyau de f , est donc l'ensemble des éléments de E dont l'image par f est nulle, et Im f , image de f , est
l'ensemble des éléments de F qui ont un antécédent par f .
Remarque 13. On rappelle que Ker f est un sous-espace vectoriel de E , et que Im f est un sous-espace vectoriel de
F (résultats vus en Sup).
Exercice 14
Soient E, F et G trois K-e.v, et des applications linéaires f ∈ L(E, F ) et g ∈ L(F, G). Montrer que :
g ◦ f = 0 ⇔ (Im f ⊂ Ker g).
[al021]
Il est clair que l'application linéaire f est surjective si et seulement si Im f = F . Une caractérisation des applications
linéaires injectives est donnée par le théorème suivant :
Théorème 17.
Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f ∈ L(E, F ) :
f est injective ⇐⇒
−
→
Ker f = ( 0E )
Démonstration.
(=⇒) : Soit −→x ∈ Ker f . On a :
−
→
→
f (−
x ) = f (0E )
−
→
= 0F
donc −→x = −0→ parce que f est injective. 2
(−→⇐=)−→: soient −x→, −x→ ∈ E tels que f (−x→) = f (−x→). On a f (−x→ − −x→) = −0→, donc −x→ − −x→ ∈ Kerf , et par conséquent −x→ − −x→ = −0→. On a donc
x = x . L'implication que nous avons établie est :
→) = f (−
→) =⇒ −
→=−
→
f (−
x
x
x
x
ce qui prouve que f est injective.
E
1
1
2
1
2
1
2
1
F
2
1
2
E
2
1
2
1
2
Exercice 15
Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f ∈ L(E, F ). On suppose que E estde dimension nie n.
1. Soit (→−e , →−e , . . . , −e→) une base de E. Montrer que f (→−e ), f (→−e ), . . . , f (−e→) est une famille génératrice de Im f .
2. En déduire que : dim Im f 6 dim E. 3. Montrer que si f est injective, alors f (→−e ), f (→−e ), . . . , f (−e→) est une base de Im f .
4. Montrer que si f est un isomorphisme, alors E et F ont la même dimension (ce résultat est très important!).
1
2
n
1
1
2
2
n
n
[al022]
Exercice 16
Soit f un endomorphisme d'un K-espace vectoriel E vériant f
3
= Id
. Montrer :
Ker(f − Id) ⊕ Im(f − Id) = E
[al023]
Lemme 1.
Soient E et F deux K-espaces vectoriels (E de dimension nie), et f ∈ L(E, F ).
Im f est isomorphe à tout supplémentaire de Ker f
Démonstration.
Soit V un sous-espace vectoriel de E, supplémentaire de Ker f . Autrement dit, on a :
On introduit l'application g de V dans Im f dénie par :
2. Cela ne prouve en fait que
−
→
Ker f ⊂ 0E
E = Ker f ⊕ V
→
→
→
∀−
x ∈ V, g(−
x ) = f (−
x)
. Mais l'inclusion dans l'autre sens est évidente.
10
g est linéaire
: c'est évident.
Ker g = −→x ∈ V / g(−→x ) = −0→ = V ∩ Ker f = −0→.
→
→
→
g est donc injective (pour l'égalité (1), remarquer que pour −
x ∈ V, g(−
x ) = f (−
x ))
On a bien sûr Im g ⊂ Im f . Montrons l'inclusion dans l'autre sens :
Soit −→y ∈ Im f . Par dénition de Im f , il existe −→x ∈ E tel que f (−→x ) = −→y . Mais −→x peut s'écrire −x→ + −x→ avec −x→ ∈ Ker f et −x→ ∈ V .
On a alors :
−
→
→
→+−
→) = f (−
→) + f (−
→) = f (−
→).
y = f (−
x ) = f (−
x
x
x
x
x
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
On a ainsi exhibé x ∈ V tel que f (x ) = y , c'est-à-dire g(x ) = y . Et donc y ∈ Im g.
Finalement Im g = Im f , et g est surjective.
g est donc bien un isomorphisme entre V et Im f .
F
E
(1)
1
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
III.B Rang d'une application linéaire
Dénition 11.
Soient E et F deux K-espaces vectoriels, avec E de dimension nie, et f ∈ L(E, F ). Par dénition :
rg f = dim Im f
Cette dénition a un sens, comme on l'a vu dans l'exercice 15.2) : l'image de f est eectivement de
dimension nie, inférieure ou égale à la dimension de E.
Remarque 14.
III.C Formule du rang
Théorème 18 (fondamental!).
Soient E et F deux K-espaces vectoriels, avec E de dimension nie, et f ∈ L(E, F ). On a :
rg f + dim Ker f = dim E
Démonstration. On sait que Im f est isomorphe à tout supplémentaire de Ker f , et on a vu dans l'exercice 15 que si deux espaces vectoriels
sont isomorphes, ils ont la même dimension. La formule du rang s'ensuit.
Exercice 17
Soit f un endomorphisme d'un K-espace vectoriel E de dimension nie vériant :
rg(f 2 ) = rg(f )
1. Établir Im f = Im f et Ker f = Ker f .
2. Montrer que Ker f ⊕ Im f = E.
2
2
[al024]
Exercice 18
Soit f un endomorphisme d'un K-espace vectoriel E de dimension nie 2n. Montrer l'équivalence :
(f = 0 et rg f = n) ⇔ Im f = Ker f
2
[al025]
Exercice 19
Il s'agit de démontrer que pour tout polynôme Q de degré n − 1, il existe au moins un polynôme P de degré n tel que :
Q(X) = P (X + 1) − P (X) (c'est une question extrêmement classique dans les concours).
[X] → R [X]
On considère l'application : ϕ : PR(X)
7→ P (X + 1) − P (X)
1. Vérier que ϕ est un endomorphisme de l'espace vectoriel R [X].
2. Montrer que Im ϕ ⊂ R [X].
3. Déterminer Ker ϕ.
4. Conclure à l'aide de la formule du rang.
n
n
n
n−1
[al048]
11
III.D Une conséquence importante de la formule du rang
Théorème 19.
Soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension nie. Les sept phrases suivantes sont équivalentes :
(1) f est injective.
(2) f est surjective.
(3) f est bijective.
(4) rg f = dim E.
(5) Ker f = −0→ .
(6) Il existe une base de E dont l'image par f est une base de E.
(7) L'image par f de toute base de E est une base de E.
E
Démonstration.
Sans aucune diculté!
Remarque 15.
IV
Ce théorème est valable si f ∈ L(E, F ), avec dim E = dim F .
Hyperplans
IV.A Dénition et exemples
Dénition 12.
Soit E un K-e.v. de dimension nie n. On appelle hyperplan de E tout s.e.v. de E de dimension n − 1.
Remarque 16.
Si n = 3 : les hyperplans sont les plans vectoriels.
Si n = 2 : les hyperplans sont les~droites vectorielles.
Si n = 1 : le seul hyperplan est {0 }.
Théorème 20. Soit E un K-e.v. de dimension nie et H une partie de E . Alors H est un hyperplan de E si et seulement
si H admet une droite comme sous-espace vectoriel supplémentaire.
E
Démonstration.
Si est un hyperplan de E, alors H est de dimension n − 1. Soit (~e , . . . , ~e ) une base de H qu'on complète en une base
de E. La droite K~e est un sous-espace supplémentaire de H d'après la remarque du théorème 10.
Si est une droite telle que E = D ⊕ H , alors :
(=⇒)
H
(~e1 , . . . , ~en−1 , ~en )
(⇐=)
D
1
n−1
n
dim H = dim E − dim D = n − 1
et le résultat est prouvé.
IV.B Équation cartésienne d'un hyperplan
Théorème 21. Soit E un K-e.v. de dimension nie et H une partie de E . Alors H est un hyperplan de E si et seulement
si H est le noyau d'une forme linéaire non nulle.
Démonstration.
: Soit Φ : E → K une forme linéaire non nulle, alors Im Φ 6= {0}. Im Φ est donc un s.e.v. de K de dimension > 1, donc dim(Im Φ) = 1
et Im Φ = K (car dim K = 1). D'après le théorème du rang, on a :
(⇐=)
dim(Ker Φ) = dim E − dim(Im Φ) = n − 1
Donc H = ker Φ est un hyperplan de E.
(=⇒) : Soit H un hyperplan de E , alors dim H = n − 1. On choisit une base (~e , ~e , . . . , ~e
(~e , ~e , . . . , ~e
, ~e ) de E . On dénit alors la forme linéaire Φ par :
Φ(~e ) = 0 ∀i ∈ [[1, n − 1]] et Φ(~e ) = 1
Φ est non nulle donc dim(Ker Φ) = n − 1 = dim H .
De plus, H ⊂ Ker Φ car ∀~u = λ ~e + λ ~e + · · · + λ ~e ∈ H , on a :
1
1
2
n−1
n−1 )
n
i
1 1
2 2
Φ(~
u)
Donc H = ker Φ.
2
n
n−1 n−1
=
=
Φ(λ1~e1 + λ2~e2 + · · · + λn−1~en−1 )
λ1 Φ(~e1 ) + λ2 Φ(~e2 ) + · · · + λn−1 Φ(~en−1 ) = 0
12
de H , qu'on complète en une base
Soit Φ : E → K une forme linéaire non nulle de noyau l'hyperplan H . On dit que l'équation Φ(~u) = 0
est une équation cartésienne de H .
Dénition 13.
Soit (~e , ~e , . . . , ~e ) une base du K-e.v. E et Φ : E → K une forme linéaire non nulle, avec H = Ker Φ.
On pose a = Φ(~e ) ∀i ∈ [[1, n]]. On a alors :
Remarque 17.
i
1
2
n
i
~u ∈ H
⇔ Φ(~u) = 0 ⇔ Φ(x1~e1 + x2~e2 + · · · + xn~en ) = 0
⇔ x1 Φ(~e1 ) + x2 Φ(~e2 ) + · · · + xn Φ(~en ) = 0
Donc, avec les notations précédentes, l'équation de H relativement à la base (~e , ~e , . . . , ~e ) s'écrit :
1
2
n
a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = 0
(avec (a , a , . . . , a ) 6= (0, 0, . . . , 0), car Φ est non nulle).
1
2
n
Cas particuliers :
: L'équation cartésienne d'une droite vectorielle est de la forme ax + by = 0 avec (a, b) 6= (0, 0), (x, y) étant les
coordonnées d'un vecteur dans une base (~e , ~e ) quelconque.
? n = 3 : L'équation cartésienne d'un plan vectoriel est de la forme ax + by + cz = 0 avec (a, b, c) 6= (0, 0, 0), (x, y, z)
étant les coordonnées d'un vecteur dans une base (~e , ~e , ~e ) quelconque.
? n=2
1
2
1
2
3
Exercice 20
R
1. Soit φ : (x, y,R z, t) →
7→ x + y + z + t
Déterminer une base de Ker φ.
2. Soit H = Vect (2, 1, 0), (1, 1, 1). Déterminer une équation cartésienne de H .
4
[al026]
V
Sous-espaces stables par un endomorphisme
Soit E un K-espace vectoriel, F un sous-espace vectoriel de E, et f ∈ L(E). On dit que F est stable
par l'application f si f (F ) ⊂ F , autrement dit :
Dénition 14.
∀x ∈ F, f (x) ∈ F
Exercice 21

1
M =  −1
1

1 0
2 1 
0 1
On considère l'endomorphisme f de R canoniquement associé à la matrice
. On pose ~u = (1, 1, 1).
1. La droite D = Vect{~u} est-elle stable par f ?
2. Le plan P d'équation cartésienne y + z = 0 est-il stable par f ?
3. Montrer que D et P sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de R .
4. Déterminer une base (~v, w)
~ de P , et donner la matrice N de f dans la base (~u, ~v , w)
~ . Que constatez-vous?
3
3
[al027]
Remarque 18.
On peut généraliser le résultat de l'exercice précédent : soit E est un K-espace vectoriel tel que
, et f une application telle que tous les F (1 6 i 6 p) sont stables par f . On considère une base
E = F1 ⊕ F2 ⊕ · · · ⊕ Fp
i
13
B de E , qui est la concaténation de bases B , B , . . . , B respectives de F , F , · · · , F . Alors la matrice de f dans la
base B est une matrice par blocs de la forme :
1
 2
n
A1








M =







1
···
0
0
A2
0
0
···
0
...
...
0
2
Ap
n

















où la matrice carrée A est la matrice de la restriction de l'application f à l'espace F . Inversement, une telle forme
matricielle indique que chaque sous-espace F est stable par f .
k
k
k
VI
Exemples d'endomorphismes d'un espace vectoriel
VI.A Homothéties
Pour λ 6= 0, on appelle homothétie de rapport λ l'endomorphisme h
Dénition 15.
λ
−
−
:→
x 7→ λ→
x
.
Exercice 22
Soit f ∈ L(E), non nul, tel que : ∀→−x ∈ E, →−x et f (→−x ) sont liés. Montrer que f est une homothétie.
[al028]
VI.B Projecteurs (ou projections vectorielles)
Dénition 16.
Si E = →−F ⊕ F , on appelle projection
vectorielle sur F parallèlement à F (ou selon F ) l'application p qui à tout
vecteur x de E, associe le vecteur −x→ qui intervient dans la décomposition de →−x sous la forme :
→
−
→+−
→, avec −
→ ∈ F et −
→∈F .
x =−
x
x
x
x
Les résultats de l'exercice suivant doivent être connus :
Exercice 23
On suppose E = F ⊕ F et on
désigne par p le projecteur sur F selon F . −→
−
→
1. Que dire de p si F = 0 (et donc F = E), ou si F = E (et donc F = 0 )?
2. On revient à F quelconque. Montrer que p ∈ L(E) (p est un endomorphisme de E).
3. Montrer que Ker p = F et Im p = F .
4. Montrer que p ◦ p = p.
5. Montrer que F est également l'ensemble des vecteurs invariants par p, c'est-à-dire qu'on a :
1
2
1
2
2
1
1
1
2
1
2
1
1
1
E
2
1
2
2
2
2
E
1
2
1
1
−
−
−
F1 = →
x ∈ E / p(→
x)=→
x = Ker(p − IdE )
[al049]
Théorème 22.
Soit
f ∈ L(E)
Ker f
.
tel que f ◦ f = f . On a E = Im f ⊕ Ker f , et f est la projection vectorielle sur Im f parallèlement à
Démonstration.
14
Montrons d'abord que Im f ∩ Ker f = −0→ :
Soit −→y ∈ Im f ∩ Ker f ; comme −→y ∈ Im f , il existe −→x ∈ E tel que −→y = f (−→x ). Alors :
E
→
→
→
→
f (−
y ) = f ◦ f (−
x ) = f (−
x)=−
y.
−
→
−
→
−
→
y ∈ Ker f
y =0E
−
→
→
→
→
−
→
x = f (−
x )+ −
x − f (−
x)
x
−
→
→
Im f
x − f (−
x)
Ker f
Mais
, parce que
. Donc
.
Soit
. On a bien sûr
, ce qui fait apparaître comme somme d'un vecteur de Im f et d'un vecteur−→de
: en eet, appartient (visiblement!) à , et
appartient à car f −→x − f (−→x ) = f (−→x ) − f ◦ f (−→x ) = 0 .
On a donc : E = Im f + Ker f , et nalement :
E = Im f ⊕ Ker f
→
→
→
→
Soit p−→le projecteur−→sur Im f , parallèlement
à
Ker f . Tout vecteur −
x de E s'écrit de manière unique sous la forme −
x =−
x +−
x ,
→
→
→
→
→
→
avec
x ∈ Im f et x ∈ Ker f . Et p(−
x ) est précisément x . Mais on a vu que −
x = f (−
x)+ −
x − f (−
x ) , et que f (−
x ) ∈ Im f et
−
→
→
→
→
→
→
→
x − f (−
x ) ∈ Ker f . L'unicité montre que f (−
x)=−
x , c'est-à-dire f (−
x ) = p(−
x ), et cela quel que soit −
x . Donc f = p.
Il est ainsi établi que : f ◦ f = f =⇒ f est la projection vectorielle sur Im f parallèlement à Ker f .
−
→
→
f (−
y ) = 0E
−
→
x ∈E
→
Ker f
f (−
x)
E
1
1
2
2
1
1
Exercice 24
Soit E un espace vectoriel de dimension 3 rapporté à une base E = (→−e , →−e , →−e ).
On donne f ∈ L(E), dénie par :
f (xe + ye + ze ) = (x + z)e + (y + z)e
Écrire la matrice de f dans la base (e , e , e ). Montrer que f est un projecteur et déterminer ses éléments.
1
1
1
2
2
3
2
3
1
2
3
[al029]
Exercice 25
Soit E un espace vectoriel et f : E → E et g : E → E deux endomorphismes de E tels que f + g = I .
1. Montrer que f est un projecteur si et seulement si g est un projecteur.
2. Montrer que si f est un projecteur, alors Ker f = Im g et Ker g = Im f .
d
[al030]
Exercice 26
Soit u et v deux endomorphismes d'un espace vectoriel qui commutent (i.e tels que u ◦ v = v ◦ u).
1. Montrer que le noyau et l'image de v sont stables par u.
2. Soit p un projecteur de E. Prouver l'équivalence :
(u ◦ p = p ◦ u) ⇔ (Ker p et Im p sont stables par u).
[al031]
VI.C Automorphismes involutifs (ou symétries vectorielles)
Dénition 17.
Si E = F ⊕ F , on appelle symétrie vectorielle par rapport F , parallèlement à F , l'application s dénie de la manière
suivante :
Si →−x ∈ E, on décompose →−x sous la forme : →−x = −x→ + −x→, avec −x→ ∈ F et −x→ ∈ F .
Et on pose alors :
→
−
−
→ −
→
1
2
1
1
2
2
1
1
2
2
s( x ) = x1 − x2
Exercice 27
On suppose E = F ⊕ F et on
désigne par s la symétrie par rapport à F parallèlement
àF .
−
−
→
→
1. Que dire de s si F = 0 (et donc F = E), ou si F = E (et donc F = 0 )?
2. On revient à F quelconque. Montrer que s ∈ L(E) (s est un endomorphisme de E).
3. Montrer que s ◦ s = Id (s est un automorphisme involutif de E).
4. Montrer que F est l'ensemble des vecteurs invariants par s, c'est-à-dire qu'on a :
1
2
1
1
E
2
1
2
2
E
1
3
E
1
−
−
−
F1 = →
x ∈ E / s(→
x)=→
x = Ker(s − IdE )
et que F est l'ensemble des vecteurs transformés en leur opposé par s, c'est-à-dire qu'on a :
2
−
−
−
F2 = →
x ∈ E / s(→
x ) = −→
x = Ker(s + IdE )
3. Dans un groupe, un élément involutif est un élément qui est son propre inverse
15
[al054]
F2
~
x
~
x2
~
x1
F1
−~
x2
s(~
x)
Théorème 23.
Soit f ∈ L(E) tel que f ◦ f = Id . Posons : F
symétrie par rapport à F parallèlement à F .
E
1
1
= Ker(f − IdE )
et F
2
= Ker(f + IdE )
. On a : E = F
1
⊕ F2
, et f est la
2
Exercice 28
Démontrer→−ce théorème
en prouvant d'abord que F
s'écrire : x = →−x + f (→−x ) + →−x − f (→−x ).
1
−
→
∩ F2 = 0 E
1
2
1
2
Correction H
, puis en remarquant que tout vecteur →−x de E peut
[al055]
Correction de l'exercice 28 N
Soit f ∈ L(E) tel que f ◦ f = Id . F = Ker(f
− Id ) et F = Ker(f + Id ).
−
→
Montrons d'abord que F ∩ F = 0 :
Soit →−x ∈ F ∩ F ; comme →−x ∈ F , on a f (→−x ) = →−x , et comme →−x ∈ F , on a f (→−x ) = −→−x . Alors :
→
−
−
x = −→
x
d'où : 2.→−x = →−0 et : →−x = →−0
Soit →−x ∈ E. On a →−x = →−x + f (→−x )→−+ →−x→−−f (→−x ), ce qui fait apparaître →−x comme somme d'un vecteur de
x + f ( x ) ∈ F car :
F et d'un vecteur de F . En eet
E
1
1
1
E
2
2
E
E
2
1
2
E
1
2
1
f
De plus,
1
2
→
−
−
x − f (→
x ) ∈ F2
f
On a donc : E = F
+ F2
1
1 →
−
−
x + f (→
x)
2
=
1
1
−
−
−
−
f (→
x ) + f ◦ f (→
x ) = f (→
x)+→
x
2
2
car :
1 →
−
−
x − f (→
x)
2
1
1
2
1
2
2
E
=
1
1
1 −
−
−
−
−
−
f (→
x ) − f ◦ f (→
x ) = f (→
x)−→
x =− →
x − f (→
x)
2
2
2
, et nalement :
E = F1 ⊕ F2
Soit s →−la symétrie
par rapport
à F , parallèlement
à→−F . Tout vecteur →−x−→de −→E s'écrit de manière unique sous la
−
→
−
→
−
→
−
→
forme−→ x = x→− + x ,→−avec x ∈ F −→et x ∈→−F . Et→−s(x ) est précisément x − x . Or l'unicité de l'écriture montre
que x = x + f ( x ) ∈ F et x = x − f ( x ) ∈ F . Puis
1
1
1
2
1
1
2
1
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1 −
1 −
−
−
−
−
−
−
s(→
x)=→
x1−→
x2 = →
x + f (→
x) − →
x − f (→
x ) = f (→
x)
2
2
et cela quel que soit →−x . Donc f = s.
Il est ainsi établi que : f ◦ f = Id =⇒ f est la symétrie vectorielle sur F parallèlement à F .
E
1
Exercice 29
Soit E = R . On dénit u = (2, 1) et u = (1, 2).
1. Vérier que F = Vect(u ) et G = Vect(u ) sont des s.e.v supplémentaires dans E.
2
1
2
1
2
16
2
2. Calculer l'expression du projecteur p sur F parallèlement à G.
3. Calculer l'expression de la symétrie s par rapport à F parallèlement à G.
[al076]
VII
Changement de base
VII.A Matrice de passage
Soient E un espace vectoriel de dimension n, et deux bases de E :
→
− →
−
−
→
−
−
B = (→
e ,→
e ,...,−
e→) (ancienne base)
B = ( e , e , . . . , e ) (nouvelle base)
1
2
0
n
0
1
0
2
0
n
Dénition 18.
La matrice de passage P de la base B à la base B est la matrice carrée n × n dont les colonnes sont constituées par les
coordonnées des vecteurs de la base B dans la base B.
0
0

p1,1
 p2,1

P = P ass(B, B 0 ) = 

pn,1
↑
e~0 1
...
p1,2
p2,2
...
...
pn,2
↑
e~0 2
...

p1,n
← ~e1
p2,n 
 ← ~e2


pn,n
← ~en
↑
e~0 n
... . . . ...
...
...
On remarque que P n'est rien d'autre que la matrice de Id , de (E, B ) dans (E, B). Il en résulte que P est une
matrice inversible, et que P est la matrice de Id , de (E, B) dans (E, B ). Donc P est la matrice de passage de B
àB:
0
E
−1
0
E
p01,1
 p02,1

P 0 = P ass(B 0 , B) = 

p0n,1
↑
~e1
p01,2
p02,2

...
...
...
−1

← e~0 1
p01,n
0

p2,n  ← e~0 2


0
pn,n
← e~0 n
↑
~en
... . . . ...
p0n,2 . . .
↑
~e2 . . .
0
...
VII.B Eet d'un changement de base sur la matrice-colonne d'un vecteur
Théorème 24.
Soient →−x un vecteur de E, X sa matrice dans la base B, X sa matrice dans la base B . On a :
0
0
X 0 = P −1 X
Démonstration.
−
→
→
x = ϕ(−
x)
si on note (articiellement!) ϕ, l'identité de (E, B) dans (E, B ), la relation X
0
(E, B)
−
→
x
X
ϕ=IdE
- (E, B0 )
P −1
−
→
→
x = ϕ(−
x)
X 0 = P −1 X
17
0
= P −1 X
est la traduction matricielle de
VII.C Eet d'un changement de base sur la matrice d'un endomorphisme
Théorème 25.
Soit f ∈ L(E), dont la matrice dans la base B est M . La matrice de f dans la base B est :
0
M 0 = P −1 M P
Notons ϕ l'identité de (E, B) dans (E, B ), ψ l'identité de (E, B ) dans (E, B), f l'endomorphisme donné, dans E muni de
la base B, et le même endomorphisme, mais dans E muni de la base B .
La relation M = P M P est la traduction matricielle de : fˆ = ϕ ◦ f ◦ ψ.
Démonstration.
0
0
fˆ
0
0
−1
f
(E, B)
ψ=IdE
M
- (E, B)
6
P −1
P
M0
(E, B0 )
ϕ=IdE
?
- (E, B0 )
fˆ
Soient A, B ∈ M (K). On dit que A et B sont des matrices semblables s'il existe P ∈ GL (K) telle
que B = P AP .
Par ailleurs, A et B sont semblables si et seulement si, considérant un K-espace vectoriel E de dimension n, A et B
représentent le même endomorphisme f de E dans deux bases diérentes.
Remarque 19.
n
n
−1
Exercice 30
Soit f une forme linéaire sur E, c'est-à-dire une application linéaire de E dans K.
1. E étant muni d'une base B = (→−e , →−e , . . . , −e→), on note A = a a · · · a la matrice de f . Soit →−x = X x →−e
un vecteur de E. Calculer f (→−x ).
2. Soient B une autre base de E, et P = P ass(B, B ). Déterminer, à l'aide du diagramme suivant, la matrice de f
relativement à la base B :
n
1
2
1
n
2
n
i i
i=1
0
0
0
f
(E, B)
6
ψ=IdE P
- K
A
A0
f
(E, B 0 )
[al056]
Exercice 31
Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions respectives p et q. Soit f ∈ L(E, F ). On dénit dans E deux
bases E et E , et dans F deux bases F et F . On note P = P ass(E, E ) et Q = P ass(F, F ). On note M la matrice de
f relativement aux bases E et F , et M la matrice de f relativement aux bases E et F . Montrer que :
0
0
0
0
0
0
0
M 0 = Q−1 M P
[al057]
VIII
Trace d'une matrice carrée
VIII.A Dénition
Dénition 19.
Soit A ∈ M (K). On appelle trace de A, et on note Tr A, la somme des termes diagonaux de A.
Autrement dit, si on note a le terme de la i ligne, j colonne de la matrice A, on a :
n
ij
ème
ème
Tr A =
n
X
i=1
18
aii
VIII.B Linéarité
Théorème 26.
L'application Tr est une forme linéaire sur M (K).
n
Il s'agit tout simplement de vérier que tr est une application de M (K) dans K, et qu'elle est linéaire, c'est-à-dire que la
trace de A + B est égale à Tr A + Tr B, et que la trace de λA est égale à λ Tr A. C'est évident.
Démonstration.
n
Exercice 32
Montrer que les matrices de trace nulle forment un sous-espace vectoriel de M (K). Quelle est sa dimension?
n
[al033]
VIII.C Trace d'un produit de matrices
Théorème 27.
Soient A, B ∈ M (K). On a :
n
Démonstration.
colonne. On a :
Tr AB = Tr BA
Posons C = AB et D = BA, et notons a , b , c , d les termes des matrices A, B, C , D, situés sur la i ligne, j
ij
Tr C =
ce qu'il fallait démontrer.
n
X
cii =
i=1
n X
n
X
i=1
ij
ij
ème
ij
ème
n X
n
n
n X
n
X
X
X
aik bki =
bki aik =
dkk = Tr D
aik bki =
k=1
k=1
i=1
k=1
i=1
k=1
Exercice 33
Trouver dans M (R) deux matrices A, B telles que tr(AB) 6= tr(A) tr(B).
2
[al058]
Corollaire 1.
Si deux matrices A et B de M (K) sont semblables, leurs traces sont égales.
n
Démonstration.
En eet, il existe P ∈ M
On a alors :
, inversible, telle que :
n (K)
B = P −1 AP
Tr B = Tr(P −1 AP ) = Tr[(P −1 A)P ] = Tr[P (P −1 A)] = Tr[(P P −1 )A] = Tr A
VIII.D Trace d'un endomorphisme
Dénition 20.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n, et soit f ∈ L(E). On appelle trace de f , et on note Tr f , la trace de la
matrice de f dans une base quelconque de E.
Remarque 20 (1).
Cette dénition est eectivement indépendante de la base qui intervient, car les matrices de f dans
deux bases diérentes sont semblables, et ont donc la même trace.
Remarque 21 (2). L'application Tr est une forme linéaire sur L(E).
Exercice 34
Soit E un espace vectoriel de dimension nie. Montrer que la trace d'un projecteur est son rang.
19
[al034]
IX
Transposée d'une matrice
IX.A Dénition et propriétés
Soit A = (a
Dénition 21.
Mp,n (K)
i,j )16i6n
, avec :
∈ Mn,p (K)
16j6p
0
0
i,j )16i6p
∈
16j6n
∀(i, j) ∈ [[1, p]] × [[1, n]] , a0i,j = aj,i
On note alors A = A .
0
. On appelle transposée de la matrice A la matrice A = (a
T
Exemples 2.



1 1 −2
T
1
 1 0 1 
= 1
2 0 3
−2


2 0
T
2 1
 1 3 
=
0 3
4 −3

1 2
0 0 
1 3
4
−3
Proposition 1 (Règles de calcul avec la transposée).
1. Si A, B ∈ M (K), alors (A + B) = A + B .
2. Si A ∈ M (K) et λ ∈ K, alors (λA) = λA .
3. Si A ∈ M (K) et B ∈ M (K), alors (AB) = B A .
4. Si A ∈ M (K), alors (A ) = A.
5. Si A ∈ GL (K) est inversible, alors A est inversible et (A
6. Si A ∈ M (K), alors Tr(A ) = Tr(A).
T
n,p
T
T
n,p
n,p
T
T
p,q
T T
n,p
T
T
T
T
n
T −1
)
= (A−1 )T
T
n
.
On peut reformuler les deux premiers points en disant que l'application A 7→ A est une application
linéaire. Attention cependant, car cette application inverse l'ordre d'un produit de matrices. Enn on peut remarquer
qu'elle est involutive ((A ) = A).
Remarque 22.
T
T T
Démonstration.
1), 2), 4), 5) et 6) sont laissés à titre d'exercice. Montrons 3). On note :
avec ∀(i, j) ∈ [[1, p]] × [[1, n]] ,
A = (ai,j )16i6n
B = (bi,j )16i6p
A0 = (a0i,j ) 16i6p
B 0 = (b0i,j )16i6q
16j6p
16j6q
16j6n
16j6p
a0i,j
= aj,i
et ∀(i, j) ∈ [[1, q]] × [[1, p]] ,
(B T AT )i,j
=
=
p
X
k=1
p
X
b0i,j
= bj,i
b0i,k a0k,j =
. On calcule alors :
p
X
bk,i aj,k
k=1
aj,k bk,i = (AB)j,i = ((AB)T )i,j
k=1
IX.B Matrices symétriques et antisymétriques
Soit A = (a ) ∈ M (K) :
1. A est dite symétrique si A = A (∀i, j ∈ [[1, n]] , a = a )
2. A est dite antisymétrique si A = −A (∀i, j ∈ [[1, n]] , a = −a )
On note S (K) (resp. A (K)) l'ensemble des matrices symétriques (resp. antisymétriques) d'ordre n.
Dénition 22.
i,j 16i6n
n
16j6n
T
i,j
T
n
i,j
j,i
n
S (K) et A (K) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de M (K). Autrement dit, tout
s'écrit de manière unique comme somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique.
Proposition 2.
M ∈ Mn (K)
j,i
n
n
n
20
Exercice 35
1. Montrer que M (K) = S (K) ⊕ A (K).
2. On suppose n = 3.
(a) Quelle est la forme générale d'une matrice de S (K) ? de A (K) ?
(b) En déduire une base et la dimension de chacun de ces deux sous-espaces vectoriels.
3. Généraliser le résultat de la question précédente.
n
n
n
n
n
[al035]
Correction de l'exercice 35 N
1. Considérons l'intersection des sous-espaces vectoriels S (K) et A (K).
Soit A ∈ S (K) ∩ A (K). Alors :
A = A = −A, donc 2A = 0 et A = 0.
D'où S (K) ∩ A (K) = {0}.
Montrons maintenant que tout élément de M (K) s'écrit comme somme d'un élément de S (K) et d'un élément
de A (K).
Soit M ∈ M (K). On cherche A ∈ S (K) et A ∈ S (K) tels que :
M =A +A
(1)
En considérant la transposée, on trouve :
M =A +A =A −A
(2)
On a alors nécessairement :
n
n
n
n
T
n
n
n
n
n
n
1
n
2
n
1
T
?
M + MT
2
M −M
2
T
M=
M + MT
M − MT
+
2
2
, donc M +2M
MT − M
M − MT
=−
2
2
g

c
f  ∈ M3 (K)
i
(1) − (2) /2
avec :
∈ S (K).
T
, donc M −2M
n
T
:
A ∈ S3 (K) ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒

⇐⇒
⇐⇒
.
∈ An (K)

A ∈ A3 (K) ⇐⇒
2
(1) + (2) /2
=
=
b
e
h
M + MT
2
M − MT
2
A2
MT + M
M + MT
=
2
2
2. On suppose n = 3.
a
(a) Soit A =  d
1
=
=
T T
T
2
A1
Réciproquement, on a bien :
?
T
1
2
a b
 d e
g h
a = −a ,

0
A= b
c
 
a b c
a d
 d e f = b e
g h i
c f
d=b , g=c , h=f


a b e
A= b e f 
c f i
 
c
f =
i
e = −e ,
−b −c
0 −f
f
0
21

g
h 
i

−a −d −g
−b −e −h 
−c −f −i
i = −i , d = −b , g = −c , h = −f


(b) On conclut :
S3 (K) = Vect
et de même :
1
0
0
0
0
0
0
0
0
,
0
0
0
A3 (K) = Vect
0
1
0
0
0
0
,
−1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
,
,
0
0
1
0
0
0
0
1
0
−1
0
0
1
0
0
,
0
0
0
,
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
−1
0
0
0
0
1
0
0
,
0
0
0
0
0
1
0
1
0
Ces familles sont clairement libres. D'où dim S (K) = 6 et dim A (K) = 3 (on vérie que le somme des
dimensions est égale à la dimension de M (K)).
3. De la même façon, on constate qu'une base de S (K) est formée des (E ) , et des (E + E )
, d'où :
3
3
3
n
dim Sn (K) =
i,i 16i6n
n X
i
X
i=1 j=1
D'autre part, une base de A (K) est formée des (E
n
dim An (K) =
i−1
n X
X
i=2 j=1
i,j
1=
1=
n
X
i=1
i=
n(n + 1)
2
− Ej,i )16j<i6n
, d'où :
n
n−1
X
X
n(n − 1)
(i − 1) =
i=
2
i=2
i=1
22
i,j
j,i 16j<i6n