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Intégration sur un intervalle quelconque
I Intégrales impropres (ou généralisées)
1
II Intégrale impropre d'une fonction positive
5
III Convergence absolue
6
IV Comparaison d'une série et d'une intégrale
7
V Intégration par parties
7
VI Changement de variable
9
VIIFonctions intégrables sur I , intervalle quelconque
9
I.A
I.B
I.C
I.D
I.E
I.F
Dénition d'une intégrale impropre convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fausses intégrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Intégrale impropre sur un intervalle ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
3
4
4
5
II.A Théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II.B Utilisation d'une fonction majorante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II.C Utilisation de fonctions équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
VII.ADénition d'une fonction intégrable sur I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
VII.BCas où I est un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
VII.CPropriétés des fonctions intégrables sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
I
Intégrales impropres (ou généralisées)
On étudie ici des fonctions continues, à valeurs dans R ou dans C, dénies sur un intervalle semi-ouvert.
I.A Dénition d'une intégrale impropre convergente
Dénition 1.
Soit f : [a, b[→ R ou C, continue (Zb 6 +∞).
f (t) dt est dite convergente si
f (t) dt a une limite nie quand x tend vers b en restant dans [a, b[. On pose alors :
Z
b
a
x
a
d
f (t) dt
S'il n'y a pas de limite, ou une limite innie, l'intégrale est dite divergente.
Z
b
Z
x
f (t) t = lim
x→b
a
a
Remarques 1.
1. Il ne s'agit donc pas d'une intégrale au sens usuel du terme (c'est à dire sur un segment), mais de la limite d'une
suite convergente d'intégrales sur des segments :
Cf
a
O
x→b
1
2. En cas de convergence, on dit aussi que f (t) dt "existe".
3. La notation avecZ l'intervalle
en indice a l'avantage de souligner en quelle borne il y a un problème; par exemple,
d
t
dans l'écriture √t , le problème en 0 est immédiatement visible. Cependant, le programme limite cette
notation aux intégrales absolument convergentes (et aux intégrales sur un segment, bien sûr) : voir le paragraphe
VII.
Z
b
a
]0,1]
I.B Exemples fondamentaux
Les quatre exemples qui suivent doivent être connus parfaitement et serviront de référence :
Exemples 1.
dt converge ⇐⇒ α > 1.
1.
t
Z
2. tdt converge ⇐⇒ α < 1.
Z
3.
e
dt converge ⇐⇒ a > 0.
Z
4. ln t dt = −1.
Z
+∞
α
1
1
α
0
+∞
−at
0
1
0
Exercice 1
Établir le premier résultat en utilisant une primitive, et montrer qu'on a, si α > 1 :
Z
dt = 1
+∞
tα
1
α−1
[ig025]
t 7→
O
1
(α > 1)
tα
x→
1
+∞
Exercice 2
Etablir le second résultat en utilisant une primitive, et montrer qu'on a, si α < 1 :
Z
dt = 1
1
0
tα
1−α
Correction H
Correction de l'exercice 2
[ig026]
N
Il s'agit d'étudier la limite lorsque x → 0 de x 7→
? Si α 6= 1, on trouve :
Z
dt = 1
x
tα
Z
1
x
d :
t
tα
1
(1 − α)tα−1
1
=
x
1
1
−
1 − α (1 − α)xα−1
Si α > 1, cette expression tend vers +∞1 lorsque x tend vers 0.
Si α < 1, cette expression tend vers 1 − α lorsque x tend vers 0.
2
?
Si α = 1, on trouve :
Z
1
1
x
t
x
et le résultat est ainsi prouvé.
dt = ln(t)
= − ln(x) −→ +∞
x→0
t 7→
0←x
1
(0 < α < 1)
tα
1
Exercice 3
Établir le troisième résultat en utilisant une primitive, et montrer qu'on a, si a > 0 :
Z
d
+∞
e−at t =
0
1
a
[ig027]
Exercice 4
Établir le dernier résultat en utilisant une primitive de t 7→ ln t sur ]0, +∞[.
[ig028]
On peut avoir, moyennant un changement de variable (cf VI), des variantes des exemples précédents, comme ceux
qui suivent :
Z
dt converge ⇐⇒ α < 1
Exemple 2.
b
(t − a)α
a
Exemple 3.
Z
a
b
d converge
t
(b − t)α
⇐⇒ α < 1
Exercice 5
Établir ce résultat.
[ig029]
Exercice 6
Etudier, et calculer éventuellement les intégrales suivantes :
Z
Z
d
t
√ b)
2 dt
a)
t
1
+∞
−t
0
3
0
Z
c)
1
2
√
d
t
t−1
[ig014]
3
I.C Relation de Chasles
Théorème 1.
Soit f ∈ C([a, b[, C). Soit c ∈ [a, b[.
d converge
b
Z
Z
a
et en cas de convergence, on a :
Démonstration.
d
b
Z
a
d.
b
Z
f (t) t +
a
f (t) t
c
d
c
Z
f (t) t =
d converge
b
⇐⇒
f (t) t
f (t) t
c
Utiliser la dénition d'une intégrale convergente, et la relation de Chasles pour les intégrales sur un segment.
I.D Linéarité
Théorème 2.
Soient
f, g ∈ C([a, b[, C). Soient λ, µ ∈ C.
Z
Z
Z
Si f (t) dt et g(t) dt convergent, alors
b
b
a
a
d converge, et on a :
b
(λf + µg)(t) t
a
Z
d
b
Z
(λf + µg)(t) t = λ
a
Démonstration.
d
b
Z
f (t) t + µ
a
d
b
g(t) t
a
Utiliser la dénition d'une intégrale convergente, et la linéarité du passage à la limite.
Remarque 1. Deux intégrales divergentes peuvent donner une intégrale convergente. Par exemple, l'écriture suivante
n'a aucun sens :
Z
Z
2 dt
dt Z dt
+∞
2
bien qu'on ait, pour tout x > 2 :
x
Z
2
Théorème 3.
Soit f ∈ C([a, b[, C), f = f
1
d
b
Z
2 t
=
2
t −1
−1
x
dt
2
t−1
=
t−1
2
t+1
2
dt
x
Z
+∞
−
h x − 1i
= ln 3
−→ ln 3
t+1
x + 1 x→+∞
−
2
avec f ∈ C([a, b[, R) et f ∈ C([a, b[, R).
Z
Z
f (t) dt converge ⇐⇒
f (t) dt et
f (t) dt convergent
+ if2
Z
+∞
t2
1
2
b
b
1
a
et dans ce cas on a :
2
a
Z
b
d
Z
f (t) t =
a
a
d
b
Z
f1 (t) t + i
a
b
d
f2 (t) t
a
On a vu au chapitre 4 qu'une fonction vectorielle a une limite ` si et seulement si chaque fonction
coordonnée tend vers la
Z
coordonnée correspondante de `. C'est ce résultat qui s'applique ici (lorsque x tend vers b) à la fonction x 7→ f (t) dt, dont les fonctions
Z
Z
coordonnées sont x 7→ f (t) dt et x 7→ f (t) dt.
Démonstration.
x
x
a
a
x
1
2
a
I.E Fausses intégrales impropres
Ce point n'est pas soulevé dans le programme, mais il s'agit pourtant d'une situation relativement fréquente :
considérons un intervalle semi-ouvert
[a, b[, et une fonction f continue sur [a, b[, qui possède une limite nie ` en
b. Autrement dit, f est prolongeable par continuité en une fonction fb, qui est dénie par :
(
fb(t) = f (t) si t ∈ [a, b[
borné
fb(b) = `
4
Dans cette situation, f (t) dt est convergente, et elle converge vers
l'intégrale sur [a, b[ de f et l'intégrale sur [a, b] de sa prolongée fb.
b
Z
Z
Exemple 4.
fonction t 7→
Démonstration.
Z
1
0
sin t
t
d existe, et il n'y a aucun inconvénient à écrire
prend la valeur 1 pour t = 0.
On a :
Z
x→b
x<b
d
x
lim
a
d
x
Z
[0,1]
x→b
x<b
a
d , en admettant implicitement que la
sin t
t
t
d
b
Z
fb(t) t
fb(t) t =
f (t) t = lim
[a,b]
Z
sin t
t
t
. Il n'y a donc pas lieu de distinguer
fb
a
a
En eet, la premièreZ égalité vient du fait que les fonctions f et fb coïncident sur [a, b[, et la deuxième égalité vient de la continuité sur [a, b]
de la fonction x 7→ fb(t) dt (d'après le théorème fondamental de l'analyse, fb étant continue).
x
a
I.F Intégrale impropre sur un intervalle ouvert
Le cas peut se présenter dans les exercices. Il sut de se ramener à deux intégrales impropres sur des intervalles
semi-ouverts en utilisant la dénition qui suit :
Dénition 2.
Soit f ∈ C(]a, b[, C) (a, b ∈ R̄). On dit que f (t) dt est convergente s'il existe c ∈]a, b[ tel que
sont toutes deux convergentes. Dans ce cas, on note :
Z
Z
Z
f (t) dt =
f (t) dt +
f (t) dt
b
Z
a
b
c
a
Exercice 7
Convergence et calcul de
II
Z
+∞
Z
c
d et
a
d
f (t) t
c
b
a
c
dt .
1+t
[ig015]
2
−∞
b
Z
f (t) t
Intégrale impropre d'une fonction positive
Pour les fontions
f
négatives, on envisagera
−f .
II.A Théorème principal
Théorème 4.
Soit f ∈ C([a, b[, R ). On suppose qu'il existe M > 0 tel que :
Z
Z
∀x ∈ [a, b[,
f (t) dt 6 M Alors
+
x
a
Démonstration.
la fonction x 7→
Z
x
a
b
d converge.
f (t) t
d est croissante sur [a, b[. Elle a une limite nie en b si et seulement si elle est majorée.
f (t) t
a
Le résultat est le même car la fonction x 7→
en a, si et seulement si elle est majorée.
Remarque 2.
5
Z
b
d est décroissante sur ]a, b]. Elle a une limite nie
f (t) t
x
II.B Utilisation d'une fonction majorante
Théorème 5.
Soient f, g ∈ C([a, b[, R ), telles que f 6 g (i.e. ∀t ∈ [a, b[, f (t) 6 g(t)). On a :
Z
Z
g(t) dt converge =⇒
f (t) dt converge.
+
b
b
a
Remarque 3.
Démonstration.
4.
a
Même résultat si f, g ∈ C(]a, b], R ).
+
On a : ∀x ∈ [a, b[,
Z
x
d
Z
a
d
x
Z
a
d , et c'est cette dernière intégrale qui joue le rôle du M du théorème
b
g(t) t
g(t) t 6
f (t) t 6
a
(Très importante!). On peut se contenter de vérier l'inégalité f (t) 6 g(t) sur un voisinage [c, b[ de b.
En eet dans ce cas :
Z
Z
Z
f (t) dt converge.
f (t) dt converge. =⇒
g(t) dt converge =⇒
En particulier, si f = o(g), alors il existe un voisinage [c, b[ de b tel que ∀x ∈ [c, b[, f (t) 6 g(t), donc on peut appliquer
le théorème.
Remarque 5. Dans les mêmes conditions, on a par contraposée :
Z
Z
g(t) dt diverge =⇒
f (t) dt diverge.
Remarque 4
b
b
b
a
c
c
b
b
b
a
a
Exercice 8
Donner la nature des intégrales suivantes :
Z
Z
e
√ dx c)
a)
e dt b)
x
+∞
+∞
−t2
1
−x
0
Z
+∞
dt d)
t ln t
Z
2
2
+∞
d e)
Z
t2 e−t t
1
+∞
√
2
dt
t ln t
[ig016]
II.C Utilisation de fonctions équivalentes
Théorème 6.
Soient f, g ∈ C([a, b[, R ) telles que f (t)
∗
+
. Alors :
Z
Z
f (t) dt et
∼ g(t)
t→b
b
sont de même nature.
Démonstration.
a
g(t) t
a
Il existe c ∈ [a, b[ tel que :
La suite de la démonstration est évidente avec II.B.
d
b
∀t ∈ [c, b[,
1
3
f (t) 6 g(t) 6 f (t)
2
2
Exercice 9
Donner la nature des intégrales suivantes :
Z
+ t)
a) t − ln(1
dt b)
t
1
0
5/2
Z
1
+∞
√
x sin
d c)
1
x
x
Z
0
+∞
√
dt
t(1 + t)
d)
Z
0
+∞
2
e−t
√
t
dt
[ig017]
6
III
Convergence absolue
Théorème 7 (et dénition).
Soit f ∈ C([a, b[, C) :
Z
|f (t)| dt converge =⇒
L'intégrale est dite, dans ce cas, absolument convergente.
b
d converge.
b
Z
f (t) t
a
a
Supposons d'abord que f est une fonction à valeurs réelles. Soit donc f ∈ C([a, b[, R), telle que |f (t)| dt converge.
On envisage f = max(f, 0) et f = − min(f, 0). On a : 0 6 f Z6 |f | et 0 6 f Z6 |f |.
D'après II.B (usage d'une fonction majorante), on peut dire que f (t) dt et f (t) dt convergent.
Z
Comme on a f = f − f , on conclut par linéarité que f (t) dt converge.
Z
Supposons maintenant que f ∈ C([a, b[, C) et que |f (t)| dt converge. On se ramène à la partie réelle et à la partie imaginaire; on a :
f = f + if , et |f | 6 |f |, |f | 6 |f |.
f et f apparaissent comme des fonctions à valeurs réelles, d'intégrales absolument convergentes.
Z
Z
Z
La première partie de la démonstration montre que f (t) dt et f (t) dt convergent. On conclut par linéarité que f (t) dt converge.
Z
b
hors-programme TSI.
−
+
b
b
+
−
a
a
+
a
−
+
b
−
a
b
a
1
1
2
1
2
2
b
b
b
1
2
a
Exercice 10
Nature de
IV
Z
+∞
0
sin(t) sin
√
t
1
t
a
a
dt.
[ig018]
Comparaison d'une série et d'une intégrale
Théorème 8.
Soit f : [1, +∞[→ R, continue, positive, et décroissante :
∞
X
Z
On a, quel que soit k ∈ N : f (k + 1) 6
∗
n+1
Z
f (t) t
1
k=1
Démonstration.
d converge
+∞
f (k) < +∞ ⇐⇒
Z
, d'où :
f (t) t 6 f (k)
k
d
f (t) t 6
1
d
k+1
n
X
n
Z
f (k) 6 f (1) +
d
f (t) t
1
k=1
et la n de la démonstration est claire :
Si l'intégrale est convergente, l'inégalité de droite prouve que pour tout n on a :
Z
X
f (k) 6 f (1) +
f (t) dt
ce qui nous donne bien un majorant xe pour les sommes partielles de la série à termes positifs P f (k), série qui est donc convergente.
Supposons inversement que la série est convergente. Soit x > 1. Si n est la partie entière de x, on a, en utilisant l'inégalité de gauche :
Z
Z
X
X
f (t) dt 6
f (t) dt 6
f (k) 6
f (k)
n
+∞
1
k=1
x
1
n+1
1
ce qui nous donne un majorant xe pour la fonction x 7→
converge.
Remarque 2.
x
Z
n
+∞
k=1
k=1
d , et nous permet de conclure avec 4 que l'intégrale
+∞
Z
f (t) t
1
d
f (t) t
1
Le théorème reste vrai, bien entendu, pour une fonction f : [n , +∞[→ R où n est un entier quelconque.
0
Exercice 11
7
0
1. Soit α un réel strictement positif. Discuter suivant α la nature de la série n(ln1n) .
2. Pour α = 2, donner un équivalent du reste de la série.
(On pourra utiliser un encadrement dans le même esprit que pour la démonstration du théorème).
∞
X
α
n=2
[ig019]
V
Intégration par parties
Bien que cette technique soit très fréquemment utilisée aussi bien pour établir la convergence que pour calculer la
valeur d'une intégrale impropre, aucun théorème spécique ne gure au programme de TSI. Il est donc prudent de se
ramener à une intégrale sur un segment, puis d'utiliser la dénition d'une intégrale convergente.
Soient donc f et g de classe C sur [a, b[, à valeurs dans R ou C. On a, en vertu du théorème classique d'intégration
par parties sur un segment :
Z
Z
h
i
∀x ∈ [a, b[,
f (t)g (t) dt = f (t)g(t)
−
f (t)g(t) dt
Il est clair que si deux des trois fonctions :
Z
Z
x 7→
f (t)g (t) dt, x 7→ f (x)g(x), x 7→
f (t)g(t) dt
ont une limite nie quand x tend vers b, alors il en est de même de la troisième, et on a alors :
Z
Z
lim
f (t)g (t) dt = lim f (x)g(x) − f (a)g(a) − lim
f (t)g(t) dt
ce qu'on peut écrire :
Z
Z
h
i
f (t)g (t) dt = f (t)g(t)
−
f (t)g(t) dt
1
x
x
t=x
0
0
t=a
a
a
x
x
0
0
a
a
x
x
0
x→b
0
x→b
a
x→b
b
0
t=a
a
Exemples 5.
b
t→b
0
a
a
t
t
t
dt est convergente car la fonction t 7→ Arctan
est positive sur [1, +∞[, Arctan
L'intégrale Arctan
t
t
t
Z
π
π
, et l'intégrale
dt converge. Le calcul eectif de l'intégrale peut se faire comme suit :
2t
2t
Z
Z
h
i
Arctan t
dt
dt = − Arctan t +
Z
+∞
2
+∞
1
2
1
2
2
∼
t→+∞
2
+∞
+∞
+∞
t2
1
t
1
1
t(t2 + 1)
En eet, le terme tout intégré vaut , et l'intégrale du second membre est convergente. Toutefois, le calcul de
cette dernière intégrale nécessite des précautions : on a
= −
, et il faut éviterZde séparer notre
Arctan t
intégrale convergente en deux intégrales divergentes! La prudence conseille de calculer lim t(t
.
+ 1)
On trouve nalement :
Z
Arctan t
dt = π4 + 12 ln 2
t
Le calcul suivant est fautif :
Z
Z
h cos t i
sin t
cos t
d
t= −
−
dt
t
t
t
En eet, le terme tout intégré et l'intégrale du second membre n'ont pas de sens (problème à la borne 0), alors
que l'intégrale du premier membre est convergente puisque la fonction intégrée est prolongeable par continuité
en 0.
π
4
1
t(t2 +1)
1
t
t
t2 +1
x
x→+∞
1
2
+∞
1
2
1
0
0
Exercice 12
Convergence et calcul de
Z
0
1
1
1
d.
ln t
√ t
t
0
2
[ig020]
Exercice 13
8
1. Représenter la fonctionZ t 7→ | sin t| sur [0, 2π].
Calculer pour k > 1,
| sin t| dt.
2. On note f : t 7→ sin√tt dénie sur R . Montrer que f se prolonge par continuité en 0.
Z
En déduire que F : x 7→ sin√tt dt est dénie et de classe C sur [0, +∞[.
Z
cos t
3. (a) Donner la nature de
dt.
t
Z
sin t
√ dt est convergente.
(b) En déduire, à l'aide d'une intégration par parties, que
t
4. Montrer qu'une fonction continue sur [0, +∞[ qui a une limite nie en +∞ est bornée. En déduire que F est
bornée.
5. Montrer que pour tout entier n > 2, on a :
(k+1)π
kπ
∗
+
x
1
0
+∞
3/2
1
+∞
1
Z
nπ
π
L'intégrale
Z
+∞
0
d
n−1
| sin t|
2 X
1
√
√
t> √
π
k+1
t
k=1
d est-elle absolument convergente?
sin t
√ t
t
[ig021]
VI
Changement de variable
Théorème 9.
Soient ϕ ∈ C ([a, b[, R) une bijection strictement croissante, et f continue sur l'intervalle ϕ([a, b[), à valeurs dans C. les
intégrales :
Z
Z
f (x) dx
et
f (ϕ(t)) × ϕ (t) dt
avec β = lim ϕ(y)
sont de même nature et égales en cas de convergence.
Remarque 6. Le théorème reste vrai si ϕ est strictement décroissante : dans ce cas, les bornes ne sont pas dans l'ordre
croissant puisque ϕ(a) > β.
Remarque 7. On adapte facilement le théorème aux cas où ϕ ∈ C (]a, b], R) et ϕ ∈ C (]a, b[, R).
1
β
b
0
ϕ(a)
y→b
a
1
1
Ce théorème est admis. Il prolonge la formule de changement de variable pour les intégrales sur un segment. Il ne faut pas
oublier qu'on exige ici que ϕ soit une bijection strictement monotone.
Démonstration.
Exercice 14
Donner la nature des intégrales suivantes :
Z
a) p(1ln−t t) dt b)
1
0
3
Z
0
π
d c)
cos t
√
t
sin t
Z
0
−∞
1
d
ex
x
x2
[ig052]
Exercice 15
Nature et valeur de
Z
+∞
0
√
3
dt .
t+t
[ig022]
4/3
Exercice 16
Calculer
Z
0
π
dx .
1 + sin x
[ig023]
9
Exercice 17
Convergence et calcul de
VII
Z
+∞
−∞
d .
t
ex + e−x
[ig024]
I,
Fonctions intégrables sur
intervalle quelconque
Dans ce paragraphe, I est un intervalle quelconque : ]a, b[, [a, b[, ]a, b], [a, b] (segment), [a, +∞[, ]a, +∞[, ] − ∞, a],
,
.
De manière générale, on notera a = inf(I) et b = sup(I) avec a, b ∈ R̄.
] − ∞, a[ ] − ∞, +∞[
VII.A Dénition d'une fonction intégrable sur I
Dénition 3.
Soit f ∈ C(I, C). f est dite intégrable sur I si
d est convergente. Dans ce cas on note :
b
Z
|f (t)| t
a
d
Z
I
Si f est intégrable sur I , alors
montre le résultat de l'exercice 13.
Remarque 3.
f (t) t
a
d est convergente d'après III. La réciproque est fausse comme le
b
Z
d
b
Z
f (t) t =
f (t) t
a
VII.B Cas où I est un segment
Toute fonction continue sur le segment I = [a, b] est intégrable sur [a, b[, ]a, b] ou ]a, b[ au sens de la dénition 3, et
on notera l'intégrale habituelle de f sur le segment I :
Z
Z
Z
Z
Z
f (t) dt =
f (t) dt =
f (t) dt =
f (t) dt =
f (t) dt
I
[a,b]
[a,b[
]a,b]
]a,b[
Cette dénition est valide puisque |f | est continue sur [a, b] et d'après le théorème fondamental, on a par exemple :
Z
x→b
et on peut donc dénir :
d
Z
d
x
a
Z
x→b
|f (t)| t
a
d
x
f (t) t = lim
[a,b[
d
b
Z
|f (t)| t =
lim
a
d
b
Z
f (t) t =
f (t) t
a
VII.C Propriétés des fonctions intégrables sur un intervalle
Les propriétés suivantes sont relativement faciles à établir, mais seront admises. Elles généralisent à un intervalle
quelconque I des propriétés qu'on connaît déjà pour les intégrales sur un segment.
: Soient f, g ∈ C(I, C) et α, β ∈ C. Si f et g sont intégrables sur I , alors αf + βg est intégrable sur I ,
et on a :
Z
Z
Z
(αf + βg)(t) dt = α f (t) dt + β g(t) dt
: Soit f ∈ C(I, C), de parties réelle et imaginaire f et f . f est intégrable sur
I si et seulement si f et f le sont, et dans ces conditions on a :
Z
Z
Z
f (t) dt = f (t) dt + i f (t) dt
Linéarité
I
I
I
Partie réelle et partie imaginaire
1
1
2
1
I
I
10
2
I
2
: Soient I et J deux intervalles adjacents, tels que I ∩ J est vide ou réduit à un point et que
est un intervalle. Soit f une fonction continue par morceaux, intégrable sur l'intervalle I ∪ J . On a :
Z
Z
Z
f (t) dt = f (t) dt +
f (t) dt
Relation de Chasles
I ∪J
I∪J
I
J
: Soit f ∈ C(I, R ), intégrable. On a : f (t) dt > 0.
Z
: Soit f ∈ C(I, R ), intégrable, telle f (t) dt = 0. Alors :
Z
Intégrale d'une fonction positive
+
I
Intégrale d'une fonction continue positive
+
I
∀t ∈ I, f (t) = 0.
Module de l'intégrale
: Soit f ∈ C(I, C), intégrable. On a :
Z
Z
f (t) dt 6
I
d
|f (t)| t
I
Exercice 18
Démontrer les deux dernières propriétés pour I = [a, b[.
[ig041]
On peut adapter aussi le théorème de changement de variable aux fonctions intégrables :
Corollaire 1.
Soient I et I deux intervalles. Soit f une fonction continue de I dans C, intégrable sur I , et soit ϕ une bijection
strictement monotone de classe C de I dans I . On a :
Z
Z
f (x) dx =
(f ◦ ϕ)(t).|ϕ (t)| dt
0
0
1
0
I0
I
Pour un intervalle semi-ouvert, par exemple, ce théorème peut s'écrire :
Si ϕ est une bijection de classe C ,
, de I = [a, b[ dans I = [ϕ(a), ϕ(b)[ (en notant par abus
ϕ(b) = lim ϕ(y)), alors :
Z
Z
f (x) dx =
f (ϕ(t))ϕ (t) dt
Ici, pas de mystère! On a ϕ (t) > 0, donc pas de valeur absolue.
Si ϕ est une bijection de classe C ,
, de I = [a, b[ dans I =]ϕ(b), ϕ(a)], alors :
Z
Z
f (x) dx =
f (ϕ(t)) × (−ϕ (t)) dt
ce qui est bien la même chose que la formule habituelle :
Z
Z
f (x) dx =
f (ϕ(t))ϕ (t) dt
1
0
strictement croissante
y→b
0
[ϕ(a),ϕ(b)[
[a,b[
0
1
strictement décroissante
0
0
]ϕ(b),ϕ(a)]
[a,b[
ϕ(b)
b
0
ϕ(a)
a
11