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Intégration sur un segment
I Notion d'intégrale
1
II Dénition de l'intégrale d'une fonction à valeurs réelles ou complexes
3
III Propriétés de l'intégrale
4
I.A Approche géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.B Valeur moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.C Relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.A Intégrale d'une fonction constante
III.B Linéarité . . . . . . . . . . . . . . .
III.C Chasles . . . . . . . . . . . . . . .
III.D Croissance . . . . . . . . . . . . . .
III.E Inégalité de la moyenne . . . . . .
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IV.A Fonction à dérivée nulle sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . .
IV.B Théorème fondamental de l'analyse (cas des fonctions continues)
IV.C Inégalité des accroissements nis . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.D Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.E Intégration par changement de variable . . . . . . . . . . . . . . .
IV.F Primitivation par changement de variable . . . . . . . . . . . . .
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IV Lien entre intégration et dérivation
1
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5
7
7
8
9
I Notion d'intégrale
I.A Approche géométrique
Ce paragraphe constitue une approche pratique de la notion d'intégrale par le calcul d'aire. On considère une fonction
f : x 7→ y = f (x), continue sur un segment [a, b] de R, et à valeurs dans R+ . On cherche à évaluer l'aire A du domaine
déni par :
a6x6b
0 6 y 6 f (x)
Pour cela on choisit un entier n, et on partage le segment [a, b] en n segments égaux consécutifs :
[a0 , a1 ], [a1 , a2 ], . . . , [an−1 , an ]
Remarquons que a0 = a, an = b, la longueur de chaque segment est b−a
n , et pour tout k compris entre 0 et n,
ak = a + k b−a
.
n
Dénition des sommes dn et Dn : on construit sur chaque segment [ak , ak+1 ] un rectangle dont la hauteur est le minimum
mk de la fonction f sur [ak , ak+1 ]. L'aire d'un tel rectangle est (ak+1 − ak ) × mk , c'est-à-dire b−a
n × mk , et l'aire totale
de ces rectangles est :
dn =
n−1
b−a X
mk
n
k=0
Pour Dn , on prend comme hauteur le maximum Mk de la fonction f sur [ak , ak+1 ]. L'aire totale obtenue est cette fois :
Dn =
n−1
b−a X
Mk
n
k=0
et il est clair qu'on a :
∀n ∈ N∗ , dn 6 A 6 Dn
Intuitivement, cet encadrement est d'autant meilleur que n est grand, et
1
on admet que
:
Théorème 1 (et dénition).
si f ∈ C([a, b], R+ ), les suites (dn ) et (Dn ) ont la même limite nie quand n tend vers +∞. Cette limite est appelée
R
Rb
l'intégrale de a à b de f , et est notée [a,b] f ou a f (x) dx.
On a donc :
Z
n−1
n−1
b−a X
b−a X
mk = lim
Mk
n→+∞
n→+∞
n
n
f = lim
[a,b]
k=0
k=0
L'encadrement : ∀n ∈ N∗ , dn 6 A 6 Dn , et le théorème des gendarmes montrent que :
Z
A=
f
[a,b]
Exercice 1
π
Soit
R x x ∈]0, 2 ]. Représenter sur le segment [0, x] la fonction t 7→ cos t, et calculer à l'aide des sommes dn l'intégrale
cos tdt, c'est-à-dire l'aire du domaine limité par l'axe des abscisses, les verticales d'abscisses 0 et x, et la courbe.
0
[is001]
On va donner une autre expression de l'intégrale : comme mk et Mk sont respectivement
le minimum et le maximum
de la fonction f sur [ak , ak+1 ], on a : mk 6 f (ak ) 6 Mk ou encore mk 6 f a + k b−a
6
M
k et au niveau des sommes :
n
dn 6
n−1
b − a
b−a X
f a+k
6 Dn
n
n
k=0
On fait tendre n vers +∞, et on applique le théorème des gendarmes pour obtenir :
n−1
b−a X
b − a
f a+k
n→+∞
n
n
Z
f = lim
[a,b]
k=0
Remarque 1. De même, on a aussi :
Z
n
n
k=0
k=1
b−a X
b − a
b−a X
b − a
f a+k
= lim
f a+k
n→+∞
n→+∞
n
n
n
n
f = lim
[a,b]
Remarque 2. On utilise fréquemment dans les exercices cette dénition de l'intégrale pour faire des calculs de limites
de sommes. En eet, si f est une fonction continue sur [0, 1], on a (avec a = 0 et b = 1) :
Z 1
n−1 n
1X
k
k
1X
f
f
= lim
=
f (t) dt
n→+∞ n
n→+∞ n
n
n
0
lim
k=0
k=1
Pour les exercices suivants, on admet provisoirement les techniques de calcul des intégrales.
Exercice 2
Calculer lim
n→∞
1
2
n +
+
·
·
·
+
.
n2 + 12
n2 + 22
2n2
[is003]
Exercice 3
En faisant apparaître une somme de Riemann, déterminer un équivalent simple de :
Sn =
n √
X
k
k=1
[is004]
Exercice 4
Calculer lim
n→∞
r
n
(2n)!
.
nn n!
[is005]
2
I.B Valeur moyenne
Intuitivement, pour calculer la valeur moyenne sur un segment [a, b] d'une fonction x 7→ f (x) (continue, à valeurs
dans R+ ), on va prendre un certain nombre de valeurs de x, disons x1 , x2 , . . . , xn , et on va faire la moyenne arithmétique
de f (x1 ), f (x2 ), . . . , f (xn ).
Evidemment, x1 , x2 , . . . , xn doivent être régulièrement répartis dans le segment [a, b] et le résultat sera d'autant
meilleur que n est grand. On peut par exemple reprendre la subdivision du paragraphe précédent, et choisir x1 au
milieu de [a0 , a1 ], x2 au milieu de [a1 , a2 ], de façon générale xk au milieu de [ak−1 , ak ]. Mais dans ces conditions, pour
tout k, f (xk ) est compris entre le minimum et le maximum de la fonction f sur [ak−1 , ak ], c'est-à-dire :
mk−1 6 f (xk ) 6 Mk−1
Il en résulte :
ou encore :
1
1
1
(m0 + m1 + · · · + mn−1 ) 6 (f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn )) 6 (M0 + M1 + · · · + Mn−1 )
n
n
n
dn
1
Dn
6 (f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn )) 6
b−a
n
b−a
Mais on sait que lorsque n tend vers l'inni, les suites (dn ) et (Dn ) ont la même limite :
Z
f . Il en résulte que :
[a,b]
1
1
lim
(f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn )) =
n→+∞ n
b−a
Z
f
[a,b]
On a donc une dénition raisonnable de la valeur moyenne de f sur [a, b] :
Dénition 1.
1
Soit f une fonction continue de [a, b] dans R+ . La valeur moyenne de f sur [a, b] est par dénition le nombre
b−a
Z
f.
[a,b]
Remarque 1. Cette dénition, justiée pour les fonctions à valeurs dans R+ , sera également adoptée pour les fonctions
à valeurs dans R et dans C.
I.C Relation de Chasles
Z
Il est naturel de poser
a
f (t) dt = 0.
a
L'additivité de l'aire donne si a < b < c et si
Z f ∈ C([a,
Z c], R+ ) :Z
f=
[a,c]
f+
[a,b]
Pour généraliser cette relation à a, b, c quelconques, on pose
f
Z[b,c]
Z
f = −
[b,a]
dénition de l'intégrale exposée en I.A.
f , ce qui est cohérent avec la
[a,b]
II Dénition de l'intégrale d'une fonction à valeurs réelles ou complexes
Soit f ∈ C([a, b], R ou C). On pose pour tout n ∈ N∗ :
σn (f ) =
n−1
b − a
b−a X
f a+k
n
n
k=0
On a vu le lien de la suite n 7→ σn (f ) avec la notion d'aire et la notion de valeur moyenne dans Zle cas d'une fonction à
valeurs dans R+ . Et on a constaté, toujours dans le cas d'une fonction à valeurs positives, que
f = lim σn (f ).
[a,b]
n→+∞
C'est ce qu'on gardera comme dénition de l'intégrale de f sur [a, b], dans le cas d'une fonction à valeurs réelles ou
complexes (et on pourrait sans problème généraliser aux fonctions continues de [a, b] dans Rm ).
Dénition 2.
Soit f ∈ C([a, b], R ou C) :
Z
f
[a,b]
=
déf
lim σn (f )
n→+∞
où σn (f ) =
n−1
b − a
b−a X
f a+k
n
n
k=0
3
III Propriétés de l'intégrale
III.A Intégrale d'une fonction constante
Proposition 1.
si ∀x ∈ [a, b], f (x) = C , alors
Z
f = C(b − a).
[a,b]
si f est nulle, alors
Z
f = 0.
[a,b]
Démonstration.
Les deux propriétés sont claires avec la dénition II.
III.B Linéarité
Théorème 2.
Z
Z
∀α, β ∈ C, ∀f, g ∈ C([a, b], C),
[a,b]
Démonstration.
Z
(αf + βg) = α
f +β
g
[a,b]
[a,b]
C'est évident avec la dénition II.
Corollaire 1. Si f
Z
= f1 + if2 , avec f1 , f2 ∈ C([a, b], R), alors :
Z
Z
f=
[a,b]
f1 + i
[a,b]
f2
[a,b]
III.C Chasles
Avec f = f1 + if2 , f1 = f1+ − f1− , f2 = f2+ − f2− , et la linéarité, on voit que la relation de Chasles, établie pour
les fonctions continues à valeurs positives, est valable pour les fonctions continues à valeurs complexes. 1
III.D Croissance
Théorème 3 (1).
Soit f ∈ C([a, b], R+ ), avec a < b. On a :
Z
f > 0.
[a,b]
Démonstration.
Clair avec la dénition II.
Corollaire 2. Soient f, g ∈ C([a, b], R) (avec a < b) telles que
Z
∀t ∈ [a, b], f (t) 6 g(t). On a :
Z
f6
[a,b]
Démonstration.
On a : ∀t ∈ [a, b], g(t) − f (t) > 0, d'où
Z
[a,b]
g
[a,b]
(g − f ) > 0,
et par linéarité :
Z
Z
g−
[a,b]
[a,b]
f > 0.
Exercice 5
Déterminer les limites suivantes à l'aide d'encadrements judicieux :
a)
Z
lim
n→+∞
0
1
x e dx
n x
b)
Z
2n2
lim
n→+∞
n2
arctan
x
x
n
dx c)
Z
lim+
x→0
3x
x
dt
tet
[is039]
1. Si g est une fonction de R dans R, les fonctions positives g+ et g− sont dénies par :
g + (t) = max(g(t), 0) et g − (t) = − min(g(t), 0)
On a alors g = g+ − g− , et |g| = g+ + g− .
4
Théorème 4 (2).
Soit f une fonction
de [a, b] dans R+ . On a :
continue et positive
b
Z
f (t) dt = 0
∀t ∈ [a, b], f (t) = 0
=⇒
a
Démonstration. On procède par la contraposée.
Supposons qu'il existe t0 ∈ [a, b] tel que l'on ait f (t0 ) > 0. Sans perte de généralité, on peut supposer que t0 ∈]a, b[.
Posons alors f (t0 ) = A. D'après la continuité de f en t0 , il existe un intervalle I = [t0 − δ, t0 + δ] tel que : ∀t ∈ I, f (t) >
dénition de la continuité avec ε = A2 ). On dénit alors une fonction
il est clair que
Z
g = 2δ ×
I
→
7→
I
t
g:
A
2
(utiliser la
R+
A
2
A
= δA > 0.
2
Mais on a aussi : ∀t ∈ I, f (t) > g(t), et par suite :
Z
Z
Z
f >
[a,b]
f >
I
I
g.
On conclut que
Z
[a,b]
f > 0,
ce qu'il fallait démontrer.
III.E Inégalité de la moyenne
Théorème 5.
Soit f ∈ C([a, b], C), avec a < b. On a :
Z
a
b
b
Z
f (t) dt 6
|f (t)| dt 6 (b − a) sup |f (t)|
t∈[a,b]
a
Démonstration. l'inégalité de droite est immédiate (c'est cette inégalité qu'on appelle inégalité de la moyenne). Pour l'inégalité de gauche,
il est clair qu'on a : ∀n, |σn (f )| 6 σn (|f |), et on passe à la limite, quand n → +∞ (la dénition de σn est en II).
Exercice 6
Soit f une fonction continue de [a, b] dans R. Que peut-on dire de f si
Z
b
f (t) dt = (b − a) sup |f (t)| ?
a
[is011]
t∈[a,b]
IV Lien entre intégration et dérivation
Ce paragraphe est une reprise du programme de première année. Il ne gure pas explicitement au programme de
spé TSI, mais il est évident qu'il doit être connu !
IV.A Fonction à dérivée nulle sur un intervalle
Proposition 2.
Soit f : I → C (ou R2 , ou Rm ), dérivable, telle que ∀t ∈ I, f 0 (t) = 0. Alors f est constante sur I .
Démonstration.
Passer aux fonctions coordonnées.
IV.B Théorème fondamental de l'analyse (cas des fonctions continues)
Théorème 6.
Soit f ∈ C(I, C). Soit a ∈ I . La fonction : F :

 I
→
Z
 x 7→
a
C'est l'unique primitive de f sur I qui s'annule en a.
Remarque 2. On a donc : ∀x ∈ I,
F 0 (x) = f (x).
5
x
C
f (t) dt
est de classe C 1 .
On montre que F est dérivable en x0 et que F 0 (x0 ) = f (x0 ).
Soit ε > 0. f étant continue en x0 , il existe α > 0 tel que :
Démonstration.
∀x ∈ I, |x − x0 | 6 α =⇒ f (x) − f (x0 ) 6 ε
Soit x ∈ I tel que |x − x0 | 6 α. On a :
Or, quand t est entre
Z x
1
F (x) − F (x )
1
0
(f (t) − f (x0 )) dt 6
− f (x0 ) = x − x0 x 0
x − x0
|x − x0 |
x0 et x, f (t) − f (x0 ) est inférieur ou égal à ε. Donc :
F (x) − F (x )
0
− f (x0 ) 6 ε.
x − x0
Z
x
f (t) − f (x0 ) dt
x0
Il est établi que F 0 (x0 ) = f (x0 ) (voir ce qui est souligné). Comme c'est vrai quel que soit x0 appartenant à I , on conclut que F est une
primitive de f sur I .
Corollaire 3.
Soit f
∈ C(I, C). Alors :
f a des primitives sur I .
Si F et G sont deux primitives de f sur I , F − G est constante sur I .
De plus, si G est une primitive de f sur I , on a :
Z
b
∀a, b ∈ I,
f (t) dt = G(b) − G(a)
a
En particulier, si f est de classe C 1 sur I :
Z
∀a, b ∈ I,
f (b) − f (a) =
b
f 0 (t) dt
a
Z
x
Les deux premiers points sont évidents. Pour le troisième : posons F (x) =
f (t) dt. F et G sont deux primitives de f sur
a
I , donc il existe K ∈ C tel que : ∀x ∈ I, F (x) = G(x) + K . En évaluant en a, on voit que K = −G(a). On évalue alors en b, et on obtient
F (b) = G(b) − G(a), ce qui est le résultat. Enn, pour le quatrième point, on remarque que f est une primitive de la fonction continue f 0 ;
on est donc dans la même situation que pour le troisième point.
Démonstration.
Exercice 7
Soient α, β : I → J , dérivables, et soit f ∈ C(J, C). On pose, pour x ∈ I :
Z
β(x)
f (t) dt
g(x) =
α(x)
Montrer que ∀x ∈ I, g 0 (x) = f (β(x)) × β 0 (x) − f (α(x)) × α0 (x) (Ce résultat est très important !).
[is014]
Exercice 8
On considère la fonction dénie sur ]0, 1[∪]1, +∞[ par f (x) =
Z
x2
x
dt
.
ln t
1. Sur chacun de ces intervalles, montrer que f est de classe C 1 et exprimer sa dérivée. En déduire les variations de
f.
2. Pour x ∈]0, 1[ xé, encadrer la fonction t 7→
1
sur [x, x2 ].
ln t
En déduire que f se prolonge par continuité en 0, et établir que ce prolongement est de classe C 1 sur [0, 1[.
3. Étudier de même la branche de f en +∞.
4. Établir la limite de f à gauche, puis à droite, en 1 en remarquant que :
1
t
=
ln t
t ln t
et en utilisant en encadrement approprié sur [x, x2 ].
En déduire que f se prolonge par continuité en 1.
6
5. Donner l'allure de la courbe représentative de f .
[is015]
Exercice 9
Soit f ∈ CT (R, C). Montrer que la fonction g : x 7→
Z
x+T
f (t) dt est constante sur R.
[is016]
x
IV.C Inégalité des accroissements nis
Théorème 7.
Soit f ∈ C 1 (I, C). On suppose que f 0 est bornée sur I , autrement dit :
∃K ∈ R+ , ∀t ∈ I, |f 0 (t)| 6 K
Alors : ∀a, b ∈ I, f (b) − f (a) 6 K|b − a|.
Démonstration.
Z
On a : f (b) − f (a) = b
a
Z
b
0 f 0 (t) dt 6 f (t) dt 6 K|b − a|
a
La dernière inégalité vient de l'inégalité de la moyenne, et les valeurs absolues en apparence superues dans la troisième expression sont là
pour couvrir le cas où on aurait a > b.
Remarque 3. En considérant, par exemple, la fonction t 7→ eit pour t ∈ [a, b], on voit que l'égalité des accroissements
nis ne fonctionne pas pour les fonctions à valeurs dans C, d'où l'importance de l'inégalité des accroissements nis vue
ici.
IV.D Intégration par parties
Théorème 8.
Soient u, v ∈ C 1 ([a, b], C). On a :
Z
b
it=b Z
u(t)v (t) dt = u(t)v(t)
−
0
h
t=a
a
Démonstration.
t 7→ u(t)v(t)
fondamental de l'analyse :
b
u0 (t)v(t) dt
a
est primitive sur [a, b] de la fonction continue t 7→ u0 (t)v(t) + u(t)v0 (t). On a donc, d'après le théorème
Z
b
u(b)v(b) − u(a)v(a) =
a
u0 (t)v(t) + u(t)v 0 (t)
dt
ce qui est le résultat annoncé.
Exercice 10
Soit In =
Z
1
√
xn 1 − x dx.
0
1. Établir une relation de récurrence sur In .
2. Calculer I0 et en déduire que In =
22n+3 (n + 2)!n!
.
(2n + 4)!
[is019]
7
IV.E Intégration par changement de variable
Théorème 9.
Soient ϕ ∈ C 1 ([a, b], R), et f continue sur le segment ϕ([a, b]), à valeurs dans C. On a :
Z
ϕ(b)
f (x) dx =
Z
ϕ(a)
b
f (ϕ(t)) × ϕ0 (t) dt
a
(On pose x = ϕ(t), et dx = ϕ0 (t) dt.)
Démonstration.
0n dénit les deux fonctions g et h de [a, b] dans C comme suit :
ϕ(u)
Z
g(u) =
ϕ(a)
f (x) dx
et h(u) =
u
Z
a
f (ϕ(t)) × ϕ0 (t) dt
Si F est une primitive de f sur [a, b], on a g(u) = F (ϕ(u)) − F (ϕ(a)), donc g est dérivable sur [a, b] et :
∀u ∈ [a, b],
g 0 (u) = ϕ0 (u)F 0 (ϕ(u)) = ϕ0 (u)f (ϕ(u))
Il est alors immédiat que g et h ont la même dérivée sur [a, b], et la même valeur en a. Elles sont donc égales sur [a, b]. Le résultat n'est alors
autre que g(b) = h(b).
Remarque 4. On peut accepter d'avoir seulement ϕ ∈ C 1 ([a, b[, R), pourvu que la fonction t 7→ f (ϕ(t)) × ϕ0 (t) ait une
limite nie en b, ou plus généralement que la deuxième intégrale de la formule de changement de variable ait un sens.
Exercice 11
Calculer
Z
0
1
x2
dx en posant x = tan u.
(x2 + 1)3
[is021]
Remarque 5. Bien noter que c'est la variable de départ qui est fonction de la nouvelle variable dans le changement.
Cependant, si ϕ est en plus bijective et ϕ−1 de classe C 1 (c'est à dire que ϕ0 ne s'annule pas), la formule du changement
de variable dans l'autre sens revient à "poser" :
t = ϕ−1 (x) et
0
En eet, on a dans ce cas ϕ−1 (x) =
1
et la formule s'écrit :
ϕ0 ϕ−1 (x)
ϕ−1 ϕ(b)
Z
0
dt = ϕ−1 (x) dx
0
f (ϕ(t)) × ϕ (t) dt =
ϕ−1 ϕ(a)
c'est à dire pour simplier :
Z
b
Z
ϕ(b)
0
f ϕ(ϕ−1 (x)) × ϕ0 (ϕ−1 (x)) ϕ−1 (x) dx
ϕ(a)
f (ϕ(t)) × ϕ0 (t) dt =
a
Z
ϕ(b)
f (x) dx
ϕ(a)
Exercice 12
On veut calculer A =
π/2
Z
0
sin x
dx.
(cos x + 1)(cos x + sin x + 1)
x
1. On pose t = tan . Est-ce un changement de variable au sens du théorème 9 ?
2
x
2. On note ψ(x) = tan .
2
Z π/2
En écrivant l'expression sous une forme canonique A =
f (ψ(x)) × ψ 0 (x) dx, mener le calcul à son terme.
0
3. Donner la fonction ϕ telle que le changement de variable s'écrive en fait x = ϕ(t). ϕ est-elle de classe C 1 ?
[is024]
Exercice 13
Dans le calcul de I =
Z
π/4
−π/4
dx
, on pose t = cos x, et on obtient tout de suite une intégrale nulle parce que les bornes
cos x
sont égales. C'est évidemment absurde, car on intègre une fonction positive !
8
1. Quelle est l'erreur ?
2. Calculer correctement I en posant t = sin x.
[is025]
Exercice 14
On pose, pour tout entier n ∈ N, In =
Z
π
2
2n
sin
x dx et
In0
Z
=
0
1
Z
sin2n+1 x dx.
0
1. Trouver une relation de récurrence entre In+1 et In .
2. En déduire l'expression de In .
3. On pose Jnm =
π
2
m+1
xm (1 − x)n dx. Trouver une relation de récurrence entre Jnm et Jn−1
. En déduire Jnm .
0
4. Calculer
Knm
π
2
Z
=
(sin x)2m+1 (cos x)2n+1 dx (on pourra poser t = sin2 x).
0
5. En déduire In0 .
[is027]
IV.F Primitivation par changement de variable
Soit f : I → C, continue, dont on veut une primitive ; autrement dit, on cherche
Z
f (x) dx.
On suppose qu'on connaît une bijection ϕ : J → I , de classe C 1 , telle que ϕ0 ne prenne pas la valeur 0 sur l'intervalle J
(on sait que ϕ−1 est alors de classe C 1 ), et telle que la fonction : t 7→ f (ϕ(t)) × ϕ0 (t) ait une primitive connue sur J ,
notée G ; en d'autres termes : ∀t ∈ J, G0 (t) = f (ϕ(t)) × ϕ0 (t). Dans ces conditions :
G ◦ ϕ−1 est une primitive de f sur I
Démonstration.
En eet, pour tout x élément de I , on a :
(G ◦ ϕ−1 )0 (x) = G0 (ϕ−1 (x)) × (ϕ−1 )0 (x) = f (ϕ(ϕ−1 (x))) × ϕ0 (ϕ−1 (x)) × (ϕ−1 )0 (x)
Or : (ϕ−1 )0 (x) =
1
ϕ0 (ϕ−1 (x))
. On a donc :
(G ◦ ϕ−1 )0 (x) = f (ϕ(ϕ−1 (x))) = f (x).
ce qu'il fallait démontrer.
Remarque 6. Dans la pratique, c'est automatique :
Z
f (x) dx =
↑
Z
f (ϕ(t)) × ϕ0 (t) dt = G(t) + C te
Trouver les primitives de f : x 7→
Exercice 16
√
↑
G(ϕ−1 (x)) + C te
t=ϕ−1 (x)
x=ϕ(t)
Exercice 15
=
1 − x2 sur l'intervalle I =] − 1, 1[. Indication : poser x = sin t.
√
1
sur l'intervalle I =]1, +∞[. Indication : poser u = x2 − 1.
2
x x −1
Trouver les primitives de f : x 7→ √
9
[is028]
[is029]