Colles : semaine 17 XI.A Espaces probabilisés nis ou dénombrables

Lycée Jean Perrin
Classe de TSI 2016/2017
30/01/17 au 03/02/17
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Colles : semaine 17
XI Probabilités sur un univers ni ou dénombrable
XI.A Espaces probabilisés nis ou dénombrables
Ensemble dénombrable. Expérience aléatoire. Suite nie ou innie d'évènements; union et intersection. Système
complet d'évènements.
On appelle probabilité sur Ω toute application P de P(Ω) dans [0, 1] vériant P (Ω) = 1, et pour toute suite (A )
d'évènements deux à deux incompatibles :
k k∈N
!
[
P
An
n∈N
=
+∞
X
P (An )
p=0
Équivalence avec la dénition vue en première année lorsque l'univers est ni.
XI.B Indépendance et conditionnement
Probabilité conditionnelle de A sachant B. Notation : P (A|B) ou P (A). Formule des probabilités composées.
Extension de la formule aux conditionnements successifs.
Formule des probabilités totales : si I ⊂ N et (A ) est un système complet d'évènements de probabilités non nulles,
alors :
X
X
B
i i∈I
P (B ∩ Ai ) =
P (B) =
i∈I
P (B|Ai )P (Ai )
i∈I
Formules de Bayes.
Indépendance de deux évènements. Indépendance d'une famille nie d'évènements.
Démonstrations à connaître :
Soit P une probabilité sur un univers Ω ni ou dénombrable :
Si A, B ∈ P(Ω), alors P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
Si A ∈ P(Ω), alors l'application P est une probabilité sur Ω.
Soit (Ω, P ) un espace probabilisé. A , · · · , A des évènements tels que P (A
B
1
n
1
. Alors :
∩ · · · ∩ An ) > 0
P (A1 ∩ · · · ∩ An ) = P (A1 ) × P (A2 |A1 ) × P (A3 |A1 ∩ A2 ) × · · · × P (An |A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An−1 )