Exercices

C3T16 – Angles inscrits, angles au centre - Polygones réguliers – Exercices 1/4
Angle au centre,angle inscrits
1 La figure ci-dessous représente un cercle ( ) de
centre C.
Les angles cités ci-après sont-ils des angles au centre
dans ce cercle ?
a.
SMZ
b.
ZCS
c.
MCH
d.
SUC
e.
ZHS
f.
HCU
2 La figure ci-dessous représente un cercle ( ) de
centre O. Les points B, O, D et H sont alignés.
Les angles cités ci-après sont-ils des angles inscrits
dans le cercle ( ) ? Justifie chaque réponse.
a.
BOA
b.
ECG
c.
AGD
d.
BCH
e.
GFE
f.
BEA
3 Reproduis la figure ci-dessous. Trace et cite tous les
angles inscrits interceptant l'arc vert et tous les
angles inscrits qui interceptent l'arc rouge .
4 La figure ci-dessous représente un cercle ( ) de
centre A.
Pour chaque angle inscrit cités ci-après, indique l'angle
au centre qui intercepte le même arc et précise le nom
de l'arc.
a.
ZER
b.
RZL
c.
KEL
d.
RKL
e.
RIE
f.
IKZ
5 La figure ci-dessous représente un cercle ( ) de
centre S.
Détermine, en justifiant, la mesure de l'angle
NOA.
6 Sur la figure ci-dessous, les droites (EB) et (CN) se
coupent en R , point d'intersection des cercles ( ) et
( ). Le point O est le centre du cercle ( ).
Calcule la mesure de l'angle
NOB.
Justifie ta démarche.
Exercices 1/4 c3t16_exercices.odt
M
H
U
S
Z
C
( )
O
A
B
C
D
E
F
G
H
( )
( )
I
Z
R
L
E
K
A
1
21
C
A
N
O
E
S
46°
( )
C
A
RB
O
N
E
62°
( 1)
( 2)
RC
)
SF
)
FO
N
C
E
A
S
R
( )

C3T16 – Angles inscrits, angles au centre - Polygones réguliers – Exercices 2/4
7 Quelle nature ?
On a
ITR
= 50° et
ARI
= 40°.
a. Quelle est la nature du triangle
AIR ? Justifie ta réponse.
b. Que dire du segment [AR]
pour le cercle ?
8 Cercle et parallèles
Deux droites parallèles coupent
un cercle de centre O
respectivement en A et B et en A'
et B'. On appelle I le point
d'intersection des droites (AA') et
(BB').
a. À l'aide de considérations sur
les angles, démontre que le
triangle ABI est isocèle.
b. Démontre que la droite (IO) est perpendiculaire à la
droite (AB).
9 En face
Les points A, B, C et D sont disposés sur un cercle de
centre E comme l'indique la figure ci-dessous.
a. Démontre que :
ABC =180 °−
AEC
2.
b. Que peut-on dire alors des angles
ABC
et
ADC
?
c. Quelle propriété possèdent quatre points
cocycliques ?
10 Sur la figure à la main levée ci-dessous, les
droites (AC) et (BD) se coupent en E.
a. Calcule la mesure de l'angle
AED
puis celle de
l'angle
ADB
. Justifie ta démarche.
b. Le point E est-il le centre du cercle ? Justifie.
Polygones réguliers
11 Dans le triangle équilatéral
Sur la figure ci-dessous, le triangle SAC est un triangle
équilatéral, inscrit dans un cercle ( ) de centre O.
Quelle est la mesure de l'angle
AOC
? Justifie ta
réponse.
12 À partir d'un hexagone
HEXAGO est un hexagone régulier inscrit dans un cercle
( ) de centre C.
a. Quelle est la mesure de l'angle
HCE
? Justifie ta
réponse.
b. Détermine la mesure de l'angle
HEC.
Justifie.
c. Déduis-en la nature du triangle HCE.
d. Cela justifie une méthode de construction de
l'hexagone déjà vue, laquelle ?
e. Exprime le périmètre de l'hexagone régulier en
fonction du rayon r du cercle.
13 Un quadrilatère bien connu
Trace deux droites (d) et (d') perpendiculaires en A.
Trace le cercle de centre A et de rayon 4 cm.
Il coupe (d) en B et C et (d') en D et E.
Explique pourquoi le quadrilatère BDCE est régulier.
Exercices 2/4 c3t16_exercices.odt
( )
AB
C
D
E
68°
28
°
?
?
S
A
C
O
( )
H
E
X
A
G
OC
( )
A
I
R
T
O
A
B
A'
B' I
E
D
A
B
C

C3T16 – Angles inscrits, angles au centre - Polygones réguliers – Exercices 3/4
14 La figure ci-dessous représente un octogone
régulier AOUTIENS de centre C.
a. Quelle est la mesure de l'angle
ACO
?
Justifie ta réponse.
b. Que peux-tu dire des droites (AC) et (CU) ?
Justifie ta réponse.
c. À l'aide de la question précédente et des résultats de
l'exercice précédent, retrouve une méthode de
construction de cette figure à la règle et au compas.
15 Ils nous en font voir de toutes les couleurs
Les figures ci-dessous sont un pentagone, un hexagone
et un octogone réguliers. Dans chaque cas, donne les
mesures des angles en couleurs.
16 Tous ensemble
Dans la figure ci-contre,
ABCDEF est un hexagone
régulier, ABGHI est un
pentagone régulier, ABJK est un
carré et ABO un triangle
équilatéral.
a. De quel polygone O est-il le centre ?
b. Calcule la mesure des angles
OBJ
,
JBG
et
GBC.
c. Réalise la figure avec AB = 6 cm.
d. Calcule les valeurs exactes des aires du triangle
équilatéral, du carré et de l'hexagone.
e. Calcule les pourcentages de remplissage arrondis au
dixième :
•du carré dans l'hexagone ;
•du triangle équilatéral dans le carré.
Approfondissements
17 PENTA est un pentagone régulier de centre O tel
que OA = 4 cm.
a. Calcule la mesure de l'angle
POE.
b. Utilise cette mesure pour construire le pentagone à
l'aide du rapporteur.
c. Quelle est la nature du triangle POE ?
d. Place O' le milieu du côté [PE]. Déduis-en la nature
du triangle POO'.
e. Détermine la mesure de chacun des angles du
triangle POO'.
f. Calcule la longueur PO' et déduis-en la longueur PE.
Tu donneras pour chacune la valeur exacte puis la
valeur arrondie au centième.
g. Détermine le périmètre du pentagone. Tu donneras
la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième.
h. Détermine la longueur OO'. Déduis-en l'aire du
triangle POE puis l'aire du pentagone. Tu donneras pour
chacune la valeur exacte puis la valeur arrondie au
dixième.
18 La figure ci-dessous représente un décagone
régulier RECUSATION inscrit dans un cercle ( ) de
centre B.
a. Quel est le nombre de côtés d'un décagone ?
b. Quelle est la mesure de l'angle au centre
CBE
?
Justifie.
c. Quelle est la mesure de l'angle au centre
OBI
?
Justifie.
d. Quelle est la mesure de l'angle
CSE
? Justifie.
e. Quelle est la mesure de l'angle
ONI
? Justifie.
f. Que remarques-tu ?
g. Que peux-tu en déduire au sujet de la réciproque de
la propriété de deux angles inscrits qui interceptent le
même arc de cercle ?
Exercices 3/4 c3t16_exercices.odt
A
O
U
T
I
E
N
S
C
R
E
C
U
S
AT
I
O
N
B( )
O
A
F
B
C
D
E
IG
H
KJ

C3T16 – Angles inscrits, angles au centre - Polygones réguliers – Pour finir le thème 4/4
R1 R2 R3 R4
1M, N et P sont sur le cercle de
centre O.
Les angles inscrits sont...
PMN
MOP
PMO
MPN
2Dans la figure précédente, les angles au
centre sont...
MOP
MON
MPO
PMO
3A, B et M sont sur le cercle de centre O.
AMB = AOB
2 AMB = AOB
AMB =2 AOB
MOA = AOB
4A, B, C, D et E sont sur le cercle de
centre O.
ADC = ABC
ADC =2 AOC
ADC = AEC
ADC = AOC
5
Sur la figure précédente, les angles
inscrits dans le cercle qui interceptent
l'arc sont...
AOC
ADC
ABC
ACE
6[AB] est un côté d'un octogone régulier
de centre O donc...
AOB =22,5°
AOB =60°
AOB =45°
OAB est isocèle
en O
7ABCDEF est un hexagone régulier de
centre O donc...
EOC =60°
EOC =120°
EDC =60°
EDC =120°
8ABCDEF est un hexagone régulier donc...
EFB =60°
EFB =90°
EFB =100°
EFB =120°
Construction d'un pentagone régulier selon Dürer
Albrecht Dürer a énoncé une construction approchée d'un pentagone régulier à l'aide de cinq cercles de même rayon.
a. Construction à la règle non graduée et au compas
• Trace un segment [AB]. Trace le cercle ( ) de centre A passant par B et le cercle ( ') de centre B passant par A. Ces
deux cercles se coupent en F et G, trace le segment [FG].
• Trace le cercle de centre G passant par A, il recoupe ( ) en I, ( ') en J et le segment [FG] en K.
La droite (JK) coupe ( ) en E à l'extérieur de ( '). La droite (IK) coupe ( ') en C à l'extérieur de ( ).
• Trace le cercle de centre E passant par A et le cercle de centre C passant par B. Ils se coupent en D en dehors du
quadrilatère ABCE. Trace en couleur le pentagone ABCDE. Semble-t-il régulier ? Justifie.
b. Réalise la construction précédente à l'aide d'un logiciel de géométrie en faisant apparaître les mesures permettant
de savoir si le pentagone ABCDE est régulier. Que penses-tu de la construction ?
c. Recherche qui était Albrecht Dürer.
Exercices 4/4 c3t16_exercices.odt
N
O
M
P
O
M
A
B
O
D
A
B
CE
AC
)