5.
Montrer que la suite
𝑎𝑙
modulo [
𝑞
]pour tout
𝑙∈N
est périodique de période 4. Attention, il
faut bien montrer que la période est exactement 4.
6. Montrer que 𝑎𝑞−1≡1 [𝑞].
7. En déduire que 𝑞est congru à 1modulo 4.
8. En déduire qu’il existe une infinité de nombres premiers congrus à 1modulo 4.
Exercice 19
1.
Soient
𝑎, 𝑏
des entiers avec
𝑎>𝑏
. On note
𝑟
le reste de la division euclidienne de
𝑎
par
𝑏
.
Montrer que le reste de la division euclidienne de 2𝑎−1par 2𝑏−1est 2𝑟−1.
2. En déduire que si 2𝑛−1est premier alors 𝑛est premier.
Exercice 20
On introduit la fonction 𝜎(𝑥)la somme des diviseurs (positifs) de 𝑥.
1. Montrer que si 𝑝est premier alors 𝜎(𝑝) = 𝑝+ 1.
2. Montrer que 𝜎(𝑝𝑘) = 𝑝𝑘+1 −1.
3. Montrer que si 𝑎∧𝑏= 1 alors 𝜎(𝑎𝑏) = 𝜎(𝑎)𝜎(𝑏)
Exercice 21
Un nombre est dit parfait lorsque la somme de ces diviseurs stricts est égale à lui-même.
1. Montrer que 6et 28 sont parfaits.
2. Montrer que ce sont les plus petits nombres parfaits.
3.
Soit
𝑝
un nombre premier tel que 2
𝑝−
1est premier. Montrer que
𝑛
= 2
𝑝−1
(2
𝑝−
1) est un
nombre parfait pair.
4.
Réciproquement, soit
𝑛
un nombre parfait pair. Soit
𝑞
le plus grand nombre tel que 2
𝑞
divise
𝑛
.
On pose
𝑝
=
𝑞−
1et on a donc
𝑛
= 2
𝑝−1𝑚
pour un certain
𝑚
. Montrer que
𝜎
(
𝑛
) = (2
𝑝−
1)
𝜎
(
𝑚
).
5. En déduire que 2𝑝−1divise 𝑚.
6. Montrer que par l’absurde que 𝑚est premier.
7. En déduire que 𝑚= 2𝑝−1et que 𝑝est premier.
On ne sait pas s’il existe une infinité de nombres premiers
𝑝
tel que 2
𝑝−
1est premier. Donc on
ne sait pas s’il existe une infinité de nombres parfaits pairs. On ne sait pas non plus s’il existe ne
serait-ce qu’un seul nombre parfait impair (s’il existe le plus petit nombre parfait impair est plus
grand que 10150).
Exercice 22
Ce nombre s’écrit avec 8 chiffres en base 2 et avec 6 chiffres en base 3. Quel est-il ? Ah, oui,
j’oubliais, c’est un nombre premier.
Exercice 23
1.
Vérifier que, si
𝑛
est le numéro de votre jour de naissance, alors
𝑃
(
𝑛
)=2
𝑛2−
20
𝑛
+ 79 est
premier.
2. Le nombre 𝑃(𝑛)est-il premier pour tout 𝑛∈N?
3