Dans la suite des exercices proposés, le niveau auquel ils s

Problèmes de construction
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Membres du groupe
Collège J. Prévert Guingamp
Jean Claude Boëté
Gilbert Donval
Annie Meudec
Collège E. Kervizic Chatelaudren
Sophie Marrec
Collège Thalassa Erquy
Suzanne Terrier
Collège de Ploeuc-Sur-Lié
Annie Le Coq
Collège C. Brochen Pontrieux
Odile Cloarec
Danièle Gautier
Collège Broussais Dinan
Rodrigue Conan
Gaston Daniel
EDAP 22
Michel Kerleroux
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Les problèmes de construction
(d'après une intervention de G Macombe, IPR de mathématiques)
Aspect théorique
Le parallèle doit être fait entre problème de construction et résolution d’équation. En effet, les démarches sont similaires. Dans
chaque cas, on analyse le problème qu'on considère résolu, on part des contraintes pour déterminer des conditions nécessaires.
On obtient ainsi les solutions possibles. Il s’agit ensuite de faire la synthèse, c'est à dire de vérifier si chaque solution possible
est une solution véritable. Ce parallèle étant fait, les problèmes de construction amènent à se poser quelques questions
spécifiques.
Que signifie « construire » ? Tracer ou construire ?
Qu’attend-on de l’élève ? S’agit-il d’une simple description ? Demande-t-on une justification ou non ? etc.
Il se greffe par conséquent aux problèmes de construction deux problèmes d'ordre didactique qui sont liés:
La progressivité: il faut une progressivité des exigences selon les niveaux où on enseigne. Il ne s’agit pas ici uniquement
d’une progressivité dans la complexité des exercices mais aussi dans la nature des problèmes rencontrés.
Le contrat: il est nécessaire de définir un contrat clair avec les élèves, contrat qui lui aussi doit être évolutif. En particulier
les implicites dans les justifications évoluent :
Ainsi au niveau de la classe de seconde, la justification de la construction des milieux de chaque côté d'un triangle (pour
construire les médianes par exemple) ne sera plus demandée (on considère implicitement que l'élève sait les construire) tandis
qu’en sixième cette construction est un objectif d'apprentissage.
Qu’est-ce qu’un problème de construction ?
Chaque problème de construction comporte essentiellement quatre phases.
L’analyse se divise en deux étapes principales:
 Le tracé d'une figure solution à main levée est essentiel.
C’est un schéma qui matérialise l’objet et va permettre l'étude de ses propriétés : " Si un tel objet existe, alors
nécessairement il doit vérifier telle ou telle propriété".
L'analyse proprement dite va dégager les propriétés utiles à la construction.
Il est important d’habituer les élèves à cette démarche même si le problème est facile.
 L’élaboration d’une procédure pour réaliser l’objet repose sur l’analyse précédente.
La synthèse se divise aussi en deux étapes:
 L’application de la procédure : on vérifie que "ça marche bien"
 réalisation de la construction
justification
 Le problème d’existence des solutions et de leur nombre : la discussion intervient essentiellement au lycée
mais elle peut aussi se faire parfois au collège.
L'intérêt majeur en 6° et 5° est de faire fonctionner directement les propriétés du cours pour résoudre ces problèmes. Ces
propriétés prennent peu à peu valeur d'outils et contribuent ainsi à l'apprentissage de la "démonstration".
Les problèmes de construction sont stimulants pour les élèves. Résoudre ces problèmes devient un challenge et peut mettre en
valeur des élèves dont l’attitude est peu scolaire ainsi que des élèves qui ont des difficultés.
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Des questions satellites.
 La nature de l’objet à construire
S’agit-il d’un objet théorique ou d’un objet réel ?
Par exemple, le centre de gravité est un objet théorique ; en revanche un triangle de mesures 3cm, 4 cm, 5cm est "physique".
Retrouver le centre d’un cercle est un problème théorique, tandis que retrouver un trésor en donnant des distances devient un
problème pratique même si la méthode de résolution est la même.
S’agit-il d’un problème à caractère métrique ou à caractère affine ?
 Les contraintes imposées
Quel instrument est autorisé ? (règle graduée, équerre, rapporteur, règle-compas, compas seul, règle seule)
Quel support? ( papier blanc, quadrillé, pointé)
Construction sans sortir de la feuille
 Les aides possibles
Fournir un élément clé de la figure en guise d'ébauche.
Proposer le schéma d'analyse.
Faire travailler sur un quadrillage, etc.
Les logiciels de constructions géométriques permettent de rajouter des contraintes. Il faut par exemple, dans certains,
nommer les objets géométriques dont on veut effectuer les tracés. On peut aussi supprimer des outils figurant au menu.
Cette contrainte peut renvoyer aux définitions ou aux propriétés de l’objet voire à certains théorèmes. Les divers logiciels
de géométrie facilitent l'analyse et permettent par déplacement des points libres de vérifier si l'objet est bien solution, c'est à
dire, s'il conserve les propriétés voulues. En outre, ils permettent de se dégager des difficultés liées à la manipulation des
instruments.
Comme pour toute situation problème, on ne choisira un problème de construction qu'après avoir défini des
objectifs de formation précis à atteindre ainsi que tous les paramètres précédents.
Rappel des constructions et tracés de base
A la règle et au compas et/ou à la règle graduée et à l'équerre, éventuellement avec un rapporteur.
La médiatrice.
La perpendiculaire à une droite passant par un point.
La parallèle à une droite passant par un point.
La bissectrice.
Construire un angle égal à un angle donné (report d'angle).
Tracer au rapporteur un angle de mesure donnée.
Un triangle dont les trois cotés sont donnés.
dont un côté et deux angles adjacents sont donnés.
dont deux côtés et l'angle entre ces côtés sont donnés.
Construire les angles de 30°, 60°, 90° et leurs dérivés.
Le symétrique d'un point par rapport à une droite.
Le symétrique d'un point par rapport à un point.
Le translaté d’un point dans une translation.
L'image d'un point par une rotation d'angle 30°, 60° ou 90°.
La représentation graphique d’une fonction affine
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Afin d'illustrer les contenus précédents, le GRP propose l'éventail d'exercices de construction suivant.
La grande majorité de ces exercices est connue. Ils sont proposés par niveau de classe. Les connaissances de la classe citée
permettent en théorie de les résoudre. Certains sont difficiles au niveau indiqué, mais constituent des situations plus faciles d'accès
au niveau supérieur. Notons qu'ils ne présentent aucune difficulté technique : ils reposent sur une bonne analyse de l'ébauche.
Nous les avons sélectionnés pour leur richesse ou pour leur intérêt particulier dans l'apprentissage de la démarche de construction.
Nous avons fait apparaître un seul contenu par exercice, celui qui nous semble le plus "naturel".
Le contenu est fonction de l'analyse car dans un certain nombre d'exercices, plusieurs méthodes sont possibles.
Les savoirs faire inhérents à ces exercices sont mis en évidence. Ceux ci n'apparaissent pas lorsqu'ils se réduisent à un tracé de
droites (exercices "à la règle seule"), de cercle (exercice "au compas seul"), ou lorsque le seul savoir faire est un report de
longueurs.
Ils fournissent par ailleurs de bons supports pour des devoirs en temps libre.
Ils mettent essentiellement en œuvre :
•les droites remarquables des triangles
•les propriétés des quadrilatères particuliers
•les transformations
Plus le bagage mathématique de l'élève s’enrichit, plus les méthodes de résolution sont nombreuses. Il est à noter que très peu de
problèmes de construction figurent dans les épreuves du Brevet : il s’agit essentiellement de problèmes de tracés ; la phase
d’analyse est alors non explicitement demandée.
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