Étude du quotient d`un simplexe par une face fermée et

Séminaire Brelot-Choquet-Deny.
Théorie du potentiel
M ARC ROGAISKI
Étude du quotient d’un simplexe par une face fermée et application à
un théorème de Alfsen ; quotient par une relation d’équivalence
Séminaire Brelot-Choquet-Deny. Théorie du potentiel, tome 12 (1967-1968), exp. no 2,
p. 1-25
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2-01
Séminaire BRSLOT-CHOQUET-DENY
(Théorie
Potentiel)
du
1967/68,
année,
12e
30 novembre 1967
n° 2
ÉTUDE
QUOTIENT D’UN SIMPLEXE PAR UNE FACE FERMÉE
DU
À
ET APPLICATION
QUOTIENT
THÉORÈME
UN
PAR UNE RELATION
DE
ALFSEN ;
D’ÉQUIVALENCE
Marc ROGAISKI
1. Définitions et notations.
X
Soient
et
On
vide
non
l’espace
A(X)
de
Choquet [4], et F
appelle ~(~~ l’ensemble
simplexe
un
des
de
désignera
pologie faible
dans
plongé
est
des
topologique
de
(resp. o(A’ , A) ).
On
le dual
de
X,
X . On note
de
le sous-espace
F .
sur
Ap (resp. A )
peut toujours
muni de la to-
supposer que
A’ , c’est-à-dire que toute fonction affine continue
la restriction d’une fonction affine continue
paré
de X , distincte
points extrémaux
fonctions affines continues sur X , et
formé des fonctions nulles
AF (resp. A’ )
une face fermée
espace localement
sur un
X
sur
convexe
X
est
sé-
"ambiant".
Soit
On trouvera dans
[9J
le résultat suivant :
est
PROPOSITION 1. -
ment, p our l’ordre naturel et
un
la
norme
Y , nulles
tions affines continues sur
chapeau universel
continue inférieurement sur
c’est
Y , et
on
qui
taire" de
X
sera
permettra
F ,
améliorerons ainsi
[2],
et
nous
F
suivant
où
A~
N
Y
sur AF
et
est un
est affine seni-
par la face
un
X/F,
F
le
simplexe
que
de
résultat
sera
ce
F
u
de
façon "fonctionnelle",
X, "supplémenla plus grande face disjointe de F , et que
de montrer l’existence d’une face
convexe
F’ :
X
=
conv[F
qu’ALFSEN démontrait
u
de
F’
F’].
de
Nous retrouverons et
façon toute géométrique dans
étudierons de plus la "nature borélienne" de la décomposition de X
et
Enfin, nous caractériserons le cas où F’ est fermé et le cas
est réticulé.
cf. aussi
norme
et le quotient
Anj~
l’espace
sens
en ce
l’enveloppe
plus,
Y=X/F .
notera :
nous
la
0 . De
appellera quotient du simplexe X
2. - On
Nous allons étudier
ce
en
car
un
DEFINITION
simplicial, qui est isomorphe canoniquedes fonc(isométrie), à l’espace
espace
[7 ]o)
(Pour
l’étude
géométrique
de la
décomposition
d’un
simplexe,
2-02
Nous avons
continues
sur un convexe
Un 2e
rons.
Nous
(cf,
les
rappelons
définition
propriétés
3. - Le "col de
est
face de
une
dire ~[L(Y)],
Y
appendice
les fonctions
sur
convexes
des fonctions boréliennes de
18).
appendice
Un 3e
suivantes
donne
"quasi-
lemme utile.
([9J , [3]) ~
L(Y) = ~~
", c’est-à-dire l’ ensemble
et ë(v) = 6[L(Y)] ~ {0} .
est la frontière de
un
servi-
nous nous
propriétés
semi-
Choquet
E
Y1 ~,~~~ - ~ ~
(0) ,
L’ ensemble
Ap
de l’ensemble
c’est-à-
de fonctions conti-
Y .
nues sur
2.
Y ,
des
un
il contient des résultats dont
compact ;9
appendice énonce
classe"
preniére
à la fin du texte,
placé
L’application canonique
de X
sur
son
quotient,
y
et la
fonction-quotient
F.
de
/
DEFINITION 4.
(a)
dans
Soit
s’appelle
La fonction...
nue
la fonction
lj
caractéristique
la
inférieurement, comprise
PROPOSITION 5. -
0
et
complémentaire
du
fonction-quotiont
entre
de
s
est
compact
à
de
X
( cf. ~4~, ~9 ~,
1
F. On pose :
de
F . Elle est affine semi-conti-
est affine continue
L’application
x ->
Y .
est affine continue, et bien sûr
AF
(b)
f(x) . L’application
On pose,
et
I
appendice
surjective
(K) ).
Y , t
sur
vé-
rifie :
En
effet,
X
est
Donc
~.
de
inclus dans
A~, .
Ap ~
contient la frontière de
Donc
&(x) =! ô(F) = (0) .
Or
f E
Or, si
Y .
&(x) ~ 0(Y) .
Donc
Donc
Y .
L’égalité
avec
fermé maximisant pour
ë(ï) B
Choquet
=
un
un convexe
f
s
0
=
sur
0
est bien claire. Mais
F , et
f(x)
=
1
on
( cf . [9]).
3 f E
sait que si
Donc
0
x
si
x
e X B F ,, et
x ~ 6~(0) .
C. Q. F. D.
2-03
PROPOSITION 6. -
De
est
plus, 03C6
Si
est
identique à
D’abord,’ puisque
1CF
1
1
h~
0(X) ,
sur
est semi-continue
(appendice l (H) ) . Donc ~ = 1
Mais si x~F . on sait qu’il
et
de
la fonction-quotient
F
inférieurement , ,
existe
F ,
sur
~(x)
0 ~ ~ ~ lCF .
car
sur
0(X)
sur
1CF
=
avec
et
exactement1
on a
0
6(x) BF . (p=0
sur
(cf.
F ,
F ,
h(x)
>0
x # ~p ~ (0) .
>0 , donc
C. Q. F. D.
DEFINITION
C’est
G
un
F’
et 03C6
est
un
F’
7. - La face
de
X
Gs ,
=
~-1(1)
(intersection
appelée
est
face
dénombrable d’ouverts
supplémentaire
convexes)~
F .
de
et
car
est semi-continue inférieurement.
PROPOSITION 8. - Soit
N
la
Alors :
norme sur
~
N
=
rieurement
Si
est affine semi-continue infé-
s
o
X , et #
sur
F ,
x E
existe
h(x)
Donc
ë(x) ~
(cf. [9]) qu’il
telle que
0
et
1,
x
L(Y) .
identique à
N
F . Donc
et ~
X, ~
cp
=
sait
F .
sur
= 1 . Donc
=
F’
0
0 ~ h ~ 1 ,
x
L’égalité
on
=
sont
sur
1
sur
# sur 6(x) . Comme
affines semi-continues sur
cp =
X
( cf . appendice
I
(B)).
est alors évidente.
C. Q. F. D.
2-04
REMARQUE 9. -
Pour montrer que
induit
ô
est
montrer que
séparation
de
résulte aussi de
L’égalité ~ _ ~
injective.
)f(x) - f(y))
h
de
allons établir
f
sur
F
f
convient. Sinon,y soit
g
=
h
est nulle,
F
sur
de
f
f - inf
F
f ,
e
A(x)
telle que
h(y) .
telle que
Si l’oscillation de
propriété
une
sup f - inf f .
F
F
=
--
~
il faut d’abord
l’es ace
oscillation de
>
L(Y) ,
y EX, et supposons qu’il existe
et
x
nous
sur
.
séparation
3. Quelques propriétés de
Alors il existe
cela,
~(X) .
l’espace
LEMME 10. - Soient
Pour
F’
de
isomorphisme
un
l’égalité :
=
et soit
f
+
À ,
constante convenable,
À
f
l’oscillation de
w
sur
F .
Posons :
g
g2
concave
x
==
g
=
(g -
f(x) - f(y)
exemple
Donc
inférieurement;J
supérieurement.
semi-continue
convexe
g2 ~ gl ’ donc d’après
telle
que g2 h g1 .
par
semi-continue
théorème d’Edwards
un
0
Donc
h
> (u >
0 , alorsy
=
(cf. [5J, [9J),
F , c’est-à-dire
sur
h
il existe
~
A- .
h E
De
h(x) >h(y) .
A(X) ,
plus,
si
C. Q. F. D.
THEOREME 11. - Pour tous
x,
y=F’ ,
tels que
telle que
B h
x
h(x) ? h(y) .
Puisque x fl
Soit
g
=
f
3f
y,
~A(x) ,
concave
x
telle que
semi-continue
)f(x) -f(y))Î
inférieurement. Alors ~.
f>0 ,
et
~
=B >0 .
h
sup
est
h6A(x)
h~g
affine semi-continue inférieurement, nulle
ve ou
F
sur
(cf. appendice
1
(K))
et
positi-
nulle.
Dans
X
Soit
C
X
=
conv[X
x
, soit
1-
-)
u
B=~(u , À) 1
{(x, g(x) - 03B 6)}
À
u
% 1(u)) ,
convexe
(y, g(y) -
é)1 ,
fermé.
convexe
compact,
2-05
disjoint de B . Par le théorème de Hahn-Banach, il existe
fonction affine continue
h
séparant
X
sur
sens
ce
-
C
et
B
en
que :
À
03B 3 h0 0
h
0
sur FF ,
sur
et
est la
où u
de
F’ ~ ~ . Donc ~ u
feu) . D’où,
Donc ~,u (f )
car
F n
=
et
y.
Î
h
Donc, il existe
D’après
~
h~
le lemme
3~ ,
=
g~
on
en
=
maximale
u (cf. appendice
u E F’ , ~, (F)
0,
u
E
Or f
A(X) .
l
(K) ) .
f
sur
Si
en
=
particulier,
en
x
h~
sur
conclut que
petite
que 2014 .
1
BhO(X) -
telle que
10, il existe donc
g
mesure
barycentre
f . C’ est l e cas,
est plus
F
sur
A(X)
(f ) puisque
F’ ,
sur
CommeÎf(x) -
Or, l’oscillation de
F .
u
~(u) =~(g) .
ueX ,
si
Or,
h
oscillation de
>
h(y) .
telle que
~
C. Q. F. D.
4. La
décomposition
THEOREME
q,ue de
F’
X
en
faces
supplémentaires.
03B4 à F’ est un isomorphisme affine topologiL(Y) , et ô[S(x) ~ F] 6(Y) B (0) .
12. - La restriction de
=
sur
On sait que
injective
de
sur
compact de X
implique que
ô
est affine continue
F’. Soit
K
. Le fait que
surjective. D’après
un
fermé de
ô
soit
F’ . Alors
bijective
sur
K
=
le théorème
F’
n
F’ , et que
K’ , où
F’
=
11,
K’
6
est
est
un
2-06
C’est donc
L(Y) ,
fermé de
un
y
s(K’)
car
Donc
compact.
est
est bicontinue.
Õ
ô[ë(x) B F] = ë(v) ~ (0) .
Il résulte de ceci que
C. Q. F. D.
1
DEFINITION 13. -
Si
x
~ X B
F ,
u(x) l’unique point
appellera
X
tel que
Le
point
u(x) appartient à
on
y
de
F’ . On
posera :t
f= 0
Si
f E
sur
A~(x) ,
~ A(X) .
f
LEMME 14. - Soit
Alors, si
0
F
et
notons f
f
~>
=
0
F
sur
la même fonction considérée
f(x) §
et
comme
0 .
fonction
Y .
sur
Alors, les deux membres de l’équivalence ci-dessus s’écrivent aussi :
et
ces
deux relations sont bien
PROPOSITION 15. - Si
L’ensemble
conv[F
u
équivalentes.
o
F,y
x
(u(x)}]
Soit
g
=
On sait que
appendice
f(x)
0 , et
1
f x
g
lCF ’
0
=
(K)).
0 . On
concave
sur
qu’il
peut toujours
existe
g
=
g
f
A(X) , f ~ 0
que f[u(x)] > 0
semi-continue inférieurement. On
F , que
g
sur
de
convexe
f E
supposer
A(X) :s
E
F ,
sur
.
a
(cf.
est affine semi-continue inférieurement
Le même raisonnement que celui
théorème 11 prouve que
à l’ enveloppe
étant conpact, il suffit de
Raisonnons par l’absurde, et supposons
f[u(x)~] ~
appartient
x
F’ ;
donc
figurant
g[u(x)]
>
dans la démonstration du
0 Or
o
~(x) ~ g(x)
0 .
.
Soit
e , avec
0
e
blu(x) 1 .
Il existe
ho E A(X) ,
telle que
2-07
h =
Soit
h
le théorème
x
convexe
,
il existe
d’Edwards,
h[u(x)] ~0 ~
sur
h
h(x)
et
supérieurement.
semi-continue
0 ,
qui
ce
D’après
h g . Donc h
impossible d’ après le lemme
telle que
E
h1 g .
Alors
est
h1
0
=
14.
C. Q. F. D.
THEOREME
mentaire de
décomposition
une
et alors
X==~(x) ~
la
f ace fermée d’un
face
et
seule :
une
simplexe X ,
la face
F . Pour tout
de
disjointe
grande
F’
supplé--
(F
x
est affine semi-continue inférieurement.
proposition 15,
Be)o , 1(
De
une
est la plus
F
il existe
D’après
est
F
16. - Si
x E
conv[F
~u(x)~] ,
u
donc il existe
v ~
F
et
tels que
plus,y
Supposons inversement
Donc,
d’après
c’est
u(x) .
que
le théorème
Donc
v =
face
disjointe
x
F’
est aussi
est la
F , et soit
=
un
(1 - B)v .
Xu +
seul
u
Alors X
répondant
=
q)(x) .
Donc
à cette condition,
unique.
plus grande
x E G . On a:p
y E F n G , ce qui
z E F’ . Si
Donc
de
s’écrive
12, il existe
v(x)
Montrons maintenant que
une
x
est
disjointe
face
x
=
impossible.
Ày
+
Donc
de
F . Soit
(1 - ~)z ~
X
=
G
y E F ,
0 , et
x
=
zEF’.
G c F’ .
C. Q. F. D.
v
Donnons
quelques compléments géométriques :1
PROPOSITION 17.
~
(a)
Pour tout
x
F ,
on a :
2-08
(b)
Pour tout
x
e X B
F ,
on a :â
l’ensemble conv[F u [u(x)}] est l’intersection de X
(c) Pour tout
par l’espace vectoriel engendré par x et F , et aussi par 1’espace vectoriel fermé engendré par x et F (ceci dans A’(x) ).
y
Cd)
8i
x
tionnel
si
à v.
en
est le seul
point
et
(c)
présentent
ne
remarque
aucune
DEFINITION 18. - Soient
0
soit propor-
que y
et
X
application. On dit que
ouvert de Y, on a :
plus,
non
Y
X .
topologiques, et f :i
"quasi 1re classe" si,
deux espaces
est borélienne de
f
(d)
difficulté. Le point
1 .
=
5. Le caractère borélien de la décomposition de
une
tel
F
de
y
.
")F
points (a), (b)
Les
v(x)
E X B F,
X ~ Y
pour tout
y
où
V n ,
y
-
est
est
n
X
ouvert de
un
et
-
-
(par
F
un
0
(f (o)
classe est de Ire classe
20142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014
Toute fonction
est
X
exemple si
numérique
=
F
un
n
fermé de
métrisable),
Fcr) .
semi-continue
X. Si tout ouvert de
"’
sur un
’
alors
une
fonction de
topologique
espace
X
’~
quasi
est de
Ire
quasi
Ire
classe.
Si
on
fonction
compose
une
continue,
On trouvera dans
se
qui
nous
fonction de
on
obtient
une
(à gauche
Ire classe
fonction de
quasi
II des résultats
l’appendice
ou
à
droite)
avec une
Ire classe.
sur
les fonctions de
une
face fermée de
quasi
Ire cla-
serviront dans la suite.
THEOREME 19. - Soient
(a)
quasi
La face
X
un
supplémentaire
simplexe, et
F’
est
F
X ,
est semi-continue intérieure-
un
ment ;
(b) L’application x->u(x)
est borélienne de
(a)
résulte des définitions 4 et 7.
(b)
Il suffit de montrer que
l’application
x L4~
quasi
Ire classe
de
Y B
sur
101
XB F .
dans
L(Y)
2-09
est de
L(Y)
de
Or
Ire classey
quasi
u ->
car
ô
est
u
continue, et
est continue
x ->
’
dans
x ->
0
-.T72014r
est la
composée
des
applications :t
et
Cette dernière étant
de
l’appendice
(0) ) .
résulte aussi plus directement de l’énoncé
(il
II
(N)
le théorème résulte de l’énoncé
continue,
C. Q. F. D.
THÉOÈEME
X B F’
de
Si
les
re
de
yi
il existe
F :
°
(M)
(appendice
L’application
donc de quasi Ire
e =
sous-ensemble dénombrable de
A(X) qui sépa-
e2: F ~ ~! ,
classe. Donc,
Comme 03C8-1 : 03C8(F)
R
=R) l’application
un homéomorphisme
de F
définie par
sur 03A8(F) .
e~
l’appendice II,
est de
quasi
Ire classe.
est de
définie par
quasi
(R)).
II
F’
82: X B
dans
de
R~
-~
~
Comme
quasi Ire classe.
rée comme application de
X B F’
classe.
définie par
R
(0)
et
est de
de
est
Alors 03A8|F
-3>
Ire classe
quasi première
(où
81: X B F u F’
Donc
un
métrisable, l’application x ~ v(x)
°
Soit
les énoncés
est
X
X ’ F’
=
D’après
de
est borélienne de
F
métrisable,
points
’ So.it
03A8(x)
dans
est
F
F
20. - Si la face
X B
->
F
e2(x) =
définie par
d’après
~,
l’énoncé
définie
en
(Q)
v
de
l’appendice II, l’applica-
fait par
e(x B F’) c: Y(F) ,
dans ?(F) .
F’
est continue,
est continue,
= 03C8-1
il
en
0 e
e(x) =
est de même de
est de
quasi
considé-
e
Ire classe
F .
C. Q. F. D.
REMARQUE 21. - Si
borélienne;
F
n’est pas métrisable,
on
ignore si Inapplication
v
est
2-10
6. Etude du
/
où
cas
supplémentaire.
(a)
F’
(b)
A2014(x)
une
face fermée de
suivantes sont
équivalentes :
cas
est réticule.
,
THEOREME 22. - Soient
ce
où
est fermée et du
F’
propriétés
Les
,
F
simplexe,
un
F’
X ,y et
la fa-
fermée ~
est
B-
Si
X
est
de la boule unité de
0
la partie
sup
B;
existe
dans
(c)
La
de
fonction-quotient 03C6
(d) II
existe
h
e
A(X) ,
1
est
F
continue ;
~ h ~ 0 , telle que
h
0
=
F
sur
et
h
=
1
sur
F’ ;
(e)
u
(f)
~(X)
s’écrit
f
Si
est continue
possède
A(X)
3° L’espace
4°
sup
(b)
vérifiées,
+
Bp
=
r
somme
(d)
r E
A(X)
h
1
~ H , alors
alorst
est
F ;
F’ ;
directe
topologique
AF (X)
de
et
A-,(x) ;
.
°
Si
h
Si
h
B ,
sup
=
h
(c) :
====>
F’
tel que, si
H
cr .
(d) :
====>
est
F’, et
sur
de
supplémentaire
espace
h
est continue sur X
v
un
g ~
supplémentaire
1° La face
F ;
A(X)
dans
conditions sont
ces
2°
h,
g +
=
X ,
sur
E
h
=
0
F , et
sur
h = (p
= 1CF ,
donc
=
A(X) .
vérifie
(d), h = (p y
car
h = cp
sur
~(X) . Donc 03C6
est
continue.
(c)
==>
(e) : Si 03C6
est continue
=>
(a) ; Si
est
et ~ 0 ,
x
->
u(x)
= 03B4-1[03B4(03C6(x)
x) 03C6(x) ]
est conti-
nue.
(e)
de
X BF . Donc
Alors x+y 2 ~ X B
est vide,
(a)
g + h
qui
(f) :
A(X) , et
==>
E
ce
évidemment
u
1 u(x) =x~
continue~
(FuF’) =~ . Si B x
(F u F’ ) . Mais F’ étant
est absurde. Donc
Soit
H
+
h((
= ~I (X) .
F’
=
E
F’ ,
un
f ermé
x E F . Soit
convexe, x+y 2 ~ F1
(F
u
F’ ) qui
F’ .
.
Pour toutes
est atteint
est
en un
point x 0
et
E
F u
F’ , donc c’est
2-11
Inversement, soit
telles que
d’autre
pour
part
et
h .
respectivement
0
=
F’
sur
Or, si
F
sur
Il existe
et
g
E (X)
=
Cette fonction est
sur
F
~I(X) ,
E
et
g = f
[5J
F’ ,
sur
telle que y
=
a
montre immédiatement
F
sur
F’
sur
deux telles fonctions coïncideraient
car
uniques,
sont des conditions nécessaires
F ,
sur
h
le théorème d’Edwards
F’ ,
unique,
f
g = 0
et
sont deux fonctions affines continues définies
et p
a
et
h
fonction y E A(X)
l’existence d’une
D’où
A(X) .
E
g + h .En effet, d’une part
f =
h
g
f
0
FLF’
sur
x
°
(f)
(b) : Diaprés l’hypothèse, 1 = go + hO’
> 1 , ce qui
un point,
est > 1 alors
go (ou
est 0 , alors
est >
pointa g (ou
h~ (ou
===>
y
Sien
o
est absurde. Si
1
en ce
pointa
en un
ce
qui
est absurde.
et
Donc
Notons
B~
et
et
H . Nous
venons
sup g
==
f~
est
+
m est nulle
Fy
sur
E
et sup
c
"
"
1
"
A(x)
des boules unités de
parties positives
de montrer que
B; B-~
D’après l ’ hypothèse ,
Or
les
y
R~ B.j .
+
f
=
1 Donc
o
f~B+A
et affine
B+F
(car
est filtrante
croissante).
Si
’
continuey
(p
et
e
est continue. Soit
e
>
sup
B
0 ~ et soit
existe dans
x ~ X .
Il
A-(x) .
existe ~
~
Montrons donc que
B-
et
h
e
B~j
(?
telles
que :
Donc
Comme ceci
Donc m + *
a
=
lieu
>
0 , et ~
1 , et 03C6 et 03C8
f érieurement par définition.
x
sont
E X ,
on a :
continues,
car
elles sont semi-continues in-
cp
2-12
propriétés (a),
les
Donc,
fiées. Alors,y clairement,
donc
est continue
v
A(X)
Enfin,
de
f
plus,
E
(f)
...,
sup
sont bien
B == ~ y
équivalentes. Supposons-les vériface supplémentaire de FI est F ,
et la
X v F’ .
sur
= A~(x) @
(a)
résulte de la démonstration de
A(X) s’écrit g
+
h ,
g
~ A~(x) ,
h
E
A~~(x) ,
(f).
=>
o
Si,
alors
C. Q. F. D.
Exemple. suite que
F’
vague. La
M;«(a ,
~0-~’ , 1))
Si
on
prend X
=
i»
E
x1
1) ) ,
=
fonction-quotient (p
=
est la
et
1) .
M;«(a , -~)) ,
n’est
F
F’
=
pas fermée pour la
fonction ~
i~à(1 ~ ) ,
~,1)
-~
affine semi-continue inférieurement.
REMARQUE 23. - L’hypothèse que
te
aux
précédentes.
est continue
sur
On le voit facilement dans le
cas
v
voit tout de
on
X, F’
où
est bien
équivalenréduite à un point
n’est pas
est
F
qui
topologie
extrémal.
THEOREME 24. - Les
(a)
(b)
propositions suivantes
est réticule pour
L’ensemble
son
conv[F
U
u
xe&(X), F
Si
assertions sont
ces
On sait
F
=
(cf. [8])
que
u
vérifiées,
(a) ====>
(0) ] .
sont
équivalentes :
ordre propre ;
(x) j
est fermé.
alors
~(X) B
F
est
fermé de
un
fermé
F
n
ô-1(r)
fermé
D’où
De
fermé,
Y
=
et
F’ .
F
fermé. Or
on a :
l’équivalence annoncée.
plus, alors,
est fermé dans
5(x) B F
=6"~(ë(Y) B {.0))
F’ .
C. Q. F.D.
Ce théorème étend
maux.
aux
faces fermées
une
proposition
de
[9j
sur
les
points extré-
2-13
propositions
PROPOSITION 25. - Les
(a)
A- (X~
(b)
F’
est
est
(c) &(X) ’
M-.espace
un
est
F
propositions qu’on
plus, quelques propriétés
en
(c’est-à-dire
de Bauer
&(F’ ) fermé) ;
avec
compact.
Cela résulte facilement de
Donnons,
(cf. [9J) ;
de Kakutani à élément unité
simplexe compact
un
équivalentes :
suivantes sont
trouvera dans
[9L
de stabilité par passage
quotient.
au
PROPOSITION 26.
(a) Si
est
F
si
est
X
une
(b) Si
X
(c)
ë(x)
Si
face fermée de
est
(c’est-à-dire
de Bauer
simplexe
un
X ,
X/F
est
X/F
simplexe métrisable,
un
est
(réunion
K
un
un
soit
tel que
simplexe
fermé), et
de Bauer.
est métrisable.
compacts),
dénombrable de
est aussi
K .
un
a .
-
[Pour
propriété
l’intérêt de cette
La démonstration de cette
K/H
où
points
de
est
THÉORÈME
et
K
[10].J
aucune
difficulté. On voit
ë(F) = H , X/F
l’espace compact quotient
de
K
obtenu
est
en
isomorphe à
identifiant les
en
26. - Soient
X
application
quotient.
X
un
sur
le
affine
simplexe,
quotient
continue ~ :
Y->Z , affine continue,
03C8 :
voir
présente
ne
que si
universelle du
cation canonique de
et toute
proposition
stabilité,
H .
Propriété
7.
(a),
pour le
particulier,
de
unique, tel e que 03C8 = 03C8 ° 03B4 .
F
Y
une
face fermée de
=
x/F .
X
-~
Alors
pour tout
Z , constante
’1°’ °
X, et
sur
ô
simplexe
l’appliZ,
F , il existe
ô .
simplexe,et ô’ une application affine continue
ait la même propriété
surjective de X sur Y’ , tels que lecouple (Y’ , b’~
à Y.
universelle que le couple (Y , b~ , alors Y’ est affinement isomorphe
De
(a)
On
a
plus, si
Y’
est
un
autre
Unicité du quotient. - Considérons le diagramme suivant :
et
Ô
Comme
sont
ôt
surjectives,
g 0 g’ =
(b) Propriété
définie
->
dérinie
,)(m) = 1.
Dire que
m -~
f(z)
Or
=
A(Z) ,
E
m
Hi+ .
Si
(m
[r ,](m)
~](m) .~Si
(mo ~,*)(r)
)(f)==[fo
0
0
=
Alors
== 1 ,
r
fsl
,
(1 o
f ~0 ,
est continue
z
in
A(Z) .
V f
Si
f
0 V . Soit
f
=
est définie par:
par :
0
o
0 g = Idy’ .
universelle du quotient. - Pour toute
soit #* : A(Z)
A(z) ->RJi
mo ~,*:: A(Z)..,.
m
g’
et
Idy
~"’~
déduit que
on en
à dire que
équivaut
(m ° , )(f)
(f
=
0
,)(m)
m -~
f(z )
est bien
est continue
continue,
f
car
6B
’
Notons
donc
~’ l’application
et il est clair
continue,
Vy
-
Or
H’
sur
m +
qu’elle
yV f
y=&Y
X
est
affine,
Y ->
e :
0(y) (f) =f(x)
par
dans
Z . Cette
application ~’
est
et que :
E A(Z) : f[§~’(p~) =(f
(f ° ,Hm) .
isomorphe à Y. Soit
est
de
zm
si
-~
Y
H’~
cet
isomorphisme Il est défini
f s .
.4.
11’"
Z
Y->Z. Cette application est affine
~
o
&(x)
=
=
h
si
xëX,ona:
y=6 ,
Si
continue, et
,’[l’application
,-[l’application
f -~
e(y)(f)]
(f
H) .
e
f ->
6A(Z) ,
[W
o
&(x)](h)
=
=
h[W ô(x)]
Donc ~ § ss ~ .
Donc
o
c
’[l’application f -4~ f{x)]J(h)
(h jq)[l’application f ->. f(x)]
=
L’unicité
0
h
A(Z) . Donc i
0
résulte du fait que
ô(x)
8
=
=
,(x) .
~(x) , et ceci
h
o
V xeXj
est surjective.
n- o~ ]1-
n..
2-15
quotient comme solution d’un problème uniles quotients par deux faces pris successive-
Nous allons utiliser la définition du
versel pour démontrer
résultat
un
sur
ment.
X
LEMME 28. - Soit
est
une
(et
X
face de
simplexe. Tout
un
donc est
convexe
tel que
compact
simplexe).
un
Ce lemme est dû à MOKOBODZKI. En voici
d’une techni-
démonstration, inspirée
une
que d’EDWARDS.
,,~,
Nous allons montrer que
est affine. On
lB
le lemme de
l’appendice III,
fions les conditions de
h , h E A(X) ,
Si
De
f
plus,
Enfin,
).
i~) - lB
ê(B) ~
sur
donc
inf(h1 , h2) ,
sup
est bien semi-continue
18
=
atteint
0(X) ,
sur
Z
et
H =
prenant
en
cela,
nous
allons
==ë(x) .
Véri-
lemme.
ce
&(X) (cf. appendice
sur
.
est filtrant décroissant. Pour
Montrons que cet ensemble S
appliquer
a
soit
son
h2)
avec
supérieurement.
minimum
X ,
sur
qui coïncide
sur
X , soit
sur
B , c’est
alors
et c’est alors celui que
B ,
atteint
1B=
Donc
inf S
B,
puisse trouver
est
une
point x
0 , ce qui
de
sur
une
F
=
un
=
est donc
est affine.
est
puisque 1B vaut 1
face fermée de X contenant B . Supposons qu’on
et
&(F) n’appartenant pas à B . Alors x E
B ~ et F = B
absurde, puisque x e F . Donc
et
1 ,
Alors, puisque
face.
C. Q. F. Do
’
LEMME 29. - Soient
tion
est
de
canonique
une
f ac e de
face de
X
X/F ,
X
un
sur
simlege
X/F .
et
Alors
et toute face de
F
une
face de
a
pour image
démont=er,
sans
le lemme
X . Soit
ô.
28,
en
l’applica-
réciproque
par
ô
X
un
précédent (en fait,
utilisant le théorème
simplexe, et soient
l’application canoni ue de X sur
PROPOSITION 30. - Soit
de
ô
X
une
X .
Cela résulte immédiatement du théorème 12 et du lemme
le
et soit
de toute face fermée de
l’image par 6
X/F
X ,
peut
16).
Fi et F2
son
on
quotient
deux faces fermées
X/F. ,
i
=
1, 2.
2-16
il existe
F n F2 ~ ~ ,
(a)
Si
(b)
Dans tous les cas
solutions du
isomorphisme canonique
un
sont isomorphes, et sont;
(X/F2)/Ô2(Fl)
relatif
problème upjversel
aux
applications constantes
et
F~
sur
sur
F2 .
(a)
X/ conv(F
elle
l’application canonique de X sur
1 u F 2) . Puisque 5 est constante sur Fi’
factorise au moyen d’une application affine
Soit
se
continue
est
5
51 :
Y
F1
u
D’où l’ on
F~ # § ;
Donc
déduit: t
ô
0
6’ ’
b1
F~
sur
se
et
0
plus,
~t
On voit
u
montrer
sur
Fl
F2)
qu’ils
et
u
f
ne
au
moyen d’un
sont pas
en
sont toujours différents
==
l
sur
F2’
cf.
(car
surj ective,
est
ô1
est donc canoni-
F2)
et
Fi n F2 = ~ .
il,existe
propriété,
à avoir cette
F2)
puis-
application
que
si
général isomorphes
Alors
u
u
R2,
exemple de
5i(F2).
conv ( F~ F~) ,
sur
et , puisque
est la seule
facilement,
et soit
sur
moyen d’une
au
5’
u
o
donc
application de
car
à’ est surjective. D’après le théorème 16,
quement isomorphe à
De
5*
simplexe,
un
F~ ,
factorise
= ~
=
x/conv(Fl
continue, constante
affine
que
ô
surjective :
Soit alors
est affine continue et constante
2014?>
f
E
À(X)
On
peut même
telle que
f
==
0
[9] ).
Un raisonnement tout à fait
(b)
logue, utilisant
le
diagramme ci-contre,
prouve
l’isomorphisme
de
et de
(X/F2)/Ô2(Fl)
dans le
ral,
et le fait que
solutions du
les
et
ces
problème
cas
géné-
simplexes sont
universel pour
applications constantes
sur
ana-
sur
F1
F2 .
C. Q. F. D.
2-17
En
on se
F,2
C
F1
donne alors
on
Fi c F2
c.
F3 ,
af-
2014~
SF3 F2
on a
(X/F 03B4FF,)F
si F est filtrante décroissante,
-
existe
de faces fermées de
famille S
une
qu’il
voit
et que si
surjective,
fine continue
Si
si
particulier,
X ,
est
on
0
voit que :
système pro jectif
un
de
simplexes ;9
si F est
-
(x/F
filtrante croissante,
est
un
système
inductif de sim-
plexes.
Nous allons
voir,
Donnons pour cela
ve.
définition.
une
DEFINITION 31. - Soient
X . Nous
dans
On
(E) Soit
X
fe
A(X) ,
la f ac e
Pour tout
par
B
compact
dans
inclus
X.
alors
On voit tout de suite que cette condition
(El)
un convexe
si la condition suivante est satisfaite :
épais
est
compact, et B
fermée engendrée
un convexe
no t erons ~ ( B )
B
dira que
la limite inducti
qu’on peut parfois déterminer
dans le 2e cas,
et toute
Y 9
simplexe
équivaut
application
à la suivante :
affine continue
f :
on a
X
PROPOSITION 32. - Soit
sante de faces fermées
simplexe, et soit S
un
vides de
non
2014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014
épais
X. Alors le
dans
X/4l(
te inductive
Il est
le
problème
filtrante crois-
famille
X . On suppose que l’ensemble
est
-
20142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014
inductif de
simplexes
------------
(X/ F .
a
pour
F) .
effet facile de voir que le
en
est, ici,
U
F~F
système
une
universel des
problème
universel de la limite inductive
applications constantes
sur
U
F.
FeS
Essayons
de
généraliser
Et pour bien voir de
ce
que serait
un
tel
quoi
il
quotient
de
X
sur
est image directe de
on
Y.
simplexe, et 03C6 une application affine continue
un simplexe
Y, telle que 03C6 [g(x)]cê(Y) (on dira que Y
X ). Soit H 1~ espace des h 0 p , pour h eA(Y) . Pour
X
PROPOSITION 33. - Soient
surjective
problème du quotient à une famille de faces quelconques.
s’agit, partons d’une application surjective de X sur
le
pose
F
un
= rn-l((y}) .
2-18
(a) Alors chaque Fy est une face f ermée
U
et ~(x)
~(Fx)
. Le sous-espace H
~
-
...
.-
-
Les
’
A(Y) .
-
lus,
FY ,
les
...
-
-
nulles
H
2 à
-
-
-
2,
.-
et vérifie
).
F
sur
isomorphe à
esi
H
Y
Y
La
provient
problème
est la solution du
X
dans les
soit
H
de
ce
transport à
Soit
Z
un
Y 2014~ Z
facile si
F .
chaque
on
f :
telle que
bien
sur
X 2014>
Z , constante
fI 0 p = f ( f’
=
dernière partie de
A(Y) (cf. [5L [9J)~
de
connues
0(y) .
chaque F}
4&~X)]
remarque que
=
propriétés
de
et soit
simplexe,
allons définir
H
sur
{fE A(x) )1 f Cte
VINCENT-SMITH (cf. [6]). La
de résultats de EDWARDS et
n’est que le
applications affines
universel pour les
constantes
simplexes~
point est
exactement l’espace
première partie
Le fait que
est
.....
..-
est l’ensemble des fonctions de
continues do
(b)
-
-
...
De
chaque FY .
Riesz, sépare
sur
>"-
(b) (Y, y)
(a)
constantes
vérifie le lemme de
H
Enfin
-~-
(où Ep
(a)
A(X)
de
f
fonctions
disjointes
est exactement 1’ espace des
de
=
~
sont
F
--
.
--
chaque F . Nous
unique, puisque
sur
sera
surjective).
Soit
dépend
Y ,
ae
et soit
pas du choix de
Soit
ge
d’après
le
u
A(Z) ; la fonction
(a). Donc il existe
0
g
Donc
(p" (a) . On pose
dans If’ -l(a) . Soit
u e
g[r(u)]
=
f(u)
=
g[t(v)],
h
he
0
f
0
g
V g
~
=
telle que
h(a)
A(Z) .
h
=
f(u) .
Montrons que ceci
ne
v E
est constante
A(Y)
~~u)
=
Donc
o
sur
g 0 f
ç(v)
f(u)
chaque F ,
=
=
g
=
o
f(v) ,
h
o
donc
ç . On
a
g 0 f
~
Hy
alors s
f(v) .
et
fI
est bien dé-
finie.
L’affinité de
dessus, que
f
=
fI 0 ~ ,
si
f
a.
est
évidente,
20143" fi,
sa
continuité
se
démontre
V g
2014~
montrant, comme ci~~(z) . Enfin, on a bien
en
par construction.
C. Q. F. D.
Inversement,
jointes 2 à 2,
nous
dirons que la donnée d’une famille
d’un
simplexe X ,
telle que
S(x)
=
U
1eI
(F.), de faces
est une
&(F.
]. ) ,
fermées disrelation
2-19
R
d’équivalence
X .
sur
#
F.. Si
chaque
sur
est le
Y
de dire que
A.(Y) y
isomorphe à
est
X
de
quotient
A(X)
de
L’idée est d’étudier le sous-espace
Y
est
Y
où
R :
par
forme des fonctions constantes
un
simplexe,
on a
envie
X/R .
=
condistions, par
exemple l’hypothèse que If vérifie le lemme de Riesz. Et même alors, il se poursoit le simplexe réduit à un point, alors qu’on désirerait qu’il
rait que
existe une bijection de l sur &(Y) telle que
Mais il n’en
pas ainsi
sera
ajouter
et il faudra
général,
en
X/R
des
’
.
à
égal
ou
plongé
2,
dans
que,? si
réduite
X
est
nuité,
X/R
F
on a
F
au
on
n
si
e E
X . Il est clair
fermée de
(0 , 1) ’B UA,
n
(e)
soi t
la f.ace de
n
La famille de faces fotmée des
e .
sur
X .
0r,
par
un
un
Nous dirons
(e)
et des
Fn
raisonnement d’uniforme conti-
HR
constante,
est
donc que
point.
qu’une
d’équivalence
relation
R
(Fi)
=
sur un
sim-
iEI
vérifie le lemme de Riesz,
les faces
-.
F.1 ;
Pour tout
THÉORÈME 35. ciale
Soient
X . Alors il
sur
surjective
2014>
X
(p :
simplexe, et R
existe un simplexe Y ,
X
Il existe
Découplé
(Y , 03C6)
X
dans les
simplexes,
s’appelle
une
le
D’ abord, puisque
à-dire
X
Y
= {
dans
e
Y
un
Y ,
(b)
(c)
voie
P
face
une
simpliciale si l’espace HR associé est lel que:
(b) É~ sépare
Y
=~.
F
n
sinplexe réduit à
est
X
(a) HR
de
C’est
d’équivalence
DÉFINITION 34 . -
(c)
conv(à n) .
=
}.
p~
voit immédiatement que toute fonction de
est le
plexe
... ,
n
n-ième nombre premier supérieur
Considérant (0 , 1) comme
PnPn -len
soit
{1p nn, 2p nn ,
point extrémal
relation
une
=
n .
X , soit
p ,
1)) .
=
et soi t
#
n
M;«(O ,
A
X
Exempie. - Soit
et
une
l
~ ~(Y) :
application
de
X
par
R,
et
se
note
vérifie le lemme de Riesz,
0
e
affine continue
universel pour les
affines continues et constantes
1
simpli-
et
H)y
=
1} ).
03C6-1(yi) = Fi ,
telle que
problème
est solution du
quotient
d’équivalence
tels que :
bijection
#
relation
une
Donc
sur
chaque
applications
F~ .
X/R.
IT A(Y) ,où
Y
Inapplication
(p :
=
et est affine continue
(pour
=
x
H+1
(c’ est-
~ 03B4x
o-(h y É~) ) .
en-
2-20
03C6(x)
est
Or, soit
f
qu’élément
de
est
y
HR .
E
deux conditions
Soit
&(Y) .
E
y
extrémal
inplique
=
E
p(X)
(HAHN-BANACH).
,
HR
sépare
y
=
est
Fi
E
est réduit à
y.
I , (n(F.)
J
J
D’autre part, puisque
~ j
0
03C6-1(y)
Xo
m(x) .
autre,
de 1 ’
L’ensemble
et
X , revient à
elle est, d’une part,
sur
HR) ) ,
bien que
0(X),
de
Xo
ç 0
est
f
Dire que
(HR’)’ (pour 03C3(HR1 ,
base de (If) ’+ ),
une
c y .
compact
un convexe
les
i.
certain
Un
point. done 03C6-1(y) ~
F.i , une
tant
qu’en
0
sur
Donc
est
ç
seule face
(car
de
ces
surjective.
donc contient
point
un
Or, il est clair
F.l , et
F.
peut avoir
1
03C6(Fi)
.
Y
1’équivalence
Or
X ,
face de
une
pour
un
sur
dire
que,
=
y .
pour
y
inage.
V y
Donc,
Montrons
trer que,
Soient
w( a)
que
g(Y) ,
E
qu’on
Y 1 ,
,(F. )
T
v E
u
et
=
J.
est
y,1
~(F.)
J.
tels que
Y
=
v .
=
y.1
y( (a
Alors
y .
=
T
(F.1 ) .
point extrémal
un
ç(F.1)
telle que
unique
1
utiàse ainsi toutes les faces
u ,
=
F,
il existe
Pour
cela,
+
+
=
et
E
b
X
tels
R
si
E
f
-,- ,
B
_/,
non-
Y .
de
v)/2 . Soient a
. Donc,
b)/2 ) ~(F.)
~
(u
=
allons
nous
HF+~ ,
on a
Donc
Donc
et
a
b
f-1(0) = Gi .
=
Or la condition
plique que cet ensemble est identique à
De
plus,
sa
sous
s’il existait
première forme,
x=ë(C.)
~ F.~ ,
i
F.1 , serait
nulle
sur
Donc
G. = F.. Donc
On
a
a
et
donc bien trouvé
une
plus,
Montrons
;1 (y. )
plique
alors que
F. =
(o) ,
f"*
n
il est clair que
aurait
E F.
x
im-
.
J
G.
est
une
(j~ i) ,
face contenant
et toute
de
f
Fi :
H,
ce qui contredit l’hypothèse de séparation.
F.,
J
e F. , et u=v=y.. Donc y. est extrémal.
sur
b
ë(Y) :
I ~
bi j ection
Fi = 03C6-1(yi) .
sont des faces fermées
D’autre
de
nulle
on
i)+ - (HRFi)+
=
’
y. ,
2
telle que
03C6-1(yi) ,
effet, V i ?
à 2. L’hypothèse
En
disjointes
i ~
§(x) =
U
03C6(Fi) =
yi.
et les
ë(F 1.)
im-
03C6-1(yi) , ~
part, l’égalité
1
h
E
A(Y) )
résulte de la définition même
Y.
universelle du
couple
Enfin,
la
propriété
pliquant
la
proposition directe, puisque
on
(Y ~ tp)
sait que
est maintenant évidente
=
en
ap-
&(Y) .
C. Q. F. D.
2-?1
entendu, il serait agréable d’avoir des critères ~géométriques~ sur une relasur un simplexe
X , permettant d’affirmer qu’elle
tion d’équivalence R
est simpliciale.
Bien
(F.). -
=
Dans le
retrouve le
on
F.
quotient
grâce
de la définition
à des résultats de
valence
(a)
est
R
(b)
X .
sur
[5]
A
=
2014
se
démontrent,
...y
dans
le
cas
moyen du théorème 11.
le résultat suivant :
simpliciale,
F , soit
Î
~
f
0 ,
L’implication (a) ~ (b)
f
B~
201420142014
engendrée
la
.f
d’indices,
nombre fini
=
Pour toute face fermée
B-
34
et
X
Soit
2014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014
Soit
un
un simplexe, et soit R (Fi)i~I une relation d’équiLes conditions suivantes sont équivalentes :
36. -
CONJECTURE
sauf pour
successif par des faces fermées
quotient
comme
peut raisonnablement conjecturer
On
pointa
un
(a), (b), (c)
et les critères
y
d’une face,
où
est réduite à
F.
où
cas
==
est
par
0
BF ,
F..
ê(Bj
Alors
"
est
vraie. Si
toujours
ë(? ) .
U
==
j~
201420142014
f (o) ,
D
c ’ e s t- à-dire l’ensemble
B-,) .
sur
20142014 ~
U
=
fermé, (b) ~ (a)
est
vraie.
Donnons enfin
cf.
une
de stabilité
propriété
(pour
propriété,
l’intérêt de cette
[10]).
X
PROPOSITION 37. - Soit
simpliciale
sur
(a)
Si
X
(b)
Si
X
(c)
Si
est
R
un simplexe, et soit
une
relation d’équivalence
X .
de
Bauer, il
en
est de même de X/R .
est métrisable, il en est de même de X/R .
g(x) est un K (réunion dénombrable de compacts),
il
en
est de même
de g(X/R) .
La démonstration
8.
ne
présente
APPENDICE I : Ques propriétés
convexe
un
minés dans la littérature
monstrations. Nous
voyons le lecteur
(A). -
difficulté.
des fonctions
convexes
semi-continues
sur un
compact.
Nous regroupons ici
F
aucune
ensemble de résultats, dont la
(cf,
par exemple
[?]),
et
qui
plupart
nous
se
trouvent dissé-
servent dans
nos
dé-
renrappelons pas le théorème d’Edwards, pour lequel nous
à [5], [8]. On désignera par X un convexe compact quelconque .
ne
Toute fonction 03C6 ,
convexe
semi-continue
supérieurement ,
sur un
convexe
2-22
l’
~
[
compact X , est l’enveloppe inférieure de l’ensemhle , qui est filtrant
croissant, des fonctions convexes continues qui la majorent strictement.
énoncé en remplaçant partout "convexe" par "affine".
(B). cident
g
une
Soient
l2014
f
(D). -
Toute fonction
pact est bornée.
(E). -
Toute
supérieure
continues
a
convexe
continue telle que
convexe
C’est faux
semi-continue
9
semi-continue
convexe
général
en
pour
supérieurement
une
de
fonction
==>
v
sur
l’ordre de
~(f) ~ v(f)
~(f) ~ v(f)
(G). -
~
X
Soit
Choquet
un convexe
X , minorée,
f
pour toute
pour toute fonction
0
sur un convexe com-
semi-continue
convexe
compact.
sur
M (x) ~
(H). -
Si
(l). -
Soit
continues
f
continue. Alors,
convexe
f
convexe
si ~
on
v ,~
semi-continue.
semi-continue
f
Pour toute
est semi-continue inférieurement
f
(cela
x
devient vrai si
est semi-continue
supérieurement
on se
est
f
sur
X
fonction
Alors, pour toute mesure
restreint
De
plus,
aux mesures
dis-
continue).
supérieurement minorée,
y
convexe
compact,
alors
telle que
Alors
une
majorée.
f = r
sur
&(X).
famille filtrante décroissante de fonctions semi-
une
supérieurement
(J). - Soit ~
ordre défini par :
on a :
crètes de barycentre
L
g
la minorent.
qui
cette formule est fausse si, dans le 2e membre,
,
f $ h ~
fonction (p convexe semi-continue inférieurement est l’enveloppe
l’ensemble g , qui est filtrant croissant, des fonctions convexes
Le résultat est faux si
1-
coïn-
intérieurement.
~ ~
""
ë(x) ~
sur
supérieurement sur X , et
inférieurement quelconque, telle que f ~ g ? alors
fonction
h
fonction
une
(F). - Soit
r
1
une
fonction semi-continue
il existe
y
X .
sur
(C). -
~
semi-continues, qui coïncident
Deux fonctions affines
dé-
convexe
semi-continue
, maximale pour l’ordre
inf
iEI f.l
soit minorée.
supérieurement sur
de Choquet,
(03C6) =
X .
(03C6) .
2-23
(K). -
Soit
X
et soit
simplexe,
un
f
convexe
A
sur
f est affine semi-continue
X . Alors
r(x) =
Il. x (f)
, où
x
9..APPENDICE II :’ Les fonctions
Rappelons qu’une fonction
pour tout
r
-
(L). v :
Soient
Y ->
(M). -
~
A,y X , Y
Soient
v
est de
X’
~
Y’
est de
topologique,
topologiques,y
Soient
Ire classe est
X
un
f :
deux
A -> Y
topologique,
espace
un
sous-espace vectoriel
quasi
topologique quelconque,
semi-continue
(supé-
applications
de
quasi
et
E
espace vectoriel
un
applications de
de EK. De plus,
lre
alors
x
->
f(x)
x
u(x)
est de
f :
si
étant cette fois
F
classe,
E
dans
X
un
topologique
de quasi
X -~
R
et
espace vectoriel
1re classe de
quasi
X
F .
(p) . - Soit
r plication
"graphe
1
f
est de
-
lre classeo
l’application
sont de
X -> F
dans
quasi
le dernier étant à base
à base dénombrable. Alorsy l’ensemble des
uô
->X , continue, et
X’
u :
1re classe.
quasi
et
1re classe si
quasi
espace
trois espaces
A -~ X
ui
sur un
x.
1re classe.
classe,
f o u :
o
EX:i
18).
1re
quasi
x
1re classe.
quasi
(0). -
de
inférieurement)
ou
est de
définition
numérique
Toute fonction
Ire classe. Alors,y
est de
(cf.
X --~ Y
dénombrable. Soient
L
X -~ Y
continue. Alors
Y’ ,
rieurement
(N). -
f :
boréliennes de quasi
f ~
ouvert de X
0
barycentre
-
supérieurement
et pour tout
supérieurement,
est la mesure maximale de
,
semi-continue
,
h = f u g :
classe.
X
Soit
f : X B F
fonction
de
f " définie par :
de
quasi
1re classe
X .
sur
Alors, l’ap-
1re classe.
quasi
(Q). -
numérique
une
-~
un
Y
espace
et g :
topologique,
F -> Y
X -~ Y , définie
par
deux
hlx,F
et soit
F
un
applications
=
f
et
hBF
de
fermé de
quasi
X . Soient
lre classe. Alors
= g , est de
quasi
1re
2-24
(R). -
X
Soient
un
espace
(Y )
et
topologique,
une
r~N
n y soit
d’espaces topologiques à bases dénombrables. Pour tout
une application de quasi-premiëre classe. Alors ~
quasi-prenière
X
Soit
un
et soit
h.)~
Si
note
on
On suppose
qu’il
~2
on
existe
ait
que, pour toutes
X
sur
en un
hl’ h2
point
de
Z
sous-ensemble
1B l’
h4
h1 , h2 , h3,
c.
s.
~
H ,
h2).
tels
vide de
non
i.
telle que
he H
tel que, pour toutes
X
~ Z .
=
h
Si
1’ensemble
2
semi-continue supérieurement
pour toute fonction réelle
Alors,
~n
ensemble de fonctions réelles
un
il existe
1B l’ h 2
un
sup
H
(c’est-à-dire :
le lemme de Riesz
h~)
avec
~-
Y
utile.
compacta
espace
X , vérifiant
sur
X ~
f :
c lasse .
APPENDICE III : Un lemme
11.
famille dénombrable
la fonction
EH,
f
sup
f
atteigne
telle
X,
sur
son
minimum
1’ 2
Z,
l’ ensemble
Ff
lh
=
E
H
g
=
1
h >
fl
est filtrant décrois-
sant.
Démonstration. - Soient
g -
g
f ,
s.
c.
V
Donc,
un
i . , atteint
h2)
=
x
>
EX,
X
par
de
x
f
h
Ff .
E
minimum
g > f
il existe
hx
E
sur
sur
Soit
X
donc
Z ,
telle
R
1’h2
/
x , tel que
Riesz,
inf(hh , h2) .
on
Par
voit
Par
sup
en un
point
X
sur
que
V y
de 2 Z .
Or,
sur
Z ,
tout entier.
r(x)
on
hypothèse,
ait
h (x) . Donc il
f(y) h (y) .
existe
X
Alors
Vx1 , Vx2 , ... , Vxn.
En utilisant le lemme de
Alors
son
f . Donc
voisinage ouvert
Recouvrons
h2
qu’il
suite, Ff
existe
h E il
telle que
est filtrant décroissant.
C. Q. F. D.
2-25
BIBLIOGRAPHIE
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and VINCENT-SMITH
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analytiques, Séminaire Brelot-Choquet-Deny : Théorie du potentiel, 12e année,
et
1967/68,
n°
11, 3
p.
(Texte
revu
et
augmenté
reçu le 2 octobre
1968)