Chapitre 4 SUITES RÉELLES 1 Définition

MP2 Analyse r´eelle Chapitre 4 SUITES R ´ EELLES R´evisions
I Quantificateurs
1 D´efinitions
Soit (un)n∈N∈RN.
(un)n∈Nest convergente si et seulement si ∃a∈R/(∀ε > 0,∃N∈N/∀n∈N,(n≥
N=⇒ |un−a| ≤ ε)).
ÃEcrire la phrase quantifi´ee qui traduit la divergence.
(un)n∈Nest divergente et tend vers +∞si et seulement si ∀M∈R,∃N∈N/∀n∈N,(n≥N=⇒un≥M)
ÃEcrire la phrase quantifi´ee qui traduit que (un)n∈Nest divergente et tend vers −∞.
ÃDonner des exemples de suites qui divergent et ne tendent pas vers +∞ni vers −∞.
2 Exercice
Traduire en clair chacun des ´enonc´es suivants,pour ar´eel fix´e.
∀ε > 0,∃N∈N/∀n∈N,(n≥N=⇒ |un−a|< ε)
∃N∈N,∀ε > 0 ,∀n∈N,(n≥N=⇒ |un−a| ≤ ε)
II Suites extraites
1 D´efinition
Soient (un)n∈Net (vn)n∈N∈RN.
(vn)n∈Nest extraite de (un)n∈Nsi et seulement si
il existe ϕ:N−→ N,strictement croissante telle que ∀n∈N, vn=uϕ(n)
Si (un)n∈Nconverge vers aet si (vn)n∈Nest extraite de (un)n∈Nalors (vn)n∈Nconverge vers a.
ÃDonner un exemple de suite divergente poss´edant des suites extraites convergentes.
2 Exercices
(i) Montrer que si les suites extraites (u2n)n∈Net (u2n+1)n∈Nconvergent vers la mˆeme limite alors la suite
(un)n∈Nconverge.
(ii) Montrer que si les suites extraites (u2n)n∈N,(u2n+1)n∈Net (u3n)n∈Nconvergent alors la suite (un)n∈N
converge.G´en´eraliser.
III Techniques de comparaison
1 Propri´et´es et d´efinitions
Soient (un)n∈Net (αn)n∈N∈RN.
Si ∀n∈N,|un| ≤ αnet si (αn)n∈Ntend vers 0 quand ntend vers +∞,alors (un)n∈Ntend vers 0.
Soient (un)n∈N,(vn)n∈Net (wn)n∈N∈RN.
Si ∀n∈N, un≤vn≤wnet si (un)n∈Net (wn)n∈Nconvergent vers la mˆeme limite aalors la suite (vn)n∈N
converge vers a.
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Soient (un)n∈Net (vn)n∈N∈RN.
Si ∀n∈N, un≤vnet si (un)n∈Ntend vers +∞alors (vn)n∈Ntend vers +∞.
(resp si (vn)n∈Ntend vers −∞ alors (un)n∈Ntend vers −∞)
Soient (un)n∈Net (αn)n∈N∈RN.On suppose que (αn)n∈Nest une suite de r´eels non nuls.
-(un)n∈Nest domin´ee par (αn)n∈N( on note un=O(αn)) si et seulement si il existe M > 0 et N∈N
tels que : ∀n>N,|un| ≤ M. |αn|ce qui se traduit lorsque αnne s’annule pas, par: ³un
αn´n∈Nest born´ee.
-(un)n∈Nest n´egligeable devant (αn)n∈N( on note un=o(αn)) si et seulement si pour tout ² > 0,il
existe N∈Ntel que ∀n>N,|un| ≤ ². |αn|ce qui se traduit lorsque αnne s’annule pas, par un
αntend vers
0 quand ntend vers +∞.
Autre formulation: il existe une suite (εn)n∈Ntendant vers 0 quand ntend vers +∞telle que ∀n∈N,
un=εn.αn.
Soient (un)n∈Net (vn)n∈Ndeux suites de r´eels non nuls.
(un)n∈Net (vn)n∈Nsont ´equivalentes et on note un∼vn) si et seulement si
un−vnest n´egligeable devant un( ou vn)
Autres formulations:
- Pratique lorsque vnne s’annule pas, un
vntend vers 1 quand ntend vers +∞.
- Th´eorique ∀ε > 0,∃N, ∀n, (n>N⇒ |un−vn|6ε.|vn|)
- il existe une suite (εn)n∈Ntendant vers 0 quand ntend vers +∞telle que ∀n∈Nun= (1 + εn).vn.
-un=vn+o(vn) ou vn=un+o(un)
Les notations O et o sont les notations de Landau; les notations ≺et ¿celles de Hardy.
2 Exercices
1 Quelle propri´et´e se traduit par un=O(1) ? un=o(1)
2 Soient (un)n∈Net (vn)n∈Ndeux suites de r´eels `a termes strictement positifs, v´erifiant `a partir d’un certain
rang un+1
un≤vn+1 vn.Montrer que un=O(vn)
3 Nature des suites et limite ´eventuelle:
a/(ln n)1
ln nb/n2
2nc/ln(cos( 1
n))
tanh( 1
n)d/ √n−sin n
ln((n+1)α)−ln(nα)e/sinh n en
IV Th´eor`emes de convergence
1 Th´eor`eme de convergence monotone
Toute suite (un)n∈Nde r´eels croissante et major´ee est convergente et lim
n→+∞un= sup
n∈N
un.
Toute suite (un)n∈Nde r´eels d´ecroissante et minor´ee est convergente et lim
n→+∞un= inf
n∈Nun.
2 Th´eor`eme des suites adjacentes
Soient (un)n∈Net (vn)n∈Ndeux suites r´eelles telles que (un)n∈Nest croissante, (vn)n∈Nest d´ecroissante et un−vn
tend vers 0 quand ntend vers +∞.On dit que ce sont des suites adjacentes.
Alors (un)n∈Net (vn)n∈Nconvergent vers la mˆeme limite.
Remarquer qu’avec les hypoth`eses pos´ees on a ∀n∈N, un≤vn.
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ÃRappeler le th´eor`eme des segments emboˆıt´es
Exemple de d´emonstration par dichotomie: th´eo des segments emboit´es =⇒th´eor`eme de la borne sup
3 Th´eor`eme de Bolzano 1- Weierstrass 2
De toute suite born´ee de nombres r´eels on peut extraire une suite convergente
D´emodpar dichotomiec
V Suites un+1 =f(un)
1 Position du probl`eme et principes de l’´etude
Soit Iun intervalle stable par f, application continue, soit uo∈I.
Alors il existe une unique suite (un)n∈Nd´efinie par la donn´ee de u0et la relation de r´ecurrence un+1 =f(un).
Les limites finies possibles de (un)n∈Nsont parmi les points fixes de fdans Iqui sont les z´eros de x7→
f(x)−x.
Il est souvent utile de d´eterminer Ide fa¸con que Isoit stable et fsoit monotone sur I.
Dans ce cas,
-si fest croissante alors (un)n∈Nest monotone et son sens est d´etermin´e par le signe de u1−u0
- si fest d´ecroissante les suites extraites (u2n)n∈Net (u2n+1)n∈Nsont monotones de sens oppos´es `a
d´eterminer en ´etudiant le signe de u2−u0.(un)n∈Nconverge si et seulement si (u2n)n∈Net (u2n+1)n∈N
convergent vers la mˆeme limite.
On peut ˆetre parfois amen´e `a ´etudier les points fixes de f◦f( parmi lesquels se trouvent ceux de fet
d’´eventuels points suppl´ementaires).
On doit toujours pr´ef´erer des m´ethodes mieux adapt´ees `a chaque exemple ( comme une ´etude directe de
la monotonie par un+1 −un) `a la m´ethode g´en´erale r´esum´ee ci-dessus.
L’utilisation de tests num´eriques ( calculatrice) peut aider.
2 Exemples
(i) un+1 =1
2(un+a un)
(ii) un+1 =1
5(u3
n−1) selon u0
1Bolzano: 1781-1848 Importantes contributions `a l’analyse moderne ( th´eor`eme des valeurs interm´ediaires; continue 6=d´erivable)
2Weierstrass: 1815-1897 Importantes contributions `a l’analyse moderne ( arithm´etisation de l’analyse)
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