Chapitre 4 SUITES RÉELLES 1 Définition

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Analyse réelle
Chapitre 4 SUITES RÉELLES
Révisions
I Quantificateurs
1 Définitions
Soit (un )n∈N ∈ RN .
(un )n∈N
est
convergente
N =⇒ |un − a| ≤ ε)).
si
et
seulement
si ∃a ∈ R/ (∀ε > 0, ∃N ∈ N/∀n ∈ N, (n ≥
à Ecrire la phrase quantifiée qui traduit la divergence.
(un )n∈N est divergente et tend vers +∞ si et seulement si ∀M ∈ R, ∃N ∈ N/∀n ∈ N, (n ≥ N =⇒ un ≥ M )
à Ecrire la phrase quantifiée qui traduit que (un )n∈N est divergente et tend vers −∞.
ÃDonner des exemples de suites qui divergent et ne tendent pas vers +∞ ni vers −∞.
2 Exercice
Traduire en clair chacun des énoncés suivants,pour a réel fixé.
∀ε > 0, ∃N ∈ N/∀n ∈ N, (n ≥ N =⇒ |un − a| < ε)
∃N ∈ N, ∀ε > 0 ,∀n ∈ N, (n ≥ N =⇒ |un − a| ≤ ε)
II Suites extraites
1 Définition
Soient (un )n∈N et (vn )n∈N ∈ RN .
(vn )n∈N est extraite de (un )n∈N si et seulement si
il existe ϕ : N −→ N, strictement croissante telle que ∀n ∈ N, vn = uϕ(n)
Si (un )n∈N converge vers a et si (vn )n∈N est extraite de (un )n∈N alors (vn )n∈N converge vers a.
à Donner un exemple de suite divergente possédant des suites extraites convergentes.
2 Exercices
(i) Montrer que si les suites extraites (u2n )n∈N et (u2n+1 )n∈N convergent vers la même limite alors la suite
(un )n∈N converge.
(ii) Montrer que si les suites extraites (u2n )n∈N ,(u2n+1 )n∈N et (u3n )n∈N convergent alors la suite (un )n∈N
converge.Généraliser.
III Techniques de comparaison
1 Propriétés et définitions
Soient (un )n∈N et (αn )n∈N ∈ RN .
Si ∀n ∈ N, |un | ≤ αn et si (αn )n∈N tend vers 0 quand n tend vers +∞, alors (un )n∈N tend vers 0.
Soient (un )n∈N ,(vn )n∈N et (wn )n∈N ∈ RN .
Si ∀n ∈ N, un ≤ vn ≤ wn et si (un )n∈N et (wn )n∈N convergent vers la même limite a alors la suite (vn )n∈N
converge vers a.
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Chapitre 4 SUITES RÉELLES
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Révisions
Soient (un )n∈N et (vn )n∈N ∈ RN .
Si ∀n ∈ N, un ≤ vn et si (un )n∈N tend vers +∞ alors (vn )n∈N tend vers +∞.
(resp si (vn )n∈N tend vers −∞ alors (un )n∈N tend vers −∞)
Soient (un )n∈N et (αn )n∈N ∈ RN . On suppose que (αn )n∈N est une suite de réels non nuls.
-(un )n∈N est dominée par (αn )n∈N ( on note un = O(αn )) si et seulement si il existe
´ > 0 et N ∈ N
³ M
un
est bornée.
tels que : ∀n > N , |un | ≤ M. |αn | ce qui se traduit lorsque αn ne s’annule pas, par: αn
n∈N
-(un )n∈N est négligeable devant (αn )n∈N ( on note un = o(αn )) si et seulement si pour tout ² > 0,il
existe N ∈ N tel que ∀n > N , |un | ≤ ². |αn | ce qui se traduit lorsque αn ne s’annule pas, par αunn tend vers
0 quand n tend vers +∞.
Autre formulation: il existe une suite (εn )n∈N tendant vers 0 quand n tend vers +∞ telle que ∀n ∈ N,
un = εn .αn .
Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites de réels non nuls.
(un )n∈N et (vn )n∈N sont équivalentes et on note un ∼ vn ) si et seulement si
un − vn est négligeable devant un ( ou vn )
Autres formulations:
- Pratique lorsque vn ne s’annule pas,
un
vn
tend vers 1 quand n tend vers +∞.
- Théorique ∀ε > 0, ∃N, ∀n, (n > N ⇒ |un − vn | 6 ε.|vn |)
- il existe une suite (εn )n∈N tendant vers 0 quand n tend vers +∞ telle que ∀n ∈ N un = (1 + εn ).vn .
- un = vn + o(vn ) ou vn = un + o(un )
Les notations O et o sont les notations de Landau; les notations ≺ et ¿ celles de Hardy.
2 Exercices
1 Quelle propriété se traduit par un = O(1) ? un = o(1)
2 Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites de réels à termes strictement positifs, vérifiant à partir d’un certain
rang uun+1
≤ vn+1
vn . Montrer que un = O(vn )
n
3 Nature des suites et limite éventuelle:
1
a/(ln n) ln n
2
b/ 2nn
c/
1
ln(cos( n
))
1
tanh( n
)
√
n−sin n
d/ ln((n+1)
α )−ln(nα )
n
e/ sinh
en
IV Théorèmes de convergence
1 Théorème de convergence monotone
Toute suite (un )n∈N de réels croissante et majorée est convergente et lim un = sup un .
n→+∞
n∈N
Toute suite (un )n∈N de réels décroissante et minorée est convergente et lim un = inf un .
n→+∞
n∈N
2 Théorème des suites adjacentes
Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites réelles telles que (un )n∈N est croissante, (vn )n∈N est décroissante et un −vn
tend vers 0 quand n tend vers +∞. On dit que ce sont des suites adjacentes.
Alors (un )n∈N et (vn )n∈N convergent vers la même limite.
Remarquer qu’avec les hypothèses posées on a ∀n ∈ N, un ≤ vn .
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à Rappeler le théorème des segments emboı̂tés
Exemple de démonstration par dichotomie: théo des segments emboités =⇒ théorème de la borne sup
3 Théorème de Bolzano 1 - Weierstrass 2
De toute suite bornée de nombres réels on peut extraire une suite convergente
Démod par dichotomiec
V Suites un+1 = f (un )
1 Position du problème et principes de l’étude
Soit I un intervalle stable par f, application continue, soit uo ∈ I.
Alors il existe une unique suite (un )n∈N définie par la donnée de u0 et la relation de récurrence un+1 = f (un ).
Les limites finies possibles de (un )n∈N sont parmi les points fixes de f dans I qui sont les zéros de x 7→
f (x) − x.
Il est souvent utile de déterminer I de façon que I soit stable et f soit monotone sur I.
Dans ce cas,
-si f est croissante alors (un )n∈N est monotone et son sens est déterminé par le signe de u1 − u0
- si f est décroissante les suites extraites (u2n )n∈N et (u2n+1 )n∈N sont monotones de sens opposés à
déterminer en étudiant le signe de u2 − u0 .(un )n∈N converge si et seulement si (u2n )n∈N et (u2n+1 )n∈N
convergent vers la même limite.
On peut être parfois amené à étudier les points fixes de f ◦ f ( parmi lesquels se trouvent ceux de f et
d’éventuels points supplémentaires).
On doit toujours préférer des méthodes mieux adaptées à chaque exemple ( comme une étude directe de
la monotonie par un+1 − un ) à la méthode générale résumée ci-dessus.
L’utilisation de tests numériques ( calculatrice) peut aider.
2 Exemples
(i) un+1 = 12 ( un +
a
un )
(ii) un+1 = 15 ( u3n − 1) selon u0
1 Bolzano:
1781-1848 Importantes contributions à l’analyse moderne ( théorème des valeurs intermédiaires; continue 6= dérivable)
1815-1897 Importantes contributions à l’analyse moderne ( arithmétisation de l’analyse)
2 Weierstrass:
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