A et B - Moodle Poly Mtl

Cinématique plane du solide rigide – partie 2
(semaine 7)
1. Centre instantané de vitesse nulle
2. Accélération relative sur un solide en rotation
3. Mouvement relatif dans un repère tournant
© Alain Hébert, 2008
Centre instantané de vitesse nulle
Le centre instantané de vitesse nulle (Z) indique le point dans l’espace
autour duquel tournent toutes les particules du solide rigide à un instant
donné.
La vitesse d’un point A appartenant au corps rigide est donc donnée par
!
!
v A = v Z + ω × rA/Z = ω × rA/Z
Le centre instantané de vitesse nulle peut se situer sur le solide rigide ou
ailleurs.
Il n’est valable que pour l’instant considéré; à l’instant suivant, il se
situera sur un autre point de l’espace.
A
vA
En tirant une droite passant par chacun
des points du solide et perpendiculaire à la
vitesse de ce point, on trouve le centre
instantané de vitesse nulle (Z).
Note: Le centre instantané d’accélération nulle existe,
mais est différent de Z. Il ne doit pas être utilisé.
Z
Semaine 7
MEC2420
B
rA
rB
vB
1
2
Centre instantané de vitesse nulle
Le centre instantané de vitesse nulle se trouve de façon géométrique. Il y a
trois cas possibles:
!
A v
v
v A = v Z + ω × rA/Z = ω × rA/Z
A
A
v
!
v
vaω ×vrbA/Z
vA
=
! r
Z = v Z + ω × r A/Z
B
ω
=
=
B
v
ra
rb
B
v A = v Z + ω × rA/Z = ω × vrA/Z
!
v
v
a ω ×b r
vA = vZ + ω × ω
rA/Z
=
r
A/Z
=
=
! Z
ra
rb
v=
v×b=
vA +
=ω
v Z×+
ω (b)
×
ω ×(c)
rA/Z
aZr A/Z
v A =(a)v
r
ω
r
ω A/Z
=
=
Z
A/Z
va
vb
!
r
r
ω=
=v
a
v =v +ω×r
=
b ω×r
A
A
A
B
A
B
B
B
A
Z
A
A/Z
v A/Z v
ω=
=v
raAa vrbb
v
r
r
v
=
v
+
ω
×
r
=
ω × rA/Z
a
de
la grandeur de v A et v B .
b =
(a) AOn n’aZpas besoin
=
va ωA/Z
vb connaître
rb
ω=
= et vrvaAsont
parallèles, alors la deuxième droite est
(b) Si les vitesses
v
B
ra vaA rb vb
v Bdonc connaître la
celle qui relie
ω =la pointe
= v Ades deux vecteurs. Il faut
raet de rvbB .
grandeur de v Av
B
(c) Dans le cas où v A et v B sont parallèles, mais en direction opposés, le
v B de vitesse nulle se situera entre A et B.
centre instantané
a vitesse
rb le solide.
b en 2 points (A ret
a B) sur
v A connaît
= vZ +
ω × rA/Z
=vbla
ω
×
vaω =
On
l’orientation
de
= r A/Z
vB
Semaine 7
MEC2420
3
vA
vB
Exemple 5/11
Une roue roule vers la droite sans glisser, et son centre O se déplace avec
une vitesse vO = 3 m/s. Localisez le centre instantané de vitesse nulle et
utilisez le pour calculer la vitesse du point A dans la position illustrée.
!
!
!
!
!
!
!
vA
θ = 30
A r = 200 mm
v A0 = v Z + ωv×
r m/s =
0 = 3A/Z
O
va
vb
=
r = 300 mm ω =
ra
rb
vA
A
ω × rA/Z
120
1
0.200 m
O
0.300 m
Z
B contact avec la route n’a pas de vitesse
Solution: Le point (Z) de la roueven
si la roue ne glisse pas. C’est donc le centre instantané de vitesse nulle.
v =3
La vitesse angulaire de la roueOest donc donnée par
ω=
Semaine 7
vO
v
= A
OZ
AZ
MEC2420
4
OC = 0.300 m
AC =
OC = 0.300 m
Exemple
AC
=
5/11 – suite
(3)(0.436)
Application
numérique:
vA =
= 4.36 m/s(3)(0.436)
vA =
= 4.36 m/s
v0 (0.300)
= 3 m/s
(0.300)
OZ = !
0.300 m
◦
0)2 + (0.200)2 −
2(0.300)(0.200)
cos
120
AZ = (0.300)2 + (0.200)2 − 2(0.300)(0.200) cos 120◦
= 0.436 m
vA =
= 0.436 m
(3)(0.436)
= 4.36 m/s
(0.300)
(0.300)2 + (0.200)2 − 2(0.300)(0.200) cos 120◦
= 0.436 m
Semaine 7
2
2
MEC2420
5
Problème 5/95
La barre du problème 5/82 est reprise ici. En utilisant la méthode du centre
instantané de vitesse nulle, déterminez la vitesse de l’extrémité A. Les deux
extrémités restent en contact avec leurs surfaces de support respectives.
Semaine 7
MEC2420
6
Problème 5/108
Les oscillations horizontales de la ventouse à ressort E sont contrôlées en
variant la pression d’air dans le cylindre pneumatique horizontal F. Si la
ventouse a une vitesse de 2 m/s vers la droite lorsque θ = 30º, déterminez la
vitesse verticale vD du rouleau D dans le guide vertical et trouvez la vitesse
angulaire ω de la membrure ABD à cette position.
Semaine 7
MEC2420
7
Problème 5/112
La bande flexible F est attachée en E sur le secteur tournant et passe autour
de la poulie G qui lui sert de guide. Déterminez les vitesses angulaires de AD
et BD à la position montrée si la bande a une vitesse de 2 m/s.
Semaine 7
MEC2420
8
Problème 5/115
La manivelle OA a une vitesse angulaire anti-horaire θ̇ = 4 rad/s pendant
l’intervalle de temps de son déplacement. Déterminez la vitesse angulaire
de la membrure AB et du secteur BD lorsque θ = 45º, au moment où AB est
horizontal et BD est vertical.
1
Semaine 7
MEC2420
9
Problème 5/117
Le dispositif illustré sert à tester la résistance au frottement de deux
matériaux A et B. Si le lien EO a une vitesse de 1.2 m/s vers la droite
lorsque θ = 45°, déterminez la vitesse de frottement vA.!
Semaine 7
MEC2420
10
Problème 5/118
Le mouvement du galet A est contrôlé par le
mouvement descendant du poussoir E. Pendant un
certain intervalle, la vitesse de E est v = 0.2 m/s.
Déterminez la vitesse de A lorsque θ devient 90°.!
Semaine 7
MEC2420
11
Accélération relative sur un solide en rotation
Choisissons deux points, A et B, sur le même solide rigide.
!
Trajectoire
de A
!a A
!
!
!
aB
!
!
t
aB
A
rA/B
a A/ B
A
=
(a A/ B ) t
+
ω
A
n
α
aA
(a A/ B ) n
(a A/ B ) t
a A/ B
aB
"
(a A/ B ) n
d
dB!!
"
!
"
aA = d v A = d v B + ω
× r A/Bd
d
aA = dtv A = dt
+ω×
aAv B=
v ArA/B
=
vB +
!
" ω × r A/B
dt
dt
Trajectoire de B
!
"
= aB
+ α × r A/B +dt
ω ×! ω dt
× r A/B"
!
"
d = adB + α × r A/B=+ a
ωB×+ ω
×
rrA/B
α
×
A/B + ω × ω × r A/B
a
=
v
=
v
+
ω
×
r
2
On a:
A
A= a +
B αk × r A/B
− ω2 rA/B
dt = a
dt B+ αk × r A/B
!
rA/B
= −aωB +
α"k × r A/B − ω 2rA/B
B
A/B
!
= aB + α × r A/B + ω × ω × r A/B
2e
= aB + rα
e
+
rω
t
!
2 n
aB +
+ rω=
eanB + rα et + rω 2 en
= aB + αk ×=r A/B
−rα
ω 2ertA/B
!
2
(aA/B )n = v2A/B
/r = rω22 et (aA/B )t = v̇A/B = rα
=a
vB
Donc: (aA/B )n =
+/r
rα=
etrω
+ rω 2et
en (aA/B )t = v̇A/B = rα
A/B
B
aB
B
!
(aA/B )n = ω × ω × r A/B
Semaine 7
"
MEC2420
et
(aA/B )t = α × r A/B
12
ω OA = ωOAk ,
ω CB = 2k rad/s ,
Exemple 5/14
ω AB = ωAB k
!
!La manivelle CBr a =
une100
vitesse
angulaire
j mm
,
r B = −75i mm ,
A
!constante de 2 rad/s dans le sens antihoraire, durant un petit intervalle de
r A/B = −175i + 50j mm
!temps. Déterminez l’accélération
!angulaire des membrures AB et OA
ωOA k × 100
j = position.
2k × (−75i) + ωAB k × (−175i + 50j)
correspondant
à cette
!
−100ωOA i = −150j − 175ωAB j − 50ωAB i
!
!
−100ωOA + 50ωAB = 0
et
25(6 + 7ωAB ) = 0
Solution: On a déjà obtenu (Exemple 5/8):
!
ωAB = −6/7 rad/s
et
ωOA = −3/7 rad/s
où la direction positive de rotation est dans le sens anti-horaire.
L’équation vectorielle de l’accélération du point A s’écrit
aA = aB + (aA/B )n + (aA/B )t
Semaine 7
aA = αOA × r A + ω OA × (ω OA × rA)
! 3 "
! 3
"
= αOAk × 100MEC2420
j + − 7 k × − 7 k × 100j
! 3 "2
2
7
13
aA a=
)n +
aA/B
)t )t
=B a+
+A/B
(aA/B
)n (+
(aA/B
Aa
B (a
Exemple 5/14 – suite
Manivelle OA:
!
!
!
Manivelle CB:
!
!
!
Membrure AB:
!
aaAA==aaBB++((aaA/B
)nn+
)t t
+((aaA/B
A/B )
A/B )
aA aA
==
αOA
× r×
× (×
ω OA
× r×
αOA
+OA
ω OA
(ω OA
A r+
A )r A )
Aω
! 3! " "! 3!
" "
3
3
aaAA ==
α
×
r
+
ω
×
ω
×
r
(
)
rAkA100
+100
ω
×7"(−
) 100
=α
αOA
k×
jOA
+
−
kωOA
×
− 7rA−
kA×
j j
OA
=
α×
×
k
×
100
OA
OA
OA
! j! +
!
7OA
7k × "
"
!
"
"2
3!3
!×3×"2−−33kk××
2100
=
α
k
×
100
j
+
−
k
3
2 jj
=
α
k
×
100
j
+
−
k
100
OA
7
7
==
−100α
i
−
100
j
mm/s
OA−100α
7
7
i
−
100
j
mm/s
OAOA
! !3 "72
" 7
22
3 2j jmm/s
=
i
−
100
= −100α
−100αOA
i
−
100
mm/s
77
OA
a = αCB × r B + ω CB × (ω CB × rB )
aaBBB== ααCB
ωωCB
+ωωCB
BB+
BB))
CB××rr
CB××((
CB××rr
= 0+
2k × (2k
× (−
75i)
=
= 00+
+2k
2k××((2k
2k××(−
(−75i
75i))))
222
=
300
i
mm/s
=
300
i
mm/s
= 300i mm/s
$$
((aaA/B
)nn =
××rrA/B
= ωωAB
AB××%!ωωAB
AB
A/B )
A/B
"
%! 6 "
6
=
=
=
=
&&
−−767kk×× −−767kk ××((−175
−175i i+
+50
50j)j)
! !6 "2
"
2
6 2(175
50j)j) mm/s
mm/s2
(175i i−−50
77
((aaA/B
)t t =
=
A/B )
=
=
=
=
Semaine 7
##
ααAB
A/B
AB××rr
A/B
ααAB
−175
−175i i+
+50
50j)j)
ABkk××((
22
−50α
i
−
175α
j
mm/s
−50αAB
i
−
175α
j
mm/s
AB
AB
AB
−100α
−100αOA
=
OA =
MEC2420
−18.37
=
−18.37
=
429
429−−50α
50αAB
AB
−36.7
−36.7−−175α
175αAB
AB
5
5
14
(aA/B )n = ω AB × ω
2 AB × r A/B
= 300i 6mm/s
%! 6 "
&
= − 7 k × # − 7 k × (−175
$ i + 50j)
Exemple
5/14 – suite
! 6 "2
2
(aA/B )n = ω7AB(×
ω
×
r
175
i
−
50
j
mm/s
)
AB
A/B
2%!
2
" α
&
α
=
−0.1050
rad/s
et
=
−4.34
rad/s
6
6
AB
OA
− 7 k × − 7 k × (−175i + 50j)
Rappel de l’équation =
de l’accélération
! 6 "2
2
(a
)
=
αAB(175
× riA/B
t
=
−
50
j
mm/s
)
A/B
!
aA = a7B + (aA/B )n + (aA/B )t
= αAB k × (−175i + 50j)
!
(aA/B )t = αAB × r A/B
2
=
−50α
i
−
175α
j
mm/s
AB
AB
Substituons et égalons
composantes:
=lesαAB
k × (−175i + 50j)
2
!
= OA
−50α
i −−
175α
j
mm/s
−100α
=AB
429
50αAB
AB
!
!
−18.37 =
−36.7
− 175αAB
−100α
=
429
−
50α
OA
AB
−18.37 = −36.7 − 175αAB
La solution de ce système est:
αAB = −0.1050 rad/s2
et
5
αOA = −4.34 rad/s2
5
Semaine 7
MEC2420
15
Problème 5/127
La barre du problème 5/82 est reprise ici. Les extrémités de la barre de 0.4 m
restent en contact avec leurs surfaces de support respectives. L’extrémité B
a une vitesse de 0.5 m/s et une accélération de 0.3 m/s2 dans les directions
illustrées. Déterminez l’accélération angulaire de la barre et l’accélération de
l’extrémité A.
Semaine 7
MEC2420
16
Problème 5/143
Un disque avec tige centrale roule sans glisser sur une surface horizontale.
Le point O central a une vitesse de 0.8 m/s vers la droite et une accélération
de 1.4 m/s 2 vers la gauche, comme illustré. Déterminez les accélérations des
points A et D.
Semaine 7
MEC2420
17
Problème 5/149
La barre AB du problème 5/74 est reprise ici. La vitesse du point A est de 3
m/s vers la droite et est constante dans l’intervalle de temps étudié, correspondant à la configuration illustrée. Déterminez l’accélération tangentielle du point B, par rapport à sa trajectoire, et l’accélération angulaire de la
barre.
Semaine 7
MEC2420
18
Problème 5/150
Si la tige du piston circulant dans le cylindre hydraulique C a une vitesse
constante de 0.5 m/s vers le haut, calculez l’accélération du point D pour la
position où θ = 40º.
Semaine 7
MEC2420
19
Problème 5/153
Le mécanisme à quatre barres du problème 5/86 est repris ici (la quatrième
barre est le lien OC). Si la vitesse angulaire et l’accélération angulaire de la
barre OA sont de 10 rad/s et 5 rad/s2, respectivement, tous deux antihoraires, déterminez l’accélération angulaire des barres AB et BC à
l’instant représenté. (Selon la solution du problème 5/88, les vitesses
angulaires de AB et de BC sont ωBC = 4.0k rad/s et ωAB = 1.725k rad/s.)!
Semaine 7
MEC2420
20
Problème 5/155
Le mécanisme illustré sert à pousser de petites boîtes d’une ligne
d’assemblage vers un convoyeur. À la configuration illustrée, les bras OD
et CB sont en position verticale et la manivelle CB a une vitesse angulaire
constante de π rad/s en sens horaire. Déterminez l’accélération de E.
Semaine 7
MEC2420
21
Mouvement relatif dans un repère tournant
Considérons le mouvement plan d’un point A par rapport à deux repères:
XOY: repère Newtonien (ou Galiléen, c’est à dire fixe)
xBy: repère tournant, de vitesse angulaire ω
!
La position du point A est donnée par
Y
vA = 4
A
y
r A/ B
= r B + rA/B = rB + (x i + y j)
= r + (x i + y j)
!rA r=A r=B r+B r+A/B
rA/B =B rB + (x i + y j)
◦ r
θ
=
45
A
x
i
+
y
j
où
est la position de A dans
le repère xBy.
xi+ yj
La vitesse!du point
" A est donnée par
dr A
vA ≡
dt XY
!
"
d
=
(r B + (x i + y j))
dt #
XY
$
= v B + x i̇ + y j̇ + (ẋ i + ẏ j)
rB
O
= v B + ω × (x i + y j) + (ẋ i + ẏ j)
= v B + ω × r A/B + v rel
Semaine 7
v A = v B + ω × rA/B
7
MEC2420
+
v rel
x
·
θ
ω =θ
B
X
3
7
22
= v + ω × (XY
x i + y j) + (ẋ i + ẏ j)
dt d B
# v B +Bω
$ × (x i + y j) + (ẋ i + ẏ j)
=
=
+ (x i+
+vy=j))v + ω × r
(r×
Bj̇ r
v
+
ω
= v=
+
x
i̇
+
y
+
ẋ
i+
ẏ j)+Bv rel
(
=
v
+
ω
×
r A/B
A/B + v rel
rel
A/B
B dt BXY
B
$ dans
Vitesse
relative
unvrel
repère tournant
= #v
r A/B +
B+ω×
= =v Bv+
ω ×x(i̇x+i +
i+
y j̇y j+
ẏ jẏ) j)
)+
(ẋ(iẋ+
B+
v
= où
v
ω × r vitesse
+ vdu
+=
ω v×Br+
rel point
ω+
× rvAA/B
+Bv+
On a obtenu v A = v Bv A
rel
A/B
rel est laA/B
=
v
+
ω
×
r
+
v
yωrel
j)×+
ẏ rel
j)
vω
=
rA/B
(vxBià+
(ẋ i + v
Bv B +
A×
A/B
A dans le=repère
xBy,
c’est
dire:
! "
! "
! "
d
d
=
v
+
ω
×
r
+
v
d
!
"
B
rel
A/B
!
v rel
ẏ j) =
rA/B
(ẋ i +
ẋrel
iω+×
(+
)ẋ =
v
=ẏr(jA/B
i ++ẏvj)rel
=
rA/B
d r=
v Av=
rel v=
A/B
B
dt
xy
v rel = (ẋ i + ẏ j) dt
= xy dt rA/B
xy
!
v A = v B + ω ×!rA/B
" + vdt
rel xy
d
diω
dθ×ij= ω × j
Notes:vi̇ ==
ω
j
=
ω
×
i
et
−ω
i
=
i̇
=
ω
=
ω
×
ij̇ =
et
j̇
=
−ω
ẋ
i
+
ẏ
j
=
r
(
)
i̇
=
=
ω
jj = ω × i et
rel i̇ = ω j = ω × i !et
" j̇ A/B
=
−ω
i
=
ω
×
dt
xy
d
dθ dt
q On v
a utilisé
les
relations
suivantes
pour
dériver les vecteurs unitaires:
=
ẋ
i
+
ẏ
j
=
r
(
)
rel
A/B
dt xy
!
dj dθ
di dθ
! i̇ = dθ dt = ω j = ω × i et j̇ = dθ dt = −ω
7 i = ω7× j
i̇! = ω j = ω × i et j̇ = −ω i = ω × j
7
7
q Il est possible
dj dθde généraliser ce résultat à la dérivation d’un vecteur
j̇ =
=Vω
quelconque
: j
V = −ω
Vx i i+
y j×
dθ dt
!
"
#
$
#
$
7
dV
dt
=
XY
=
Semaine 7
V̇x i + V̇y j + Vx i̇ + Vy7 j̇
!
dV
dt
"
xy
+ω×V
MEC2420
23
!
"
$
d #
ω × rA/B + v rel
+
B+
Vitesse
relative
dans un repère tournant
dt
xy
%
&
!
"
drA/B
dv rel
r A/B
+ pu
ω×
+ de la vitesse relative dans un repère tournant
aurait
obtenir la formule
B + α ×On
dt
dt xy
xy
de la façon suivante:
!
"
! #
$"
B + α × r A/B + 2ω × v rel +dr A
d
vA ≡
=
r B + rA/B
dt
dt
XY
!
"XY
!
"
d$r B
d
#
=
+
r A/B
ω × ω × rA/B + v rel dt XY
dt
XY
&
XY %!
"
d
#
= v B $+
r A/B
+ ω × r A/B
+ ω × ω × r A/B + v rel
dt
xy
XY
=
$ v B + v rel + ω × r A/B
ω
× ω × r A/B + arel
car
%
#
drA/B
dt
&
= v rel
xy
9
Semaine 7
24
MEC2420
9
djv
d dt
dt
ω×
r
XYẏ j)
=v Bv+
ω "a
×A/B
i+
+!vyrel
+
(x≡
)A
(ẋ i"+
B!+
=
!
!v B#+ ω $×"r A/B + v rel
"
A
# d
$
dt
dt
XY
XY
d
v
d
v
d
dt "XY
dt
!
"
! #
A × r $" +
XY
B
!
!
"
v
a
=
v
+
ω
×
r
+
v
=
+
ω
×
r
+
v
dv B
dA= ≡v B + ωrelative
Accélération
dans
un
repère
tournant
rel
#
A/B dv B
rel A/B $ rel
dA/B
B
dt +
dt
dt
dt
+
ω × r!A/B
v
XY
XY
XY
XY
+ # ω $×"r A/B +
v$rel
" rel= !XY #
!
"
dt !XY
dt
dv B
d dt
"+ ω × r d dt+!v
XY
#
$
On
a
obtenu
v
=
v
"rel
=A
+ A/B
r
+
v
= ω
aB×XY
+
ω
×
r
+
v
+
d
B
rel
#
$
rel
A/B
A/B
dt !XY+= adt + d ωdt×"r
aB +
ω × rA/B + v rel
XY
xy
+
v
+
%
&
B
rel
A/B
#
$
dt
!
" dtpar
d& donc!donnée
L’accélération du %
point Axy
est
d
r
xy
dv
d
A/B
!r A/B +
" v rel
=
a
+
ω
×
+
%×
&
B
d
r
!
"
=
a
+
α
×
r
+
ω
+
v
=
ẋ
i
+
ẏ
j
=
r
(
)
d
v
! rel "
!dt #
A/B
B A/B
!
A/B$" drA/B
rel
d
v
xy
d
v
d
rel
dt +xy
d
aB + α × r A/B + ωA×
+adt +xyα ×
%r
&ω × !
=
+
"
a
≡
=
v
+
B
ω
×
r
+
v
A/B
dt
dt
!
"
! xy# B
drA/B rel $" dvdt
xy
A/B
! A
dt x
rel
ddt
v
d
dt
XY
XY
xy
A
=
a
+
α
×
r
+
ω
×
+
!ωj =
"ω
"
B ×=i ! et# A/B
aA ≡i̇ =
=
+−ω
ωaB
×i +
rA/B
α
rj A/B
v rel + 2ω ×
v relxy+
$+
=
ω×
×
ddt
v B XY
ddt vj̇B=
dt
dt
!
xy XY
aB + α × r A/B
× v rel++! #=
= +
ω ×a rA/B
+×vrrel $" + 2
! 2ω "
+
α
B
A/B XY ω × v rel +
ddt
v B !XY
d
dt
!
= adB #+
2ω
× vvrel
=
+ α × rω
× r+A/B
+
#
$
$"
rel +
A/B
dt
dt
XY
XY
=
aB + ! #ω ×$ rA/B + v rel $" + ω × ω × r A/B + v rel
!
#
7
d
dt
xy
#
$
%
&
ω
×
r
+
v
+
#
$
×Br+
+
v
! ω ×=ω a
!
"
#
$
A/B
A/B dt rel XY
ω × ω × drvA/B
+ v rel
drel
r
A/B
xy
rel
v
XYv
ω!× ω "
× r A/B +
% × r A/B&++
=# aB + α × r A/B$+ωω×× ω
+rel
rel
!
drdt
d
v
dt
#
$
A/B xy
rel xy
#
$
+
ω
×
ω
×
r
+
v
=
a
+
α
×
r
+
ω
×
+
#
$
rel XY
B A/B
A/B
+ ω × ω × dt
rA/Bxy
+ v rel
!
dt
+ ω × ω × r A/Bxy+ωv rel
× ω × r A/B +XY
arel
#
$
=
a
+
α
×
r
+
2
ω
×
v
+
!
B
rel
A/B
#
$
#
$
ω×
ω
×
r
+
a
%
&
= aB +A/B
α × r A/Brel+ω2×
ω×
+ ω×
A/B + arel
drrA/B
!
ω v×relrA/B
+ aωrel×
= v rel
%
&
#
$
car
drA/B
dt
%
&
xy
ω
×
ω
×
r
+
v
= v rel
d
r
rel
A/B
#
$XY
A/B
dt
= v rel
xy ω × #
ω × rA/Bdt+ v rel
a
= a + α × r A/B + 2ω × v rel+
$
xyAXY B
25
Semaine 7
+ω × #ω × rMEC2420
A/B + v rel $
=
9
XY
dtω!×
dt vωrel
B
XYr A/B +
XY
ωv× ω × rA/B + v rel
+B
×
ω
×
r
+
v
rel
"
dt
=
dt
+
ω
× r A/B +
A/B
xy
#
$
rel
XY
XY
xy
× r A/B
+ 2aω%×
vαrel×xy
+
d =
%
&
dt
dt
XY
XY
+
r
+
2
ω
×
v
+
BA/B +#v&
A/B
+
ω × Accélération
r
dr!A/B
!+
" rel
# tournant
$
$dans un$"
rel
#
relative
repère
d
r
d
d
v
A/B
dt
+ 2ω × v +
+
xy +
rel
= v rel+ v
+ ω+
× ω × r A/B + v rel
v
aω
+r+
ω
×
r
&
×Br A/B# + ω rel
× ω=× %
rel
B$×
rel
A/B
A/B
!
"
dt
XY
dt drxy
xy
dvXY
# dt dtxy xy
A/B
On a obtenu
rel $ %
& # !
ωα
× ×ωr×
rA/B
+×vω
+
+ω
+
"$
#
$
rel
A/B
×
ω
×
r
+
v
d
r
$
XY
d
v
rel XY
A/B
A/B
dt
dt
xy v + ω × ω × rrel
! 2+
ω
×+aaω
×
+ a+
avA
=
+rα
αA/B
×xy
rA/B
+ω
2ω
×
=
+
×
r
×
+
×ωr×
+
ω
×
A/B + arel
rel
B
rel
A/B
B
rA/B
v
rel
A/B
#
$#
rel XY
dt
dt xy
$
xy
où× r+
+
ω
×× rω
+
v
%
&
+
α
2
ω
×
v
+
&
9
rel
rel
A/B A/B $%+
ω
×
ω
×
r
+
v
#
XY
rel
A/B
d
r
dr$A/B
XY
A/BXOY
#
=
a
+
α
×
r
+
2
ω
×
v
+
:
accélération
du
point
B
dans
le
repère
ω×
rA/B
+
v
B
rel
= v rel
A/B
=
v
#
$
rel vXY
rel$
ω × ω × r#A/B +
#
rel dt
dt
$xy angulaire du repère xBy
XY
xy
ω
× ω × r A/B + ω
a
rel
:
vitesse
×
ω
×
r
+
a
#
$
rel
#ω × ω × r A/B +
$ v rel XY A/B
#
$
ω ×%rA/B
+
a
&
rel
:
accélération
angulaire
du
repère
a
aB +xBy
α × r A/B + 2ω × v rel+
arAA/B
= a+
+
α%
× r A/B
+
ω××rvA/B
+
ω× ω
v
& 2
ω
×
ω
+
Av=
B
rel
rel
dr×
rel
#
$
A/B
XY
XY
drA/B
&
=
v
:
vitesse
de
A
dans
le
repère
xBy
rel
+
× ω ×$r A/B + v rel
# ωdt
# = v rel
$9
drA/B
XY
xy
dt
v rel + arel : accélération
ω × ω ×=
r#A/B
dans+
levrepère
xBy
+ ω ×xy ωde
×A
rA/B
rel
$
XY
dt
xy
= a%B +ω
α××&rωA/B
2aω :+
×
vaαrel
+r # centripète
× r+
accélération
rel
$ rel +
A/B
a
=
+
×
A
B
A/B + 2ω × v
drA/B
ω × ωde×
rA/B + arel
+ α × r A/B
v rel+
: accélération
% + 2ω
=×
&
v rel
9 Coriolis
9
dt drxy
A/B
&
= v rel
9%
d
r
A/B
dt
xy
= v rel
aB + α × r A/B + 2ω × v rel+
dt
xy
aA = aB + α × r A/B + 2ω × v rel+ 9
aA = aB + α × r A/B
+ 2ω × v rel+
9
Semaine 7
MEC2420
9
26
Exemple 5/16
À l’instant représenté, le disque avec fente radiale tourne autour de O avec
une vitesse angulaire de 4 rad/s dans le sens anti-horaire, et décroît à un
taux de 10 rad/s2. Le déplacement du bloc glisseur est contrôlé séparément
r=
150
ṙ =
125
r̈ = 2025 mm/s2.
et, à l’instant considéré, r =
mm,
et 2025
150
(ṙṙ==125
) mm/s
r̈r̈ =
r=
150
125
=
2025
Déterminez la vitesse absolue et l’accélération du point A pour cette
position.
!
!
!
!
!
!
!
j
y
O
A
Solution: On attache un repère tournant
xOy au disque:
x
10
1010
i
Semaine 7
MEC2420
27
Exemple 5/16 – vitesse
v Aun
= repère
v B + tournant
ω × rA/B
+donnée
v rel par
La vitesse de A avec
est
v A = v!B + ω × rA/B + vvrel
A = v B + ω × r A/B + v rel
aA = aB + α × r A/B + 2ω × v rel+
Si B = O, cette équation se simplifie pour donner
v A = ω × r + va
relA = aB + α × r A/B + 2ω × v rel +
v A = ω × r + v rel
!
O
v
=
v
+
ω
×
r
+
v
+
v rel
où ω = 4k rad/s. Av A =vB
vAB=+ωω××rrA/B
+ vrel
A/B
aA = α × r + 2ω × v rel+ rel
!
ω
rr2+
=
α=×
r××
+
ω v×
v rel+
0.150i + 0.125i = 0.600j a
+Av0.125
iω
m/s
v A=
+
vrel
A
rel
!
!
ωω==44kk
j
y
ω ×r
vA
A
On obtient
v=
k 0.150
× 0.150
i +0.125
0.125
=0.600
0.600jj +
+ 0.125
0.125ii m/s
4k4×
i+
i i=
m/s
A=
= aB +! αv×
Ar
A/B + 2ω × v rel +
et
!
"
ω × ω × rA/B +aaArel
= aB + α × r A/B + 2ω × v rel+
ω × (ω × r) + arel aA = α × r + 2ω × v rel+
Semaine 7
MEC2420
aA = a B + α
! × r A/B +
" 2ω × v rel +
x
i
2
aA = α × r +vA
2ω=× v(0.600)
+ (0.125)2 = 0.613 m/s
rel+
!
v r el
11
11
28
2ω × v rel =
ω ×5/16
(ω ×–raccélération
) =
Exemple
arel 2 =
α×
r× r= =−10
k×
i=
−1.5
j m/s
de
A 0.150
avec
un
repère
tournant
est
×donnée
r = par
−10k × 0.150i = −1.5j
αL’accélération
−10
k 0.150
×
i=
−1.5
j m/s2 α
2
2ω2×
v
=
2(4
k
)
×
0.125
i
=
1.0
j
m/s
a
=
α
×
r
+
2
ω
×
v
+
× r=
arelk) × 0.125i = 1.0j m
) +2(4
!
rel
A
rel
ω××(2ω
v rel
ω × vα
2(4−10
k) ×k0.125
i =i 1.0
j m/s
r =
× 0.150
= −1.5
j2ω2m/s
rel× =
×
r×
(4
×k) 0.150
i) =
4k1.0
)×
2j×=r ) = 4k × (4k × 0.150i) = 4k
Ces
valent:
ωj0.6
×
(jω=
ω (×ω(×
ω
r)=
=4k=
4×k
×k
(4k
× 0.150
i)==
4×k
×
0.6
2ω
vtermes
2(4
0.125
m/s
rel
2−10k × 0.150i = −1.5j m/s2
α
×
r
=
2
arel
=r=
i km/s
arel
2.025
i×m/s
ω×
ωrel
×
=
4
(4k2× 0.150i) = 4k × 0.6
j =2= 2.025i m/s
(!a
)2.025
ω × v rel = 2(4k)2 × 0.125i = 1.0j m/s
! a2rel
2
=−2.4
2.025
i m/s
i
m/s
ω × (ω × r−2.4
4k ×2 (4k × 0.150i) = 4k × 0.6j = −2.4i m/s2
) = i m/s
!
2m/s2
a
=
2.025
i
y
−2.4
i
m/s
rel
aAa= =
α! ×
r
+
2
ω
×
v
+
ω
×
ω
×
r
+
a
(
)
rel
rel
α × r + 2ω × v + ω × (ω × r ) +aaA = α × r + 2ω × v rel + ω × (ω × r )
rel
rel
2
L’accélération totale est −2.4
donc idonnée
par
m/s
a
=
α
×
r
+
2
ω
×
v
+
ω
×
ω
×
r ) + arel
(
A
rel
aA a
= (2.025
−
−2.4)
i
+
(1.0
−
1.5)
j
! A = (2.025 − 2.4)i + (1.0 − 1.5)j
A
O
=
α × r−+−2.4)
2ω ×i v
+ ω−×1.5)
r )×+(ωarel
(ω j× ω
× r)
a=
(2.025
+2rel(1.0
A
Aa=
−0.375
i
−
0.5
j
m/s
2
= −0.375i − 0.5j m/s
!
!! !
=2 −0.375i2− 0.5j m/s2 2
aAa=et=sa
(0.375)
+
(0.5)
=
0.625
m/s
2
2est
2 par
grandeur
donnée
(0.375)
+
(0.5)
=
0.625
m/s
A
!
aA =
Semaine 7
(0.375)2 + (0.5)2 = 0.625 m/s2
MEC2420
12
2 ω × v r el
aA
ω· × r
A
a r el
x
29
Exemple 5/18
La cheville A de la manivelle AC est contrainte à se déplacer dans la rainure
de la manivelle OD. La vitesse angulaire de OD est ω = 2 rad/s dans le sens
horaire et est constante durant l’intervalle de temps étudié. Lorsque θ = 45º
avec AC horizontal, déterminez la vitesse absolue de la cheville A, sa vitesse
par rapport à la rainure dans OD, son accélération absolue et son
accélération par rapport à la rainure dans OD.
Semaine 7
MEC2420
30
Exemple 5/18 – vitesse
v A = v O + ω × r + v rel = ω × r + v rel
y
y
aA = aO + ω̇ × ry + ω × (ω × r) +
2ω × v rel + arel
= ω × (ωOO× r ) + 2ω × v relvA+ arel
PP
CC
x
x
x
=
r
v
=
AA
DD
vP =
P
45º
A/
= 22rrad/s
a d /s
v
re
l
y
x
La vitesse vA est dirigée à 45º des vitesses vP et vA/P. Les vitesses vP et vA/P
ont donc la même grandeur et:
!
rP O =
0.2252 + 0.2252 = 0.3182 m
vP = (2)(0.3182) = 0.6364 m/s
vrel ≡ vA/P = 0.6364 m/s et vA = 2(0.6364) cos 45◦ = 0.9 m/s
Semaine 7
2
(aA)n = vA
/rAC = MEC2420
(0.9)2 /0.225 = 3.6 m/s2
31
v A = v O + ω × r + v rel = ω × r + v rel
Exemple 5/18 – accélération
aA = aO + ω̇ × r + ω × (!
ω × r) 2+ 2ω × v rel
+ arel
2
rP O = 0.225 + 0.225 = 0.3182 m
= ω × (ω × r ) + 2ω × v rel + arel
y
y
(a A ) n
A
=
(
r)
vP = (2)(0.3182) = 0.6364 m/s
A
◦
v
2
2 ≡ vA/P = 0.63642 m/s et vA = 2(0.6364) cos 45 = 0
rel
(aA)n = vA45º/rAC = (0.9)
/0.225 = 3.6
2 m/s
v r el
2
2
2
x
(aA)n = vA/rAC = (0.9) /0.225
=
3.6
2m/s
2
(a
)
=
v
/r
=
(0.9)
/0.2252= 3.6
n
A
AC
A
2
2
2
2
(aA
)n = vm/s
/r3.6
= (0.9)
/0.225 = 3.6 m/s
2
2 (0.3182) =
21.2728
AC m/s
A=
ω × (ω × r(a
)|n =
= (2)
vA
/rAC = (0.9)
/0.225
PA
O)
2
2
(a A |) tω × (ω × r P O )|
a r el = (2) (0.3182) = 1.2728 m/s
|ω × (ω × r P2 O )| = (2)2(0.3182) = 1.272
2
|=
ω
×
(ω × m/s
r
)| = (2) (0.3182)
= 1.2728 m/s2
2
2
P
O
|2ω × v|rel
|
=
(2)(2)(0.6364)
2.5456
ω × (ω × rP O )| = (2) (0.3182) = 1.2728 m/s 2
|2ω × v rel| = (2)(2)(0.6364) = 2.5456 m/s
|2ω × v rel| = (2)(2)(0.6364) = 2.5456
2
◦
◦
|2
ω
×
v
|
=
(2)(2)(0.6364)
=
2.5456
m/s
2
rel
6) = arel cos
45
−
(1.2728)
+
(2.5456)
cos
45
x
|2ω × v rel[| = (2)(2)(0.6364)
=] 2.5456 m/s
◦
◦
(3.6)
=
a
cos
45
−
(1.2728)
+
(2.5456)
cos
45
[
]
◦
Calcul de arel: rel
(3.6) = arel cos 45 − [(1.2728) + (2.5456
◦
8.910
m/s
(3.6)
=⇒arelarel
cos=45
− [(1.2728)
+ (2.5456)] cos 45◦
!
⇒ arel = 8.910 m/s
2
⇒
a
=
8.910
m/s
rel
Calcul de aA:
◦ = 7.2 m/s2
= [(8.910)
+ (2.5456) ⇒
− (1.2728)
cos
45
]
m/s
rel = 8.910
(aA)t = [(8.910) +a(2.5456)
− (1.2728)
] cos 45◦ = 7.2 m/s2
!
(aA)t = [(8.910) + (2.5456) − (1.2728)] cos 4
2
2!
◦ = 7.2 m/s2
3.62 +
= 8.050
m/s
(aA)ta=
+ 7.2
(2.5456)
−
(1.2728)
cos
45
[(8.910)
]
A=
!
aA = 3.62 + 7.22 = 8.0498 m/s2
32 m/s2
Semaine 7
MEC2420
!
aA = 3.62 + 7.22 = 8.050
Exemple
Considérons une allée de quille disposée sur le rayon d’un restaurant
tournant de vitesse angulaire constante ω dans la direction anti-horaire. La
boule est lancée avec une vitesse vrel sur l’allée. Dans quelle direction de
l’allée la boule sera-elle déviée par l’effet de Coriolis?
ω
DCL
vrel
A
DCE
O
mA(2ω x vrel)
mA arel
mA(ω x (ω x rA/O))
Semaine 7
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33
θ̇
Problème 5/157
x
θ̇
Le disque tourne autour d’un axe fixe en O avec une vitesse angulaire ω = 5
rad/s et une accélération angulaire α = 3 rad/s2 à l’instant représenté, dans
θ̇
x Le mobile A seẋ déplace dans une rainure droite.
les directions
illustrées.
Déterminez la vitesse absolue et l’accélération absolue de A à cet instant,
lorsque x = 36 mm, ẋ = –100 mm/s, et ẍ = 150 mm/s2.
ẋ
ẍ
ẍ
1
1
1
Semaine 7
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34
ḃ = 0.6
Problème 5/160
b̈ = −0.3
ḃ = 0.6
b̈ = −0.3
Le disque roule sans glisser sur la surface horizontale
et, à l’instant
u et l’accélération illustrée dans la
représenté, son centre O a la vitesse
figure. À cet instant, la particule A avance à la vitesse u , relativement au
disque, qui décroît à un taux de u̇ , relativement au disque. Calculez la
vitesse absolue et l’accélération absolue de la particule
u̇ A.
13
13
Semaine 7
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35
Problème 5/167
θ = 30◦
◦
b
θ = à30
Le camion de pompier se déplace
une vitesse de 60 km/h et est en
θ =vers
30◦le
décélération à un taux de 3 m/s 2. Simultanément, l’échelle est pivotée
ḃ = 0.6 l’angle θ = 30◦
b À l’instant considéré,
haut et sa longueur est augmentée.
et augmente à un taux constant de 10 deg/s. À cet instant, la longueur b de
2
l’extension est de 1.5 m, avec ḃ = 0.6 m/s et b̈ = −0.3 m/s . À cet instant,
b
calculez l’accélération de l’extrémité A de l’échelle (a) par rapport au
camion
ḃ =
0.6
et (b) par rapport à la route. b̈ = −0.3
ḃ = 0.6
b̈ = −0.3
b̈ = −0.3
13
13
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36
Problème 5/168
Un véhicule A circule à haute vitesse le long d’une route B, parfaitement
droite, et tangente à la surface de la terre sur l’équateur. La route n’a aucune
côte dans le plan vertical. Déterminez la vitesse vrel du véhicule, relative à la
route, qui va annuler toute accélération dans le plan vertical. Supposez que
le centre de la terre n’a aucune accélération.
Semaine 7
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37
b =b̈ 0.6
= −0.3
ḃ = 0.6 b̈ = −0.3
Problème
5/173
b̈ = −0.3
u
b̈ = −0.3
u
Une allée de quille est orientée dans la direction
u u̇ A est lancée
nord-sud, comme illustré. Une boule
u
à une vitesse v selon la ligneu̇médiane de l’allée.
u̇ δ en fin de
La boule va subir un déplacement
δ Coriolis. Trouvez
parcours, à causeu̇de l’effet de
une expression générale pour δθ. L’allée
= 40◦de quille
◦
δ
est située à une latitude
θ dans
= 40l’hémisphère
nord. Évaluez votre expression
L = 18 m,
θ = lorsque
40◦
◦
v = 4.5 m/s et θ = 40 . Les joueurs
préféreraient-ils une allée orientée est-ouest?
Bien décrire vos hypothèses.
13
13
13
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Semaine 7
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38
Problème 5/179
À l’instant représenté, la manivelle CB tourne dans le sens anti-horaire à
un taux de N = 4 rad/s, et la goupille A cause une rotation horaire de la
plaque rainurée ODE. Déterminez la vitesse angulaire ω et l’accélération
angulaire α de ODE à cet instant.
Semaine 7
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39