Croissance et extremums Jacques Paradis Professeur Plan de la rencontre Éléments de compétence Croissance et décroissance Lien entre la croissance et la dérivée Maximum et minimum relatifs Maximum et minimum absolus Test de la dérivée première Tableau de variation relatif à f’ Exemples et exercices Département de mathématiques 2 Éléments de compétence Reconnaître et décrire les caractéristiques d'une fonction représentée sous forme d'expression symbolique ou sous forme graphique Utiliser la dérivée et les notions connexes pour analyser les variations d'une fonction et tracer son graphique Relier la croissance ou la décroissance d’une fonction au signe de sa dérivée Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance Déterminer les maximums et minimums de f Construire un tableau de variation relatif à f’ Utiliser le test de la dérivée première Donner une esquisse du graphique de f Département de mathématiques 3 Croissance et décroissance (1 de 2) Soit une fonction f définie sur un intervalle I f est croissante sur I si x1 , x2 I on a que x1 < x2 f (x1) < f (x2) f est décroissante sur I si x1 , x2 I on a que x1 < x2 f (x1) > f (x2) Département de mathématiques 4 Croissance et décroissance (2 de 2) Croissance et décroissance et signe de la dérivée première (x) > 0 sur ]a,b[ f(x) croissante sur [a,b] f’ (x) < 0 sur ]a,b[ f (x) décroissante sur [a,b] f’ m>0 m<0 Département de mathématiques 5 Maximum et minimum relatifs Soit I un intervalle ouvert autour d’un point c du domaine d’une fonction f, alors f(c) est un maximum relatif ssi f(c) f(x) x I 2) minimum relatif ssi f(c) f(x) x I • 1) max relatif (c , f(c) • max relatif min relatif • • min relatif • min relatif (c , f(c) Remarque : Pour une borne, on peut limiter I à un intervalle ouvert d’un seul côté de c (plutôt qu’autour) Département de mathématiques 6 Maximum et minimum absolus Soit une fonction f définie sur son domaine D, alors f(c) est un 1) maximum absolu ssi f(c) f(x) x D 2) minimum absolu ssi f(c) f(x) x D • max rel et absolu (c , f(c) (c , f(c) • max rel min rel • • min rel • min rel et absolu Remarque : Il peut arriver qu’une fonction n’aie pas de maximum ou minimum absolu. Département de mathématiques 7 Maximum / minimum et dérivée Si une fonction f atteint un extremum relatif en une valeur c de son domaine, alors : max rel f’(c) = 0 ou f’(c) n’existe pas (La courbe possède un maximum relatif qui est un maximum absolu, mais elle possède un minimum relatif qui n’est pas un minimum absolu) m=0 Pas de dérivée min rel Nombre critique de f : une valeur c du domaine de f pour laquelle f’(c) = 0 ou f’(c) n’existe pas. (Un maximum ou un minimum potentiel)* Département de mathématiques 8 Définitions Le point (c,f’(c)) est un point stationnaire de f si f’(c) = 0. Le point (c,f’(c)) est un point de rebroussement de f si en ce point la tangente est verticale et f’(x) change de signe autour de x = c. Le point (c,f’(c)) est un point anguleux de f si en ce point les portions de courbes admettent deux tangentes distinctes. Département de mathématiques 9 Test de la dérivée première Soit f une fonction continue sur un intervalle ouvert I et c I, un nombre critique de f (f’(c) = 0 ou f’(x) n’existe pas), 1) Si f’(x) passe de + à – lorsque x passe de cà c+, alors (c , f(c)) est un point de maximum relatif de f. 2) Si f’(x) passe de – à + lorsque x passe de cà c+, alors (c , f(c)) est un point de minimum relatif de f. Département de mathématiques 10 Test de la dérivée première (Illustration) Soit une fonction f définie sur [a , b] Remarque : a et b, les bornes, sont automatiquement des nombres critiques car la dérivée n’y existe pas. Département de mathématiques 11 Tableau de variation relatif à f’ Borne inférieure Valeurs de x Nombres critiques Borne supérieure x Valeurs de f’(x) f’(x) Valeurs de f(x) f(x) max ou min Pour une fonction définie sur un intervalle : -----Département de mathématiques 12 Exemple 1 Déterminer les intervalles de croissance, de décroissance, les points de maximum relatif, les points de minimum relatif, le point de maximum absolu et le point de minimum absolu de la fonction f(x) = x3 – 48x. Étape 1 : Donner le domaine de la fonction Étape 2 : Trouver f’(x) et factoriser, si possible Étape 3 : Identifier les nombres critiques de f Étape 4 : Compléter le tableau de variation relatif à f’ Étape 5 : Donner une esquisse du graphique de f x - f’(x) f(x) Département de mathématiques -4 + 0 4 0 128 -128 max min + 13 Exemple 2 Déterminer les intervalles de croissance, de décroissance, les points de maximum relatif, les points de minimum relatif, le point de maximum absolu et le point de minimum absolu de f(x) = x4 - 14x2 + 24x + 4 définie sur [-4 , 3]. x -4 f’(x) f(x) -3 0 1 + 0 2 0 3 + -60 -113 15 12 31 max min max min max Département de mathématiques 14 Exercice 1 Déterminer les intervalles de croissance, de décroissance, les points de maximum relatif, les points de minimum relatif, le point de maximum absolu et le point de minimum absolu de f(x) = x4 – 8x3 + 18x2 + 1. x f’(x) - 0 f(x) 0 1 3 + 0 + 28 min Département de mathématiques 15 Exemple 3 Déterminer les intervalles de croissance, de décroissance, les points de maximum relatif, les points de minimum relatif, le point de maximum absolu et le point de minimum absolu de f(x) = 3 x 2 4x . x f’(x) - 0 f(x) 2 0 0 -1,6 4 + + 0 min Département de mathématiques 16 Exercice 2 Déterminer les intervalles de croissance, de décroissance, les points de maximum relatif, les points de minimum relatif, le point de maximum absolu et le point de minimum absolu de f(x) = x 2 x 6 3. x f’(x) - -3 f(x) Département de mathématiques 2 + -3 -3 min min 17 Devoir Série 6.1, page 230, nos 1,3, 5, 6 et 8. Ex. récapitulatifs, page 284, nos 1, 2 et 3. f sur - ; -0,41] [2,41 ; ; f sur [-0,41 ; 2,41]; max. rel. : (-0,41 ; 4,31); min. rel. : (2,41 ; -18,31) 1d) f sur - , 3] ; f sur [3 , ; max. : aucun; min. rel. : (3 , 4). 1f) f sur [0 , 2] ; f sur [2 , 5]; max. rel. : (0 , 2) et (5 , 67); min. rel. : (2 , -14). 1h) f sur [-2 , -1] [1 , 2 ]; f sur [-1 , 1]; max. rel. : (-2 , 0) et (1 , 3); min. rel. : (2 , 0) et (-1 , -3). 1b) Département de mathématiques 18