Sessions Exercice 1 On donne l`expression numérique : A = 2 × 10 2

Sessions
Exercice 1 On donne l’expression numérique :
A = 2 × 102 + 101 + 10−1 + 2 × 10−2
1. Donner l’écriture décimale de A.
2. Donner l’écriture scientifique de A.
3. Écrire A sous la forme d’un produit d’un nombre entier par une puissance de 10.
4. Écrire A sous la forme d’une somme d’un nombre entier et d’une fraction irréductible inférieure à 1.
√
1+ 5
.
Exercice 2 On donne le nombre N =
2
1. Comparer N + 1 et N 2 .
N
2. En déduire que N − 1 =
.
N +1
Exercice 3 Factoriser :
1. x2 − 10x + 25 − (x − 5)(2x + 3)
2. (3x − 2)2 − (2x − 1)2
3. (3x − 2)2 + 10 − 15x
4. (x2 − 5)2 − 16
5. (2x − 5)(x + 2) − x2 − 4x − 4
6. 9x2 − (3x + 2)2 − 4
7. (2x + 3)2 − 2(2x + 3)(x − 1) + (x − 1)2
Exercice 4 Calculer x2 +
1
x2
dans le cas où x +
1
x
= 3.
Exercice 5 On donne E(x) = (2x − 1)2 + (x − 2)(1 − 2x) et F (x) = ax2 +
bx − 2.
1. Factoriser E(x).
2. Calculer a et b pour que F (1) = 5 et F (−2) = 20.
3. Soit Q(x) = 6x2 + x − 2. Vérifier que Q(x) = (2x − 1)(3x + 2).
E(x)
4. Soit P (x) =
.
Q(x)
(a) Pour quelles valeurs de x, P (x) est-il défini ? Simplifier P (x).
1
(b) Résoudre l’équation P (x) = 0.
(c) L’équation P (x) =
Exercice 6
et 112.
3
7
a-t-elle une solution ?
1. Calculer le plus grand commun diviseur (PGCD) de 154
2. Simplifier la fraction
3. On pose m =
154
112
+
154
112
pour la rendre irréductible.
1
.
8
(a) Écrire le nombre m sous forme d’une fraction irréductible.
(b) Le nombre m est-il décimal ? Justifier.
Exercice 7 Choisir, en justifiant, la bonne réponse.
2
1
1
1. Si x + = 5 alors x +
=
x
x
(a) 23
(b) 25
(c) 50
a+1 a
4
5
2.
×
=
5
4
(a) 8 × 101
(b) 12a+1
(c) 8 × 10−1
3. Les entiers naturels, solutions de l’inéquation 3x − 1 < 8 sont
(a) 1; 2; 3
(b) 0; 1; 2; 3
(c) 0; 1; 2
4 3 10
4. − ×
=
5 5
6
−1
(a)
5
26
(b)
25
1
(c)
3
5. 314 − 312 =
(a) 32
(b) 312 × 8
2
(c) 6
Exercice 8
réel.
1. Résoudre l’inéquation 2x+3 > 5x−14 où x est un nombre
2. Dans cette question, x désigne un entier positif non nul vérifiant l’inéquation
2x + 3 > 5x − 14. Calculer toutes les valeurs de x.
Exercice 9 Pour équiper une salle de réunion, M. Dupont achète des chaises
et des tabourets.
– Chaque chaise coute 200 F et chaque tabouret coute 80 F. Il paie au
total 6600 F.
– Il a acheté 5 chaises de plus que de tabourets.
Quel est le nombre de chaises et le nombre de tabourets achetés par M. Dupont ?
A
Exercice 10
1. On pose A = 52 + 14 , B = 25 − 41 et C = B
. Écrire le
nombre C sous la forme d’une fraction irréductible.
526
2
2. On pose D = (23 ) , E = 45 × 35 et F = 1 . Écrire D, E et F sous la
57
forme d’une puissance d’un nombre entier.
√
√
√
√
3. Soit G = 5 32 + 18 − 4 50. Écrire G sous la forme a 2.
Exercice 11 On donne A = 3 × 102 + 2 × 101 + 10−1 + 5 × 10−3 .
1. Donner l’écriture décimale de A.
2. Donner l’écriture scientifique de A.
3. Écrire A sous la forme d’un produit d’un nombre entier par une puissance de 10.
4. Écrire A sous la forme d’une somme d’un nombre entier et d’une fraction irréductible inférieure à 1.
Exercice 12
1. Soit a = 108, b = 270, m = P P CM (a, b) et d = P GCD(a, b).
Calculer m et d puis comparer ab et md.
2. Calculer x sachant que P P CM (18, x) = 126 et P GCD(18, x) = 3.
3. On dit que deux nombres a et b sont premiers entre eux si P GCD(a, b) =
1. Quel est alors leur P P CM ?
√ 3
√
Exercice 13 √
1. A,√B, C sont trois points tel que AB = 28, AC = 2 7
et BC = 2 6 × 42. Les points A, B et C sont-ils alignés ?
3
3 2
2. Simplifier D = 10
√
−2
√
4
× 10 , E = (2 7) , F =
39 × 3−1
.
33
√
2 × 18
et G =
2
Exercice 14 Simplifier l’expression (2x + 1)2 − (2x − 1)2 et déduire 20012 −
19992 sans calculatrice.
√
Exercice 15
1. Comparer, sans calculatrice, les nombres 3 5 et 6.
√
2. Développer (6 − 3 5)2 .
q
√
3. En déduire une écriture du numbre 81 − 36 5 au moyen d’un seul
radical.
Exercice 16
1. Calculer le P GCD des nombres 325 et 1053 puis écrire
325
sous forme de fraction irréductible le nombre
.
1053
325
2. Résoudre l’équation x2 =
.
1053
Exercice 17 Dans un jardin, le tiers de la surface est recouvert par des
fleurs, un sixième par des plantes vertes et le reste, soit 150 m2 , est occupé
par de la pelouse.
On désigne par x l’aire, en m2 , de ce jardin.
1. Traduire cet énoncé par une équation.
2. Calculer l’aire du jardin.
Exercice 18
1. Lorsqu’on retranche une même nombre x au numérateur
et au dénominateur de la fraction 53 , on obtient 35 . Quel est ce nombre
x?
2. Aujourd’hui, Marc a 11 ans et Pierre a 26 ans. Dans combien d’années
l’âge de Pierre sera-t-il le double de celui de Marc ?
q
q
√
√
Exercice 19 Soit x = 6 − 2 5 − 6 + 2 5. Calculer x2 et en déduire
que x = −2.
Exercice 20 Le périmètre d’un rectangle est 140 mm. En doublant la largeur
initiale et en retranchant 7 mm à la longueur initiale, on obtient un nouveau
rectangle dont le périmètre est 176 mm. Calculer les dimensions (longueur
et largeur) du rectangle initiale.
4
Exercice 21 Plusieurs élèves se cotisent pour faire un cadeau à un ami qui
est à l’hopital. Si chacun d’eux verse 61 euros, alors il manque 28 euros. Mais
si chacun d’eux verse 70 euros, alors il y a 35 euros de trop. En appelant x
le nombre d’élèves et y le prix du cadeau, calculer le nombre d’élèves et ce
que chacun doit payer.
Exercice 22 Un commerçant achète des boites de chocolat et des boites de
bonbons. Une bpite de chocolat pèse 400 g et coute 2400 LL, alors qu’une
boite de bonbons pèse 200 g et coute 800 LL. La masse totale de ces boites
est 4000 g et leur prix total est 21600 LL. Trouver le nombre de boites de
chaque genre.
Exercice 23 Un fermier, à qui on demande combien il a vendu de poulets
et de lapins, répond 12 têtes et 30 pattes . Quel est le nombre de poulets
et de lapins vendus ?
Exercice 24 Soit (C) un cercle de centre O et [AB] une corde. Montrer que
la médiatrice de [AB] passe par O.
Exercice 25 L’aire d’un disque (cercle) est 530.66 cm2 . Calculer son diamètre
et son périmètre.
Exercice 26 Deux cercles (C) et (C 0 ) de centres O et O0 respectivement se
coupent en A et B. Démontrer que (OO0 ) est la médiatrice de [AB].
Exercice 27 Soit (C) un cercle de centre O et soient [AB] et [AC] deux
cordes perpendiculaires. Soient I et K les milieux respectives de [AB] et [AC].
Montrer que OIAK est un rectangle.
Exercice 28 ARC est un triangle rectangle en A tel que CR = 10 et AC =
6. Calcule les longueurs des trois médianes de ce triangle.
Exercice 29 ABC est un triangle tel que AB = 6, AC = 10 et BC = 8.
Montrer que ABC est un triangle rectangle en B.
Exercice 30 ABCD est un carré de côté 12 cm. P est le milieu de [CD] et
N le point de [BC] tel que CN = 3 cm. Démontrer que le triangle AN P est
rectangle.
Exercice 31 ABCD est un trapèze rectangle en A et B tel que AD = 7 cm,
BC = 4 cm et AC = 5.5 cm. Calcule le périmètre de ce trapèze.
5
Exercice 32 Soit M AN et√Y ES deux triangles √
rectangles en A et√E respectivement tel que M A = 7, AN = 3, Y E = 7 − 1 et ES = 7 + 1.
Montrer que M N = Y S.
Exercice 33 I et J sont les milieux respectifs des côtés [AB] et [AC] d’un
triangle ABC. Soit E le milieu de [BI] et F celui de [CJ]. Démontrer que
3
EF = BC.
4
Exercice 34 Au premier trimestre, Sarah a fait 4 devoirs en mathématiques.
Aux trois derniers devoirs, elle a obtenu sur 20 les notes suivantes : 12, 8,
11.
Elle ne souvient plus de sa premère nore. Ce sont elle est sûr, par contre,
c’est que sa moyenne du premier trimestre est supérieure ou égale à 10 mais
strictement inférieure à 11.
Sachant que le professeur ne met que des notes entières, trouver les notes
possibles pour ce premier devoir.
Exercice 35 On donne le polynome P (x) = 4 − x2 + (x − 2)(2x + 3).
1. Écrire P (x) sous forme de produit de facteurs du premier degré en x.
2. En déduire les racines de P (x).
3. Développer et réduire P (x).
√
4. Calculer P ( 2) et simplifier la réponse obtenue.
5. Démontrer que P (x) + 2 = x(x − 1). En déduire les solutions de
l’équation P (x) = −2.
Exercice 36 Trois nombres a, b et c sont respectivement proposrtionnels aux
nombres 4, 5 et 9. Calculer a, b et c sachant que a − 2b + 3c = 210.
Exercice 37 On considère les nombres a =
1 2
2
1
3
,b=
−2
p
√
(7 + 4 2)(7 − 4 2) + (−3)2
√
c=
. Calculer a, b et c.
52 − 42
et
3 × 10−5
8 × 102 × 2.5 × 10−7
√
Exercice 38 On donne le polynome P (x) = (3x − m)(4x + 7) − 9x2 + 25.
1. Calculer m pour que (−2) soit racine de ce polynome.
2. On suppose m = 5. Factoriser P (x) et en déduire ses racines.
√
√
Exercice 39 Soit un rectangle de dimensions x = 4 + 2 3 et y = 8 + 3.
6
1. Préciser la longueur et la largeur de ce rectangle.
2. Calculer l’aire de ce rectangle.
√
3. Comparer l’aire de ce rectangle à celle d’un carré de côté 5 + 2 3.
Exercice 40 Calculer, sans calculatrice, 345678902 − 34567891 × 34567889.
Exercice 41 On donne les deux polynomes P (x) = x2 + 2x − 3 et Q(x) =
(x + 1)2 − a.
1. Calculer a pour que ces deux polynomes soient identiques.
2. Utiliser le résultat précédent pour trouver les racines de P (x).
√
3. Vérifier que P ( 5 − 1) est un nombre entier.
p
Exercice
42
Soit
n
un
entier
naturel.
Démontrer
l’identité
(n + 1)2 +
√
n2 = (n + 1)2 − n2 .
√ 2
7) et
Exercice 43
1.
Effectuer
et
réduire
les
expressions
A
=
(5
+
2
√
B = (5 − 2 7)2 .
√
√
53 + 20 7 53 − 20 7
√ −
√ .
2. Calculer E =
5+2 7
5−2 7
q
√
3. Exprimer C = 53 − 20 7 au moyen d’un seul radical.
Exercice 44 Soit n un entier naturel non nul.
1
1
1
1. Démontrer l’égalité −
=
.
n n+1
n(n + 1)
2. Utiliser l’égalité précédente pour calculer
1
1
1
1
1
1
E=
+
+
+ ··· +
+
+
1×2 2×3 3×4
7 × 8 8 × 9 9 × 10
√
√
6+ 2
, BC =
Exercice 45 On considère un triangle ABC tel que AB =
2
q
√
√
2 + 3 et AC = 1 + 3. Démontrer que ABC est un triangle rectangle
isocèle.
Exercice 46 Sur la couverture d’un livre de géométrie sont dessinées 18
figures : celles-ci sont des triangles ou des rectangles qui n’ont aucun sommet
commun. Combien y a-t-il de triangles et de rectangles sachant que l’on peut
compter 65 sommets sur cette couverture ?
Exercice 47 On considère l’inéquation
7
7 − 2x
2x − 1
≥1−
.
4
8
1. Résoudre cette inéquation puis représenter les solutions sur un axe.
2. Quels sont les entiers naturels solutions de cette inéquaton.
10n + 10−n
10n + 10−n
et B =
2
2
où n est un nombre entier. Démontrer que A2 − B 2 = 1.
Exercice 48 On considère les expressions A =
Exercice 49 Les côtés d’un triangle ABC ont pour mesure AB = 3x + 6,
AC = 4x + 8 et BC = 5x + 10 où x désigne un nombre réel positif.
1. Démontrer que ABC est un triangle rectangle en A.
12
2. Soit [AH] la hauteur relative à [BC]. Démontrer que AH = (x + 2).
5
√
3. Pour x = 2, Calculer l’aire du triangle ABC.
Exercice 50 La largeur x et la longueur y d’un rectangle sont proportionnelles aux nombres 4 et 6. Si l’on augmente la largeur de 3 cm et la longueur
de 4 cm, alors l’aire de ce rectangle augmentera de 63 cm2 . Calculer x et y.1
Exercice 51 Soit ABCD un quadrilatère et soient I, J, G, F les mileux
respectives de [AB], [BC], [AD] et [CD]. Démotre que IJF G est un parallélogramme.
Exercice 52 Soit ABCD un parallélogramme et soit Q le point d’intersec\ et ABC.
[ Démontre que ABQ est
tion des bissectrices intérieures de DAB
un triangle rectangle.
Exercice 53 Soient ABC et JAC deux triangles rectangles en B et J respectivement. Démontre que ces 4 points appartiennent à un même cercle
(c.à.d. sont cocylciques) dont on déterminera le diamètre.
Exercice 54 Dans une soirée, la moitié des participants ont bu seulement
de la limonade, le tiers ont bu seulement du cola, 15 personnes n’ont bu rien
et personne n’a bu les deux. Combien de personnes y en a t-il dans cette
soirée ?
Exercice 55 Le prix d’un chemise est 48$. Après le solde son prix devient
41$, quel est le pourcentage de réduction ?
Exercice 56 L’aire d’un rectangle est 1100. Que devient l’aire de cette rectangle si sa longueur augmente de 10% et sa largeur diminue de 10% ?
Exercice 57 Écrit le nombre 2.142857 sous forme d’une fraction irréductible.
8
Exercice 58
1. Déterminer les nombres m, n et p pour que les polynomes
suivant soient identiques : p(x) = (x + m)2 + 2x − 3m et q(x) = mx2 +
2nx + p.
2. Déterminer les nombres m, n et p pour que le polynome R(t) = mt2 −
3t + n − pt + 4t2 soit identiquement nul.
Exercice 59 Résoudre 4(2x + 7)2 = 9(x + 3)2
Exercice 60 Le professeur de mathématiques propose à un élève 20 questions. Le bareme attribut 4 points à chaque réponse juste et −2 points à
chaque réponse fausse. Si la note finale de l’élève est 32 points, trouve le
nombre de réponses justes.
Exercice 61 A fin d’encourager son fils à étudier les maths, un père propose
à son fils de lui donner 1000 LL pour chaque problème correctement résolus
mais il prend de lui 500LL dans le cas contraire. Après 30 probèmes chacun
a donné autant qu’il a recu. Combien de problèmes l’enfant a-t-il résolus
correctement ?
Exercice 62
1. Simplifie
a10 −a9
a8 −a7
2007
+ a2
2. Simplifie 102007 + (−10)
3. Simplifie
10−2 ×104
0.252006 ×42007
Exercice 63 √
1. Effectuer et réduire les
√ expressions suivantes :
A = (5 + 2 7)2 et B = (5 − 2 7)2
2. Utiliser les résultats précédents pour calculer l’expression
√
√
53 + 20 7 53 − 20 7
√ −
√
E=
5+2 7
5−2 7
q
√
3. Exprimer le nombre C = 53 − 20 7 au moyen d’un seul radical.
Exercice 64 On donne les deux polynomes :
P (x) = x2 + 2x − 3 et
Q(x) = (x + 1)2 − a.
1. Calculer a pour que ces deux polynomes soient identiques.
2. Utiliser le résultat précédent pour trouver les racines de P (x).
√
3. Vérifier que P ( 5 − 1) est un nombre entier.
Exercice 65 Dans un magasin, Sarah a acheté 6 livres et 2 stylos pour 118
$. Celine a acheté 12 livres et 9 stylos pour 261 $. Quel est le prix d’un livre
et d’un stylo ?
9
Exercice 66 Une personne achète à crédit un ordinateur à 1 200 000 LL. Il
verse en premier paiement le quart du prix. Le reste du prix sera payé en 10
versements mensuels. Certains de ces versements sont de 150 000 LL chacun
et les autres de 50 000 LL chacun.
1. Calculer le premier paiement puis le reste du prix de l’ordinateur.
2. Calculer le nombre des versements de 150 000 LL et celui des versements de 50 000LL.
Exercice 67
1. Résoudre le système suivant :
−2x + 5 ≥ x − 4
x
> −x + 32
2
2. Le nombre −2 est-il solution de ce système ?
3. Quelles sont les solutions entières de ce système ?
Exercice 68 Établir l’identité (cos x − sin x)2 +
2 tan x
=1
1 + tan2 x
Exercice 69 Dans la figure ci-contre :
M E = 4, EN = 3, EP = 4.5, EQ = 6 et P Q = 7.5.
1. Montrer que les droites (P Q) et (M N ) sont parallèles.
2. Calculer M N .
3. Démontrer que P EQ est un triangle rectangle en E.
[ et en déduire, à un degré près, la mesure de l’angle
4. Calculer sin EQP
[.
EQP
10
Exercice 70 On considère un demi-cercle (C), de diamètre [AB], de centre
O et de rayon R. Soit E le milieu de [OA]. La médiatrice de [OA] coupe le
demi-cercle (C) en F . Une corde [AM ] coupe le segment [EF ] en K.
1. Faire une figure.
2. Montrer que AF = R.
3. Calculer en fonction de R l’aire du triangle AF B.
4. Démontrer que les deux triangles AKE et ABM sont semblables et en
déduire que AK × AM = R2 .
5. Démontrer que le quadrilatère EKM B est inscriptible dans un cercle
(C 0 ) dont on précisera le centre G.
6. On désigne par H le projeté orthogonal de G sur (AB). Calculer BH
en fonction de R.
Exercice 71 Résoudre l’inéquation (3x + 1)2 ≥ −(2 − x)(9x + 5)
Exercice 72 On donne les polynômes :
P (x) = (3x − 5)2 − 4(x + 1)2 et Q(x) = (5x − 3)2 + (2x − 8)(3 − 5x). Soit
P (x)
F (x) = Q(x)
.
1. Factoriser P (x) et Q(x).
2. Pour quelles valeurs de x l’expression F (x) est-elle définie ?
3. Simplifier F (x).
√
4. Calculer F ( 5). Donner le résultat sans radical au dénominateur.
Exercice 73 Un père a 24 ans de plu que son fil. Dans 8 ans, l’âge du père
sera le triple de celui de son fils. Quel est leur âge actuel ?
Exercice 74 Les élèves d’une école sont répartis de la manière suivantes :
55 % au cycle primaire
1
au cycle moyen
5
120 élèves au cycle secondaire
1. Quel est le pourcentage des élèves au cycle secondaires ?
2. Calculer le nombre d’élèves de cette école.
Exercice
√ 75√On considère
qun triangle ABC tel que :
√
√
6+ 2
AB =
, BC = 2 + 3 et AC = 1 + 3.
2
Démontrer que ABC est un triangle rectangle isocèle.
11
Exercice 76 Dans le plan d’un repère orthonormé d’axes x0 Ox, y 0 Oy, On
−1
considère le point C(0; 3) et la droite (D) d’équation y =
x − 2.
2
1. La droite (D) coupe y 0 Oy en A et l’acxe x0 Ox en B. Calculer les coordonnées de A et de B, puis tracer (D).
2. La perpendiculaire (D0 ) menée de C à (D) coupe (D) en H. Déterminer
l’équation de (D0 ) vérifier que H est le milieu de [AB].
3. (D0 ) coupe x0 Ox en E. Démontrer que (AE) et (BC) sont perpendiculaires.
−→
4. Soit F l’image de C par la translation de vecteur BA. Calculer les
coordonnées de F .
−−−→
5. Calculer tan ABO de deux manières différentes.
Exercice 77 On considère un cercle (C) de centre O, de rayon R et de
diamètre [AB]. On désigne par (D) la tangente en B au cercle (C). Soit M
un point quelconque de (D). La perpendiculaire menée de A à (AM ) coupe
(D) en N .
1. Faire une figure.
2. Démontrer que BM × BN = 4R2 .
3. La parallèle menée de O à (AN ) coupe [AM ] en E et [BN ] en F .
(a) Démontrer que F est le milieu de [BN ].
(b) Démontrer que les deux triangles AOE et AM B sont semblables.
En déduire que AE × AM = 2R2 .
(c) Démontrer que (OM ) est perpendiculaire à (AF ).
4. On désigne par I le milieu de [OM ].
(a) Démontrer que les quatre points O, B, M , E appartiennent à un
même cercle de centre I.
(b) Trouver le lieu géométrique de I lorsque M se déplace sur (D).
r
r
√
50
36 √
1
,B=3
×
− 125 + 2 80 et C =
Exercice 78 Soit A = √
72
45
44.4
√
√ 2
2 7−3 5 .
1. Écrire A sous forme d’une fraction irréductible.
2. Donner la notation scientifique de A.
3. Simplifier B et C.
q
√
4. Simplifier 73 − 12 35.
12
5. Donner la valeur approchée de B à 10−3 près.
√
√
2
2
5
5
√ − √ + 3 11 − 2 3 11 + 2 .
Exercice 79
1. Effectue et réduis √ + √
3
2
3
2
√
√
x x−y y
2. Soit x > 0 et y > 0 tels que x 6= y. Simplifier √
√ .
x− y
2
3. Résoudre l’équation x2 − 5 = 16.
Exercice 80
1. Calculer le plus grand commun diviseur (PGCD) de 154
et 112.
pour la rendre irréductible.
2. Simplifier la fraction 154
112
154
1
3. On pose m = 112 + 8 .
(a) Écrire le nombre m sous forme d’une fraction irréductible.
(b) Le nombre m est-il décimal ? Justifier.
A
. Écrire le
Exercice 81
1. On pose A = 25 + 14 , B = 25 − 41 et C = B
nombre C sous la forme d’une fraction irréductible.
526
2
2. On pose D = (23 ) , E = 45 × 35 et F = 17 . Écrire D, E et F sous la
5
forme d’une puissance d’un nombre entier.
√
√
√
√
3. Soit G = 5 32 + 18 − 4 50. Écrire G sous la forme a 2.
Exercice 82 On donne le polynome P (x) = 4 − x2 + (x − 2)(2x + 3).
1. Écrire P (x) sous forme de produit de facteurs du premier degré en x.
2. En déduire les racines de P (x).
3. Développer et réduire P (x).
√
4. Calculer P ( 2) et simplifier la réponse obtenue.
5. Démontrer que P (x) + 2 = x(x − 1). En déduire les solutions de
l’équation P (x) = −2.
Exercice 83 Factoriser :
1. x2 − 10x + 25 − (x − 5)(2x + 3)
2. (3x − 2)2 − (2x − 1)2
3. (3x − 2)2 + 10 − 15x
4. (x2 − 5)2 − 16
5. (2x − 5)(x + 2) − x2 − 4x − 4
6. 9x2 − (3x + 2)2 − 4
7. (2x + 3)2 − 2(2x + 3)(x − 1) + (x − 1)2
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