120 Endomph symetriques d un ev eucl

120 Endomorphismes symétriques d'un ev euclidien de dimension finie.
Soit ( E , .,.
I.
) un ev eucl, de dimension
Réduction des matrices symétriques
réelles. (Mon.MP p.139)
II.
n ≥ 1.
Endomorphismes symétriques. (1)
A. Définition, premières propriétés. (Mon MP)
Réduction des matrices
symétriques réelles.
Décomposition polaire dans GLn(ℝ): (ex.5.2.31)
++
∀A ∈ GLn ( ) , ∃ !( Ω, S ) ∈ On ( ) × S n , A = ΩS
Prop 4:
4 Soit f∊S(E). Alors les soussous-espaces propres pour
f sont orthogonaux entre eux,
eux c'est-à-dire:
Pour ttes val. ppes λ6μ, et tous vect. ppes x (de λ) et y
Def 1:
1 Soit f∊L(E). On dit que f est symétrique ssi:
2
∀ ( x, y ) ∈ E , f ( x ) , y = x, f ( y ) .
(de μ), on a x, y = 0 .
Prop 5:
5 Soit f∊S(E). Soit F sev de E.
Prop 1:
1 On a:
1) ∀f , g ∈ S ( E ) ,
F stable par f ⇒ F stable par f.
Grifone p.249↴
⊥
(g f
∈ S (E) ⇔ g f = f g)
Théorème fondamental:
fondamental Soient
2) ∀f ∈ S ( E ) , ∀k ∈ , f ∈ S ( E )
k
k
mat .inversibles
En particulier, l'inverse d'un endomph. symétrique (s'il
est inversible) est symétrique.
I
 et sym.orthog. 
0
0
I
0
Exples: proj.orthog. 
0
r
0
p
−I
q



sont des endomorphismes symétriques.
B. Point de vue matriciel. (Mon. MPSI p.297)
Def 2: Une matrice A ∈ M n ( ) est dite symétrique ssi
t
( E,
.,.
) un ev eucl., et
f ∈ S (E).
3) ∀f ∈ S ( E ) ∩ GL ( E ) , ∀k ∈ , f ∈ S ( E )
A = A . On note S n ( ) l'ens. des mat. sym. réelles.
Sn(ℝ) est un sev de Mn(ℝ).
1) f est diagonalisable.
2) Les sous-espaces propres de f sont deux à deux
orthogonaux. En particulier, on peut construire une BON
de vecteurs propres en choisissant une BON dans chaque
espace propre.
Point de vue matriciel:
matriciel Toute matrice symétrique réelle
est diagonalisable dans ℝ, et les esp. ppes sont deux à
deux orthogonaux (pour le pdt scal. canonique).
Ecriture matricielle du th.: Soit A ∈ M n ( ) symétrique.
Il existe P ∈ On ( ) tq A ' = P. A.P est diagonale.
Une matrice symétrique ℂ peut ne pas être diagble.
t
Prop 2:
Soit f∊L(E), de matrice M dans une BON.
2
f ∈ S ( E ) ⇔ A ∈ Sn ( )
Applications:
Caractérisation du pdt scalaire à l'aide de sa matrice:
matrice
Soient s une f.b.s. sur E, S sa matrice ds une base de E.
Alors s définit un pdt scal. ssi S a ttes ses val. ppes >0.
Le vocabulaire matriciel et app. lin est cohérent.
S n : mat. positives de Sn(ℝ), S n : def.posde Sn(ℝ)
(Mon MP)
+
++
(Grifone p.250)↑
Prop 3:
3 ∀ ( A, B ) ∈ ( S ( ) ) , ( AB ∈ S n ( ) ⇔ AB = BA )
Racine carrée dans S n : (Mon.MP ex.5.2.25 p.173)
∀A ∈ S n ( ) ∩ GLn ( ) , A ∈ S n ( )
∀S ∈ S n , ∃! R ∈ S n , S = R
2
n
+
−1
Attention, pour n≥2, Sn(ℝ) n'est pas stable par ×.
+
+
2
Une telle décomposition existe dans Mn(ℝ), S est alors
unique, mais Ω pas forcément.
iθ
Pour n=1 dans ℂ (HS ici), on retrouve z = r .e , c'est dc
une sorte de généralisation des coordonnées polaires.
Classification des quadriques (2): L'étude d'une
quadrique à centre amène une matrice symétrique
réelle, que l'on diagonalise grâce au th. fondamental.
(Monier géométrie p.285).
On note S(E) l'ensemble des edomph. symétriques de E.
S(E) est un sev de L(E).
Monier MPSI et MP
Grifone
III.
Réduction simultanée.
Th 2:
2 Réduction simultanée.
simultanée Soit φ une f.b.s. sur E×E.
Il existe une BON de E dans laquelle φ est diagonale.
Quand on a une f.quad sur un ev eucl. E, il existe des
bases qui sont orthogonales à la fois pour le pdt scal. de
E et pour la forme quadratique.
Prop 6:
6 Expression matricielle de la réduct° simultanée.
simultanée
++
Soient A ∈ S n , B ∈ S n ( ) , ∃ ( P , D ) ∈ GL ( ) × D ( )
n
t
n
t
tq: A = P. P et B = P.D. P .
D'où "simultanée". En général, P n'est pas orthogonale.
Exercice:
++
Soient A, B ∊ Sn(ℝ). Si A ∊ S n et AB nilpotente, alors
p
B=0. ( nilpotente: ∃p ∈ : M = 0 )
Application: (Grifone p.389) Classification des coniques
selon la signature de la forme quadratique associée.
Conique: Soient q f. quad non nulle, φ forme lin. dur ℝ2.
On appelle conique l'ens des v∊ℝ2 tq:
q ( v ) + ϕ ( v ) = k , où k∊ℝ.
signature de q
conique
(2,0)
ellipse
(1,1)
hyperbole
(1,0)
parabole
120 Endomorphismes symétriques d'un ev euclidien de dim. finie. Réduction des matrices symétriques réelles.
IV.
Notes.
(1) Adjoint d'un endomph
endomph: f* est l'adjoint de f ssi
∀x,y∊E, <f(x),y> = <x,f*(y)>.
F est autoadjoint ssi f* = f. C'est exactement la def° d'un
endomph. symétrique (ds ℝ) – ou hermitienne ds ℂ - .
(2) Quadrique:
Quadrique tte surface d'équation cartésienne
F ( x, y , z ) = 0 , où F est un polynôme de degré total 2.
Monier MPSI et MP, Grifone