120 Endomph symetriques d un ev eucl

120
Endomorphismes symétriques d'un ev euclidien de dimension finie.
Réduction des matrices
symétriques réelles.
Monier MPSI et MP
Grifone
Soit
(
)
, .,.
E un ev eucl, de dimension
1
n
≥
.
I. Endomorphismes symétriques. (1)
A. Définition, premières propriétés. (Mon MP)
(
)
2
,
x y E
∀ ∈
(
)
(
)
, ,
f x y x f y
=
(
)
(
)
(
)
, ,
f g S E g f S E g f f g
∀ ∈ ∈ ⇔ =
(
)
(
)
, ,
k
f S E k f S E
∀ ∈ ∀ ∈ ∈
(
)
(
)
(
)
.
, ,
k
mat inversibles
f S E GL E k f S E
∀ ∈ ∩ ∀ ∈ ∈
0
0 0
r
I
0
0
p
q
I
I
−
B. Point de vue matriciel. (Mon. MPSI p.297)
(
)
n
A M∈
t
A A
=
(
)
n
S
(
)
(
)
n
f S E A S∈ ⇔ ∈
( ) ( )( )
2
,
n
A B S∀ ∈ 
(
)
(
)
n
AB S AB BA
∈ ⇔ =
(
)
(
)
(
)
1
,
n n n
A S GL A S
−
∀ ∈ ∩ ∈
II. Réduction des matrices symétriques
réelles. (Mon.MP p.139)
x
y
, 0
x y
=
F
F
⊥
(
)
, .,.
E
(
)
f S E
∈
f
f
(
)
n
A M∈
(
)
n
P O∈
' . .
t
A P A P
=
n
S
+
n
S
+ +
n
S
+
n
S S
+
∀ ∈
2
! ,
n
R S S R
+
∃ ∈ =
(
)
(
)
(
)
, ! , ,
n n n
A GL S O S A S
+ +
∀ ∈ ∃ Ω ∈ × = Ω
.
i
z r e
θ
=
III. Réduction simultanée.
n
A S
+ +
∈
(
)
n
B S∈
(
)
(
)
(
)
,
n n
P D GL D∃ ∈ ×
.
t
A P P
=
. .
t
B P D P
=
n
S
+ +
: 0
p
p M
∃ ∈ =
(
)
(
)
q v v k
ϕ
+ =

120 Endomorphismes symétriques d'un ev euclidien de dim. finie. Réduction des matrices symétriques réelles. Monier MPSI et MP, Grifone
IV. Notes.
(
)
, , 0
F x y z
=