Les BCH - Algèbres Symétriques

Damascus University Journal for BASIC SCIENCES Vol. ١٩, No ١, ٢٠٠٣
Les BCH - Algèbres Symétriques
E. Koudsi
Départment de Mathematique-Faculté des Sciences-Université de Damas
Reçu ١٠/٠٤/٢٠٠٢
Accepté ٠٩/١١/٢٠٠٢
RÉSUMÉ
Les BCH- algèbres sont définies à partir d’une constante notée ٠ et une
opération binaire notée Η ( [١], [٢]).
Dans une BCH-algèbre X, on introduit la notion des éléments symétriques.
On montre que l’ensemble Sym (X) forme un BCH- quasi groupe isomorphe au
quotient de X par la relation d’quivalence ≡ et est le quasi groupe couniversel
associé à X.
L’ideé principale de ce travail consacré à introduire la notion de BCHalgèbres symétriques. On démontre que ces algèbres sont nécessairement les
groupes commutatifs. On note ainsi que la notion de BCH- algèbres
symétriques est équivalente à la notion de BCI- algèbres médiales proposé par
W.A. Dudek [٥].
Mots Clé: BCH- algèbres symétriques, BCI- algèbres médiales.
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‫‪Koudsi – Les BCH - Algèbres Symétriques‬‬
‫ﺍﻟﺠﺒﻭﺭ ‪-BCH-‬ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻅﺭﺓ‬
‫ﺍﻴﻠــﻲ ﻗﺩﺴـﻲ‬
‫ﻗﺴﻡ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ـ ﻜﻠﻴﺔ ﺍﻟﻌﻠﻭﻡ ـ ﺠﺎﻤﻌﺔ ﺩﻤﺸﻕ ـ ﺍﻟﺠﻤﻬﻭﺭﻴﺔ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ ﺍﻟﺴﻭﺭﻴﺔ‬
‫ﺘﺎﺭﻴـﺦ ﺍﻹﻴﺩﺍﻉ ‪٢٠٠٢/٠٤/١٠‬‬
‫ﻗﺒل ﻟﻠﻨﺸـﺭ ﻓﻲ ‪٢٠٠٢/١١/٠٩‬‬
‫ﺍﻟﻤﻠﺨﺹ‬
‫ﻨﺴﻤﻲ ﺠﺒﺭ –‪ -BCH‬ﻜل ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ X‬ﻤﺯﻭﺩﺓ ﺒﻌﻨﺼﺭ ﺜﺎﺒﺕ ﻴﺭﻤﺯ ﻟﻪ ﺒـ ‪ ٠‬ﻭﺒﻌﻤﻠﻴﺔ ﺜﻨﺎﺌﻴﺔ ﻴﺭﻤﺯ ﻟﻬـﺎ‪Η‬‬
‫ﺒﺤﻴﺙ ﺘﺘﺤﻘﻕ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺨﻭﺍﺹ )ﺍﻨﻅﺭ ]‪.([٢]،[١‬‬
‫ﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋـﺔ‬
‫ﻨﻘﺩﻡ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻭﺭﻗﺔ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻌﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻅﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺒﺭ‪ ، X‬ﻭﻨﺒـﺭﻫﻥ ﻋﻠـﻰ ﺃ ‪‬‬
‫)‪ sym (X‬ﺘﺸﻜل ﺸﺒﻪ ﺯﻤﺭﺓ‪ - BCH -‬ﻤﺘﻤﺎﺜﻠﺔ ﻤﻊ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ ﻟـ‪ X‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺘﻜﺎﻓﺅ ≡ ‪.‬‬
‫ﻥ ﻤﻔﻬﻭﻡ‬
‫ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺠﺒﺭ‪» - BCH -‬ﻤﺘﻨﺎﻅﺭﹰﺍ« ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺠﻤﻴﻊ ﻋﻨﺎﺼﺭﻩ ﻤﺘﻨﺎﻅﺭﺓ‪ ،‬ﻨﺒﺭﻫﻥ ﻋﻠﻰ ﺃ ‪‬‬
‫ﺍﻟﺠﺒﻭﺭ – ‪ – BCH‬ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻅﺭﺓ ﺍﻟﻤﻘﺘﺭﺡ ﻴﻁﺎﺒﻕ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﺠﺒـﻭﺭ – ‪ -BCI‬ﺍﻟﻭﺴـﻴﻁﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓـﺔ ﻤـﻥ ﻗﺒـل‬
‫ﻥ ﺍﻟﺠﺒﻭﺭ‪ - BCH -‬ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻅﺭﺓ ﻫﻲ ﺒﺎﻟﻀﺭﻭﺭﺓ ﺯﻤﺭ ﺘﺒﺎﺩﻟﻴﺔ‪.‬‬
‫‪ . ([٥]) W.A.Dudek‬ﻨﺸﻴﺭ ﺃﻴﻀ ﹰﺎ ﺇﻟﻰ ﺃ ‪‬‬
‫ﺍﻟﻜﻠﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻔﺘﺎﺤﻴﺔ‪ :‬ﺍﻟﺠﺒﻭﺭ‪ - BCH -‬ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻅﺭﺓ‪ ،‬ﺍﻟﺠﺒﻭﺭ‪ - BCI -‬ﺍﻟﻭﺴﻴﻁﻴﺔ‪.‬‬
‫‪٥٤‬‬
Damascus University Journal for BASIC SCIENCES Vol. ١٩, No ١, ٢٠٠٣
١-Les BCH-algèbres ([١], [٢])
Une BCH- algèbre est un ensemble X muni d’un élément constant
noté ٠ et d’une opération binaire Η vérifiant les trois axiomes suivants.
Quelques soient x,y,z ∈ X;
١- x Η x = ٠,
٢- x Η y = ٠ et y Η x = ٠ entraînent x = y et
٣- (x Η y) Ηz = (x Η z) Ηy.
Nous nous servirons le résultat élémentaire suivant, ([٢]):
Si X est une BCH-algèbre; x Η ٠ = x, ∀ x ∈ X.
Remarque. Pour alléger l’écriture dans cet article, nous notons
parfois “BCH-quasi groupe” au lieu d’une BCH-algèbre qui est aussi
quasi groupe.
٢-Eléments symétriques d’une BCH-algèbre
Nous allons établir la notion des éléments symétriques d’une BCHalgèbre et qui sont utiles dans la suite. Précisons d’abord les diverses
résultats que nous utiliserons.
Soit X une BCH-algèbre, on appelle élément symétrique associé à x
l’élément e(x) defini par e(x) = ٠ Η x. Remarquons que e(٠) = ٠ et
e(e(x)) Ηx =٠.
Proposition ٢٫١. Soit X une BCH - algèbre, les assertions suivantes:
(١) e(x) Η y=e(y) Η x ,
(٢) e(x Η y) = e(x) Η e(y) et
(٣) e(e(e(x))) = e(x), sont vérifiées, quelques soient x, y∈ X;
Démonstration. (١) En effet , on a selon l’axiome (٣), le suivant:
e(x) Η y = (٠ Η x) Η y = (٠ Η y) Η x = e(y) Η x
Pour démontrer l’assertion (٢), on utilise le même axiome, on obtient:
e(x Η y) =(e(y) Ηe(y)) Η (x Η y) = [((x Η y) Η x) Η e(y)] Η (x Η y)
= [((x Η y) Η x) Η (x Η y)] Η e(y) = e(x) Η e(y).
Pour démontrer l’assertion (٣), on sait déjà que e(e(x)) Η x = ٠ d’où,
e(e(e(x))) Η e(x) = ٠ , (assertion (٢)).
Il suffira donc de montrer que e(x) Η e(e(e(x))) = ٠. En effet
e(x) Η e(e(e(x))) =
= e(x Η e(e(x))) = ٠ Η (x Ηe(e(x)))
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D’après l’assertion (٢)
Koudsi – Les BCH - Algèbres Symétriques
= e(e(e(x)) Η x) Η (x Ηe(e(x)))
D’après l’assertion (٢) et
la remarque ci-dessus
= [e(e(e(x))) Η (x Η e(e(x)))] Η e(x)
D’après l’axiome (٣)
= [e(x Η e(e(x))) Η e(e(x))] Η e(x)
D’après l’assertion (١)
= [(e(x) Η e(x)) Η e(e(x))] Η e(e(e(x))) = ٠ D’après l’axiome (٣) et
l’assertion (٢).
Proposition ٢٫٢. Soit X une BCH-algèbre, l’ensemble Ass (X) =
{x∈X : e(x) = x} forme un groupe booléen.
Démonstration. Supposons Ass (X) ≠{٠}et soient x, y, z ∈ Ass (X);
on a x Η y = e(x) Η y = e(y) Η x = y Η x et par conséquent, (x Η y) Η
z = (y Η x ) Η z = (y Ηz) Η x = x Η (y Η z ). Il résulte alors que Ass
(X) est un groupe booléen.
Dans une BCH- algèbre, on définit la relation binaire notée x ≡ y par
e(x) = e(y). Cette relation est une relation d’ équivalence. et de plus, si
x ≡ y et z ≡ t, e(x Η z) = e(x) Η e(z) = e(y) Η e(t) = e(yΗt). Donc x Η
z ≡ yΗ t et la relation ≡ est une relation de congruence sur X. On
construit le quotient X/ ≡ dont ses éléments sont de la forme Dx = {y
∈ X: e(x) = e (y)} et en adjoignant l’opération Dx . Dy = DxΗy,
on montre la proposition suivante:
proposition ٢٫٣. Le quotient X/≡ est une BCH-algèbre.
Démonstration. En effet, on a Dx . Dx = DxΗx = Do ={x ∈ X :e(x) =
٠}et egalement, (Dx · Dy ) · Dz = D(xΗy) Ηz = D(xΗz) Ηy = (Dx . Dz ) . Dy.
Enfin, si Dx . Dy = Dy . Dx = D٠, on a alors, e(x Η y)=e(y Η x) = ٠.
Donc e(x)=e(y) et cela signifie que Dx = Dy et la proposition est bien
vérifiée.
Définition. Un élément a d’ une BCH- algèbre X est dit symétrique si
e(e(a)) = a.
Il résulte que les éléments ٠ et e(a) sont symétriques d’après
l’assertion (٣) de la proposition (٢٫١).
Proposition ٢٫٤. L’ensemble des éléments symétriques de X, noté
Sym (X), forme un BCH-quasi groupe.
Démonstration En effet, si a et b sont deux éléments symétriques de
X. On a e(e(a Η b)) = e(e(a)) Η e(e(b)) = a Η b. En outre ٠ est
symétrique. On en déduit que Sym (X) est une sous BCH-algèbre de
X. Soit a, x ∈ Sym (X), et considérons l’équation a Η x = e(e(x Η a ))
= e(٠) = ٠ . On a donc e(x Η a) = e(x) Η e(a) =e(e(a)) Η x = a Η x = ٠
et par suite x Η a = ٠ , il résulte x = a et Sym (X) est un quasi groupe.
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Corollaire ٢٫٥. Les éléments symétriques de X sont exactement les
éléments de la forme e(x) pour tout x de X.
Ceci résulte directement de la proposition (٢٫١), assertion (٣).
Corollaire ٢٫٦. L’application x → Dx établit un isomorphisme entre
le quasi groupe Sym (X) et l’algèbre quotient X/ ≡.
٣. BCH-algèbres symétriques.
On dit qu’une BCH- algèbre est symétrique lorsque e(e(a)) = a pour
tout a de X.
Dire qu’une BCH-algèbre est symétrique équivaut à dire que tous ses
éléments sont symétriques.
Exemple ٣٫١. Soit X = {٠,a,b,c}. Définisons l’opération. comme:
Η
٠
٠
a
b
c
a
b
c
b
٠
a
c
b
c
a
٠
a
٠
٠
a
c
b
b
c
On voit que X est une BCH-algèbre. Notons également que e(e(x))= x
∀ x ∈ X, et cela signifie que X est symétrique.
Proposition ٣٫٢. Soit X une BCH- algèbre symétrique. Les deux
assertions suivantes:
(١) e( x Η y) = y Η x et
(٢) x Η y = ٠ entraîne y Η x = ٠
sont vérifiées. quelques soient x,y∈ X.
Démonstration. Pour l’assertion (١). on applique la proposition
(٢٫١), on trouve, e(x Η y) = e(x) Η e(y) = e(e(y)) Η x = y Η x.
(٢) Si x Η y = ٠, on trouve d’après l’assertion précédente, y Η x =
e (x Η y) = e(٠) = ٠.
Théorème ٣٫٣. Soit X une BCH-algèbre, les assertions suivantes:
١- X est symétrique,
٢- Quelques soient x, y, z ∈ X, on a x Η (y Η z) = z Η (y Η x) et
٣- Quelques soient x, y ∈ X, on a x Η (x Ηy) = y sont equivalantes.
Démonstration:
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Koudsi – Les BCH - Algèbres Symétriques
١) ⇒ ٢): En effet, la proposition (٣٫٢) et l’axiome (٣) impliquent
que x Η (y Η z) = e ((y Η z) Η x) = e((y Η x) Η z) = z Η (y Η
x).
٢) ⇒ ٣): Supposons la condition (٢) est satisfaite; donc
x Η (x Η y) = y Η (x Η x) = y Η ٠ = y.
٣) ⇒ ١): est évident.
Proposition ٣٫٤. Pour qu’une BCH-algèbre X soit symétrique, il faut
et il suffit que P(X) = { x ∈ X : e (x) = ٠ } = {٠}.
Démonstration. Supposons x ∈X tel que e(x) = ٠,on a donc e(e(x)) =
٠, cela signifie que x = ٠ et la condition est nécessaire.
Pour démontrer la suffisance, on a e(e(x)) Η x = ٠ et également, on a
de la proposition ٢٫١, e(x Η e(e(x))) = e(x) Η e(e(e(x)))=٠, ce qui
prouve selon l’hypothèse que x Η e(e(x)) = ٠. On en déduit d’après
l’axiome (٢) que e(e(x)) = x ∀ x∈X, autrement dit X est une BCHalgèbre symétrique.
Corollaire ٣٫٥. Soit X une BCH- algèbre. X est symétrique si et
seulement si ∀ x,y ∈X tels que e (x) = e (y) on ait x = y.
La démonstration est immédiate de la proposition(٣٫٤).
Théorème ٣٫٦. Le systéme d’axiomes suivant permet de définir une
BCH-algèbre symétrique X, ∀ x,y,z∈ X;
S١) x Η (x Η y) = y,
S٢) (x Η y) Η z = (x Η z) Η y.
Démonstration. Remarquons d’ abord en vertu de l’hypothèse que:
(x Η x) Η (x Η y) = (x Η (x Η y)) Η x = y Η x, et par suite (x Η x) Η (x
Η x) = x Η x. Soit xo ∈ X tel que xo Η xo = ٠, on trouve d’après la
remarque ci-dessus que ٠ Η ٠ = ٠. En appliquant l’expression
précédente, on a y = ٠ Η (٠ Η y )= y Η ٠. On a aussi x Η x = (x Η ٠) Η
(x Η ٠) = (x Η (x Η ٠)) Η ٠ = ٠ Η ٠ = ٠ . Enfin, si x Η y = y Η x = ٠
alors, x = x Η ٠ = x Η (x Η y) = y. On peut donc énoncer grãce au
théorème (٣٫٣) que X est une BCH-algèbre symétrique.
Proposition ٣٫٧. Une BCH- algèbre symétrique est un groupe
commutatif pour l’opération a + b = a Η e (b).
Démonstration.Remarquons que: a + ٠ = a Η e (٠) = a = e(e(a)) =
٠ Η e(a) = ٠ + a et a + b = a Η e(b) = e(e(a)) Η e(b) = e(e(b)) Η e (a) = b
Η e(a) = b + a et cela entraîne (a + b) + c = (b + a) + c = (b Η e(a))
Η e(c) = (b Η e(c)) Η e(a) = (b + c) + a = a + (b + c). On en déduit que
X est un semi groupe commutatif admet ٠ comme un élément unité.
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Notons d’ailleurs que pour tout a,b ∈ X, l’équation a + x = b accepte
une solution unique de la forme x = b Η a. En effet a + x = a Η e (x)
= a Η e (b Η a) = a Η (a Η b) = b. De plus, supposons a + x = a + y. On
a alors ٠ = (a Η e(x)) Η (a Η e(y) ) = (a Η (a Η e(y))) Η e(x) = e (y) Η
e(x) = e(y Η x) = x Η y (propositions (٣٫٢) et (٢٫١)). Ce qui prouve que
x = y (proposition (٣٫٢)). On en déduit que X est un groupe
commutatif.
Le théorème suivant précise la relation entre la notion de BCHalgèbres symétriques que l’on vient d’introduire et la notion de BCIalgèbres médiales proposé par W.A. Dudek. Rappelons seulement
cette notion et pour une description précise et complète, consulter [٤]
et [٥].
Rappel. D’après L.H. Shi ([٦]), une BCI-algèbre est un ensemble X
muni d’un élément constant noté ٠ et d’une opération binaire Η
vérifiant les trois axiomes suivants:
١- x Η ٠ = x
٢- x Η y = ٠ et y Η x = ٠ entraînent x = y et
٣- ((x Η y) Η (x Η z)) Η (z Η y) = ٠, quelques soient x,y,z
∈ X.
Il résulte aussi qu’une BCI-algèbre X vérifie la condition:
( x Η y) Η z = (x Ηz ) Ηy.
Rappel. Une BCI – algèbre médiale est une BCI- algèbre X vérifiant
la condition de compatibilité (C) suivante:
∀ x, y, z, t ∈ X; (x Η y) Η (z Η t) = (x Ηz) Η (y Η t).
Théorème ٣٫٨. Les BCH–algèbres symétriques sont précisément les
BCI-algèbres médiales.
Démonstration. Nous allons montrer que toute BCH-algèbre
symétrique est nécessairement une BCI-algèbre médiale. En effet,
Supposons X une BCH-algèbre symétrique et soient x,y, z ∈ X. On a
((x Η y) Η (x Η z )) Η (z Η y) = ((x Η (x Η z)) Η y) Η (z Η y) = (z Η
y) Η (z Η y) = ٠ et X est une BCI- algèbre.
On a aussi (x Η y) Η (z Η u) = (x Η (z Η u)) Η y = e ((z Η u) Η x) Η y
= e((z Η x ) Η u) Η y = (u Η (z Η x)) Η y = (u Η y) Η (z Η x) = e(y
Η u) Η (z Η x) = e (z Η x) Η (y Η u) = (x Η z) Η (y Η u) et la
condition de compatibilité (C ) est bien vérifiée.
Inversement, en effet, une BCI-algèbre X est une BCH-algèbre. Car
x Η x = ((x Η ٠) Η (x Η ٠)) Η (٠ Η ٠) = ٠ (axiomes (١) et (٣) de
L.H.Shi). De plus l’hypothèse entraîne que: x Η (x Η y) = (x Η ٠) Η (x
Η y) = (x Η x) Η (٠ Η y)
= ٠ Η (٠ Η y) = (y Η y) Η (٠ Η y) = (y
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Η ٠) Η (y Η y) = (y Η ٠) Η ٠ = y. On en déduit d’après le théorème
(٣٫٣) que X est une BCH- algèbre symétrique, d’où le théorème.
Proposition ٣٫٩. Pour qu’une BCH- algèbre X soit un quasi groupe il
faut et il suffit qu’elle soit symétrique.
Démonstration. Soient X une BCH-algèbre symétrique et a ∈ X.
Supposons ainsi l’équation a Η x = ٠. On trouve alors: x Η a = (a Η (a
Η x)) Η a = (a Η a) Η (a Η x) = ٠, ce qui montre que x = a, cela signifie
que X est un quasi groupe et la condition est donc nécessaire. Elle est
aussi suffisante puisque e(e(x)) Η x = ٠ entraîne e(e(x))=x.
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REFERENCES
[١] q. Hu, X. li: On proper BCH- algebras Math. Japonica ٣٠ (١٩٨٥),٦٥٩-٦٦١.
[٢] W.A. Dudek, J Tomys: On decompostion of BCH-algebras, Math. Japonica
٣٥, No.٦ (١٩٩٠), ١١٣١-١١٣٨.
[٣] W.A. Dudek, R. Rousseau: Remarks on set – theoretic relations connected
with BCH-algebras, Prace Naukowe WSP, w Częstochowie, Ser.
Mathematyka ٢ (١٩٩٦), ٨٣-٨٧.
[٤] K. Iseki, S. Tanaka: An introduction to the theory of BCK- algebras, Math.
Japonica ٢٣ (١٩٧٨), ١-٢٦.
[٥] W.A. Dudek: on medial BCI- algebras, Prace Naukowe WSP, w
Częstochowie, Ser. Mathematyka ١ (١٩٨٤), ٢٥-٣٣.
[٦] L.H. Shi. An axioms system of BCI-algebras. Math. Japonica. ١٩٩٠. V.٣٠P. ٣٥١-٣٥٢.
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