Les BCH - Algèbres Symétriques

Damascus University Journal for BASIC SCIENCES Vol. ١٩, No ١, ٢٠٠٣
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Les BCH - Algèbres Symétriques
E. Koudsi
Départment de Mathematique-Faculté des Sciences-Université de Damas
Reçu ١٠/٠٤/٢٠٠٢ Accepté ٠٩/١١/٢٠٠٢
RÉSUMÉ
Les BCH- algèbres sont définies à partir d’une constante notée ٠ et une
opération binaire notée Η ( [١], [٢]).
Dans une BCH-algèbre X, on introduit la notion des éléments symétriques.
On montre que l’ensemble Sym (X) forme un BCH- quasi groupe isomorphe au
quotient de X par la relation d’quivalence ≡ et est le quasi groupe couniversel
associé à X.
L’ideé principale de ce travail consacré à introduire la notion de BCH-
algèbres symétriques. On démontre que ces algèbres sont nécessairement les
groupes commutatifs. On note ainsi que la notion de BCH- algèbres
symétriques est équivalente à la notion de BCI- algèbres médiales proposé par
W.A. Dudek [٥].
Mots Clé: BCH- algèbres symétriques, BCI- algèbres médiales.

Koudsi – Les BCH - Algèbres Symétriques
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ﺭﻭﺒﺠﻟﺍ-BCH-ﺓﺭﻅﺎﻨﺘﻤﻟﺍ
ﻲـﺴﺩﻗ ﻲــﻠﻴﺍ
ﺔﻴﺭﻭﺴﻟﺍ ﺔﻴﺒﺭﻌﻟﺍ ﺔﻴﺭﻭﻬﻤﺠﻟﺍ ـ ﻕﺸﻤﺩ ﺔﻌﻤﺎﺠ ـ ﻡﻭﻠﻌﻟﺍ ﺔﻴﻠﻜ ـ ﺕﺎﻴﻀﺎﻴﺭﻟﺍ ﻡﺴﻗ
ﻉﺍﺩﻴﻹﺍ ﺦـﻴﺭﺎﺘ١٠/٠٤/٢٠٠٢
ﻲﻓ ﺭـﺸﻨﻠﻟ لﺒﻗ٠٩/١١/٢٠٠٢
ﺹﺨﻠﻤﻟﺍ
ﺭﺒﺠ ﻲﻤﺴﻨ–
BCH- ﺔﻋﻭﻤﺠﻤ لﻜ X ـﺒ ﻪﻟ ﺯﻤﺭﻴ ﺕﺒﺎﺜ ﺭﺼﻨﻌﺒ ﺓﺩﻭﺯﻤ ٠ ﻟ ﺯﻤﺭﻴ ﺔﻴﺌﺎﻨﺜ ﺔﻴﻠﻤﻌﺒﻭ ـﻬﺎΗ ﺙﻴﺤﺒﺘﺹﺍﻭﺨﻟﺍ ﻥﻤ ﺔﻋﻭﻤﺠﻤ ﻕﻘﺤﺘ )ﺭﻅﻨﺍ
[١] ،[٢] .( ﻴﻤﻠﻌﻟﺍ ﺔﻗﺭﻭﻟﺍ ﻩﺫﻫ ﻲﻓ ﻡﺩﻘﻨﺔﺭﺒﺠﻟﺍ ﻲﻓ ﺓﺭﻅﺎﻨﺘﻤﻟﺍ ﺭﺼﺎﻨﻌﻟﺍ ﻡﻭﻬﻔﻤ
X ﻰـﻠﻋ ﻥﻫﺭـﺒﻨﻭ ،ﺃﻥ ﺔـﻋﻭﻤﺠﻤﻟﺍ )
X (symﺓﺭﻤﺯ ﻪﺒﺸ لﻜﺸﺘ - BCH -ـﻟ ﺝﺭﺎﺨﻟﺍ ﺔﻋﻭﻤﺠﻤ ﻊﻤ ﺔﻠﺜﺎﻤﺘﻤ X ﺅﻓﺎﻜﺘﻟﺍ ﺔﻗﻼﻌﻟ ﺔﺒﺴﻨﻟﺎﺒ ≡.
ﺭﺒﺠﻟﺍ ﻥﻭﻜﻴ-
BCH - »ﹰﺍﺭﻅﺎﻨﺘﻤ« ﺇ ﻁﻘﻓﻭ ﺍﺫﺇ ﻰﻠﻋ ﻥﻫﺭﺒﻨ ،ﺓﺭﻅﺎﻨﺘﻤ ﻩﺭﺼﺎﻨﻋ ﻊﻴﻤﺠ ﺕﻨﺎﻜ ﺍﺫﺃﻥ ﻡﻭﻬﻔﻤ ﺭﻭﺒﺠﻟﺍ
– BCH – ـﺒﺠﻟﺍ ﻡﻭﻬﻔﻤ ﻕﺒﺎﻁﻴ ﺡﺭﺘﻘﻤﻟﺍ ﺓﺭﻅﺎﻨﺘﻤﻟﺍ ﻭ ﺭ– BCI- لـﺒﻗ ﻥـﻤ ﺔـﻓﺭﻌﻤﻟﺍ ﺔﻴﻁﻴـﺴﻭﻟﺍ W.A.Dudek ([٥]) . ﹰﺎ ﻀ ﻴ ﺃ ﺭﻴﺸﻨ ﺇ ﻰﻟﺃﻥﺭﻭﺒﺠﻟﺍ - BCH -ﺔﻴﻟﺩﺎﺒﺘ ﺭﻤﺯ ﺓﺭﻭﺭﻀﻟﺎﺒ ﻲﻫ ﺓﺭﻅﺎﻨﺘﻤﻟﺍ .
ﻟﺍﺤﺎﺘﻔﻤﻟﺍ ﺕﺎﻤﻠﻜﺔﻴ :ﺭﻭﺒﺠﻟﺍ- BCH -ﺭﻭﺒﺠﻟﺍ ،ﺓﺭﻅﺎﻨﺘﻤﻟﺍ - BCI -ﺔﻴﻁﻴﺴﻭﻟﺍ .

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١-Les BCH-algèbres ([١], [٢])
Une BCH- algèbre est un ensemble X muni d’un élément constant
noté ٠ et d’une opération binaire Η vérifiant les trois axiomes suivants.
Quelques soient x,y,z ∈ X;
١- x Η x = ٠,
٢- x Η y = ٠ et y Η x = ٠ entraînent x = y et
٣- (x Η y) Ηz = (x Η z) Ηy.
Nous nous servirons le résultat élémentaire suivant, ([٢]):
Si X est une BCH-algèbre; x Η ٠ = x, ∀ x ∈ X.
Remarque. Pour alléger l’écriture dans cet article, nous notons
parfois “BCH-quasi groupe” au lieu d’une BCH-algèbre qui est aussi
quasi groupe.
٢-Eléments symétriques d’une BCH-algèbre
Nous allons établir la notion des éléments symétriques d’une BCH-
algèbre et qui sont utiles dans la suite. Précisons d’abord les diverses
résultats que nous utiliserons.
Soit X une BCH-algèbre, on appelle élément symétrique associé à x
l’élément e(x) defini par e(x) = ٠ Η x. Remarquons que e(٠) = ٠ et
e(e(x)) Ηx =٠.
Proposition ٢٫١. Soit X une BCH - algèbre, les assertions suivantes:
(١) e(x) Η y=e(y) Η x ,
(٢) e(x Η y) = e(x) Η e(y) et
(٣) e(e(e(x))) = e(x), sont vérifiées, quelques soient x, y∈ X;
Démonstration. (١) En effet , on a selon l’axiome (٣), le suivant:
e(x) Η y = (٠ Η x) Η y = (٠ Η y) Η x = e(y) Η x
Pour démontrer l’assertion (٢), on utilise le même axiome, on obtient:
e(x Η y) =(e(y) Ηe(y)) Η (x Η y) = [((x Η y) Η x) Η e(y)] Η (x Η y)
= [((x Η y) Η x) Η (x Η y)] Η e(y) = e(x) Η e(y).
Pour démontrer l’assertion (٣), on sait déjà que e(e(x)) Η x = ٠ d’où,
e(e(e(x))) Η e(x) = ٠ , (assertion (٢)).
Il suffira donc de montrer que e(x) Η e(e(e(x))) = ٠. En effet
e(x) Η e(e(e(x))) =
= e(x Η e(e(x))) = ٠ Η (x Ηe(e(x))) D’après l’assertion (٢)

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= e(e(e(x)) Η x) Η (x Ηe(e(x))) D’après l’assertion (٢)et
la remarque ci-dessus
= [e(e(e(x))) Η (x Η e(e(x)))] Η e(x) D’après l’axiome (٣)
= [e(x Η e(e(x))) Η e(e(x))] Η e(x) D’après l’assertion (١)
= [(e(x) Η e(x)) Η e(e(x))] Η e(e(e(x))) = ٠ D’après l’axiome (٣) et
l’assertion (٢).
Proposition ٢٫٢. Soit X une BCH-algèbre, l’ensemble Ass (X) =
{x∈X : e(x) = x} forme un groupe booléen.
Démonstration. Supposons Ass (X) ≠{٠}et soient x, y, z ∈ Ass (X);
on a x Η y = e(x) Η y = e(y) Η x = y Η x et par conséquent, (x Η y) Η
z = (y Η x ) Η z = (y Ηz) Η x = x Η (y Η z ). Il résulte alors que Ass
(X) est un groupe booléen.
Dans une BCH- algèbre, on définit la relation binaire notée x ≡ y par
e(x) = e(y). Cette relation est une relation d’ équivalence. et de plus, si
x ≡ y et z ≡ t, e(x Η z) = e(x) Η e(z) = e(y) Η e(t) = e(yΗt). Donc x Η
z ≡ yΗ t et la relation ≡ est une relation de congruence sur X. On
construit le quotient X/ ≡ dont ses éléments sont de la forme Dx = {y
∈ X: e(x) = e (y)} et en adjoignant l’opération Dx . Dy = DxΗy,
on montre la proposition suivante:
proposition ٢٫٣. Le quotient X/≡ est une BCH-algèbre.
Démonstration. En effet, on a Dx . Dx = DxΗx = Do ={x ∈ X :e(x) =
٠}et egalement, (Dx · Dy ) · Dz = D(xΗy) Ηz = D(xΗz) Ηy = (Dx . Dz ) . Dy.
Enfin, si Dx . D
y = Dy . D x = D٠, on a alors, e(x Η y)=e(y Η x) = ٠.
Donc e(x)=e(y) et cela signifie que Dx = Dy et la proposition est bien
vérifiée.
Définition. Un élément a d’ une BCH- algèbre X est dit symétrique si
e(e(a)) = a.
Il résulte que les éléments ٠ et e(a) sont symétriques d’après
l’assertion (٣) de la proposition (٢٫١).
Proposition ٢٫٤. L’ensemble des éléments symétriques de X, noté
Sym (X), forme un BCH-quasi groupe.
Démonstration En effet, si a et b sont deux éléments symétriques de
X. On a e(e(a Η b)) = e(e(a)) Η e(e(b)) = a Η b. En outre ٠ est
symétrique. On en déduit que Sym (X) est une sous BCH-algèbre de
X. Soit a, x ∈ Sym (X), et considérons l’équation a Η x = e(e(x Η a ))
= e(٠) = ٠ . On a donc e(x Η a) = e(x) Η e(a) =e(e(a)) Η x = a Η x = ٠
et par suite x Η a = ٠ , il résulte x = a et Sym (X) est un quasi groupe.

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Corollaire ٢٫٥. Les éléments symétriques de X sont exactement les
éléments de la forme e(x) pour tout x de X.
Ceci résulte directement de la proposition (٢٫١), assertion (٣).
Corollaire ٢٫٦. L’application x → Dx établit un isomorphisme entre
le quasi groupe Sym (X) et l’algèbre quotient X/ ≡.
٣. BCH-algèbres symétriques.
On dit qu’une BCH- algèbre est symétrique lorsque e(e(a)) = a pour
tout a de X.
Dire qu’une BCH-algèbre est symétrique équivaut à dire que tous ses
éléments sont symétriques.
Exemple ٣٫١. Soit X = {٠,a,b,c}. Définisons l’opération. comme:
Η ٠ a b c
٠
a
b
c
٠ a c b
a ٠ b c
b c ٠ a
c b a ٠
On voit que X est une BCH-algèbre. Notons également que e(e(x))= x
∀ x ∈ X, et cela signifie que X est symétrique.
Proposition ٣٫٢. Soit X une BCH- algèbre symétrique. Les deux
assertions suivantes:
(١) e( x Η y) = y Η x et
(٢) x Η y = ٠ entraîne y Η x = ٠
sont vérifiées. quelques soient x,y∈ X.
Démonstration. Pour l’assertion (١). on applique la proposition
(٢٫١), on trouve, e(x Η y) = e(x) Η e(y) = e(e(y)) Η x = y Η x.
(٢) Si x Η y = ٠, on trouve d’après l’assertion précédente, y Η x =
e (x Η y) = e(٠) = ٠.
Théorème ٣٫٣. Soit X une BCH-algèbre, les assertions suivantes:
١- X est symétrique,
٢- Quelques soient x, y, z ∈ X, on a x Η (y Η z) = z Η (y Η x) et
٣- Quelques soient x, y ∈ X, on a x Η (x Ηy) = y sont equivalantes.
Démonstration: