Symétrie centrale

Collège Elie COUTAREL
Année 2008-2009.
G.MANDALLAZ.
Ecrit avec L
A
T
EX
La symétrie centrale
1 Figures symétriques, centre de symétrie
1.1 Figures symétriques
Définition 1 (Figures symétriques)
On dit que 2 figures sont symétriques par rapport à un point Olorsqu’elles se superposent par un demi-tour autour
du point O.
Remarque 1
Deux figures symétriques par rapport à un point ont la même forme.
En tournant de 180◦autour de O, elles se superposent. Elles ont la même aire.
1.2 Centre de symétrie
Définition 2 (Centre de symétrie)
On dit qu’un point Oest le centre de symétrie d’une figure Florsque Fcoïncide avec sa figure symétrique par
rapport à O.
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Remarque 2
La définition signifie donc qu’en faisant tourner de 180◦la figure F, on retrouve la même figure F.
1.3 Points symétriques
Propriété 1
Si le point M0est le symétrique du point Mpar rapport au point Oalors :
.Oest le milieu du segment [MM0]dans le cas où M6=M0.
.M,M0et Osont confondus dans le cas contraire.
Remarque 3 (Méthode de construction du symétrique d’un point)
On veut construire le symétrique du point Mpar rapport au point O(dans le cas où M6=O).
`Tracer la demi-droite [MO).
`Piquer le compas sur O, reporter la longueur OM sur [M O), on obtient le point M0.
2 Propriétés de conservation et constructions
2.1 Symétrique d’un segment
Propriété 2
La figure symétrique d’un segment par rapport à un point est un segment de même longueur.
A0B0=AB
2.2 Symétrique d’une droite
Propriété 3
La figure symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite parallèle.
(A0B0)//(AB)
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2.3 Symétrique d’un angle géométrique
Propriété 4
La figure symétrique d’un angle par rapport à un point est un angle de même mesure.
\
B0A0C0=
\
BAC
2.4 Symétrique d’un cercle
Propriété 5
La figure symétrique d’un cercle de centre Apassant par Best le cercle de centre A0passant par B0, où A0et B0
sont les symétriques respectifs de Aet B.
2.5 Récapitulatif
Théorème 1
La symétrie centrale conserve :
1. Les distances.
2. La mesure des angles.
3. L’alignement.
4. Le parallélisme.
iPour construire la figure symétrique d’une figure complexe, on commence par tracer les symétriques des points
particuliers (sommets, centres et points de cercle).
Ensuite, on utilise les propriétés vues précédemment pour relier les sommets de la figure symétrique et terminer la
construction.
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3 Les figures de référence
Le centre de symétrie du rectangle, du losange, et du carré est le point d’intersection des diagonales.
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