PGCD 2015

Plus Grand Diviseur Commun .
1) Vocabulaire :
a) Divisible / Multiple :
Soit a et b deux nombres entiers naturels différents de zéro : dire que a est divisible par b signifie
que
a
k
b
=
, avec k nombre entier naturel.
Or : Si
a
k
b
=
, alors
a kb
=
, ce qui se traduit par « a est un multiple de b ». ( Et aussi de k )
b) Critères de divisibilité :
c) Diviseurs d’un nombre : Les diviseurs d’un nombre sont ceux par lequel il est divisible.
Pour trouver tous les diviseurs d’un nombre, il suffit le décomposer en produit de 2 facteurs
entiers et de trouver la liste complète de ces produits.
Exemple : Recherche des diviseurs de 120.
120 1 120 2 60 3 40 4 30 5 24 6 20 8 15 10 12
= × = × = × = × = × = × = × = ×
les diviseurs de 120 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 15 ; 24 ; 30 ; 40 ; 60 et 120.
2) Division euclidienne :
a) La division euclidienne est la division avec reste et quotient entier.
Soit a et b deux nombres entiers naturels tels que
0 .
b a
< <
Alors il existe un seul couple de nombre entier
. .
Qet R
tels que :
.. ..0
a Q b R avec r b
= × + ≤ <
Q
est le quotient,
R
est le reste de la division euclidienne de a par b. ( Nous admettrons
l’existence et l’unicité d’une telle décomposition.)
b) Les calculatrices possèdent une touche permettant d’afficher le quotient et le reste.
c) Exemple :
127 13
10 9
127 9 13 10
= × +
Par Critère Exemple
2 Le chiffre des unités est pair 102.
4 Le nombre formé par les chiffres dizaine+unité est dans la
table de 4. (00 convient également) 680 ; 144, 316.
3 La somme des chiffres du nombre est dans la table de 3. 141 ; 102 ; 441.
5 Le chiffre des unités est 0 ou 5. 305 ; 150.
9 La somme des chiffres du nombre est dans la table de 9. 441 ; 684 ; 6 669
10 Le chiffre des unités vaut 0. 3 250

3) P.G.C.D. : Plus grand diviseur commun.
a) Le P.G.C.D de deux nombres est le plus grand entier naturel qui divise les deux nombres.
Exemple : Recherchons les diviseurs de 78 et de 208.
78 1 78
78 2 39
78 3 26
78 6 13
= ×
= ×
= ×
= ×
208 1 208
208 2 104
208 4 52
208 8 26
208 13 16
= ×
= ×
= ×
= ×
= ×
Les diviseurs de 78 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 13 ; 26 ; 39 ; 78.
Ceux de 208 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 13 ; 26 ; 52 ; 104 ; 208.
1 ; 2 ; 13 et 26 sont les diviseurs communs de 78 et 208.
Le plus grand de ces diviseurs communs est 26 : 26 est le plus grand commun diviseur de 78 et de
208.
Le P.G.C.D. de 78 et de 208 est égal à 26
b) Utilité : La connaissance du P.G.C.D. d’un couple de nombre entier permet de simplifier en une
fraction irréductible une fraction dont ils sont les numérateur et dénominateurs.
En effet : on simplifie une fraction par un nombre k en divisant numérateur et dénominateur par
un même nombre, k est donc forcément un diviseur commun.
Pour avoir la fraction irréductible, il faut diviser par le plus grand nombre possible : il faut donc
diviser par le P.G.C.D.
Exemple :
78 26 3 3
208 26 8 8
×
= =
×
c) Nombres premiers entre eux : Cherchons le P.G.C.D. de 140 et de 297.
140 1 140
140 2 70
140 4 35
140 5 28
140 7 20
140 10 14
= ×
= ×
= ×
= ×
= ×
= ×
297 1 297
297 3 99
297 9 33
297 11 27
= ×
= ×
= ×
= ×
Diviseurs de 140 : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 10 ; 14 ; 20 ; 28 ; 35 ; 70 ; 140.
Diviseurs de 297 : 1 ; 3 ; 9 ; 11 ; 27 ; 33 ; 99 ; 297.
140 et 297 ont pour seul diviseur commun
1, qui est donc leur P.G.C.D .
On dit que 140 et 297 sont premiers entre eux.

Un diviseur commun de 3 723 et de
2 993 divisera aussi leur différence, soit
730.
Comme il sera commun aux trois nombres,
il le sera aussi avec la différence de 2 993 et
de 730, soit 2 663.
Mais donc aussi avec la différence de 2 663
et de 730, etc…
Au bout du compte, on cherche les
diviseurs de 73 !
Mais au fait, quel est le plus grand diviseur
de 73 ? 73, bien sûr !
Définition : Deux nombres entiers sont premiers entre eux quand
leur P.G.C.D est égal à 1.
On en déduit que la fraction
140
297
est une fraction irréductible, puisque seul 1 divise 140 et 297.
Or :
140 1 140
÷ =
et
297 1 297
÷ =
, et simplifier par 1 ne modifie ni le numérateur ni le
dénominateur !
4) Recherche méthodique du P.G.C.D
a) Première méthode : Par soustractions successives. (Algorithme des
soustractions)
Propriété utilisée :
Si un nombre k divise un nombre a et un nombre b, alors il divise d’office leur différence.
Exemple : 8 est un diviseur commun à 88 et 64. 88-64 =24, et 8 est bien un diviseur de 24.
* Démonstration de cette propriété :
Soit k un nombre entier positif non nul , diviseur commun de a et de b, deux nombres entiers
positifs non nuls, avec
.
a b
>
( k, a et b différents de zéro.)
Alors il existe a’ et b’, entiers naturels tels que :
'
a ka
=
et
'
b kb
=
Posons la différence a-b :
' ' ( ' ')
a b ka kb k a b
− = − = −
Conclusion : a – b est bien un multiple de k, k est bien un diviseur de la différence de a et de b.
* Exemple N° 1 : Cherchons les diviseurs communs de 2 993 et de 3723
3723 - 2993 = 730
2993 - 730 = 2263
2263 - 730 = 1533
1533 - 730 = 803
803 - 730 = 73
730 - 73 = 657
657 - 73 = 584
584 - 73 = 511
511 - 73 = 438
438 - 73 = 365
365 - 73 = 292
292 - 73 = 219
219 - 73 = 146
146 - 73 = 73
73 - 73 = 0

Finalement, le P.G.C.D est la dernière différence non-nulle ! (L’algorithme aboutir toujours à 0.)
Dans le cas ci-dessus : comme le P.G.C.D est différent de 1, on en déduit que les nombres 3 723 et
2 993 ne sont pas premiers entre eux et que la fraction
3723
1993
n’est pas une fraction irréductible.
Pour la simplifier, il suffit d’utiliser le P.G.C.D :
3723 73 51 51
2993 73 41 41
×
= =
×
* Remarque / exercice : Un élève de 6
ème
exécute à la calculatrice la division suivante :
588 128
÷
et
sa calculatrice affiche la fraction
147
32
. Comment en déduire le P.G.C.D. des nombres 588 et 128 ?
b) Seconde méthode : par divisions euclidiennes successives. (Algorithme d’Euclide).
* Propriété utilisée :
Si un nombre entier positif est un diviseur commun à deux nombres entiers positifs
a et b (On supposera 0 < b < a), alors il est aussi un diviseur du reste dans la division
euclidienne de a par b.
Exemple : 9 est un diviseur de 459 et de 171. La division euclidienne de 459 par 171 donne :
459
171
117
2
⇒
soit la décomposition suivante :
459 2 171 117
= × +
.
Et 9 est bien un diviseur de 117. (Voir critère de divisibilité).
Démonstration de cette propriété :
Hypothèse : k, entier non nul, est un diviseur commun de a et de b.
Alors il existe a’ et b’, entiers naturels tels que :
'
a ka
=
et
'
b kb
=
Soit la décomposition issue de la division euclidienne de a par b : a = Qb +R
Alors : R = a – Qb = ka’ –Qkb’= k( a’ – Qb’) : R est un multiple de k , k est un diviseur de R.
* Utilisation de cette propriété pour la recherche du P.G. C.D :
Les diviseurs de 459 et de 171 sont donc aussi diviseurs de 459, 171 et 117.
En particulier de 171 et de 117, donc du reste dans la division euclidienne de 171 par 117.
On pose alors une nouvelle division :
171
117
54
1
⇒
171 1 117 54
= × +
Puis :
117
54
9
2
⇒
117 2 54 9
= × +
et enfin :
54 9
0
6
⇒
54 9 6 0
= × +

Le travail de division est fini. Le P.G.C.D de 459 et de 171 est donc un aussi un diviseur de 117 ;
54 et 9, le dernier reste non-nul. Or : quel est le plus grand diviseur de 9 ? Evidemment 9 !
Dans l’algorithme d’Euclide, le P.G.C.D. est le dernier reste non-nul !
5) Exercices.
1. Recopier le tableau et cocher les cellules si le nombre en tête de ligne est divisible par le nombre
en tête de colonne.
2 3 5 9 10
245
291 121 110
20 051
1 962
555
666
123 456
2. Le tableau ci-dessous représente le compteur kilométrique d’un véhicule.
2 chiffres sont illisibles.
On sait cependant que le nombre de kilomètre, noté
k
, est tel que :
210.000
k
≤
tout en étant un multiple de 5 et aussi de 3. Que peut valoir
k
?
3. Soit
n
un nombre entier naturel.
Si
n
est pair, c’est qu’il existe un nombre entier
k
unique tel que
2
n k
=
Réciproquement, si un nombre entier
n
peut s’écrire sous la forme
2
n k
=
, alors
n
est pair.
A = 418
Autre exemple : P.G.C.D. de 418 et de 228.
B = 228
418 = 228 x 1 + 190
228 = 190 x 1 + 38 P.G.C.D. = 38
190 = 38 x 5 + 0
? 1 4 3 6 ?